一维谐振子

视为 的某一特定函数H ( ) ，假设方程的解为
H( )e2/2
H ( ) 在 有限时应该有限，在 时 它的行为也必须保证波函数有限。
代回薛定谔方程，得到待定系数H ( )满足的方程
d2H
d 2
2
dH
d
(
1)H
0
(2.7.2)
2.7 一维谐振子
其中： 2E / h
对 H ( ) 作泰勒展开
2.7 一维谐振子
本节我们来讨论一维谐振子问题。 一维谐振子的哈密顿量为：
Hˆ
h2 2m
d2 dx2
1 2
m 2 x2
满足的定态定谔方程为：
h2 d 2 1 m2 x2 E
2m dx2 2
2.7 一维谐振子
为方便求解，引入系数：
x, m , 2E
h
h
则方程可改写为：
d 2 d 2
式中归一化常数 Nn 为：
Nn 2n n!
由（2.7.2）可见，一维谐振子的能量也是
量子化的，并且能量间隔相等，为 h 。
一维谐振子基态能量：E0
1 2
h
叫零点能。
2.7 一维谐振子
经典与量子的比较
1、按经典力学的结论，一维谐振子的能量如图
谐振子只能处于
x A 的范围内，
M
x A 的区域则是
(
2 )
0
2.7 一维谐振子
这是一个变系数的二阶常微分方程，当 很
大时， = 2，上式中的 可略去。从而，得
到上式的渐进方程
d 2 d 2
2
0
其解 Ae2/2就是原方程的解，又由于波函数 在 时的有限性条件，得
:wk.baidu.comAe2/2
2.7 一维谐振子
为了求出在整个空间都合适的解，可以将系数A
时，它趋于无穷的行为永远比e 2 /2趋于
零慢，从而保证了 ( ) 在 是有限。
2.7 一维谐振子
由（2.7.2）可知方程(2.7.1)有解的条件为
1 2n, n 0,1,2,3,L 2.7.3
此时，有
d 2Hn
d 2
2
dH n
d
2nHn
0
这是厄米方程，其解为厄米多项式。
2.7 一维谐振子
1 2n n!
e 2
f
( )Hn ( )d
2.7 一维谐振子
由式（2.7.1）即可得能量本征值 E为：
En
(n
1 )h
2
n 0,1, 2,3,L
2.7.4
n叫振动量子数。
相应的 Hn ( ) 为
Hn ( ) (1)n e 2
dn
d n
e 2
2.7 一维谐振子
从而其波函数为：
1 2x2
n (x) Nne 2 Hn ( x)
可由
H ( ) a 0
avv(v 1) v2 2 a 1 ( 1) a 0
v
得
a 2
2 ( 1)(
1 2)
a
(2.7.2)
2.7 一维谐振子
当
时，H ( )的渐进行为是
a 2 a
2
与 e 2的渐进行为相同。
若H ()为无穷级数时， ( ) 在 时将趋向无穷 大。为了在 时，波函数仍有限，H() 必 须断为多项式。因为如果 H()是多项式，当
经典禁区。
U (x)
E
N
x
A
0
A
2.7 一维谐振子
而在量子力学中，由于隧道效应，粒子可以 到达经典禁区，也就是说在所谓经典禁区内 发现粒子的概率不为零。 2、按经典力学的规律，在 x 0处振子的速度最
大停留时间最短，在 x A处振子的速度为 零停留时间最长。将这一规律应用于微观粒 子，自然会得到在 x 0 处粒子出现的概率 最小，而在x A处粒子出现的概率最大。
厄米多项式有三种重要表示： 1.级数表示：
n
H n ( )
2 k 0
(1)k n! (2 )n2k
k !(n 2k )!
式中
n 2
n 2
,
n
2
1
,
2.7 一维谐振子
2.积分表示：
Hn ( )
2n
( it)n et2 dt
3.微分表示：
Hn ( )
(1)n e 2
dn
d n
而实际情况如何呢？
2.7 一维谐振子
由 n 0,1,2 时的波函数及概率密度的图：
0
n0
1
n 1
2
n2
0 2
n0
x
n 1
x
x
1 2
n2
2 2
x
x
x
2.7 一维谐振子
可以看出，在量子数n 较小的时候，粒子位置
的概率密度的分布与经典结论明显不同。
可以推断，随着量子数 n 的增大，概率密度
的平均值将越来越接近经典结论。
e 2
2.7 一维谐振子
厄米多项式具有如下性质：
1.递推关系：
Hn
(
)
1 2
H n1 (
)
nH n 1 (
)
2.微分性质：
dH
d
2nH n1( )
2.7 一维谐振子
3.正交归一性：
e
2
H
n
(
)H
n
'
(
)
d
2n n!
nn
4.完备性：
f ( ) cnHn ( ) 0
式中的展开系数为：
cn