矩阵表示 对偶问题 理论 影子价格
合集下载
1 矩阵表示 对偶问题 理论 影子价格
8 16 12
b
单纯形法的矩阵描述
1 0 2 x 1 1 0 8 4 0 0 x 0 0 x 3 16 5 x 0 1 4 x 2 0 1 4 12
解: 把原问题化为标准型
m axz 2 x 1 3 x 2 8 x1 2 x 2 x 3 4 x 1 x4 16 s .t. 4 x2 x 5 12 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 0
单纯形法的矩阵描述
用单纯形法求解如下:
1 0 2 B3 4 0 0 0 1 4
线性规划问题的对偶问题
(Dual Problems)
1. 对偶问题的提出 (Dual Problem)
例1 某工厂用两台机器生产三种产品,有关数据如下表:
机器 I 机器 II 利润
甲(m) 1 1 2
乙(m) 1 4 3
丙(m) 1 7 11/3
8 y 1 4 y 2 2 y 3 60 6 y 2 y 1.5 y 30 1 2 3 s.t. y 1 1.5 y 2 0.5 y 3 20 y 1, y 2 , y 3 0
线性规划问题的对偶问题
对称性形式的对偶关系
m inw ( y1 0) ( y 2 0) ( y m 0) y1 y2 ym ( x1 0) x1 a11 a 21 a m1 c1 m ax z ( x 2 0) x2 a 12 a 22 am2 c2 ( x n 0) xn a 1n b1 a 2n b2 a mn bm cn
B 1 1 / 4 0 0 2 0.5 1 0.5 1 / 8 0
运筹学：对偶理论与敏感性分析-影子价格培训课件
3
x2
2
0
1
1/2
σj
-14
0
0
-1.5
x4
x5
1/4
0
1/2
1
-1/8
0
-1/8
0
若生现产在I该和厂II，从求其此他时地的方最抽优调方4台案时设备用于
b1 增加 4
0 0.25 0 这里 B-1 = -2 0.5 1
0.5 -0.125 0
各列分别对应 b1, b2, b3 的单一变化。 因此，设 b1 增加 4，则 x1, x5, x2 分别变为： 4+0×4=4, 4+(-2)×4=-4<0, 2+0.5×4=4 用对偶单纯形法进一步求解。
用单纯形法继续迭 代 用对偶单纯形法继 续迭代 引入人工变量，编 制新的单纯形表重 新计算
16
价值系数c发生变化： 考虑检验数
j =- cj +∑i = 1, 2, …, m ci a’ij ,
j =1,2,……,n
这里a’ij 为最优单纯形表中的系数，不 同于初始的aij
1. c是非基变量的系数： 2. c是基变量的系数：
j = - cj +∑ ci a’ij ， 若用单j纯≥ 形0，法则求最解优。解不变；否则，进一步
34
2. B 中某一列变化：
稍微复杂些，一般可重新列表计算， 也可以用列替换的方法在原最优单 纯形表上继续进行计算。
例2.10：例2.6中 x2 的系数 P2 改变为( 4, 0, 2 )T， c2 改变为1。
22
例2.6：线性规划
max z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4+ 0x5
2-3影子价格
4.由互补松驰性
当 aij x j bi时, yi 0
j 1
n
n
表明生产过程中如果某种资源 bi 未被充分利用时 , 该种资源的影子价格为0.
当yi 0时, aij x j bi
j 1
又当资源的影子价格不为 0,表明该种资源在生产中已 耗费完毕.
对偶问题的经济解释--影子价格(5)
1 1 1 1
令
N C N CB B N 得
1
（2 2）
（3）借助一个恒等式推出检验数的另一个等价 表达式：
CB CB B B 0
1
C C B B 1 A ( C B
C N ) C B B 1 ( B
1
N)
1
(C B C B B B C N C B B N ) (0 N )
§2.1 线性规划的对偶问题 §2.2 对偶问题的基本性质
原问题（或对偶问题）
目标函数 MaxZ
约束条件数：m个 第i个约束条件类型为“≤” 第i个约束条件类型为“≥” 第i个约束条件类型为“=”
对偶问题（或原问题）
目标函数 MinW
对偶变量数：m个 第i个变量≥0 第i个变量≤0 第i个变量是自由变量
Z * 1 * CB B Y b
对偶问题的经济解释--影子价格(4) 3.资源的影子价格实际上又是一种机会成本.当市场中,某 种资源的市场价格低于影子价格时,可以买进这种资源;相 反当市场价格高于影子价格时,就会卖出这种资源.随着资 源的买进卖出,它的影子价格也随之发生变化,一直到影子 价格与市场价格保持同等水平时,才处于平衡状态.
2 、将分块形式代入矩阵形式标准型， 得出两个基本表达式：
（1）由约束条件
当 aij x j bi时, yi 0
j 1
n
n
表明生产过程中如果某种资源 bi 未被充分利用时 , 该种资源的影子价格为0.
当yi 0时, aij x j bi
j 1
又当资源的影子价格不为 0,表明该种资源在生产中已 耗费完毕.
对偶问题的经济解释--影子价格(5)
1 1 1 1
令
N C N CB B N 得
1
（2 2）
（3）借助一个恒等式推出检验数的另一个等价 表达式：
CB CB B B 0
1
C C B B 1 A ( C B
C N ) C B B 1 ( B
1
N)
1
(C B C B B B C N C B B N ) (0 N )
§2.1 线性规划的对偶问题 §2.2 对偶问题的基本性质
原问题（或对偶问题）
目标函数 MaxZ
约束条件数：m个 第i个约束条件类型为“≤” 第i个约束条件类型为“≥” 第i个约束条件类型为“=”
对偶问题（或原问题）
目标函数 MinW
对偶变量数：m个 第i个变量≥0 第i个变量≤0 第i个变量是自由变量
Z * 1 * CB B Y b
对偶问题的经济解释--影子价格(4) 3.资源的影子价格实际上又是一种机会成本.当市场中,某 种资源的市场价格低于影子价格时,可以买进这种资源;相 反当市场价格高于影子价格时,就会卖出这种资源.随着资 源的买进卖出,它的影子价格也随之发生变化,一直到影子 价格与市场价格保持同等水平时,才处于平衡状态.
