第七章 网络的灵敏度分析

只讨论频域一阶微分灵敏度
§7-2 灵敏度分析的基本概念
绝对灵敏度
DxT
=
∂T ∂x
相对灵敏度
广义网络函数的相对变化量与元件参数 的相对变化量的比值
S
T x
=x T
∂T ∂x
=
∂T T
∂x = ∂ lnT x ∂ ln x
§7-2 灵敏度分析的基本概念
• 相对灵敏度的其它表示法 （3）
(1)
S
∑ + ⎡⎣(ΔIr1Uˆr1 − ΔUr1Iˆr1) + (ΔIr2Uˆr2 − ΔUr2Iˆr2 )⎤⎦ CCVS
∑ +" + (ΔIDUˆ D − ΔUDIˆD ) +" D
(1) 输出支路
+ Io
Uo
⇒
−
+
Uˆ o − 1A
输出为电压 ΔI0＝0
ΔU0 Iˆ0 − ΔI0Uˆ0 = ΔU0 Iˆ0
L
C
∑ ∑ + ⎡⎣( jω)nUDUˆ DΔD⎤⎦ + ⎡⎣−( jω)n IE IˆE ΔE ⎤⎦
D
E
∑ ∑ + (−Ir1Iˆr2Δr) + (Iβ1Uˆβ 2Δβ )
CCVS
CCCS
∑ ∑ + (−Uα1Iˆα 2Δα ) + (U g1Uˆ g2Δg) +"
VCVS
VCCS
灵敏度公式的统一形式
T x
=x 100
∂T ∂x
(2)
S
T x
=x 100
∂T ∂x
,
S∠T x
=
x 180D
∂T ∂∠x
(3) 半归一化灵敏度
当T
= 0时，SxT
Δ
=
x
∂T
∂x
百度文库
=
∂T ∂ ln x
当x
=
0时，S
T x
Δ
=
1
T
∂T ∂x
=
∂ lnT ∂x
绝对灵敏度
DxT
=
∂T ∂x
输出与参数的关系 T = T (x)
x的非线性函数
将T＝T(x)在标称值处按泰勒级数展开
( ) T (x) = T (x0 ) +
∂T ∂x
x= x0
⋅ Δx +O
Δx2
Δx = x − x0
T (x)
≈ T (x0 ) +
∂T ∂x
x= x0
⋅ Δx
T的变化量ΔT为
ΔT
=
T (x)
− T (x0 )
=
∂T ∂x
⋅ Δx
=
DxT Δx
=
−U2 Iˆ1
−
I1Uˆ 2
I1
I2
+
n :1
•
•
+
U1
U2 ⇒
−
−
Iˆ1
Iˆ2
+
• n :1 •
+
Uˆ1
Uˆ 2
−
−
∑ ∑ ΔT = (−Iˆk ΔUk ) + (Uˆk ΔIk )
us
is
∑ ∑ + (−IR IˆRΔR) + (UGUˆGΔG)
R
G
∑ ∑ + (− jωIL IˆLΔL) + ( jωUCUˆC ΔC)
∧
Uk
=
0
− ΔU k Iˆk + ΔIkUˆ k = 0
原网络中的电压源与伴随网络中的短路线相对应
(2) 输入支路
1A
⇒
Iˆo = 0
对于电流源 ΔIk＝0
− Δ U k Iˆk + Δ I k Uˆ k = − Δ U k Iˆk
为了消去ΔUk，应取 Iˆk = 0
− ΔU k Iˆk + ΔIkUˆ k = 0
原网络中的电流源与伴随网络中的开路线相对应
考虑电压源电压和电流源电流的变化时 对于电压源,为了消去ΔIk，仍应取 Uˆk = 0
−ΔUk Iˆk + ΔIkUˆk = −ΔUk Iˆk
对于电流源,为了消去ΔUk,仍应取Iˆk = 0
−ΔUk Iˆk + ΔIkUˆk = ΔIkUˆk
