第十章 Stokes 公式【高等数学+同济大学】

cos
i

cos
j

cos
k,
的单位切向量为




t cos i cos j cos k
斯托克斯公式的向量形式

rotA

ndS


A
t ds

其中
(rotA)n

rotA
n
(R Q)cos (P R)cos (Q P )cos
o

dydz dzdx dxdy
y

x
y
z
x
PQ R
(1 1)dydz (1 1)dzdx (1 1)dxdy
2 dydz dzdx dxdy
与 zox 坐标面垂直 dzdx 0
在 yoz 面的投影为一椭圆

解二 化为参变量的定积分计算
令

x y

cos t sin t
则 z b(1 x ) b(1 cos t) a
2
I [a sin t b(1 cos t)](a sin t)
0
[b(1 cos t) a cos t]a cos t [a cos t a sin t]bsin t
1. 环流量的定义:
设向量场




A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k

则沿场A中某一封闭的有向曲线C上的曲线积分



CA

ds
C
Pdx

Qdy

Rdz
称为向量场A沿曲线C按所取方向的环流量 .
利用stokes公式, 有
y z
z x
x y
At

A
n

P cos

Qcos

Rcos
环流量


rotA

ds

Atds

Stokes公式的物理解释:
向 量场A沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 A的旋度场通过 所张的曲面的通量.( 的正 向与 的侧符合右手法则)
例转4动，设其一角刚速体度绕为过原点的1 ,某 2个,轴3
的法向量之间符合右手规则. z
解 按斯托克斯公式, 有
1
n
zdx xdy ydz
0 Dxy
y 1
dydz dzdx dxdy
1

x
由于的法向量的三个方向余 弦都为正， 再由对称性知：
dydz dzdx dxdy 3 d

Dxy
y
Dxy如图
1
div(rotA) 0
rot(gradu) 0
---------即旋度场是无源场 ---------即梯度场是无旋场
六、小结
cos cos cos
斯托克斯公式


x
ds y z
PQR
dydz dzdx dxdy


x
P

y Q
z
Pdx Qdy Rdz
o
Dxy C
y
思路
曲面积分 二重积分 曲线积分
1
2



P z
dzdx

P y
dxdy



(
P z
cos


P y
cos
)ds
又 cos f y cos , 代入上式得
P


z
dzdx

P dxdy y




(
P y

P z
f y )cosds
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ 是xoy 面的平面闭区域时) 斯托克斯公式 特殊情形
格林公式
二、简单的应用
例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz ,
其中是平面 x y z 1被三坐标面所截成的
三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧
刚体在每一点的线速度构成一线
速场，则向量 r OM x, y, z
在点 M 处的线速度场的旋度 等于角速度的 2 倍
L
o
v
M
解
由力学知道点
M
的线速度为

i jk
v r 1 2 3
由此可看出速 度场的旋度与 旋转角速度的
观察旋度
rot v

x
2
应用上述定理，并仿照以前的证明方法可得到
定理 设G是空间一维单连域，P,Q, R在G内具有
连续的一阶偏导数，则Pdx Qdy Rdz
在G内是某一函数u( x, y, z)的全微分的充要条件
Leabharlann Baidu
P Q , Q R , R P 在G内恒成立 y x z y x z
空间一维单连域：若 G 内任一闭曲线总可以 张一张完全属于 G 的曲面，则称 G 为空间一维 单连域，或称 G 为按曲面是单连通区域
定理 设G是空间一维单连域，P,Q, R在G内具有 一阶连续偏导数，则空间曲线积分
Pdx Qdy Rdz在G内与路径无关（或沿G内

任一闭曲线的曲线积分为0）的充要条件是 P Q , Q R , R P 在G内恒成立 y x z y x z
向.


三、 求向量场 A (z sin y)i (z x cos y) j 的旋度 .
四、利用斯托克斯公式把曲面积分 rot A nds 化成曲 线积分,并计算积分值,其中A , 及n 分别如下: A y 2 i xy j xzk , 为上半个球面 z 1 x 2 y 2 的上侧, n 是 的单位法向量.
Stokes 公式
一、斯托克斯(stokes)公式
前面所介绍的 Gauss 公式是 Green 公式的推广 下面我们 从另一个角度来推广Green 公式。
Green 公式表达了平面闭区域上的二重积分
与其边界曲线上的曲线积分之间的联系， stokes
公式则是把曲面上的曲面积分与沿曲面的边界曲线 上的曲线积分联系起来

(P z

R x
)dzdx

(Q x

P y
)dxdy
Pdx Qdy Rdz
n
右手法则

是有向曲面 的

正向边界曲线
证明 如图
设Σ 与平行于z 轴的直线
z n
:z f (x, y)
相交不多于一点, 并Σ 取

上侧,有向曲线 C 为Σ 的正
向边界曲线 在 xoy 的投 影.且所围区域Dxy . x
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则, 函数P( x, y, z),Q( x, y, z) , R( x, y, z)在包含曲面 在内的一个空间区域内具
有一阶连续偏导数, 则有公式