2 、将分块形式代入矩阵形式标准型， 得出两个基本表达式：
（1）由约束条件
2.2 对偶理论 2.3对偶问题的经济意义——影子价格
影子价格是经济学中的重要概念，将一个企业拥 有的资源的影子价格与市场价格比较，可以决定是购 入还是出让该种资源。当某资源的市场价格低于影子 价格时，企业应该买进该资源用于扩大生产；而当市 场价格高于影子价格时，则企业的决策者应该将已有 资源买掉。这样获利会更多。在考虑一个地区或一个 国家某种资源的进出口决策中，资源的影子价格是影 响决策的一个重要因素。 利用单纯形表求解线性规划，在求得最优解的同 时，很容易得到问题的各种资源的影子价格。某资源 的影子价格，就是该资源对应的约束条件所加松弛变 量在最优表中的检验数的相反数。
例1 写出下面线性规划的对偶规划 minZ=2x1+ x2-4x3 原问题即 2x1+3x2 +x3 ≥1 minZ=2x1+ x2-4x3 3x1- x2 +x3 ≤4 2x1+3x2 +x3 ≥1 x1 +x3=3 -3x1+ x2-x3 ≥-4 x1,x2≥0 x1 +x3=3 其对偶为：maxW=y1 -4y2+3y3 x1,x2≥0 2y1- 3y2 +y3 ≤2 3y1+ y2 ≤1 y1- y2 +y3 =-4 y1,y2≥0
线性规划的原问题与对偶问题的变换规则表：
原问题（或对偶问题） 目标函数 maxZ 价值系数 资源系数 行约束的个数为m 行约束的个数为m 第i个行约束取“≤” 个行约束取“≤ 第ι个行约束取“＝” 原变量的个数为n 原变量的个数为n 第j个变量xj ≥0 个变量x 第k个变量xk无限制 个变量x 对偶问题（或原问题） 目标函数 minW 资源系数 价值系数 对偶变量的个数为m 对偶变量的个数为m 第i个变量yi ≥0 个变量y 第ι个变量yι无限制 个变量y 行约束的个数为n 行约束的个数为n 第j个行约束取“≥” 个行约束取“≥ 第k个行约束取“＝”
运筹学02.4对偶问题的经济意义-影子价格
影子价格 y1 = 50的经济意义：原料 A的供应量 b1增加1个单位 时，最大利润将增加 50个单位.
影子价格 y 2 = 0的经济意义：原料 B的供应量 b2增加1个单位
时，最大利润将不变化 . 影子价格 y3 = 50的经济意义：原料 C的供应量 b2增加1个单位 时，最大利润将增加 50个单位.
2011-3-10
5
运筹学
Operations Research
∴ 原线性规划问题的最优解为(50,250)T .
故产品Ⅰ，Ⅱ的产量分别为50，250即可满足要求.
2011-3-10
6
运筹学
Operations Research
T T (2)由最终的单纯形表得影子价格为 y = ( y1 , y2 , y3 ) = (50,0,50) .
此线性规划问题恰是(LP)的对偶问题，其最优解为
y = ( y1 , y2 , y3 )T = (50,0,50)T .
故该厂只需将三种原料的价格分别定为50，0，50，双方 即可都能接受.▌
2011-3-10
8
运筹学
Operations Research
例2 给定线性规划问题 max z = 2 x1 + 3x 2 + x3 s. t. x1 + x 2 + x3 ≤ 3 x1 + 4 x 2 + 7 x3 ≤ 9 x1 , x 2 , x3 ≥ 0 （1）利用单纯形法求解此线性规划问题； （2）计算影子价格，并分析其经济意义.
运筹学
Operations Research
§2.4 对偶问题的经济意义 -影子价格
2011-3-10
1
运筹学
运筹学课件第三节影子价格
运筹学教程
第三节 影子价格
对偶问题解的经济解释——影子价格
我们已经明白原始线性规划与对偶线性规 划之间形式上的对偶以及他们解之间的关系， 那么对偶问题的解除了前面引例中提到的租金 这种经济含义外其深刻的经济含义是什么呢？
运筹学教程
线性规划的对偶理论
对偶问题解的经济含义分析：
从单纯形法的矩阵描述中，目标函数取值 Z = CBB-1 b ， 和检验数CN -CBB-1N 中都有乘子 Y = CBB-1。
注意：在初始单纯形表其对偶问题应该是基 可行解，对多数线性规划问题难实现。
主要应用：灵敏度分析。
运筹学教程
练习:使用对偶单纯形法求解
min Z 4 x1 x2 3x3 x1 x2 x3 5 st. x1 x2 4 x3 3 x ,x ,x 0 1 2 3
当产品产值大于隐含成本时，表明生产该产品有利。 当产品产值小于隐含成本时，表明用资源生产别的产品有利。
运筹学教程
第四节 对偶单纯形法
一、对偶单纯形法的基本思路 对偶单纯形法是应用对偶原理求解线性 规划的一种方法 ——在原问题的单纯形表 上进行对偶处理。
注意：不是解对偶问题的单纯形法！
运筹学教程
1、 单纯形法求解 初始可行基（对应一个初始基可行解） →迭代→另一个可行基（对应另一个基可行 解），直至所有检验数≤0为止。
j 1
n
若 aij x j bi, 有yi 0
j 1
n
运筹学教程
特点5、从影子价格考察单纯形表的计算。
j c j CB B 1Pj c j aij yi
i 1
m
Cj代表第j种产品的产值，
第三节 影子价格
对偶问题解的经济解释——影子价格
我们已经明白原始线性规划与对偶线性规 划之间形式上的对偶以及他们解之间的关系， 那么对偶问题的解除了前面引例中提到的租金 这种经济含义外其深刻的经济含义是什么呢？
运筹学教程
线性规划的对偶理论
对偶问题解的经济含义分析：
从单纯形法的矩阵描述中，目标函数取值 Z = CBB-1 b ， 和检验数CN -CBB-1N 中都有乘子 Y = CBB-1。
注意：在初始单纯形表其对偶问题应该是基 可行解，对多数线性规划问题难实现。
主要应用：灵敏度分析。
运筹学教程
练习:使用对偶单纯形法求解
min Z 4 x1 x2 3x3 x1 x2 x3 5 st. x1 x2 4 x3 3 x ,x ,x 0 1 2 3
