有关圆的经典例题

有关圆的经典例题

1. 在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。132O AB AC BAC

例2. 如图：△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于D ，

如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC

（1）求证：△ABC 是直角三角形；

()22

求的值AD BC

例3. 如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（ ）

A A

B CD B AB CD ..⋂>⋂

⋂<⋂22

C AB C

D D AB CD ..⋂=⋂

⋂⋂

22与的大小关系不确定

例4. 如图，四边形内接于半径为的⊙，已知，ABCD 2O AB BC AD ===1

4

1 求CD 的长。

例5. 如图，、分别是⊙的直径和弦，为劣弧上一点，⊥AB AC O D AC DE AB ⋂

于H ，交⊙O 于点E ，交AC 于点F ，P 为ED 的延长线上一点。

（1）当△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切，为什么？

()22

当点在劣弧的什么位置时，才能使·，为什么？D AC AD DE DF ⋂=

例6. 如图，四边形是矩形，以为直径作半圆，过点ABCD ()AB BC BC O >

1

2

D 作半圆的切线交AB 于

E ，切点为

F ，若AE ：BE=2：1，求tan ∠ADE 的值。

例7. 已知⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，且点O 2在⊙O 1上，

（1）如下图，AD 是⊙O 2的直径，连结DB 并延长交⊙O 1于C ，求证CO 2⊥AD ；

（2）如下图，如果AD 是⊙O 2的一条弦，连结DB 并延长交⊙O 1于C ，那么CO 2所在直线是否与AD 垂直？证明你的结论。

例8. 如下图，已知正三角形ABC 的边长为a ，分别为A 、B 、C 为圆心，

以为半径的圆相切于点、、，求、、围成的图形面a

O O O O O O O O O 2

123122331⋂⋂⋂ 积S 。（图中阴影部分）

一、填空题（10×4=40分）

1. 已知：一个圆的弦切角是50°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为___________。

2. 圆内接四边形ABCD 中，如果∠A ：∠B ：∠C=2：3：4，那么∠D=___________度。

3. 若⊙O 的半径为3，圆外一点P 到圆心O 的距离为6，则点P 到⊙O 的切线长为___________。

4. 如图所示CD 是⊙O 的直径，AB 是弦，CD ⊥AB 于M ，则可得出AM=MB ，AC BC ⋂=⋂

等多个结论，请你按现有的图形再写出另外两个结论：___________。

5. ⊙O 1与⊙O 2的半径分别是3和4，圆心距为43，那么这两圆的公切线的条数是___________。

6. 圆柱的高是13cm ，底面圆的直径是6cm ，则它的侧面展开图的面积是___________。

7. 已知：如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=16cm ，拱高CD=4cm ，那么拱形的半径是___________。

8. 若PA 是⊙O 的切线，A 为切点，割线PBC 交⊙O 于B ，若BC=20，PA=103，则PC 的长为___________。

15．如图，AB 是O 的直径，AM 为弦，30MAB ∠=，过M 点的O

的切线交AB 延长线于点N ．若12cm ON =，则

O 的半径为 cm ．

16．如图，Rt A BC ''△是由Rt ABC △绕B 点顺时针旋转而得，且点A B C '，，在同一条

直线上，在Rt ABC △中，若90C =∠，2BC =，4AB =，则斜边AB 旋转到A B '所扫过的扇形面积为 ．

C

B

A C ' A '

（15题图）

O

A D

P

E B C （第17题

17．如图，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA PB ，，切点分别是A B ，，若8cm PA =，C 是AB 上的一个动点（点C 与A B ，两点不重合），过点C 作圆O 的切线，分别交PA PB ，于点D E ，，则PED △的周长是 ．

18、在平面内，⊙O 的半径为5cm ，点P 到圆心O 的距离为3cm ，则点P 与⊙O 的位置关系是 .

19．如图8，在Rt ABC △中，903C AC ∠==，．将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以BA BC ，为半径的圆形成一圆环．则该圆环的面积为 ．

20．如图9，点A B ，是O 上两点，10AB =，点P 是O 上的动点（P 与A B ，不重合）连结AP PB ，，过点O 分别作OE AP ⊥于点E ，OF PB ⊥于点F ，则EF = ．

三、解答题：

1. 已知：如图所示，⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，过B 点作⊙O 1的切线交⊙O 2于D ，连结DA 并延长与⊙O 1相交于C 点，连结BC 。过A 点作AE ∥BC 与⊙O 2相交于E 点，与BD 相交于F 点。

（1）求证：EF ·BC=DE ·AC ；

（2）若AD=3，AC=1，AF =3，求EF 的长。

A C

B 图8 A E

O

F

B

P

图9

5、（８分）已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，以BC 为直径的半圆O 与边AB 相交于点D ，切线DE ⊥AC ，垂足为点E ．

求证：（1）△ABC 是等边三角形；（2）CE AE 3

1=．

6、已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠． （1）判断直线BD 与O 的位置关系，并证明你的结论；

（2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长．

9．如图，ABC △内接于

O ，过点A 的直线交O 于点P ，交BC

的延长线于点D ，2

AB AP AD =．（1）求证：AB AC =；（2）如果60ABC ∠=，O 的半径为1，且P 为AC 的中点，求AD 的长．

A

D

O

E

D C

O

A

B

E