定积分知识点知识讲解

定积分知识点

定积分知识点

1.定积分的概念：一般地，设函数()f x 在区间[,

]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L

将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b a

x n

-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：

1

1

()()n

n

n i i i i b a

S f x f n

ξξ==-=∆=∑∑

如果x D 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b

a S f x dx =⎰，

其中-⎰积分号，b －积分上限，a －积分下限，()f x －被积函数，x －积分变量，[,]a b －积分区间，()f x dx －被积式。说明：（1）定积分()b

a f x dx ⎰是一

个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）记为()b

a

f x dx ⎰,而不是

n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()n

i i b a

f n

ξ=-∑

；④取极限：()

1

()lim n

b

i a

n i b a

f x dx f n

ξ→∞

=-=∑⎰

;（3）曲边图形面积：()b a S f x dx =⎰；变速运动路

程2

1

()t t S v t dt =⎰；变力做功()b

a

W F r dr =⎰

2．定积分的几何意义

从几何上看，如果在区间[],

a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()b

a f x dx ⎰表示由直线

,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边

梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分()b

a

f x dx ⎰的几何意义。

说明：一般情况下，定积分()b

a

f x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形

以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在

x 轴下方的面积去负号。

分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。 考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆++∆L L 不妨设1(),(),,()0i i n f x f x f x +

于是和式即为

()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -∆+∆++∆--∆++-∆L L

()b

a f x dx ∴=⎰阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面

积）

3．定积分的性质 性质1()b

a kdx k

b a =-⎰；

性质2()()()b b

a

a

kf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数（定积分的线性性质）；

性质31212[()()]()()b b b

a

a

a

f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰（定积分的线性性质）；

性质4()()()()b c b

a

a

c

f x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可

加性）

(1) ()()b

a

a

b

f x dx f x dx =-⎰⎰； (2) ()0a

a

f x dx =⎰；

说明：①推广：

1212[()()()]()()()b

b b b

m m a

a

a

a

f x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰

⎰⎰⎰L L

②推广:12

1

()()()()k

b

c c b

a

a

c c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰L

4.微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：

⎰

-==b

a

b a a F b F x F dx x f )()(|)()(

（熟记'⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=+11n x x n n （1-≠n ），()'=x x ln 1，()'-=x x cos sin ，()'=x x sin cos ，'⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=a a a x

x ln ，()'=x x e e ）

巩固训练题

一．选择题：

1． 5

0(24)x dx -⎰=（ ） A ．5 B. 4 C. 3 D. 2

2． 2

11ln xdx x ⎰

=（ ） A ．21

ln 22 B. ln 2 C. 2ln 2 D.ln 2 3． 若11

(2)3ln 2a x dx x

+=+⎰，且a ＞1，则a 的值为（ ）A ．6 B.4 C.3 D.2

4． 已知自由落体运动的速率v=gt ，则落体运动从t=0到t=t 0所走的路程为（ ）

A ．203gt

B ．2

0gt C ．202gt D ．206

gt

5.由抛物线x y =2

和直线

x =1所围成的图形的面积等于（ ）

A ．1

B ．

3

4

C ．

3

2

D ．31

6.如图，阴影部分的面积是（ )

A ．32

B ．329-

C ．332

D ．3

35

7.320|4|x dx -⎰=（ ）A ．321 B ．322 C ．323 D ．325 8． dx e e x x ⎰-+10)(=（ ）A ．e

e 1+ B ．2e C ．e 2 D ．e e 1-

9．曲线]2

3

,0[,cos π∈=x x y 与坐标轴围成的面积（ ）

第6题图