定积分知识点知识讲解
考研定积分知识点总结
一、定积分的定义和性质1. 定积分的概念定积分是微积分学中的重要概念，它是对函数在一个区间上的积分值进行求解的操作。
具体来说，如果函数f(x)在区间[a,b]上是连续的，则我们可以通过定积分的形式来求解函数f(x)在区间[a,b]上的积分值，即∫(a to b) f(x)dx。
这里，∫表示积分符号，a和b分别表示区间的起点和终点，f(x)表示要求解的函数，dx表示积分变量，并代表着在区间[a,b]上x的变化范围。
因此，定积分的求解可以看做是对函数在一个区间上的积分值进行求解的过程。
2. 定积分的性质定积分具有一系列的性质，这些性质在定积分的求解中起着重要的作用。
主要的性质包括线性性、可加性、积性、保号性、保序性等。
具体来说，线性性指的是定积分的线性组合仍然可以进行积分求解；可加性指的是如果一个区间可以分解成若干个子区间，那么对应的积分值也可以进行求和；积性指的是如果一个函数是另一个函数的乘积，那么对应的积分值也可以进行相乘；保号性指的是如果函数在区间上恒大于等于零（小于等于零），那么对应的积分值也恒大于等于零（小于等于零）；保序性指的是如果函数在区间上恒大于等于另一个函数（小于等于另一个函数），那么对应的积分值也恒大于等于（小于等于）另一个函数在相同区间上的积分值。
这些性质在定积分的具体求解中是非常有用的，可以帮助我们简化求解的过程，提高计算的效率。
二、定积分的计算1. 定积分的计算方法定积分的计算方法主要包括定积分的定义法、不定积分法、分部积分法、换元积分法和定积分的几何意义。
其中，定积分的定义法是直接根据定积分的定义进行求解；不定积分法是将定积分转化成不定积分，通过求解不定积分再将得到的结果代入原来的定积分式中，从而得到最终的定积分值；分部积分法是将被积函数进行分解，然后利用分部积分公式对各项进行积分求解；换元积分法是通过变量代换的方法将被积函数进行转化，然后再进行积分求解；定积分的几何意义则是利用定积分代表曲线下面积的特性来进行求解。
定积分知识点总结数学
定积分知识点总结数学一、定积分的定义1. 定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个区间上的积分进行定义的一种方法。
定积分可以表示函数在一个区间上的“累积效果”，即函数在该区间上的总体积或总面积。
2. 定积分的符号表示定积分可以用符号∫ 来表示，即∫f(x)dx，其中f(x)是要积分的函数，dx表示自变量x的微元。
3. 定积分的定义设函数f(x)在区间[a, b]上连续，将区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，取每个小区间上任意一点ξi，计算出函数在每个小区间上的面积，然后将所有小区间上的面积相加，得到一个近似值。
当n趋于无穷大时，这个近似值趋于一个确定的值，称为定积分，记作∫a到b f(x)dx。
4. 定积分的几何意义定积分的几何意义是函数f(x)在区间[a, b]上的图像和坐标轴之间的面积，当函数为正值时，定积分表示曲线下面积；当函数为负值时，定积分表示曲线上面积减去曲线下面积。
二、定积分的性质1. 定积分的存在性定积分的存在性是指对于一个函数在一个区间上的定积分是否存在，存在的充分必要条件是函数在该区间上连续。
2. 定积分的线性性定积分具有线性性质，即若f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，c和d为常数，则有∫a到b(c*f(x)+d*g(x))dx=c*∫a到b f(x)dx+d*∫a到b g(x)dx。
3. 定积分的区间可加性若函数f(x)在区间[a, b]、[b, c]上都可积，则有∫a到c f(x)dx=∫a到b f(x)dx+∫b到c f(x)dx。
4. 定积分的不变性对于函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，若将区间[a, b]内的点重新排列，定积分的结果不会受到影响。
5. 定积分的估值通过使用上下和左右长方形法、梯形法等方法，可以对定积分进行估值，获得定积分的近似值。
三、定积分的计算1. 定积分的基本计算方法定积分的基本计算方法是使用定积分的定义进行计算，即按照定义对函数在区间内每个小区间上的面积进行求和，并计算出极限值。
定积分知识点总结文字
定积分知识点总结文字一、定积分的基本概念定积分是微积分中的一个重要内容，它是对给定区间内函数值的“积分”，通俗地说就是曲线下的面积。
设函数f(x)在闭区间[a, b]上有界，将[a, b]区间分成n份，在第i个区间上任取一点ξi，作出任意形式的ξi对于x的函数值f(ξi)，再用第i个小区间长度Δx为宽、f(ξi)为高的长方形来逼近曲线f(x)围成的图形，然后将n个小矩形的面积加在一块，且去极限，即可得到[a, b]上函数f(x)的定积分。
二、定积分的计算方法定积分的计算方法主要有几种：几何法、牛顿-莱布尼茨公式、定积分的分部积分法、定积分的换元积分法、定积分的定积分法、定积分的换限积分法等。
(一) 几何法：如计算函数y = x^2在区间[0, 1]上的定积分，可以通过几何法计算曲线y = x^2和x轴所围成的面积。
首先画出y = x^2曲线和x轴，然后在区间[0, 1]上做垂直于x轴的线段，对于每一个x值，可以得到一个矩形，然后得到所有矩形的面积之和，即为y = x^2在区间[0, 1]上的定积分值。
(二) 牛顿-莱布尼茨公式：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在[a, b]间的定积分为该函数的一个不定积分在区间[a, b]上的值。
即如果F(x)是f(x)的一个不定积分，则∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
(三) 分部积分法：设u = u(x)和v = v(x)是定义在闭区间[a, b]上具有连续导数的函数，令u(x)v'(x)dx =u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，那么∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx。
(四) 换元积分法：设φ(x)是[a, b]上的可导函数，且φ'(x)在[a, b]上连续，f(φ(x))φ'(x)定义在φ[a, b](a ≤ x ≤ b)上，则∫[a, b]f(φ(x))φ'(x)dx = ∫[φ(a), φ(b)]f(u)du。
定积分的知识点总结
定积分的知识点总结一、定积分的基本概念定积分是微积分学中的重要概念，可以用来计算曲线下的面积，曲线的弧长，质心等物理量。
定积分的基本思想是将曲线下的面积划分为无穷多个微小的矩形，然后求和得到整体的面积。
定积分的符号表示为∫。
