同余法解不定方程(1)

同余法解不定方程
1.求证:方程03522
2
=++-z xy x 无整数解.
证明:由03522
2
=++-z xy x 得35)(4
2
2--=-z y y x . 由于002≡ )5(mod ； 004
≡ )5(mod ； 112≡ )5(mod ； 114≡ )5(mod ； 422≡ )5(mod ； 124≡ )5(mod ； 432≡ )5(mod ； 134
≡ )5(mod ； 142≡ )5(mod ； 144≡ )5(mod .
因此,对任意的整数y 都有2354
≡--z y 或3 )5(mod .
但,对任意的整数y x ,,都有0)(2
2≡-y x 或1或4 )5(mod .故,原方程无整数解. 2.求证:方程19994
144
24
1=+++x x x 无整数解.
证明:由于对任意整数k ,都有11)1(8)1(16)12(2
2
4
≡++++=+k k k k k )16(mod , 对任意整数k ,都有016)2(44
≡=k k )16(mod . 因此,对任意整数x ,都有04
≡x 或1 )16(mod .
所以,对任意整数1421,,,x x x ,都有14,,2,1,04
144
24
1 ≡+++x x x )16(mod . 但,151999≡ )16(mod .故,原方程无整数解. 3.求证:方程20123
3
3
=++z y x 无整数解. 证明:由于0)3(9)3(3
3
≡⋅=k k )9(mod ；
11)33(9)13(2
3
3
≡+++⋅=+k k k k )9(mod ； 18)463(9)23(2
3
3
-≡+++⋅=+k k k k )9(mod .
因此,对任意整数x ,都有1,1,03
-≡x )9(mod .
所以,对任意整数z y x ,,,都有3,2,1,3,2,1,03
3
3
---≡++z y x )9(mod ,也即是对任意整数z y x ,,,都有8,7,6,3,2,1,03
3
3
≡++z y x )9(mod .但,52012≡ )9(mod .故,原方程无整数解.
4.求方程z
y x 543=+的所有正整数解.
解:由11043≡+≡+y x )3(mod 得1)1(5≡-≡z z )3(mod ,故z 为偶数,可设m z 2=,*
N m ∈. 由15≡z )4(mod 得10)1(43≡+-≡+x y x )4(mod ,故x 为偶数,可设n x 2=,*
N n ∈. 故可得)35)(35(4n
m n m y +-=.
又由于2)32,35()35,35(=⨯+=+-n
n m n m n m ,因此有⎪⎩⎪⎨⎧=+=--1
22
352
35y n m n m . 从而有)12)(12(123112
2+-=-=---y y y n .
又由于1)2,12
()12,12
(1
1
1
=+=+----y y y ,因此有⎪⎩⎪⎨⎧=+=---n
y y 3
121
1211
.解得1,2==n y . 所以,方程有唯一的正整数解2=x ,2=y ,2=z . 5.求方程z
y x 17158=+的所有正整数解.
解一:由117≡z )4(mod 得1)1(0158≡-+≡+y y x )4(mod ,故y 为偶数,可设k y 2=,*
N k ∈. 由于331≡ )7(mod ；232≡ )7(mod ；633
≡ )7(mod ； 434≡ )7(mod ；535≡ )7(mod ；136
≡ )7(mod ,
以及2158≡+y x )7(mod ,因此有2317≡≡z
z )7(mod .故26+=n z ,N n ∈. 故可得)1517)(1517
(8131
3k n k n x
+-=++.
又由于2)172,1517()1517,1517(1
3131313=⨯+=+-++++n k n k n k n ,因此有⎪⎩
⎪⎨⎧=+=--++1
313132151721517x k n k
n . 从而有12
152
3-=-x k .又由于015≡k )3(mod ,因此可得1223≡-x )3(mod ,故23-x 为偶数,于
是可设m x 223=-,*
N m ∈.因此,有)12)(12(1212
1522
3+-=-=-=-m m m x k
.
又由于1)2,12()12,12(=+=+-m
m
m
,因此有⎪⎩⎪⎨⎧=+=-k m m 1512112或⎪⎩⎪⎨⎧=+=-k
m k
m 5123
12. 而⎪⎩⎪⎨⎧=+=-k m m 1512112无整数解,且由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-k
m k
m 5
123
12解得1,2==k m . 所以,方程有唯一的正整数解2=x ,2=y ,2=z .
解二:由117≡z )4(mod 得1)1(0158≡-+≡+y
y x )4(mod ,故y 为偶数,可设n y 2=,*N n ∈. 由117≡z
)16(mod 得182258158+≡+≡+x
n x y x )16(mod ,故2≥x . 从而有1102250158≡+≡+≡+n
y
x
)32(mod . 而128917
2≡=k k
)16(mod ,17289171712≡⋅=+k k )16(mod ,故z 为偶数,设m z 2=,*N m ∈.