(R y

Q z
)dydz
(
Q

P
)k .
y z z x x y
斯托克斯公式的又一种形式


[(
R y

Q ) cos
z

(P z

R)cos
x

(Q x

P )cos
y
]dS
(P cos Q cos Rcos )ds
其中
的单位法向量为
n
1
y
, 2
z 2,
2
3
关 系2.
.
五、向量微分算子


i

j

k
---------Hamilton 算子
x y z
u gradu
2u u gradu
(
i

j

k
)

(u
i

u
j

u
k)
x y z x y z
( x,y,z)
u( x, y, z)
Pdx Qdy Rdz
( x0 , y0 ,z0 )
zM
x
y
u( x, y, z) P( x, y0, z0 )dx Q( x, y, z0 )dy M0
x0
z
y0
o
y
R( x, y, z)dz
z0
x
M1
M2
四、物理意义---环流量与旋度
C
a
a
( x y)d[b(1 x )]
a


C
[(1

b) a
y

b]dx

[b

(1

b) a
x]dy


D

2(1

b a
)dxdy
2a(a b)
Green公式
三、空间曲线积分与路径无关的条件
前面我们利用Green公式得到了平面曲线积分
与路径无关的条件，完全类似地，利用Stokes 公 式可推得空间曲线积分与路径无关的条件

2u x 2

2u y2

2u z 2

u
------Laplace算子
A Pi Qj Rk
A P Q R divA x y z i jk
A rotA x y z PQR
若 P，Q , R 具有连续的二阶偏导数， 即得
P[ x, y, f ( x, y)]dxdy P[ x, y, f ( x, y)]dx
Dxy y
c
即
P
P


z
dzdx

y
dxdy

cP[
x,
y,
f
(
x,
y)]dx
2
平面有向曲线


P z
dzdx

P y
dxdy


P(
x,
y,
z)dx,
空间有向曲线
同理可证


2a(a b)
解三 投影方法
将
:

x
2 y2 xz ab

a 1
2
投影到 xoy
面得投影曲线
C : x2 y2 a2 （逆时针方向）
记 C 所围区域为 D
I Pdx Qdy Rdz

[ y b(1 x)]dx [b(1 x) x]dy

便于记忆形式
dydz dzdx dxdy



x
y
z
Pdx Qdy Rdz
PQ R
另一种形式
cos cos cos



x
y
z ds Pdx Qdy Rdz
其P中n
QR
{cos ,cos

,cos
}
Stokes公式的实质:
Q x
dxdy

Q z
dydz


Q(
x,
y,
z
)dy,


R y
dydz

R x
dzdx


R(
x,
y,
z
)dz
,
R Q
P R
Q P


(
y

z
)dydz

( z

)dzdx x

( x

)dxdy y
Pdx Qdy Rdz .. 故有结论成立.
即
P
P
P P


dzdx z
y
dxdy




(
y

z
f y )dxdy
y
P[ x,
y,
f
( x,
y)]
P y

P z

fy


P z
dzdx

P y
dxdy



Dxy
P[ x, y
y,
f
(
x,
y)]dxdy
,
1
根椐格林公式


zdx
xdy
ydz

3 2
Dxy o
x 1
例2 计算 ( y z)dx (z x)dy ( x y)dz 其中 为椭圆 x2 y2 a2 , x z 1 ab 从 x 轴正向看去，椭圆取逆时针方向 z
解一 用 Stokes 公式
Pdx Qdy Rdz
x2 y2 a2

x z 1 ab
消去 x 得
(z
b)2 b2

y2 a2

1
dydz dydz ab （椭圆面积）

D yz
在 xoy 面的投影：x2 y2 a2
dxdy dxdy a2

Dxy
（圆面积）
Pdx Qdy Rdz 2a(a b)
R


rotA ndS A t ds

斯托克斯公式成立的条件
斯托克斯公式的物理意义
练习题
一、 计 算 3 ydx xzdy yz 2dz , 其 中 是 圆 周 x2 y2 2z , z 2 若从z 轴正向看去,这圆周是 逆时针方向 .
二、 计 算 y 2dx z 2dy x 2dz , 其 中 是 球 面 x 2 y 2 z 2 a 2 和 园 柱 面 x 2 y 2 ax 的 交 线 (a 0 , z 0),从x 轴正向看去,曲线为逆时针方
i jk
环流量



CA
ds



x
y
ds z
PQR
2. 旋度的定义:

i jk
称向量


为向量场的旋度
(rotA)
.
x y z
PQR

i jk
旋度
rotA



x y z
PQR

(R

Q
)i

(P

R
)
j