对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分表示为：∫[a, b]f(x)dx其中，a和b为区间的端点，f(x)为函数在该区间上的取值。
定积分表示在区间[a, b]上的函数f(x)所确定的曲线下的面积。
二、定积分的计算方法1. 黎曼和定积分的计算基本思想是将曲线下的面积划分为很多个小矩形，然后对这些小矩形的面积求和。
这就是定积分的计算方法。
在实际计算中，根据黎曼和的定义，我们可以将区间[a, b]等分为n个小区间，每个小区间长度为Δx=(b-a)/n，然后在每个小区间上取一个样本点xi，计算f(xi)Δx的和：∑[i=1,n]f(xi)Δx当n趋近于无穷大时，这个和就可以逼近定积分的值。
这就是黎曼和的基本思想。
2. 定积分的几何意义定积分可以用来计算曲线下的面积，也可以用来计算曲线的弧长。
对于一个函数f(x)，其在区间[a, b]上的定积分表示的是曲线y=f(x)和x轴之间的面积。
这个面积就是曲线下的面积。
如果函数f(x)在区间[a, b]上非负且连续，那么函数y=f(x)、直线x=a、x=b以及x轴所围成的区域的面积就是∫[a, b]f(x)dx。
3. 定积分的物理意义定积分还可以用来计算物理量，比如质量、质心等。
在物理学中，可以用定积分来计算物体的质量、质心等物理量。
对于一个连续的物体，将其质量密度函数表示为ρ(x)，则物体的质量可以表示为定积分：M=∫[a, b]ρ(x)dx三、定积分的性质1. 线性性定积分具有线性性质，即∫[a, b](c1f1(x)+c2f2(x))dx=c1∫[a, b]f1(x)dx+c2∫[a, b]f2(x)dx。
其中c1、c2为常数，f1(x)、f2(x)为函数。
定积分的计算知识点总结
定积分的计算知识点总结一、定积分的定义。
1. 概念。
- 设函数y = f(x)在区间[a,b]上连续，用分点a=x_0将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为Δ x=(b - a)/(n)。
在每个小区间[x_i - 1,x_i]上取一点ξ_i(i =1,2,·s,n)，作和式S_n=∑_i = 1^nf(ξ_i)Δ x。
当nto∞时，如果S_n的极限存在，则称这个极限为函数y = f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫_a^bf(x)dx，即∫_a^bf(x)dx=limlimits_n→∞∑_i = 1^nf(ξ_i)Δ x。
- 这里a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a,b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积表达式。
2. 几何意义。
- 当f(x)≥slant0时，∫_a^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x 轴所围成的曲边梯形的面积。
- 当f(x)≤slant0时，∫_a^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x 轴所围成的曲边梯形面积的相反数。
- 当f(x)在[a,b]上有正有负时，∫_a^bf(x)dx表示位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积。
二、定积分的基本性质。
1. 线性性质。
- ∫_a^b[k_1f(x)+k_2g(x)]dx = k_1∫_a^bf(x)dx + k_2∫_a^bg(x)dx，其中k_1,k_2为常数。
2. 区间可加性。
- ∫_a^bf(x)dx=∫_a^cf(x)dx+∫_c^bf(x)dx，其中a < c < b。
3. 比较性质。
- 如果在区间[a,b]上f(x)≥slant g(x)，那么∫_a^bf(x)dx≥slant∫_a^bg(x)dx。
- 特别地，<=ft∫_a^bf(x)dxright≤slant∫_a^b<=ftf(x)rightdx。
(完整版)定积分知识点汇总
(完整版)定积分知识点汇总定积分是高中数学教学的重点难点之一，也是高数的基础知识。
我们通过汇总定积分的相关知识点，帮助同学们更好地掌握定积分的相关知识，以便在考试中取得好的成绩。
一、定积分的定义定积分是对函数在一定区间上的积分，也就是函数在此区间上的面积。
1. 定积分与区间的选取无关，即如果函数在 $[a,b]$ 上是可积的，则定积分$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$ 的值是唯一的。
2. 定积分具有可加性，即对于任意的 $c \in [a,b]$，有 $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = \int_a^c f(x) \mathrm{d}x + \int_c^b f(x) \mathrm{d}x$。
三、定积分的求解方法1. 函数曲线与坐标轴相交的情况：对于函数曲线与 $x$ 轴相交的区间，可以根据定义式直接求出该区间内的面积。
对于函数曲线与 $y$ 轴相交的区间，则要将积分区间平移后，再根据定义式计算面积。
2. 利用基本积分法和牛顿-莱布尼茨公式：可以利用基本积分法求出一个函数的原函数，然后利用牛顿-莱布尼茨公式，即$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(b) - F(a)$，其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。
3. 利用换元积分法：换元积分法是利用一些特殊的代换，将积分式转化为某些基本形式的积分。
常见的代换包括：$u=g(x), x=h(u)$ 和 $\mathrm{d}u = f(x) \mathrm{d}x$。
分部积分法是将原积分式做一个变形，转化成两个积分乘积的形式，从而更容易求解。
5. 利用定积分的对称性：如积分区间对于 $0$ 对称，或者函数具有四象限对称性等，可以根据对称性减少计算量。
1. 几何应用：用定积分可以求解函数曲线与坐标轴围成的图形的面积、体积和质心等几何特征。
利用定积分可以求解质点运动的速度、加速度、位移和质量等物理量。
定积分知识点总结等价
定积分知识点总结等价在本文中，我们将对定积分的基本概念、性质和求解方法进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和运用定积分。
一、定积分的基本概念定积分可以看作是一个区间上面积的度量，它描述了函数在一定区间上的总体变化情况。
在数学上，定积分可以理解为函数在指定区间内的面积或者是曲线的弧长，在物理上可以表示为质量、能量、熵等的总量。
