矩阵表示 对偶问题 理论 影子价格

因此，由对偶定理可得所求问题的对偶问题的最优解为：
0 2 0.5
1/ 4 0.5 1/ 8
0 1 . 0
单纯形法的矩阵描述
由此可见：单纯形法的计算过程中，各部分的数字都是用 基的逆矩阵来进行计算的。因此，单纯形法的计算机实现 的关键步骤是对基的逆矩阵的计算。
线性规划的单纯形法
x1 x l x m x m 1 xmt xn b
' ' ' ' 1 a1 a a b ,m 1 1, m t 1, n 1 1 a l' ,m 1 a l' ,m t a l' ,n bl' ' ' ' ' 1 a a a b m , m 1 m , m t m , n m
单纯形法的矩阵计算
基的逆B-1的计算
1 Bnew
1 0 0
a '1,m t / a 'l .m t 1/ a 'l .m t a 'm,m t / a 'l .m t
0 0 B 1 1
（4）求改进了的基本可行解 以x3为换入变量，x4为换出变量，将换入变量x3所在的列变 为
1
3 / 5 1/ 5 2 1 0 2 / 5 3 / 5 1/ 5 17 / 5 1 B N B b 1/ 5 2 / 5 4 0 1 6 / 5 1/ 5 2 / 5 6 / 5
1
线性规划问题的对偶问题
对偶问题的基本性质
对偶问题的基本性质
例
已知用单纯形法求解下述线性规划问题所得最终表如下，试确
定该问题的对偶问题的最优解.
m axz 2 x 1 3 x 2 x1 2 x 2 8 16 4 x1 s .t. 4 x 2 12 x1 , x 2 0
对偶问题的基本性质
XB x1 x5 x2 -z x1 1 0 0 0 x2 0 0 1 0 x3 x4 0 1/4 -2 0.5 0.5 -1/8 -3/2 -1/8 x5 0 1 0 0 b R 4 4 2 -14
其中 x3, x4, x5 为 松弛变量。
解: 由已知得 CB=(2 0 3),
B 1
1
1/ 2 0 1 2 1 1/ 2 1 1/ 2 4 1 B N B b 1/ 2 1 3 4 0 5 / 2 3 1/ 2 3
1
（4）求改进了的基本可行解 以x1为换入变量，x5为换出变量，将换入变量x1所在的列变 为
线性规划问题的对偶问题
对称性形式的对偶关系
m inw ( y1 0) ( y 2 0) ( y m 0) y1 y2 ym ( x1 0) x1 a11 a 21 a m1 c1 m ax z ( x 2 0) x2 a 12 a 22 am2 c2 ( x n 0) xn a 1n b1 a 2n b2 a mn bm cn
1/ 3 1/ 3
，替换二阶单位矩阵中的第2列，得
1 1/ 3 E 0 1/ 3
故新的可行基的逆为
1 1/ 5 1/ 2 0 3 / 5 1/ 5 B 0 2 / 5 1/ 2 1 1/ 5 2 / 5
m axz 60x 1 30x 2 20x 3
8 x 1 6 x 2 x 3 48 4 x 2 x 1.5 x 20 1 2 3 s.t. 2 x 1 1.5 x 2 0.5 x 3 8 x 1 , x 2 , x 3 0
8 y 1 4 y 2 2 y 3 60 6 y 2 y 1.5 y 30 1 2 3 s.t. y 1 1.5 y 2 0.5 y 3 20 y 1, y 2 , y 3 0
1/ 2 1/ 2
，替换二阶单位矩阵中的第1列，得
1/ 2 0 E 1/ 2 1
故新的可行基的逆为
1/ 2 0 1 0 1/ 2 0 B 1/ 2 1 0 1 1/ 2 1
线性规划问题的对偶问题
•
非对称性关系
max z CX AX b s.t. X O
min w Y T b s.t. A TY C T
练习：
m ax z 6x 1 + 8x 2 3x 1 x 2 s.t .5x 1 2x 2 x , x2 , 1
设X是 原 问 题 的 可 行 解 ， Y是 对 偶 问 题 的 可 行 解 . 如 果CX Y T b, 则X是 原 问 题 的 最 优 解 Y， 是对偶问题的最优解。
证明：由弱对偶性易得。
对偶定理
若原问题有最优解，相应的最优基为 B, 则对偶问题也有最优解，且最 优解为 (CBB -1)T ；并且目标函数值相等，均为 CBB-1b .
maxZ 2 x1 3 x 2 11 / 3 x 3 s.t. x1 x 2 x 3 135 x1 4 x 2 7 x 3 405 x1 , x 2 , x 3 0.