当产品产值大于隐含成本时，表明生产该产品有利。 当产品产值小于隐含成本时，表明用资源生产别的产品有利。
运筹学教程
第四节 对偶单纯形法
一、对偶单纯形法的基本思路 对偶单纯形法是应用对偶原理求解线性 规划的一种方法 ——在原问题的单纯形表 上进行对偶处理。
注意：不是解对偶问题的单纯形法！
运筹学教程
1、 单纯形法求解 初始可行基（对应一个初始基可行解） →迭代→另一个可行基（对应另一个基可行 解），直至所有检验数≤0为止。
j 1
n
若 aij x j bi, 有yi 0
j 1
n
运筹学教程
特点5、从影子价格考察单纯形表的计算。
j c j CB B 1Pj c j aij yi
i 1
m
Cj代表第j种产品的产值，
对偶问题的经济解释——影子价格的计算及其应用
影子价格以资源的稀缺性为价值依据,以资源的边际效益为价值尺度,反映了资源对目标值的边际贡献、资源在最优决策下的边际价值以及资源的市场供求关系、稀缺程度。它表示对某种资源效用价值的估价,这种估价不是该资源的市场价格,而是根据该资源在特定经济结构中作出的贡献所作的估价,因而称为“影子价格”。
影子价格来源于最优化问题。从数学意义上说,影子价格是指在其它条件及最优基不变的前提下,当资源增加一个单位而得到目标函数新的最大值时,目标函数最大值的增量与资源的增量的比值,即为目标函数对某约束条件的一阶偏导数。它表现为线性规划中的对偶解、非线性规划中的拉格拉朗日乘数或动态规划中的汉密尔顿乘数。从经济意义而论,影子价格是在其它条件和最优基不变的前提下,每增加一单位资源可能获得的超额利润,即原问题目标函数的边际增加值。
1.2影子价格的特征
一般地,线性规划意义下的影子价格具备以下特征:
（1）虚拟性顾名思义,影子价格并非现实存在的市场价格,是一种推算价格。在现实经济中,由于某些资源(比如公共产品)不能由市场定价,或者市场不能有效定价,现行价格难以反映资源的真实价值,于是依照某些法则推算出一个决策参照系,是为影子价格。影子价格虚拟性与决策的时点有关。对于决策人来说,影子价格在他所处的时点格。
2.影子价格的数学模型及计算
根据影子价格的数学意义，影子价格的数学模型可表述如下：
考虑一对对称的对偶问题
maxZ=CXminW=Yb
AX≤b YA≥C
（P）s.t.（D）s.t.
X≥0 Y≥0
设B是问题（P）的最优基,由对偶理论可知,其目标函数的最优值为:
Z*=CBB-1b=Y*b=y1*b1+y2*b2+……+yi*bi+……+ym*bm
影子价格来源于最优化问题。从数学意义上说,影子价格是指在其它条件及最优基不变的前提下,当资源增加一个单位而得到目标函数新的最大值时,目标函数最大值的增量与资源的增量的比值,即为目标函数对某约束条件的一阶偏导数。它表现为线性规划中的对偶解、非线性规划中的拉格拉朗日乘数或动态规划中的汉密尔顿乘数。从经济意义而论,影子价格是在其它条件和最优基不变的前提下,每增加一单位资源可能获得的超额利润,即原问题目标函数的边际增加值。
1.2影子价格的特征
一般地,线性规划意义下的影子价格具备以下特征:
（1）虚拟性顾名思义,影子价格并非现实存在的市场价格,是一种推算价格。在现实经济中,由于某些资源(比如公共产品)不能由市场定价,或者市场不能有效定价,现行价格难以反映资源的真实价值,于是依照某些法则推算出一个决策参照系,是为影子价格。影子价格虚拟性与决策的时点有关。对于决策人来说,影子价格在他所处的时点格。
2.影子价格的数学模型及计算
根据影子价格的数学意义，影子价格的数学模型可表述如下：
考虑一对对称的对偶问题
maxZ=CXminW=Yb
AX≤b YA≥C
（P）s.t.（D）s.t.
X≥0 Y≥0
设B是问题（P）的最优基,由对偶理论可知,其目标函数的最优值为:
Z*=CBB-1b=Y*b=y1*b1+y2*b2+……+yi*bi+……+ym*bm
影子价格理论及确定方法
总成本 18.5 剩余
5 1.5 <= 1 0.7 <=
1.5 0.7
0 0
15
影子价格的问题
在工厂的例子中，只有 g>min g时，出租 资源才是合算的。 z1表示机器1的影子价格，z2表示机器2的 影子价格。当机器1的出租利润低于z1时 或机器2的出租利润低于z2时，出租不合 算。 反之，当A的利润<x或B的利润<y时，生 产是不合算的。
2 2
3 24 <= 1 16 <=
24 16
Machine 1 time(hours) Decision variables Objective function Constrains: product A x product b y 2 24
Machine 2 time(hours) 1 16 Total profit 64 Slack 0 0
13
学校准备为学生添加营养餐，每个学生每月至 少需要补充60单位的碳水化合物，40单位的蛋白质 和35单位的脂肪。已知两种营养品每斤： A B 含量 碳水化合物 5 2 单位 蛋白质 3 2 单位 脂肪 5 1 单位 单价 1.5 0.7 问题：买A和B分别多少斤即满足学生营养需要又 省钱？
对偶求法
i 1 ij
m
j
w i 0 ,
i 1 , ,m j 1 , ,n
原问题与对偶问题的关系
当公司与市场的决策相互影响并达到平衡时：
wi (bi aij x j ) 0
* * j 1 n
全部用来生产， 原料不买入 不要生产，全部原 料以最低价格卖出
(c j aij wj )x j 0
5
影子价格的经济意义
线性规划对偶理论(含影子价格)_21136
对 偶
a11 a12
s.t.
a21
a22
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
对 称
问
am1 am2
amn
xn
bm
形
题
x1, x2 , , xn 0
的
min Z c1x1 c2 x2 cn xn
定 义
a11 a21
s.t.