1.1 定积分的定义设f(x)在区间[a, b]上有定义，且[a, b]是有限闭区间，将[a, b]上的分割记作Δ，记Δ的任一分点为x0, x1, ..., xn，对应的区间为[x0, x1], [x1, x2], ..., [xn-1, xn]。
则对应的分割Δ表示为：Δ = {x0, x1, ..., xn}Δ的长度记作δxi = xi - xi-1，假设Δ长度的最大值为δ = max{δxi}。
我们将区间[a, b]分成n个小区间，当n趋于无穷大时，（也就是每个小区间的长度趋于0），则这个过程称为区间[a, b]的分割，也称之为区间[a, b]的划分。
对于函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，可以用如下的极限形式定义：∫（a->b）f(x)dx = lim（Δ->0）Σ（i=1->n）f(xi*)δxi其中，xi*是区间[xi-1, xi]上的任意一点。
1.2 定积分的几何意义定积分的几何意义是非常直观的，它表示了曲线与坐标轴以及两条直线之间的面积。
当函数f(x)在区间[a, b]上是非负的时候，定积分表示了曲线y=f(x)与x轴以及直线x=a, x=b之间的面积。
当函数f(x)在区间[a, b]上是有正有负的时候，定积分表示了曲线y=f(x)与x轴之间的面积，其中函数f(x)在区间[a, b]上的正值与负值部分面积互相抵消，最终得到曲线与x轴之间的面积。
1.3 定积分的物理意义在物理上，定积分可以用来描述某一物理量在一定的时间或空间范围内的总量。
例如，对于质量密度为ρ(x)的一根杆在区间[a, b]上的质量总量可以表示为：m = ∫（a->b）ρ(x)dx这里ρ(x)dx表示了杆上长度为dx的小段的质量。
定积分知识点汇总
定积分知识点汇总关键信息项：1、定积分的定义2、定积分的几何意义3、定积分的基本性质4、定积分的计算方法5、定积分的应用1、定积分的定义11 定积分的概念定积分是微积分的重要概念之一。
如果函数 f(x) 在区间 a, b 上连续，用分点 a ＝ x₀＜ x₁＜ x₂＜＜ xₙ ＝ b 将区间 a, b 分成 n 个小区间，在每个小区间 xᵢ₋₁, xᵢ上任取一点ξᵢ（i ＝ 1, 2,， n），作和式∑f(ξᵢ)Δxᵢ，当 n 无限增大且Δxᵢ的最大值趋于零时，如果和式的极限存在，这个极限就叫做函数 f(x) 在区间 a, b 上的定积分，记作∫ₐᵇf(x)dx 。
12 定积分的几何定义如果在区间 a, b 上函数 f(x) 连续且非负，那么定积分∫ₐᵇf(x)dx 表示由曲线 y ＝ f(x) 、直线 x ＝ a 、 x ＝ b 和 x 轴所围成的曲边梯形的面积。
如果函数 f(x) 在区间 a, b 上连续且有正有负，那么定积分∫ₐᵇf(x)dx 表示介于 x 轴上方和下方的面积的代数和。
2、定积分的几何意义21 以 x 轴上方的面积为正，x 轴下方的面积为负当函数图像在 x 轴上方时，对应的定积分值为正，表示该部分区域的面积；当函数图像在 x 轴下方时，对应的定积分值为负，表示该部分区域面积的相反数。
22 定积分表示曲线围成的面积对于一般的连续函数，定积分的值等于曲线与 x 轴之间所围成的有向面积。
3、定积分的基本性质31 线性性质若函数 f(x) 和 g(x) 在区间 a, b 上可积，k 为常数，则∫ₐᵇkf(x)dx ＝k∫ₐᵇf(x)dx ，∫ₐᵇf(x) ± g(x)dx ＝∫ₐᵇf(x)dx ±∫ₐᵇg(x)dx 。
32 区间可加性若函数 f(x) 在区间 a, c 和 c, b 上都可积，其中 a ＜ c ＜ b ，则∫ₐᵇf(x)dx ＝∫ₐᶜf(x)dx ＋∫ᶜᵇf(x)dx 。
高中数学知识点归纳定积分基础知识
高中数学知识点归纳定积分基础知识高中数学的定积分是数学中非常重要的一个概念，它是微积分的核心内容之一。
在学习定积分的过程中，我们需要了解一些基础知识，本文将对高中数学中定积分的基础知识进行归纳总结。
一、定积分的概念定积分是积分学中重要的概念之一，它可以看作是函数在一个区间上的加权平均。
定积分的定义是：设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，将[a,b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，然后在每个小区间上取一点ξ_i，构成一个积分和S_n，当n趋向于无穷大时，若极限存在且与ξ_i的选法无关，则称该极限为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫(a,b)f(x)dx。
二、定积分的计算方法在计算定积分时，可以使用不同的方法，具体的计算方法如下：1. 几何意义法：根据定积分的几何意义，可以将定积分看作是曲线与坐标轴所围成的面积。
根据几何图形的性质，可以求得定积分的值。
2. 定积分的性质法：根据定积分的性质，可以利用一些性质对定积分进行化简。
比如定积分的线性性质、区间可加性等。
3. 换元法：对于一些较复杂的函数，可以通过变量代换的方法将其化简为简单的形式，然后进行定积分的计算。
4. 分部积分法：对于一些乘积形式的函数，可以通过分部积分的方法将其化简为简单的形式，然后进行定积分的计算。
5. 积分表法：对于一些常见的函数，可以通过积分表中的公式直接进行定积分的计算。
三、定积分的应用领域定积分在数学中有广泛的应用领域，具体包括以下几个方面：1. 几何应用：定积分可以用来计算曲线与坐标轴所围成的面积、曲线的弧长、曲线的平均值等。
2. 物理应用：在物理学中，定积分可以用来求解物体在一定时间内的位移、速度、加速度等。
3. 统计学应用：在统计学中，定积分可以用来计算概率密度函数下的概率、求解统计分布的期望值等。
4. 经济应用：在经济学中，定积分可以用来计算收入曲线下的总收入、成本曲线下的总成本等。
总结：高中数学中的定积分是微积分学习的重要内容，通过学习定积分的基础知识，我们可以更好地理解和应用定积分。
高数定积分知识点总结
高数定积分知识点总结一、定积分的定义定积分是微积分中的一个重要概念，它是对一个函数在一个区间上的积分结果进行计算的过程。
在数学上，定积分是用来计算曲线下面的面积或者函数在某一区间上的平均值的方法。
定积分可以写成以下形式：\[ \int_{a}^{b} f(x)dx \]其中，\( f(x) \)是被积函数，\( a \)和\( b \)是积分区间的端点。
定积分的计算过程就是求解被积函数在给定区间上的曲线下面的面积。
定积分在物理学、工程学和经济学等领域都有着广泛的应用，是微积分中不可或缺的重要工具。