小结：
⇔ 电压源
矩阵元素为
hij
=
∂ 2T ∂xi∂x j
三、解析灵敏度公式
(1)
S T1T2 x
=
S T1 x
+
S T2 x
(2)
S T1 +T2 x
=
T1
1 + T2
(T1
S
T1 x
+
T2
S
T2 x
)
(3)
STn x
=
nS
T x
1
(4)
S
T x
=
−
S
T x
(5)
S
T 1
=
−
S
T x
x
（6） 若 H ( jω ) = H (ω ) e jθ ( ω )
灵敏度公式
I1
∂T ∂r
= −I1Iˆ2
I2
Iˆ1 +
+
U1 −
+ rI1−
+ U2
⇒
Uˆ1
−
−
+ rIˆ2 −
Iˆ2 +
Uˆ 2 −
⎧⎨U1 ⎩U 2
= =
0 rI1
⎧⎪⎨⎪⎩UUˆˆ12
= =
0 rIˆ2
受控源的伴随元件
短路控制支路 ⇒ 受控电压源
受控电压源 ⇒ 短路控制支路 开路控制支路 ⇒ 受控电流源
∂T = −IIˆ ∂Z
∂T = UUˆ ∂Y
∂T ∂Zij
= −Ii Iˆj
∂T ∂Au
= −Ui Iˆj
∂T ∂n
=
−U2 Iˆ1
− I1Uˆ 2
∂T ∂Yij
= UiUˆ j
∂T ∂Ai
第七章 网络的灵敏度分析
主要内容
1）灵敏度分析的基本概念
2）分析方法 伴随网络法 增量网络法（导数网络法）
§7-1 灵敏度分析的意义
灵敏度(Sensitivity)
为了衡量元器件的参数变化对网络性能 的影响，引入灵敏度的概念。
§7-2 灵敏度分析的基本概念
一、灵敏度的定义
网络灵敏度是指网络中“网络函数”对“元件 参数”的敏感程度。
= =
0 rI1
增量方程为
I1 +
U1 −
⎧⎨⎩ΔΔUU12
= =
0 ΔrI1
+
rΔI1
I2
+
+
rI1 −
U2
−
(ΔI1Uˆ1 − ΔU1 Iˆ1) + (ΔI2Uˆ2 − ΔU2 Iˆ2 )
= ΔI1(Uˆ1 − rI2 ) + ΔI2Uˆ2 − ΔrI1Iˆ2
(7) 受控源
(ΔI1Uˆ1 − ΔU1 Iˆ1) + (ΔI2Uˆ2 − ΔU2 Iˆ2 ) = ΔI1(Uˆ1 − rI2 ) + ΔI2Uˆ2 − ΔrI1Iˆ2
y = k ⋅ x ⇒ Δy = Δk ⋅ x + k ⋅ Δx （微分公式）
ΔIRUˆ R − ΔURIˆR = − (ΔRIR + RΔIR ) IˆR + ΔIRUˆ R
合并同类项 = −IRIˆRΔR + ΔIR (−RIˆR + Uˆ R )
取Uˆ R = RIˆR
原网络中电阻R在伴随网络中仍是电阻R
:: (1) 各支路的电压和电流取关联参考方向
( ) :: (2) Δukiˆk −Δikuˆk 对应一条支路
一、线性网络灵敏度的伴随网络法
特勒根定理的频域形式为
∑( ) b ΔU k Iˆk − ΔIkUˆ k = 0
k =1
⇓
只有参数变化量 没有电量变化量
∑ ΔT
=
n k =1
∂T ∂xk
短路线
⇔ 电流源
开路线
(3) 二端线性电阻
电阻的伏安关系为
U R = RIR
当电阻有ΔR的偏差时，设电压、电流的偏差 分别为ΔUR和ΔIR，则
UR + ΔUR = (R + ΔR)(IR + ΔIR ) = RIR + ΔRIR + RΔIR + ΔR ⋅ ΔIR