a12
a22
a1n a2n
x2 0,
x2
2
0
无界
关于无界性有如下结论： minW 4 y1 2 y2
原问题
问题无界
无可 行解
对偶问题 无可行解 无可行解
问题无界
y1 y2 2
（对）
y1
y1
y2 0, y2
1 0
无可 行解
原 : max Z x1 2x2
x1 x2 x3 2
2x1 x2 x3 1
m
m
A
≥b
n
对偶问题的特点
〔1〕目标函数在一个问题中是求最大值在 另一问题中则为求最小值
〔2〕一个问题中目标函数的系数是另一个 问题中约束条件的右端项
〔3〕一个问题中的约束条件个数等于另一 个问题中的变量数
〔4〕原问题的约束系数矩阵与对偶问题的 约束系数矩阵互为转置矩阵
一般
线性规 划问题 的对偶 问题
〔4〕强对偶性〔最优解的目标函数之间的关系〕 如果原问题有最优解，则其对偶问题也一定有 最优解，且两者的目标函数值相等
3、互补松弛性
在线性规划问题的最优解中， 如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，
则该约束条件取严格等式；
反之如果约束条件取严格不等式，
第二章 线性规划的对偶理论3-影子价格对偶单纯形法
根据对偶原理，当原问题有最优解时，对偶问题也 有最优解。反之，也成立。 因此，首先找对偶问题的可行解，如果这时有 XB = CBB-1 0 即原问题的解也为可行解，则两者均为最优解。 否则，保持对偶问题为可行解，找出原问题的相邻 基解，再判别是否有 XB = CBB-1 0 ，循环进行，直到 原问题也为可行解为止。
资源影子价格的性质
1 资源的市场价格是已知数，相对比较稳定，而它
的影子价格则依赖于资源的利用情况，是未知数。企业 生产任务、产品结构等情况发生变化，资源的影子价格 也随之发生变化。
2 资源的影子价格是一种 边际价格。 在
z c j x j bi yi w中对 z 求 bi 的偏导数得
2.3 对偶单纯形法
单纯形法的计算步骤如下：
第一步 找出一个基可行解 第四步 第二步 判断其是否最优
是，且基变量 中无人工变量
结束
否 第三步 转换到相邻的基可行解，并使目标函数值增大
第一步：求初始基可行解，列出初始单纯形表。 第二步：最优性检验。 第三步：从一个基可行解转换到相邻的目标函数值更大 的基可行解，列出新的单纯形表。 第四步：重复第二、三步，直到计算结束为止。
差额成本 = 机会成本 - 利润
5 影子价格与资源的关系 根据对偶问题的互补松弛性质：
aij x j bi
j 1 n
n
时，yi* = 0；当 yi* > 0 时，有
aij x j bi 。
j 1
说明生产过程中如果某种资源未得到充分利用时， 该种资源的影子价格为零； 当资源的影子价格不为零时，表明该种资源在生产 中已经消耗完毕。
min w 15 y1 24 y2 5 y3
第三章 对偶的经济解释——影子价格
3.5 对偶的经济解释——影子价格
在单纯形法的每步迭代中，目标函数取值z=CBB-1b， 和检验数CN-CBB-1N中都有乘子Y=CBB-1，那么Y的经 济意义是什么? n m 目标函数 z = c x = b y
∑
j =1
j
j
∑
i =1
i
i
式中bi 是线性规划原问题约束条件的右端项，它代表 第i种资源的拥有量；对偶变量yi 的意义代表对一个 单位第i种资源的估价。这种估价不是资源的市场价 格，而是根据资源在生产中的贡献而作的估价，为 区别起见，称为影子价格（s的建立，使 线性规划不仅成为优化的工具，而且赋 予线性规划理论和算法以明确的经济意 义，从而使线性规划成为对企业经济活 动进行经济分析的重要工具。企业经济 活动就其目标分析，可以归纳为“最小 成本”和“最大利润”两大类。
3.5.1 最小成本问题
同样，我们也可以分析最大利润问题。 由于时间关系，我们不在课堂介绍。
在单纯形法的每步迭代中，目标函数取值z=CBB-1b， 和检验数CN-CBB-1N中都有乘子Y=CBB-1，那么Y的经 济意义是什么? n m 目标函数 z = c x = b y
∑
j =1
j
j
∑
i =1
i
i
式中bi 是线性规划原问题约束条件的右端项，它代表 第i种资源的拥有量；对偶变量yi 的意义代表对一个 单位第i种资源的估价。这种估价不是资源的市场价 格，而是根据资源在生产中的贡献而作的估价，为 区别起见，称为影子价格（s的建立，使 线性规划不仅成为优化的工具，而且赋 予线性规划理论和算法以明确的经济意 义，从而使线性规划成为对企业经济活 动进行经济分析的重要工具。企业经济 活动就其目标分析，可以归纳为“最小 成本”和“最大利润”两大类。
3.5.1 最小成本问题
同样，我们也可以分析最大利润问题。 由于时间关系，我们不在课堂介绍。
2.5对偶问题的经济解释-影子价格
（LP）问题 max z = CX s.t. AX≤b X≥0
n m
（DP）问题 min w = Yb s.t. YA ≥ C Y≥0 (1)
z* c j x* bi yi* w* j
j 1 i 1
bi 代表：第i种资源的拥有量； 对偶变量yi*的意义代表：在资源最优利用条件下， 对单位第i 种资源的估价。 影子价格 这种估价不是资源的市场价格， (shadow price) 而是根据资源在生产中作出的贡献而作的估价。
y2
ym
ym1
ym 2
ym+j =(y1 a1j +y2 a2j+…+ym amj)-cj =YT aj –cj 差额成本=机会成本-利润
3 互补松弛定理的经济学意义
ˆ ˆ 当 aijxj bi时，y i 0;
j 1
n
ˆ 当 y i 0时， aijxj bi ˆ
z*=15
(2.8,3.2)
z*=15.2
(3.5，3) z*=16
各约束条件的资源量 ③ 增加一个单位，有 (3,3) x3 =0 2x1+2x213 y1=1 y2=0 x4 =4 4x117 y3=0.2=1/5 x5 =0 5x216
②
②
x1 ① ①
2x1+2x213 4x117 5x216
经济学研究如何管理 自己的稀缺资源
j 1
n
这表明生产过程中如果某种资源未得到充分利用时， 该种资源的影子价格为零；
又当资源的影子价格不为零时，bi 表明该种资源 在生产中已耗费完毕。
4 单纯型表中检验数的经济学意义
从影子价格的含义上考察单纯形表 的检验数的经济意义。m 1 j c j CBB Pj c j yi aij （4）
运筹学课件 第三节 影子价格
由强对偶定理知
Z* =CX*= CBB b=Y*b=W*
由此 Z*
-1
= Y*b=b1y1+b1y2+…bmym
Z* bi
= CBB-1= Y*
或
Z* bi
= （ Y*b） = yi* bi
运筹学教程
线性规划的对偶理论 对偶问题解的经济含义： 由上面分析——对偶问题解中变量 yi* 的 经济含义是在其他条件不变的情况下，单位第 i 种“资源”变化所引起的目标函数最优值的 变化。所以， yi* 描述了原始线性规划问题达 到最优时（各种“资源”都处于最优的配置 时），第 i 种“资源”的某种“价值”，故称 其为第 i 种“资源”的影子价格。 下面图解阐述影子价格的直观含义：
运筹学教程
所有检验数≤0意味着
CN CBB
1
N 0Y AC
T
，