二、定积分的性质1. 定积分的可加性如果函数\( f(x) \)在区间\([a, b]\)上是可积的，那么对于任意的\( c \)满足\( a \leq c \leq b \)，都有：\[ \int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx + \int_{c}^{b} f(x)dx \]这个性质表明了定积分的可加性，即在一个区间上进行积分的结果可以根据任意划分点\( c \)进行分割。
2. 定积分的线性性对于任意的实数\( \alpha, \beta \)和函数\( f(x), g(x) \)，如果\( f(x), g(x) \)在区间\([a, b]\)上是可积的，那么有：\[ \int_{a}^{b} (\alpha f(x) + \beta g(x))dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x)dx + \beta \int_{a}^{b} g(x)dx \]这个性质表明了定积分的线性性，即在一个区间上进行线性组合的函数的积分等于线性组合的函数的积分的线性组合。
3. 定积分的保号性如果在区间\([a, b]\)上有\( f(x) \geq 0 \)，那么有：\[ \int_{a}^{b} f(x)dx \geq 0 \]这个性质表明了定积分的保号性，即当被积函数在一个区间上非负时，其积分结果也是非负的。
高考定积分知识点总结
高考定积分知识点总结定积分是高等数学中的重要内容之一，也是高考数学考试中常见的题型。
本文将对高考中常见的定积分知识点进行总结和归纳，以帮助同学们更好地准备考试。
一、定积分的基本概念定积分是对一个区间上的函数进行求和的过程。
区间可以是有限区间，也可以是无限区间。
定积分的计算可以看作是曲线下的面积，也可以理解为函数的反导数。
二、定积分的性质定积分具有一些重要的性质，包括线性性质、区间可加性、保号性等。
这些性质在定积分的计算和性质分析中起到了重要作用。
三、定积分的计算方法在高考中，求定积分通常通过几种基本的计算方法来完成，包括换元法、分部积分法、定积分的性质等。
不同的计算方法适用于不同的函数和题目类型，需要根据具体情况选择合适的方法。
四、定积分的应用定积分在数学中有广泛的应用。
在高考中，常见的应用包括计算面积、求曲线的弧长、求平均值等。
理解和掌握这些应用可以帮助我们更好地解决与定积分相关的题目。
五、典型题目解析以下是一些高考中常见的定积分题目及其解析，供同学们参考和练习：例题一：计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx解析：根据定积分的计算公式，我们有∫(0 to 1) x^2 dx = [x^3/3] (0 to 1) = 1/3例题二：计算不定积分∫(2 to 5) (2x+1) dx解析：根据定积分的计算公式，我们有∫(2 to 5) (2x+1) dx = [x^2+x] (2 to 5) = (5^2+5) - (2^2+2) = 24例题三：求函数f(x)=2x在区间[0，3]上的平均值。
解析：函数的平均值可以通过定积分来计算，平均值=1/(b-a) * ∫(a to b) f(x) dx = 1/(3-0) * ∫(0 to 3) 2x d x = 1/3 * [x^2] (0 to 3) = 1/3 * (3^2-0^2) = 3通过以上例题解析，我们可以看到定积分的计算方法和应用的具体过程，希望同学们通过练习更加熟练掌握这些知识点。
定积分计算知识点总结
定积分计算知识点总结一、定积分的概念1.1 定积分的定义定积分是在微积分学中给定一个连续函数$f(x)$，对它在区间$[a, b]$上的积分值的确定。
具体地，定积分可以定义为：$$\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum _{i=1}^{n} f(x_{i}^{*})\Delta x $$其中，$\Delta x = (b-a)/n$，$x_i^* \in [x_{i-1}, x_i]$。
1.2 定积分的几何意义定积分的几何意义是函数$y=f(x)$在区间$[a, b]$上的曲边梯形的面积，可以用积分来表示。
当积分区间的$[a, b]$上的函数是非负值函数时，它的定积分可以表示该函数与$x$轴所夹的曲边梯形的面积。
1.3 定积分的基本性质① 定积分与积分区间的顺序无关，即$\int_{a}^{b}f(x)dx = -\int_{b}^{a}f(x)dx$。
② 定积分的线性性：$\int_{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x)dx + \beta \int_{a}^{b} g(x)dx$。
③ 定积分的加法性：$\int_{a}^{b} f(x)dx + \int_{b}^{c} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx$。
1.4 定积分的计算方法定积分的计算方法主要包括：几何意义法、切割法、定积分的性质、换元积分法、分部积分法等。
这些方法在不同的情况下都有其适用范围，学习者需要根据具体问题进行选择和灵活运用。
二、定积分的计算2.1 几何意义法几何意义法是通过将定积分代表的曲边梯形进行适当的分割和逼近，最终得到定积分的值。
这种方法适用于简单的函数和几何形状，容易理解和操作。
2.2 切割法切割法是将定积分的积分区间进行适当的分割，然后对每个小区间内的函数求积分，最后将所得的和加起来。
定积分大一上知识点总结
定积分大一上知识点总结定积分是微积分中的一个重要概念，是在一定区间上求函数曲线下的面积。
本文将对定积分的概念、性质以及求解方法进行总结和介绍。
一、定积分的概念定积分可以看作是对无穷小的加和，用极限的思想进行定义。
对于函数f(x)在[a, b]上的定积分表示为：∫[a, b] f(x) dx其中∫表示积分符号，[a, b]表示积分的区间，f(x)表示被积函数，dx表示积分变量。
二、定积分的性质1. 线性性质：定积分具有线性性质，即∫[a, b] (af(x) + bg(x)) dx= a∫[a, b] f(x) dx + b∫[a, b] g(x) dx。
2. 区间可加性：如果函数f(x)在[a, b]和[b, c]上可积，则有∫[a, c] f(x) dx = ∫[a, b] f(x) dx + ∫[b, c] f(x) dx。
3. 零函数积分：对于任意常数c，有∫[a, b] c dx = c(b - a)。
三、定积分的求解方法1. 几何意义法：定积分的几何意义是函数曲线下的面积，可以通过几何方法进行求解。
将区间[a, b]划分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，选取小区间上的任意一点ξi，将函数在小区间上的面积近似为矩形的面积，即ΔS = f(ξi)Δx。
然后将这些矩形面积相加，当划分越来越细时，矩形面积的和趋近于定积分∫[a, b] f(x) dx。