忽略二阶偏差项
ΔU R = ΔRIR + RΔIR （增量方程）
Δxk
按支路类型展开
∑ ΔUo Iˆo − ΔIoUˆo =
(ΔIkUˆk − ΔUk Iˆk )
独立源
∑ ∑ + (ΔIRUˆ R − ΔURIˆR ) + (ΔIGUˆG − ΔUGIˆG )
R
G
∑ ∑ + (ΔILUˆ L − ΔULIˆL ) + (ΔICUˆC − ΔUC IˆC )
L
C
⇒ 伴随方程 ⇒ 伴随元件
（5）参数增量的系数即为灵敏度公式
(5) 阻抗与导纳
阻抗支路
Z
Z
⇒
灵敏度公式 导纳支路
∂T ∂Z
= −IZ IˆZ
Y
⇒
Y
灵敏度公式
∂T ∂Y
=
U YUˆ Y
(5) 二端线性电感和电容
电容
∂T ∂Y
=
∂T
∂ ( jωC )
= UCUˆC
⇒
电感
∂T ∂C
=
jωU CUˆ C
ΔU0 Iˆ0 − ΔI0Uˆ0 = ΔI0
原网络中短路线输出支路,在伴随网络中为-1V电压源
输出支路项等于ΔU0或ΔI0，统一记作ΔT
(2) 输入支路
电压源电压和电流源电流保持不变
+ 1V −
⇒
+ Uˆ0 = 0 −
对于电压源支路 ΔUk＝0
−ΔUk Iˆk + ΔIkUˆk = ΔIkUˆk
取
取
⎧⎪⎨⎪⎩UUˆˆ12
= =
0 rIˆ2
⎧⎨⎩UU12
= =
0 rI1
U1Iˆ1 + U2Iˆ2 = U2Iˆ2 = rI1Iˆ2 Uˆ1I1 + Uˆ2I2 = Uˆ1I1 = rIˆ2I1
N中的CCVS与Nˆ 中的CCVS满足相互互易性
(7) 受控源
(ΔI1Uˆ1 − ΔU1 Iˆ1) + (ΔI2Uˆ2 − ΔU2 Iˆ2 ) = −ΔrI1Iˆ2
受控电流源 ⇒ VCCS ⇒ VCCS
VCVS ⇒ CCCS CCCS ⇒ VCVS
开路控制支路
∂T ∂g
= U1Uˆ 2
∂T
∂α
= −U1Iˆ2
∂T
∂β
=
I1Uˆ 2
有量纲系数保持不变 无量纲系数加“－”
N中受控源与Nˆ 中受控源满足相互互易性
(8) 理想变压器
⎧⎨⎩UI21
= =
nU 2 −nI1
则
S H ( jω ) x
=
S H (ω ) x
+
jθ
(ω
)S
θ x
(ω
)
例题1 例题2 例题3
§7-3 伴随网络法
单一输出对多个参数的灵敏度
特勒根定理的差分形式为
ΔubT iˆb − ΔibT uˆb = 0
标量形式为
∑( ) b Δukiˆk − Δik uˆk = 0
k −1
伴随网络法进 行灵敏度分析 的基本关系式
多个元件参数变化
T = T (x1, x2,", xn ) = T (x)
将T＝T(x)在标称值处按泰勒级数展开
T (x) ≈ T (x0 ) + ∇T ⋅ (x − x0 )
标量函数T的梯度
∇T

⎡ ⎢ ⎣
∂T ∂x1
∂T , ∂x2
,",
∂T ∂xn
⎤ ,⎥ ⎦
T的变化量ΔT为
ΔT = T (x) − T (x0) = ∇T ⋅ (x − x0 ) = ∇T ⋅ Δx
∂T ∂Z
=
∂T
∂ ( jωL)
= −ILIˆL
⇒
∂T ∂L
=
−
jω ILIˆL
(6) 线性高阶二端元件
D型元件 E型元件
ID = ( jω )n DU D
∂T ∂D