说明原问题的最优基也是对偶问题的可行基。 换言之，当原问题的基B既是原可行基又是 对偶可行基时，B成为最优基。 补充定理 B是线性规划的最优基的充要条 件是，B是可行基，同时也是对偶可行基。
运筹学教程
单纯形法的求解过程就是： 在保持原问题可行的前提下（b列保持≥0）， 通过逐步迭代实现对偶可行（检验数行≤0） 。 2、 对偶单纯形法思想： 换个角度考虑LP求解过程：保持对偶可行 的前提下（检验数行保持≤0） ，通过逐步迭 代实现原问题可行（b列≥0，从非可行解变 成可行解）。
注意：在初始单纯形表其对偶问题应该是基 可行解，对多数线性规划问题难实现。
主要应用：灵敏度分析。
运筹学教程
练习:使用对偶单纯形法求解
min Z 4 x1 x 2 3 x 3 x1 x 2 x 3 5 st . x1 x 2 4 x 3 3 x ,x ,x 0 1 2 3
运筹学讲义——影子价格(PPT34页)
灵 敏 度 分 析
例2－7 线性规划
价值系数CB发生改变
cj
C21 3 3
0
XB
xj x1 x2 x3
x4
CB
b
0 x4
3
111
1
0 x5
9
147
0
0
x5
0 1
C21 x1
1
1 0 -1 4/3
-1/3
3 x2
2
0 1 2 -1/3
1/3
－Ｚ
-8
0 0 C1-1-3 1-4-5//33C1 1/3-1C/31-1
影子价格
对偶最优解的经济含义――影子价格
Z * b 1 y 1 * b 2 y 2 * b m y m *
影
Z bi
y i代表着当第i个右端常数增加一个
单位时，最优目标函数值的相应增量。
子
其含义是在目前已给定的情况下，最
价 优目标值随资源数量变化的变化率； 格 其经济含义是为约束条件所付出的代
3≤b2 ≤12
增加一个变量
若企业在计划期内，有新的产品可
灵
以生产，则在知道新产品的单位利 润，单件资源消耗量时，可以在最
敏
优表中补充一列，其中的前m行可
度
以由基矩阵的逆矩阵得到，而检验 数行也可以由与其它列相同的方法
分计算得到。ຫໍສະໝຸດ 检验数非正，则原最析优解仍为最优，原生产计划不变， 不生产这种新产品；否则，当检验
灵 敏 度 分 析
例2－7 线性规划
价值系数CB发生改变
cj
433
0
XB
xj x1 x2 x3
x4
CB
b
0 x4
2-1 影子价格
对偶问题与影子价格
例现在A，B两产品销路不畅，可以有资源出租或外卖，现在要谈判，我们的价格是多少?
出租收入不低于生产收入，出租收入越多越好，至于不低于某数。
线性规划的对偶理动
1 原问题与对偶问题的关系
对于“＜”不等式约束条件的原问题与“＞”不等式约束条件的对偶问题的展开形式是原问题
原问题有m个约束条件，对偶问题有m个变量；
原问题有n个变量，对偶问题有n个约束条件；
原问题的价值系数对应对偶问题的右端项；
原问题的右端项对应对偶问题的价值系数；
原问题的技术系数矩阵转置后为对偶问题系数矩阵；原问题的约束条件与对偶问题方向相反；
原问题与对偶问题优化方向相反。
对偶问题的基本性质对称性对偶问题的对偶是原问题。
影子价格所含的信息：1.资源紧缺状况；2.确定资源转让基价；3.取得紧缺资源的代价。
例题1 maxz=14，x1=4，x2=2。
运筹学第7讲：对偶问题的基本概念续及影子价格
变量对应于(P)的第j 个松弛变量
可以直接从最终单纯形表中看出资源的影子价格，即-δj
反之，若(P)为min型，则(P)的变量对应于(D)的松弛变量，
(P)的剩余变量对应于(D)的变量
作业：习题3-6, 习题3-7
1
原材料A(kg) 4
原材料B(kg) 0
乙
资源限量
2
8
0
16
4
12
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
习题3-2
对于例1，假设该工厂的决策者决定不生产甲、
乙两种产品，而是将所有资源外售。你作为一个收购 者，该如何决策来购买这些资源？
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
对偶问题的另一求解方法
以习题3-9为例进行说明。若(P)是max型，(D)是min型，则
(P)的变量与(D)的剩余变量数量相同，(P)的松弛变量与(D)
的变量数量相同
(P)的松弛变量对应的-δj，即为(D)的变量最优解
(P)的第i 个变量对应于(D)的第i 个剩余变量，(D)的第j 个
Y* (b－AX*) = 0 (Y*A－C) X* = 0
上述两个式子称为(P)和(D)的互2 L
A
M
MO
a1n M
P1, P2,L
R1
,
Pn
R2
M
am1 am2 L amn
Rm
其中，Pj 表示A的第j 列，Ri 表示A的第i 行，则有
yi* (bi－Ri X* ) = 0
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
习题3-1
可以直接从最终单纯形表中看出资源的影子价格，即-δj
反之，若(P)为min型，则(P)的变量对应于(D)的松弛变量，
(P)的剩余变量对应于(D)的变量
作业：习题3-6, 习题3-7
1
原材料A(kg) 4
原材料B(kg) 0
乙
资源限量
2
8
0
16
4
12
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
习题3-2
对于例1，假设该工厂的决策者决定不生产甲、
乙两种产品，而是将所有资源外售。你作为一个收购 者，该如何决策来购买这些资源？
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
对偶问题的另一求解方法
以习题3-9为例进行说明。若(P)是max型，(D)是min型，则
(P)的变量与(D)的剩余变量数量相同，(P)的松弛变量与(D)
的变量数量相同
(P)的松弛变量对应的-δj，即为(D)的变量最优解
(P)的第i 个变量对应于(D)的第i 个剩余变量，(D)的第j 个
Y* (b－AX*) = 0 (Y*A－C) X* = 0
上述两个式子称为(P)和(D)的互2 L
A
M
MO
a1n M
P1, P2,L
R1
,
Pn
R2
M
am1 am2 L amn
Rm
其中，Pj 表示A的第j 列，Ri 表示A的第i 行，则有
yi* (bi－Ri X* ) = 0
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
习题3-1
第六节影子价格和对偶单纯形法
对偶单纯形法的优点
初始解可以是非可行的，检验数都为负数， 可以进行基变换。（无需加入人工变量）
变量个数多于约束条件个数。（对偶化） 灵敏度分析中可以使问题简化。
缺点：很难找到一个初始可行基。
小结
？ ？
作业
P75/2.7/(1) /2.8/(1)
5x1 2x2 50
x2 8
x1, x2 0
MinZ 18 y1 50 y2 8y3
y1 5y2 5 2 y1 2 y2 y3 4
y1
,
y2 ,
y3
0
第三章 对偶理论与灵敏度分析
MinZ 18 y1 50 y2 8y3
5
8 y3 2 [8/5] 0 1 2/5 -1 -2/5
5/4
66
zj
22.8 50 8 -6.8 -8 6.8
zj -cj
4.8 0
0 -6.8 -8 6.8-M
50 y2 3/4 0 1 -1/8 -1/4 1/8 1/4
?