2. 定积分的基本性质：定积分具有数学上的基本性质，可以通过这些性质来求解定积分。
例如，可以利用定积分的线性性质、区间可加性和零函数积分性质，将复杂的定积分化简为简单的定积分，并通过已知的积分表达式进行计算。
3. 换元法：对于一些复杂函数，可以通过换元法进行求解。
通过变量代换，将原定积分转化为新变量上的积分，从而简化计算难度。
常用的换元法有代换变量法和三角换元法。
4. 分部积分法：对于一些积分需要进行多次运算的情况，可以通过分部积分法进行求解。
定积分知识点汇总
定积分知识点汇总定积分是微积分中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
下面就来对定积分的相关知识点进行一个全面的汇总。
一、定积分的定义如果函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上连续，用分点＼（a ＝x_0 ＜ x_1 ＜ x_2 ＜＼cdots ＜ x_n ＝ b\）将区间＼（a,b\）等分成＼（n\）个小区间，在每个小区间＼（x_{i 1}， x_i\）上取一点＼（＼xi_i\）（＼（i ＝ 1, 2, ＼cdots, n\）），作和式＼（＼sum_{i ＝ 1}＾n f(＼xi_i) ＼Delta x\）（其中＼（＼Delta x ＝＼dfrac{b a}｛n}＼））。
当＼（n\）无限趋近于正无穷大时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上的定积分，记作＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）。
二、定积分的几何意义1、当函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上恒为正时，定积分＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）表示由曲线＼（y ＝ f(x)＼），直线＼（x ＝ a\），＼（x ＝ b\）和＼（x\）轴所围成的曲边梯形的面积。
2、当函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上恒为负时，定积分＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）的值为上述曲边梯形面积的相反数。
3、当函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上有正有负时，定积分＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）表示曲线＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x\）轴上方部分与＼（x\）轴所围成的面积减去曲线＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x\）轴下方部分与＼（x\）轴所围成的面积。
三、定积分的性质1、＼（＼int_{a}＾｛a} f(x)dx ＝ 0\）2、＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx ＝＼int_{b}＾｛a} f(x)dx\）3、＼（＼int_{a}＾｛b} f(x) ± g(x)dx ＝＼int_{a}＾｛b} f(x)dx ±＼int_{a}＾｛b} g(x)dx\）4、＼（＼int_{a}＾｛b} kf(x)dx ＝ k ＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）（其中＼（k\）为常数）四、定积分的计算1、牛顿莱布尼茨公式如果函数＼（F(x)＼）是连续函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上的一个原函数，那么＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx ＝ F(b) F(a)＼）。
定积分知识点总结高中
定积分知识点总结高中一、定积分的概念定积分是微积分中的重要概念之一，它是对一个区间上函数的积分进行求解的一种方法。
在数学上，定积分可以用来求解曲线与坐标轴所围成的图形的面积、求解物体的质量、求解物体的质心和求解函数的平均值等。
二、定积分的符号表示定积分的符号表示为∫abf(x)dx，其中∫表示积分的意思，a和b分别表示积分的区间，f(x)表示被积函数，而dx表示自变量。
三、定积分的基本性质1. 定积分的区间可以是一个闭区间也可以是一个开区间。
2. 定积分的积分域是一段区间上的一个函数。
3. 定积分的值只与积分的上限和下限以及积分函数的具体形式有关，与被积函数在区间上函数值的具体大小无关。
四、定积分的计算方法1. 定积分的计算方法有多种，其中最常用的方法有两种：换元积分法和分部积分法。
2. 换元积分法是将定积分中的自变量进行替换，从而使积分的形式更容易计算。
3. 分部积分法是将被积函数进行分解，从而使积分的形式更容易计算。
五、定积分的应用1. 定积分可以用来求解曲线与坐标轴所围成的图形的面积。
这是定积分最基本的应用之一。
2. 定积分可以用来求解物体的质量。
例如，如果我们知道一个物体的密度分布函数，在定积分的帮助下可以求解出物体的总质量。
3. 定积分可以用来求解物体的质心。
通过定积分可以计算出物体在某一方向上的平均位置。
4. 定积分可以用来求解函数的平均值。
通过定积分可以求解被积函数在一段区间上的平均值。
六、定积分的图形表示1. 在定积分的图形表示中，定积分表示的是曲线与坐标轴所围成的图形的面积。
2. 定积分的图形表示与被积函数在指定区间上的图像有关，可以通过被积函数的图像来判断定积分的正负值，从而得到面积的正负值。
七、定积分的应用实例1. 一块形状不规则的地块的面积可以通过定积分来求解。
2. 一根线密度不均匀的杆子的质量可以通过定积分来求解。
3. 一个质点在一段区间内的平均位置可以通过定积分来求解。
第十九讲定积分与微积分基本定理
第十九讲定积分与微积分基本定理一学习目标1.理解定积分的概念和性质2.会运用微积分基本定理二知识梳理及拓展在ʃb a f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。
