同余法解不定方程(1)

同余法解不定方程

1.求证:方程03522

2

=++-z xy x 无整数解.

证明:由03522

2

=++-z xy x 得35)(4

2

2--=-z y y x . 由于002≡ )5(mod ； 004

≡ )5(mod ； 112≡ )5(mod ； 114≡ )5(mod ； 422≡ )5(mod ； 124≡ )5(mod ； 432≡ )5(mod ； 134

≡ )5(mod ； 142≡ )5(mod ； 144≡ )5(mod .

因此,对任意的整数y 都有2354

≡--z y 或3 )5(mod .

但,对任意的整数y x ,,都有0)(2

2≡-y x 或1或4 )5(mod .故,原方程无整数解. 2.求证:方程19994

144

24

1=+++x x x 无整数解.

证明:由于对任意整数k ,都有11)1(8)1(16)12(2

2

4

≡++++=+k k k k k )16(mod , 对任意整数k ,都有016)2(44

≡=k k )16(mod . 因此,对任意整数x ,都有04

≡x 或1 )16(mod .

所以,对任意整数1421,,,x x x ,都有14,,2,1,04

144

24

1 ≡+++x x x )16(mod . 但,151999≡ )16(mod .故,原方程无整数解. 3.求证:方程20123

3

3

=++z y x 无整数解. 证明:由于0)3(9)3(3

3

≡⋅=k k )9(mod ；

11)33(9)13(2

3

3

≡+++⋅=+k k k k )9(mod ； 18)463(9)23(2

3

3

-≡+++⋅=+k k k k )9(mod .

因此,对任意整数x ,都有1,1,03

-≡x )9(mod .

所以,对任意整数z y x ,,,都有3,2,1,3,2,1,03

3

3

---≡++z y x )9(mod ,也即是对任意整数z y x ,,,都有8,7,6,3,2,1,03

3

3

≡++z y x )9(mod .但,52012≡ )9(mod .故,原方程无整数解.

4.求方程z

y x 543=+的所有正整数解.

解:由11043≡+≡+y x )3(mod 得1)1(5≡-≡z z )3(mod ,故z 为偶数,可设m z 2=,*

N m ∈. 由15≡z )4(mod 得10)1(43≡+-≡+x y x )4(mod ,故x 为偶数,可设n x 2=,*

N n ∈. 故可得)35)(35(4n

m n m y +-=.

又由于2)32,35()35,35(=⨯+=+-n

n m n m n m ,因此有⎪⎩⎪⎨⎧=+=--1

22

352

35y n m n m . 从而有)12)(12(123112

2+-=-=---y y y n .

又由于1)2,12

()12,12

(1

1

1

=+=+----y y y ,因此有⎪⎩⎪⎨⎧=+=---n

y y 3

121

1211

.解得1,2==n y . 所以,方程有唯一的正整数解2=x ,2=y ,2=z . 5.求方程z

y x 17158=+的所有正整数解.

解一:由117≡z )4(mod 得1)1(0158≡-+≡+y y x )4(mod ,故y 为偶数,可设k y 2=,*

N k ∈. 由于331≡ )7(mod ；232≡ )7(mod ；633

≡ )7(mod ； 434≡ )7(mod ；535≡ )7(mod ；136

≡ )7(mod ,

以及2158≡+y x )7(mod ,因此有2317≡≡z

z )7(mod .故26+=n z ,N n ∈. 故可得)1517)(1517

(8131

3k n k n x

+-=++.

又由于2)172,1517()1517,1517(1

3131313=⨯+=+-++++n k n k n k n ,因此有⎪⎩

⎪⎨⎧=+=--++1

313132151721517x k n k

n . 从而有12

152

3-=-x k .又由于015≡k )3(mod ,因此可得1223≡-x )3(mod ,故23-x 为偶数,于

是可设m x 223=-,*

N m ∈.因此,有)12)(12(1212

1522

3+-=-=-=-m m m x k

.

又由于1)2,12()12,12(=+=+-m

m

m

,因此有⎪⎩⎪⎨⎧=+=-k m m 1512112或⎪⎩⎪⎨⎧=+=-k

m k

m 5123

12. 而⎪⎩⎪⎨⎧=+=-k m m 1512112无整数解,且由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-k

m k

m 5

123

12解得1,2==k m . 所以,方程有唯一的正整数解2=x ,2=y ,2=z .