18 y1 5/4 1
0 5/8 1/4 -5/8 -1/4
60
zj
18 50 5 -8 -5 8
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
cj
max 2x1 3x2 4x3 Mx6 Mx7
x1 2x2 x3 x4 x6 3
2x1 x2 3x3
x5 x7 4
xj 0, j 1,..., 7
-2 -3 -4 0 0
以aek为主元素进行迭代
单纯形法和对偶单纯形法的步骤
对偶单纯形法的适用范围
对偶问题的经济解释-影子价格
是未知数。
由于企业生产任务、产品结构等情况发生变化，
资源的影子价格也随之改变。
企业
市场价格
影子价格
市场
2．资源的影子价格是一种机会成本
.在纯市场经济条件下, 设第i 种资源的单位市场价格为mi ， 当yi > mi 时，企业愿意购进这种资源， 单位资源的纯利为yi－mi ，则有利可图； 如果yi < mi ，则企业有偿转让这种资源， 可获单位 资源的纯利mi－yi ， 否则，企业无利可图，甚至亏损。 随着资源的买进卖出，它的影子价格也将随之发生变化， 一直到影子价格与市场价格保持同等水平时， 才处于平衡状态。
x1 , x2 , x3 0
( A资 源 限 制) (B资 源 限 制) (C资 源 限 制)
已解得最优单纯形表如下 ：
CB
XB b
x1
x2 x3 x4 x5 x6
2
x2 100 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0
5
x3 230 3/2 0 1
0 1/2 0
0
x6 20 2
00
-2
11
Z
Z′*= y1*b1+ y2*b2+…+yi*（ bi+1 ）+…+ym*bm ∴ △Z*= Z′*－ Z* = yi*
也可以写成： Z*
bi
yi * (i 1,2m)
边际价格
即yi*表示Z*对 bi的变化率。
影子价格的定义：
是对偶问题的最优解Y*=(y1*,y2*,…，ym*), 是一个向量，
三 LP和DP中其它概念的经济学意义
1 对偶约束的经济解释---产品的机会成本（opportunity cost ） 增加单位资源可以增加的总利润
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
maxZ 2 x1 3 x 2 11 / 3 x 3 s.t. x1 x 2 x 3 135 x1 4 x 2 7 x 3 405 x1 , x 2 , x 3 0.
线性规划问题的对偶问题
例2 若该工厂想要出租这两台机器，那么该工厂应 该如何确定合理的租金呢？
对偶问题的基本性质
考虑对称性关系的对偶：
原问题 max Z CX AX b s.t.. X 0
对偶问题 m i nw Y T b AT Y C T s .t. Y 0
对称性
对偶问题的对偶是原问题。
对偶问题的基本性质
对偶问题的基本性质
弱对偶性
若X是 原 问 题 的 任 意 可 行 ， 解 Y是 对 偶 问 题 的 任 意 可 解 行. 则 有 z cX Y b w
(Dual Problems)
1. 对偶问题的提出 (Dual Problem)
例1 某工厂用两台机器生产三种产品,有关数据如下表:
机器 I 机器 II 利润
甲(m) 1 1 2
乙(m) 1 4 3
丙(m) 1 7 11/3
限制条件 135 405
如何组织生产，使总利润最大？ x1 , x2 , x3 ------分别生产甲、 乙、丙产品的数量
1/ 2 1/ 2
，替换二阶单位矩阵中的第1列，得
1/ 2 0 E 1/ 2 1
故新的可行基的逆为
1/ 2 0 1 0 1/ 2 0 B 1/ 2 1 0 1 1/ 2 1
1/ 3 1/ 3
，替换二阶单位矩阵中的第2列，得
1 1/ 3 E 0 1/ 3
故新的可行基的逆为
1 1/ 5 1/ 2 0 3 / 5 1/ 5 B 0 2 / 5 1/ 2 1 1/ 5 2 / 5
对偶问题的基本性质
对偶问题的基本性质
例
已知用单纯形法求解下述线性规划问题所得最终表如下，试确
定该问题的对偶问题的最优解.
m axz 2 x 1 3 x 2 x1 2 x 2 8 16 4 x1 s .t. 4 x 2 12 x1 , x 2 0
1
1/ 2 0 1 2 1 1/ 2 1 1/ 2 4 1 B N B b 1/ 2 1 3 4 0 5 / 2 3 1/ 2 3
1
（4）求改进了的基本可行解 以x1为换入变量，x5为换出变量，将换入变量x1所在的列变 为
单纯形法的矩阵计算
基的逆B-1的计算
1 Bnew
1 0 0
a '1,m t / a 'l .m t 1/ a 'l .m t a 'm,m t / a 'l .m t
0 0 B 1 1
（4）求改进了的基本可行解 以x3为换入变量，x4为换出变量，将换入变量x3所在的列变 为
m axz 60x 1 30x 2 20x 3
8 x 1 6 x 2 x 3 48 4 x 2 x 1.5 x 20 1 2 3 s.t. 2 x 1 1.5 x 2 0.5 x 3 8 x 1 , x 2 , x 3 0
8 y 1 4 y 2 2 y 3 60 6 y 2 y 1.5 y 30 1 2 3 s.t. y 1 1.5 y 2 0.5 y 3 20 y 1, y 2 , y 3 0
对偶问题的基本性质
无界性
若原(对偶)问题有无界解，则对偶(原)问题无可行解.