(1)ʃb a kf(x)dx＝kʃb a f(x)dx(k为常数)；(2)ʃb a[f1(x)±f2(x)]dx＝ʃb a f1(x)dx±ʃb a f2(x)dx；(3)ʃb a f(x)dx＝ʃc a f(x)dx＋ʃb c f(x)dx(其中a<c<b)．一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x)|b a，即ʃb a f(x)dx＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)．三考点梳理考点1：定积分的性质【例1】定积分ʃ20|x－1|dx＝________.【例2】定积分ʃ1－1(x2＋sin x)dx＝________.考点2：利用函数的性质计算定积分【例3】定积分325425sin21x xdxx x-++⎰＝________.【例4】定积分()111x dx -+⎰＝________. 考点3：利用几何意义计算定积分 【例5】定积分1201x dx -⎰＝________.【例6】定积分322166x x dx -+-⎰＝________.四 课后习题1．若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．2.如图所示，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1及y ＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.23 B.13C.12D.143.．计算下列定积分：(1)ʃ2－2|x 2－2x |d x(2)ʃ20(x －1)d x(3)ʃ1－1(x 2＋sin x )d x(4) ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x课后习题答案1. 3 [解析] ∵ʃT 0 x 2d x ＝13x 3|T 0＝13×T 3＝9. ∴T 3＝27，∴T ＝3.2．D [解析] 由x 2＝14，得x ＝12或x ＝－12(舍)，则阴影部分的面积为S ＝ʃ120(14－x 2)d x ＋ʃ112(x 2－14)d x ＝(14x －13x 3)|120＋(13x 3－14x )|112＝14.3. (1) ʃ2－2|x 2－2x |d x ＝ʃ0－2(x 2－2x )d x ＋ʃ20(2x －x 2)d x ＝ (x 33－x 2)|0－2＋(x 2－x 33)|20＝83＋4＋4－83＝8. (2) ʃ20(x －1)d x ＝(12x 2－x )|20＝12×22－2＝0. (3) ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝ ʃ1－1x 2d x ＋ʃ1－1sin x d x ＝ 2ʃ10x 2d x ＝2·x 33|10＝23. (4)ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝ ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ1－1(e x －1)d x .因为ʃ1－11－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积，即ʃ1－11－x 2d x ＝π2， 而ʃ1－1(e x －1)d x ＝(e x －x )|1－1 ＝ (e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e－2， 所以ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝ π2＋e －1e －2.。
定积分知识点总结
定积分知识点总结一、定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是求解曲线下面积的一种方法。
当我们要计算一个曲线在两个点之间的面积时，可以使用定积分来求解。
定积分通常由一个区间上的函数来定义，它表示这个函数在这个区间上的面积。
二、定积分的符号表示定积分通常用符号∫关于x代表积分，下限和上限之间的函数表示要积分的函数，dx表示积分变量。
即∫ab f(x)dx表示在区间[a, b]上的函数f(x)的定积分。
三、定积分的性质1. 线性性质：若f(x)和g(x)是[a, b]上的可积函数，k1和k2是常数，则有∫ab(k1f(x)+k2g(x))dx=k1∫abf(x)dx+k2∫abg(x)dx。
2. 区间可加性：若f(x)在[a, b]和[b, c]上都可积，则有∫ac f(x)dx=∫ab f(x)dx+∫bc f(x)dx。
3. 积分的保号性：若在[a, b]上有f(x)≥0，则∫ab f(x)dx≥0。
4. 积分的单调性：若在[a, b]上有f(x)≥g(x)，则∫ab f(x)dx≥∫ab g(x)dx。
五、定积分的计算方法1. 几何法：通过几何图形的面积来计算定积分，通常使用在能够用几何图形表示的函数上，例如多项式函数。
2. 积分表法：通过积分表中的已知积分公式，来计算定积分，通常用于一些常见函数。
3. 定积分的换元积分法：通过变量替换的方法来进行定积分的计算，通常适用于需要进行一定变量替换后才能计算的函数。
4. 定积分的分部积分法：通过分部积分的方法来进行定积分的计算，通常适用于需要进行一定的分部积分后才能计算的函数。
六、定积分的应用定积分在数学和物理学中有着极其重要的应用，例如计算曲线下面积、求解函数的平均值、求解体积、求解质量、质心和弧长等。
在数学中，定积分是微积分的基础，它还被广泛应用于概率统计、微分方程、傅立叶变换等领域。
在物理学中，定积分被用来求解各种场和力的功、能量、质心等问题。
定积分知识点
定积分知识点定积分是微积分中非常重要的概念之一。
它在实际问题的建模和求解中起着至关重要的作用。
本文将介绍定积分的基本定义、性质以及一些常见的应用。
1. 定积分的基本定义定积分是函数积分学的重要概念，它可以将函数的定义域上的函数值从一个点到另一个点的累加。
设函数f(x)在闭区间[a, b]上有定义，将[a, b]分成n个小区间，其中第i个小区间的长度为Δx_i，选择每个小区间中任意一点ξ_i，称为取样点。
则定义Δx_i乘以f(ξ_i)的和对应的极限值，当区间的个数趋向于无穷大时，即Δx_i趋于0，就得到了函数f(x)在闭区间[a, b]上的定积分。
定积分的数值即为积分的结果。
2. 定积分的性质定积分具有一些重要的性质，下面我们简要介绍其中的几个。
2.1 可加性设函数f(x)在区间[a, b]上可积，如果将该区间分成两个子区间[a, c]和[c, b]，则有定积分的可加性质，即∫[a, c]f(x)dx + ∫[c, b]f(x)dx = ∫[a, b]f(x)dx。
这个性质可以推广到多个子区间的情况。
2.2 线性性质定积分还具有线性性质。
即对于任意的实数k、l，函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，则有∫[a, b](k*f(x) + l*g(x))dx = k * ∫[a,b]f(x)dx + l * ∫[a, b]g(x)dx。