所以有)1517)(1517(8n
m
n
m
x
+-=.
又由于2)172,1517()1517,1517(=⋅+=+-m
n m n m n m ,因此有⎪⎩
⎪⎨⎧=+=--1
32151721517x n m n m . 从而有12
152
3-=-x n .又由015≡n )3(mod 可得1223≡-x )3(mod ,故23-x 为偶数,于是可设
k x 223=-,*N k ∈.因此,有)12)(12(121215223+-=-=-=-k k k x n .
又由于1)2,12()12,12(=+=+-k
k k ,因此有⎪⎩⎪⎨⎧=+=-n k k 1512112或⎪⎩
⎪⎨⎧=+=-n
k n
k 5123
12. 而⎪⎩⎪⎨⎧=+=-n k k 1512112无整数解,且由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-n
k n
k 5
123
12解得1,2==n k . 所以,方程有唯一的正整数解2=x ,2=y ,2=z . 6.求方程2
53z y x =-的所有正整数解.
解:由题意易得z 为偶数,故有01)1(53≡--≡-x y x )4(mod ,从而有x 为偶数,可设n x 2=,*
N n ∈. 所以有)3)(3(5z z n
n y +-=.
由z 为偶数知z n -3与z n +3均为奇数；由y
x 53-不是3的倍数知z 不是3的倍数.
所以有1)3,32()3,3(=+⋅=+-z z z n
n n n ,故⎪⎩⎪⎨⎧=+=-y
n n
z z 5
313,从而有n
y 3215⋅=+. 显然,当1=n 时,可得原方程有解2=x ,1=y ,2=z .以下证明当2≥n 时,原方程无整数解: 由于2≥n ,因此有032≡⋅n )9(mod ,故可得85≡y
)9(mod . 由于551
≡ )9(mod ；752
≡ )9(mod ；853
≡ )9(mod ； 454
≡ )9(mod ；255
≡ )9(mod ；156
≡ )9(mod , 因此有36+=k y ,N k ∈,即1125
151
2+=++k y
.故)1125(|12612++k ,从而可得)1125(|712++k .
但,n
32⋅不能被7整除.故当2≥n 时,原方程无整数解. 综上可知,原方程有唯一正整数解2=x ,1=y ,2=z . 7.求方程z
y x 5132=+⋅的所有正整数解.
解:由110132≡+≡+⋅y x )3(mod 可得1)1(5≡-≡z z )3(mod ,故z 为偶数,可设m z 2=,*
N m ∈. 所以有)15)(15(32+-=⋅m m y x .又由于2)2,15()15,15(=+=+-m
m m ,因此有以下四种情况:
(1)⎪⎩⎪⎨⎧⋅=+=--y x m m 32152151；(2)⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅=--21532151m y x m ；(3)⎪⎩⎪⎨⎧⋅=+=--y m x m 32152151；(4)⎪⎩
⎪⎨⎧=+⋅=--1
2153215x m y m . 显然,情况(1),(2)均无正整数解. 对情况(3),消m 得1232
=--x y
.当3=x 时,原方程有解3=x ,1=y ,1=z ；以下证明当4≥x 时,方
程12
32
=--x y
无正整数解,从而知原方程在当4≥x 时无正整数解.
由于4≥x ,因此有1)1(232
≡-≡--y x y
)4(mod ,故y 为偶数,可设n y 2=,*N n ∈.
从而有)13)(13(2
2
+-=-n n x .
又由2)2,13()13,13(=+=+-n n n 得⎪⎩⎪⎨⎧=+=--3
2
13213x n n
,解得⎩⎨⎧==51x n ,但162151
==--x m 无整数解. 所以,对于情况(3),原方程有唯一正整数解3=x ,1=y ,1=z . 对情况(4),消m 得1322
=--y x .由1)1(322≡-≡--x y x )3(mod 知x 为偶数,可设k x 2=,*N n ∈.
从而有)12)(12(311
+-=--k k y
.
又由1)2,12
()12,12
(1
1
1=+=+----k k k 得⎪⎩⎪⎨⎧=+=----1
11
3
12112y k k ,故⎩⎨⎧==22y k ,但183215=⋅=-y
m 无整数解. 所以,对于情况(4),原方程无正整数解.
综上可知,原方程有唯一正整数解3=x ,1=y ,1=z . 巩固练习:1.求证:方程5
2
4y x =+无整数解. 2.求方程y
x 26152=+的所有正整数解.
3.求所有的正整数y x ,,使得y
x 73+是完全平方数. 4.求所有大于1的正整数y x ,,及质数p ,使得1|2|=-y
x
p .。