max z x1 x2
min w y1 y2 s.t. y1 y2 1 y1 y2 1
原
s.t. x1 x2 1 x1 x2 1
对偶
不可行 x1 , x2 0 max z x1 x2
初等 变换
线性规划的单纯形法
x1 xl xm x m 1 xmt xn b
' ' ' a1' ,m t a a b l , m 1 l , n ' ' ' ' ' ' l 1 ' a1,m 1 ' a1,m t 0 a1,n ' a1,m t b1 ' a1,m t a l ,m t a l ,m t a l ,m t a l ,m t ' ' ' a l ,m 1 a l ,n bl 1 1 a l' ,m t a l' ,m t a l' ,m t a l' ,m t ' ' ' ' a m ,m t a l ,m 1 ' a l ,n ' bl ' ' ' ' ' 1 a m , m 1 ' a m , m t 0 a m , n ' a m , m t bm ' a m , m t a l ,m t a l ,m t a l ,m t a l ,m t
对偶理论与灵敏度分析
(Dual Theories and Sensitivity Analysis)
单纯形法的矩阵描述 线性规划的对偶问题 对偶问题的基本性质 对偶问题的经济解释 对偶单纯形法 灵敏度分析
----影子价格
单纯形法的矩阵描述
考虑线性规划问题的标准型
m axz CX AX b s .t. X 0
线性规划问题的对偶问题
对称性形式的对偶关系
m inw ( y1 0) ( y 2 0) ( y m 0) y1 y2 ym ( x1 0) x1 a11 a 21 a m1 c1 m ax z ( x 2 0) x2 a 12 a 22 am2 c2 ( x n 0) xn a 1n b1 a 2n b2 a mn bm cn
对偶问题的基本性质
XB x1 x5 x2 -z x1 1 0 0 0 x2 0 0 1 0 x3 x4 0 1/4 -2 0.5 0.5 -1/8 -3/2 -1/8 x5 0 1 0 0 b R 4 4 2 -14
其中 x3, x4, x5 为 松弛变量。
解: 由已知得 CB=(2 0 3),
B 1
x3 x3 , x4 x4
4 7 0
线性规划问题的对偶问题
原问题与对偶问题对偶关系对照表 原 (对偶) 问题 目标函数 max z=CX n 个变量 ≥0 ≤0 自由变量 ≤ AX ≥ b = 对偶 (原) 问题 目标函数 min w=YTb ≥ n 个约束 ATY ≤ CT = ≥0 m 个变量 ≤0 自由变量
1
3 / 5 1/ 5 2 1 0 2 / 5 3 / 5 1/ 5 17 / 5 1 B N B b 1/ 5 2 / 5 4 0 1 6 / 5 1/ 5 2 / 5 6 / 5
1
线性规划问题的对偶问题
因此，由对偶定理可得所求问题的对偶问题的最优解为：
0 2 0.5
1/ 4 0.5 1/ 8
0 1 . 0
不可行 y1 , y2 0
s.t. 3 x1 2 x2 3
原
min w 3 y1 2 y2
对偶
x1 x2 2 x1 , x2 0 无界
s.t. 3 y1 y2 1 2 y1 y2 1 y1 , y2 0 不可行
对偶问题的基本性质
可行解是最优解时的性质
单纯形法的矩阵描述
由此可见：单纯形法的计算过程中，各部分的数字都是用 基的逆矩阵来进行计算的。因此，单纯形法的计算机实现 的关键步骤是对基 x l x m x m 1 xmt xn b
' ' ' ' 1 a1 a a b ,m 1 1, m t 1, n 1 1 a l' ,m 1 a l' ,m t a l' ,n bl' ' ' ' ' 1 a a a b m , m 1 m , m t m , n m
minZ 135y1 405y 2
y1 , y2 ---- 机 器 I 与 机 器 II 的每台时的租金
s .t. y1 y 2 2 y1 4 y 2 3 y1 7 y 2 11 / 3 y1 , y 2 0.
• •
例1与例2是一个问题的两个方面 两个线性规划模型是一对对偶问题
线性规划问题的对偶问题
•
非对称性关系
max z CX AX b s.t. X O
min w Y T b s.t. A TY C T
练习：
m ax z 6x 1 + 8x 2 3x 1 x 2 s.t .5x 1 2x 2 x , x2 , 1
m 个约束
线性规划问题的对偶问题
例 4 求下列问题的对偶问题
maxz 2 x1 x 2 x1 x 2 2 2 x1 x 2 3 s.t. x x2 1 1 x1 0, x 2自 由 变 量
min w 2 y 1 3 y 2 y 3 y 2y 2 y 3 2 1 s.t. y 1 y 2 y 3 1 , y 2 0, y 3 0 y 1自 由 变 量
线性规划问题的对偶问题
例2 若该工厂想要出租这两台机器，那么该工厂应 该如何确定合理的租金呢？
对偶问题的基本性质
考虑对称性关系的对偶：
原问题 max Z CX AX b s.t.. X 0
对偶问题 m i nw Y T b AT Y C T s .t. Y 0
对称性
对偶问题的对偶是原问题。
对偶问题的基本性质
对偶问题的基本性质
弱对偶性
若X是 原 问 题 的 任 意 可 行 ， 解 Y是 对 偶 问 题 的 任 意 可 解 行. 则 有 z cX Y b w
(Dual Problems)
1. 对偶问题的提出 (Dual Problem)
例1 某工厂用两台机器生产三种产品,有关数据如下表:
机器 I 机器 II 利润
甲(m) 1 1 2
乙(m) 1 4 3
丙(m) 1 7 11/3
限制条件 135 405
如何组织生产，使总利润最大？ x1 , x2 , x3 ------分别生产甲、 乙、丙产品的数量
1/ 2 1/ 2
，替换二阶单位矩阵中的第1列，得
1/ 2 0 E 1/ 2 1
故新的可行基的逆为
1/ 2 0 1 0 1/ 2 0 B 1/ 2 1 0 1 1/ 2 1
1/ 3 1/ 3
，替换二阶单位矩阵中的第2列，得
1 1/ 3 E 0 1/ 3
故新的可行基的逆为
1 1/ 5 1/ 2 0 3 / 5 1/ 5 B 0 2 / 5 1/ 2 1 1/ 5 2 / 5
对偶问题的基本性质
对偶问题的基本性质
例
已知用单纯形法求解下述线性规划问题所得最终表如下，试确
定该问题的对偶问题的最优解.