=
(
jω )nUDUˆ D
U E = ( jω )n EIE
∂T ∂E
=
−(
jω )n
IE IˆE
(7) 受控源
对于CCVS
⎧⎨U1 ⎩U 2
∑ ∑ =
n k =1
∂T ∂xk
Δ
xk
n
=
DT xk
Δxk
k =1
∑ ∑ ΔT
T
=
n ⎛ ∂T
k
=1
⎜ ⎝
∂xk
⋅ xk T
⎞ ⎟ ⎠
Δxk xk
=
n
ST xk k =1
Δxk xk
考虑二阶时
ΔT = T (x) − T (x0 )
=
∇T
⋅
(x
−
x0
)
+
1 2
(x
−
x0
)T
H(x
−
x0
)
H为对称矩阵,称为海森(Hessian)矩阵
“网络函数”、“元件参数”都是广义的
二、灵敏度的分类
⎧ 时域灵敏度 ⎨ ⎩ 频域灵敏度
§7-2 灵敏度分析的基本概念
大参数变化灵敏度(Large-Change Sensitivity)
⎧ ΔT 增量灵敏度 ⎨ Δx
⎩微小参数变化灵敏度
DxT
=
lim ΔT Δx→0 Δx
=
∂T ∂x
微分灵敏度
(Differential Sensitivity)
取 Iˆ0 = 1A （伴随方程）
ΔU0 Iˆ0 − ΔI0Uˆ0 = ΔUˆ0
（伴随元件）
原网络中开路线输出支路,在伴随网络中为1A电流源
(1) 输出支路
+ Uo Io −
⇒
− 1V
+ Iˆo
输出为电流 ΔU0＝0
ΔU0 Iˆ0 − ΔI0Uˆ0 = −Uˆ0ΔI0
取 Uˆ0 = −1V （伴随方程）
R
⇒
R
− ΔU R IˆR + ΔIRUˆ R = −IR IˆRΔR
灵敏度公式
∂T ∂R
=
− I R IˆR
灵敏度公式仅由VAR中的控制量构成
(4) 二端线性电导 电导的VAR为 IG = GUG 增量方程 ΔIG = ΔGUG + GΔUG
ΔIGUˆG − ΔUGIˆG = (ΔGUG + GΔUG )UˆG − ΔUG IˆG
(8) 理想变压器
(ΔI1Uˆ1 − ΔU1 Iˆ1) + (ΔI2Uˆ2 − ΔU2 Iˆ2 )
( ) ( ) = ΔI1 Uˆ1 − nUˆ2 − ΔU2 Iˆ2 + nIˆ1 − (U2 Iˆ1 + I1Uˆ2 )Δn
伴随元件方程
灵敏度公式
⎧⎪⎨⎪⎩UIˆˆ21
= =
nUˆ 2 −nIˆ2
∂T ∂n
增量方程为
I1
I2
+
• n :1 •
+
U1
U2
−
−
⎧⎨⎩ΔΔUI21==−ΔΔnn⋅⋅UI12
+ −
n ⋅ ΔU n ⋅ ΔI1
2
(ΔI1Uˆ1 − ΔU1 Iˆ1) + (ΔI2Uˆ2 − ΔU2 Iˆ2 )
= ΔI1Uˆ1 − (Δn ⋅U2 + n ⋅ ΔU2 )Iˆ1
− (Δn ⋅ I1 + n ⋅ ΔI1 )Uˆ2 − ΔU2 Iˆ2
( ) 取 IˆG = GUˆG = UGUˆGΔG + ΔUG GUˆG − IˆG ΔIGUˆG − ΔUG IˆG = UGUˆGΔG
原网络中电导G在伴随网络中仍是电导G
G
⇒
G
灵敏度公式
∂T ∂G
= UGUˆG
伴随元件和灵敏度公式的推导过程 （1） 由元件方程导出增量方程 （2） 将增量方程 代入特勒根定理的差分项 （3）按控制量增量和参数增量合并同类项 （4） 令控制量增量系数等于零