线性规划问题的对偶问题
例2 若该工厂想要出租这两台机器，那么该工厂应 该如何确定合理的租金呢？
(Dual Problems)
1. 对偶问题的提出 (Dual Problem)
例1 某工厂用两台机器生产三种产品,有关数据如下表:
机器 I 机器 II 利润
甲(m) 1 1 2
乙(m) 1 4 3
丙(m) 1 7 11/3
限制条件 135 405
如何组织生产，使总利润最大？ x1 , x2 , x3 ------分别生产甲、 乙、丙产品的数量
对偶理论与灵敏度分析
(Dual Theories and Sensitivity Analysis)
单纯形法的矩阵描述 线性规划的对偶问题 对偶问题的基本性质 对偶问题的经济解释 对偶单纯形法 灵敏度分析
----影子价格
单纯形法的矩阵描述
考虑线性规划问题的标准型
m axz CX AX b s .t. X 0
XB XB -z
XB I 0
XN B-1N CN - CB B-1N
b B-1b - CB B-1b
单纯形法的矩阵描述
初始单纯形表中单位矩阵的位置： B-1 单纯形表中变量 xj 的系数列向量 ： B-1aj 单纯形表中约束方程的右端项： B-1b
单纯形表中目标函数值： CBB-1b
单纯形表中变量 xj 的检验数 ： Cj - CBB-1aj
不可行 y1 , y2 0
s.t. 3 x1 2 x2 3
原
min wBaidu Nhomakorabea 3 y1 2 y2
对偶
x1 x2 2 x1 , x2 0 无界
s.t. 3 y1 y2 1 2 y1 y2 1 y1 , y2 0 不可行
对偶问题的基本性质
可行解是最优解时的性质
令 A=(B N)
(LP)
A Rmn, R(A)=m .
X=(XB XN)T C=(CB CN)
可行基
相应于非基变量的系数矩阵
单纯形法的矩阵描述
max z C B X B C N X N BX B NX N b s.t. X B , X N 0
矩阵形式的单纯形表
max z C B B 1 b (C N C B B 1 N ) X N X B B 1 NX N B 1 b s.t. X B , X N 0
对偶问题的基本性质
无界性
若原(对偶)问题有无界解，则对偶(原)问题无可行解.
max z x1 x2
min w y1 y2 s.t. y1 y2 1 y1 y2 1
原
s.t. x1 x2 1 x1 x2 1
对偶
不可行 x1 , x2 0 max z x1 x2
m 个约束
线性规划问题的对偶问题
例 4 求下列问题的对偶问题
maxz 2 x1 x 2 x1 x 2 2 2 x1 x 2 3 s.t. x x2 1 1 x1 0, x 2自 由 变 量
min w 2 y 1 3 y 2 y 3 y 2y 2 y 3 2 1 s.t. y 1 y 2 y 3 1 , y 2 0, y 3 0 y 1自 由 变 量
x3 x3 , x4 x4

4 7 0
线性规划问题的对偶问题
原问题与对偶问题对偶关系对照表 原 (对偶) 问题 目标函数 max z=CX n 个变量 ≥0 ≤0 自由变量 ≤ AX ≥ b = 对偶 (原) 问题 目标函数 min w=YTb ≥ n 个约束 ATY ≤ CT = ≥0 m 个变量 ≤0 自由变量
线性规划问题的对偶问题
2. 原问题与对偶问题的关系
m ax z CX minw Y Tb T T AX b A Y C s.t. X O s.t. Y O 例 3 求下列问题的对偶问题 min w 48 y 1 20 y 2 8 y 3
•
对称性关系
对偶问题的基本性质
考虑对称性关系的对偶：
原问题 max Z CX AX b s.t.. X 0
对偶问题 m i nw Y T b AT Y C T s .t. Y 0
对称性
对偶问题的对偶是原问题。
对偶问题的基本性质
对偶问题的基本性质
弱对偶性
若X是 原 问 题 的 任 意 可 行 ， 解 Y是 对 偶 问 题 的 任 意 可 解 行. 则 有 z cX Y b w
初等 变换
线性规划的单纯形法
x1 xl xm x m 1 xmt xn b
' ' ' a1' ,m t a a b l , m 1 l , n ' ' ' ' ' ' l 1 ' a1,m 1 ' a1,m t 0 a1,n ' a1,m t b1 ' a1,m t a l ,m t a l ,m t a l ,m t a l ,m t ' ' ' a l ,m 1 a l ,n bl 1 1 a l' ,m t a l' ,m t a l' ,m t a l' ,m t ' ' ' ' a m ,m t a l ,m 1 ' a l ,n ' bl ' ' ' ' ' 1 a m , m 1 ' a m , m t 0 a m , n ' a m , m t bm ' a m , m t a l ,m t a l ,m t a l ,m t a l ,m t
minZ 135y1 405y 2
y1 , y2 ---- 机 器 I 与 机 器 II 的每台时的租金
s .t. y1 y 2 2 y1 4 y 2 3 y1 7 y 2 11 / 3 y1 , y 2 0.
• •
例1与例2是一个问题的两个方面 两个线性规划模型是一对对偶问题