2.3 积分中值定理如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则存在一个点ξ∈[a, b]，使得∫[a, b]f(x)dx = f(ξ) * (b - a)。
这个定理说明了定积分与函数在区间上的平均值的关系。
3. 定积分的应用定积分在各个领域都有广泛的应用。
下面我们介绍一些常见的应用。
3.1 几何应用通过定积分可以计算曲线与坐标轴所围的区域面积。
例如，如果给定函数f(x)，在区间[a, b]上，可以通过定积分∫[a, b]f(x)dx来计算曲线y=f(x)与x轴之间的面积。
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多加了 k 个新分店，则
S( , f ) S( ', f ) S( , f ) k || ||, S( , f ) S( ', f ) S( , f ) k || ||,
这里 M m, M , m 分别为 f 在[a,b]上的上、下确界.
推论 2 设 f(x)在[a,b]上有界. 对于任意两个分割 , ' ，有
定理 对于 f(x)在[a,b]上的有界函数，则有
lim S( , f ) I , lim S( , f ) I.
|| ||0
|| ||0
3.函数可积分条件 设 f(x)在[a,b]上有界，下列命题等价：
(1)f(x)在[a,b]可积；
(2) I I;
n
(3)对于[a,b]上的任何一个分割
n
n
S ( , f ) M i (xi xi1), S ( , f ) mi (xi xi1)
i 1
i 1
S( , f ) 称为 f(x)相应于分割 π 的达布上和， S( , f ) 称为 f(x)相应于分割 π 的达布下
和
特别地，当 f(x)连续时，这些和就直接是相应于任意分割法的积分和的最小者和最
原函数，则上述公式化为
b f (x)dx f ( )(b a), (a,b) a
这一类公式称之为积分中值公式，它显示出一个函数的定积分可以通过其自身进行
表达和估算.
上述公式的几何意义可以从面积的意义来考察：设 f(x)是[a,b]上的正值连续函数，则 公式左边的面积与右边表达式所代表的举矩形面积相等，而矩形的高 f ( ) 正是 f(x) 在
b
1 定积分中变量替换公式 设要计算积分 f (x)dx ，这里 f(x)是在区间[a,b]内连续的.
大一高数定积分知识点
大一高数定积分知识点定积分是高等数学中重要的概念之一，它在函数积分和几何应用等方面有着广泛的应用。
本文将介绍大一高数课程中涉及的定积分的基本定义、性质和计算方法等知识点。
一、定积分的定义定积分是对函数在某个区间上的积分操作。
设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将[a, b]区间分为n个小区间，每个小区间的长度为Δx，选择任意一点ξi（i=0,1,2,...,n-1）作为小区间的代表点，那么可以得到定积分的定义式：∫[a, b] f(x) dx = lim(n→∞) Σ[f(ξi) Δx]二、定积分的性质1. 线性性质：若f(x)和g(x)在[a, b]上可积，k是任意常数，则有以下性质：∫[a, b] [f(x) ± g(x)] dx = ∫[a, b] f(x) dx ± ∫[a, b] g(x) dx∫[a, b] kf(x) dx = k∫[a, b] f(x) dx2. 区间可加性：若f(x)在[a, b]和[b, c]上可积，则有：∫[a, c] f(x) dx = ∫[a, b] f(x) dx + ∫[b, c] f(x) dx3. 保号性：若f(x)在[a, b]上可积，且f(x)≥0，则有：∫[a, b] f(x) dx ≥ 0三、定积分的计算方法1. 基本积分表：常见初等函数的不定积分公式可以作为定积分计算的基础，如指数函数、三角函数等。
2. 用定积分的定义计算：当函数f(x)在区间[a, b]上无法用常见初等函数的公式表示时，可以通过定积分的定义进行计算。
3. 函数的几何意义：定积分可以表示函数f(x)与x轴所围成的平面图形的有向面积，如函数图像位于x轴下方时，定积分为负值。
4. 计算公式和性质：- 定积分中常用的计算公式有换元法、分部积分法等。
- 定积分与不定积分之间有着重要的联系，如牛顿-莱布尼茨公式：若F(x)是f(x)的一个原函数，则有∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)。
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定积分知识点
定积分知识点
1.定积分的概念：一般地，设函数()f x 在区间[,
]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L
将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b a
x n
-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：
1
1
()()n
n
n i i i i b a
S f x f n
ξξ==-=∆=∑∑
如果x D 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()b
a S f x dx =⎰，
其中-⎰积分号，b －积分上限，a －积分下限，()f x －被积函数，x －积分变量，[,]a b －积分区间，()f x dx －被积式。
说明：（1）定积分()b
a f x dx ⎰是一
个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）记为()b
a
f x dx ⎰,而不是
n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()n
i i b a
f n
ξ=-∑
；④取极限：()
1
()lim n
b
i a
n i b a
f x dx f n
ξ→∞
=-=∑⎰
;（3）曲边图形面积：()b a S f x dx =⎰；变速运动路
程2
1
()t t S v t dt =⎰；变力做功()b
a
W F r dr =⎰
2．定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间[],
a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()b
a f x dx ⎰表示由直线
,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边
梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分()b
a
f x dx ⎰的几何意义。
说明：一般情况下，定积分()b
a
f x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形
以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在
x 轴下方的面积去负号。
分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。
考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆++∆L L 不妨设1(),(),,()0i i n f x f x f x +<L
于是和式即为
()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -∆+∆++∆--∆++-∆L L
()b
a f x dx ∴=⎰阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面
积）
3．定积分的性质 性质1()b
a kdx k
b a =-⎰；
性质2()()()b b
a
a
kf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数（定积分的线性性质）；
性质31212[()()]()()b b b
a
a
a
f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰（定积分的线性性质）；
性质4()()()()b c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可
加性）
(1) ()()b
a
a
b
f x dx f x dx =-⎰⎰； (2) ()0a
a
f x dx =⎰；
说明：①推广：
1212[()()()]()()()b
b b b
m m a
a
a
a
f x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰
⎰⎰⎰L L
②推广:12
1
()()()()k
b
c c b
a
a
c c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰L
4.微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：
⎰
-==b
a
b a a F b F x F dx x f )()(|)()(
（熟记'⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+11n x x n n （1-≠n ），()'=x x ln 1，()'-=x x cos sin ，()'=x x sin cos ，'⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=a a a x
x ln ，()'=x x e e ）
巩固训练题
一．选择题：
1． 5
0(24)x dx -⎰=（ ） A ．5 B. 4 C. 3 D. 2
2． 2
11ln xdx x ⎰
=（ ） A ．21
ln 22 B. ln 2 C. 2ln 2 D.ln 2 3． 若11
(2)3ln 2a x dx x
+=+⎰，且a ＞1，则a 的值为（ ）A ．6 B.4 C.3 D.2
4． 已知自由落体运动的速率v=gt ，则落体运动从t=0到t=t 0所走的路程为（ ）
A ．203gt
B ．2
0gt C ．202gt D ．206
gt
5.由抛物线x y =2
和直线
x =1所围成的图形的面积等于（ ）
A ．1
B ．
3
4
C ．
3
2
D ．31
6.如图，阴影部分的面积是（ )
A ．32
B ．329-
C ．332
D ．3
35
7.320|4|x dx -⎰=（ ）A ．321 B ．322 C ．323 D ．325 8． dx e e x x ⎰-+10)(=（ ）A ．e
e 1+ B ．2e C ．e 2 D ．e e 1-
9．曲线]2
3
,0[,cos π∈=x x y 与坐标轴围成的面积（ ）
第6题图
A ．4
B ．2
C ．
2
5
D ．3
10．230(2cos 1)2
x dx π
-⎰=（ ） A ．1
2
- C.12 二．填空题：
11.若20(345)a
x x dx +-⎰=a 3-2（a ＞1），则a=
12.曲线2x y =与直线2+=x y 所围成的图形的面积等于 13.由曲线22y x =-与直线y x =-所围成的平面图形的面积为
14.已知弹簧每拉长0. 02 米要用9. 8N 的力，则把弹簧拉长0. 1米所作的功为
15.2
-=
⎰
三．计算下列定积分的值
16.
⎰--3
12
)4(dx x x ； 17. dx x x ⎰+2
)sin (π
； 18. dx x ⎰π
π222
cos ;
19．4x ⎰; 20.(cos 5sin 2)d a
a x x x x --+⎰ 21. 12
2
32
(9)x x dx -⎰;
四．解答题：
22.设)(x f y =是二次函数，方程0)(=x f 有两个相等的实根，且
22)(+='x x f ．
（1）求)(x f 的表达式．（2）若直线)10(<<-=t t x 把)(x f y =的图象与坐标轴所围成的图形的面积二等分，求t 的值．
23. 求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积．
答案：AADCB ，CCDDD ；11.2；12.29;13.2
9
;14.变力函数为F = 490x ．于是所求的功为
2
0.10.10
490490()
2.45 2
x W xdx ===⎰
（J ）;15. 2π; 16. 20
3；17.2
18π+；18.2
14-π;
19. 提示：3
2221()32
x x x '+=;271
6;20. 提示：(sin 6cos 2)cos 5sin 2x x x x x x x '++=-+，
4a;
21. 提示：31
32322
2((9))(9)9
x x x '--=-，529;22. （1）12)(2++=x x x f ；（2）
3
2
11-=t ．
23. 首先求出函数x x x y 223++-=的零点：11-=x ，02=x ，23=x .又易判断出在
)0 , 1(- 内，图形在x 轴下方，在)2 , 0(内，图形在x 轴上方，所以所求面积为
dx x x x A ⎰
-++--
=0
1
23)2(dx x x x ⎰
++-+
2
23)2(12
37=。