m axz 2 x 1 3 x 2 x1 2 x 2 8 16 4 x1 s .t. 4 x 2 12 x1 , x 2 0
1
1/ 2 0 1 2 1 1/ 2 1 1/ 2 4 1 B N B b 1/ 2 1 3 4 0 5 / 2 3 1/ 2 3
1
（4）求改进了的基本可行解 以x1为换入变量，x5为换出变量，将换入变量x1所在的列变 为
单纯形法的矩阵计算
基的逆B-1的计算
1 Bnew
1 0 0
a '1,m t / a 'l .m t 1/ a 'l .m t a 'm,m t / a 'l .m t
0 0 B 1 1
（4）求改进了的基本可行解 以x3为换入变量，x4为换出变量，将换入变量x3所在的列变 为
m axz 60x 1 30x 2 20x 3
8 x 1 6 x 2 x 3 48 4 x 2 x 1.5 x 20 1 2 3 s.t. 2 x 1 1.5 x 2 0.5 x 3 8 x 1 , x 2 , x 3 0
8 y 1 4 y 2 2 y 3 60 6 y 2 y 1.5 y 30 1 2 3 s.t. y 1 1.5 y 2 0.5 y 3 20 y 1, y 2 , y 3 0
对偶问题的基本性质
无界性
若原(对偶)问题有无界解，则对偶(原)问题无可行解.
max z x1 x2
min w y1 y2 s.t. y1 y2 1 y1 y2 1
原
s.t. x1 x2 1 x1 x2 1
对偶
不可行 x1 , x2 0 max z x1 x2
初等 变换
线性规划的单纯形法
x1 xl xm x m 1 xmt xn b
' ' ' a1' ,m t a a b l , m 1 l , n ' ' ' ' ' ' l 1 ' a1,m 1 ' a1,m t 0 a1,n ' a1,m t b1 ' a1,m t a l ,m t a l ,m t a l ,m t a l ,m t ' ' ' a l ,m 1 a l ,n bl 1 1 a l' ,m t a l' ,m t a l' ,m t a l' ,m t ' ' ' ' a m ,m t a l ,m 1 ' a l ,n ' bl ' ' ' ' ' 1 a m , m 1 ' a m , m t 0 a m , n ' a m , m t bm ' a m , m t a l ,m t a l ,m t a l ,m t a l ,m t
对偶理论与灵敏度分析
(Dual Theories and Sensitivity Analysis)
单纯形法的矩阵描述 线性规划的对偶问题 对偶问题的基本性质 对偶问题的经济解释 对偶单纯形法 灵敏度分析
----影子价格
单纯形法的矩阵描述
考虑线性规划问题的标准型
m axz CX AX b s .t. X 0
线性规划问题的对偶问题
对称性形式的对偶关系
m inw ( y1 0) ( y 2 0) ( y m 0) y1 y2 ym ( x1 0) x1 a11 a 21 a m1 c1 m ax z ( x 2 0) x2 a 12 a 22 am2 c2 ( x n 0) xn a 1n b1 a 2n b2 a mn bm cn
对偶问题的基本性质
XB x1 x5 x2 -z x1 1 0 0 0 x2 0 0 1 0 x3 x4 0 1/4 -2 0.5 0.5 -1/8 -3/2 -1/8 x5 0 1 0 0 b R 4 4 2 -14
其中 x3, x4, x5 为 松弛变量。
解: 由已知得 CB=(2 0 3),
B 1
x3 x3 , x4 x4
4 7 0
线性规划问题的对偶问题
原问题与对偶问题对偶关系对照表 原 (对偶) 问题 目标函数 max z=CX n 个变量 ≥0 ≤0 自由变量 ≤ AX ≥ b = 对偶 (原) 问题 目标函数 min w=YTb ≥ n 个约束 ATY ≤ CT = ≥0 m 个变量 ≤0 自由变量
1
3 / 5 1/ 5 2 1 0 2 / 5 3 / 5 1/ 5 17 / 5 1 B N B b 1/ 5 2 / 5 4 0 1 6 / 5 1/ 5 2 / 5 6 / 5
1
线性规划问题的对偶问题
因此，由对偶定理可得所求问题的对偶问题的最优解为：
0 2 0.5
1/ 4 0.5 1/ 8
0 1 . 0
不可行 y1 , y2 0
s.t. 3 x1 2 x2 3
原
min w 3 y1 2 y2
对偶
x1 x2 2 x1 , x2 0 无界
s.t. 3 y1 y2 1 2 y1 y2 1 y1 , y2 0 不可行
对偶问题的基本性质
可行解是最优解时的性质
单纯形法的矩阵描述
由此可见：单纯形法的计算过程中，各部分的数字都是用 基的逆矩阵来进行计算的。因此，单纯形法的计算机实现 的关键步骤是对基 x l x m x m 1 xmt xn b
' ' ' ' 1 a1 a a b ,m 1 1, m t 1, n 1 1 a l' ,m 1 a l' ,m t a l' ,n bl' ' ' ' ' 1 a a a b m , m 1 m , m t m , n m
minZ 135y1 405y 2
y1 , y2 ---- 机 器 I 与 机 器 II 的每台时的租金
s .t. y1 y 2 2 y1 4 y 2 3 y1 7 y 2 11 / 3 y1 , y 2 0.
• •
例1与例2是一个问题的两个方面 两个线性规划模型是一对对偶问题
线性规划问题的对偶问题
•
非对称性关系
max z CX AX b s.t. X O
min w Y T b s.t. A TY C T
练习：
m ax z 6x 1 + 8x 2 3x 1 x 2 s.t .5x 1 2x 2 x , x2 , 1
m 个约束
线性规划问题的对偶问题
例 4 求下列问题的对偶问题
maxz 2 x1 x 2 x1 x 2 2 2 x1 x 2 3 s.t. x x2 1 1 x1 0, x 2自 由 变 量
min w 2 y 1 3 y 2 y 3 y 2y 2 y 3 2 1 s.t. y 1 y 2 y 3 1 , y 2 0, y 3 0 y 1自 由 变 量