2020届天一大联考高考全真模拟卷(三)数学理科试题
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11．如图，在 中， 为 的中点， 为 的两个三等分点， 交 于点 ，设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
12．过双曲线 的左焦点 作圆 的切线，切点为 ，延长 交双曲线的右支于点 ，若 ( 为坐标原点)，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、双空题
13．适逢秋收季节，为培养学生劳动光荣的理念和吃苦耐劳的精神品质，某班随机抽取20名学生参加秋收劳动一掰玉米，现将这20名学生平均分成甲､乙两组，在规定时间内，将两组成员每人所掰的玉米进行称重(单位：千克)，得到如下茎叶图：
（1）若连续两次由甲投掷，则称甲为“幸运儿”，在共投掷四次的情况下，求甲为“幸运儿”的概率；
（2）设第 次由甲投掷的概率为 ，求 .
22．在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数， )，曲线 .以坐标原点 为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）设 与 交于 两点(异于原点)，求 的最大值.
6．已知 是不同的直线， 是不同的平面，若直线 ，直线 ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要
7．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A． B． C．20D．
8．随着交通事业的快速发展，中国高铁在我国各地已普遍建成，并投入使用，加强了各地的联系.已知某次列车沿途途经河南的安阳焦作､洛阳､郑州.开封五个城市，这五个城市有各自有名的景点：红旗渠､云台山､白马寺､二七塔､清明上河园某小朋友对河南比较陌生，他将五个景点与五个城市进行连线(一个城市对一个景点)，则他至少能连正确两对的方法数共有（ ）
2020届天一大联考高考全真模拟卷（三）数学理科试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ，则集合 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 为 的共轭复数，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．为了贯彻素质教育，培养各方面人才，使每位学生充分发挥各自的优势，实现卓越发展，某高校将其某- -学院划分为不同的特色专业，各专业人数比例相关数据统计.如图，每位学生限修一门专业.若形体专业共300人，则下列说法错误的是（ ）
A．智能类专业共有630人
B．该学院共有3000人
C．非文化类专业共有1800人
D．动漫类专业共有800人
4．已知数列 是等比数列， 是方程 的两根，则 （ ）
A． B．2C． D．
5．已知函数 是定义在 上的偶函数， 为区间 上的任意两个不相等的实数，且满足 ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
已知两组数据的平均数相同，则 _________；乙组的中位数为________.
三、填空题
14．某事业单位欲指派甲､乙､丙､丁四人下乡扶贫，每两人一组，分别分配到 两地，单位领导给甲看乙，丙的分配地，给乙看丙的分配地，给丁看甲的分配地，看后甲对大家说：我还是不知道自己该去哪里，则四人中可以知道自己的分配地的是_________.
A．4种B．5种C．31种D．36种
9．已知函数 的部分图像如图所示，给出下列四个结论：
① 的最小正周期为 ；
② 的最小值为 ；
③ 是 的一个对称中心；
④函数 在区间 上单调递增.
其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
10．已知实数 满足 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
17．如图， 为等边三角形，边长为3， 为边 上一点且 ，过 作 交 的延长线于点 .
（1）求 的值；
（2）求 的长.
18．如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 平面 ，
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
19．已知椭圆 的左､右焦点分别是 ，直线 过 交 于 两点， 的周长为 ，过 且垂直于 轴的直线被椭圆截得的弦长为 .
15．已知抛物线 ，有如下性质：由抛物线焦点 发出的光线，经抛物线反射后，反射光线与抛物线的对称轴平行.现有一光线的倾斜角为 ，过抛物线 的焦点 ，经反射后，反射光线与 轴的距离为 ，则抛物线 的方程为_________.
16．已知函数 ，满足 恒成立，则实数 的取值范围为_________.
四、解答题
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设直线 (斜率存在)交椭圆 于 两点( 异于上顶点)，椭圆上顶点为 ，线段 的垂直平分线 在 轴上的截距为 ，求 的取值范围.
20．已知函数
（1）若 ，求 的单调区间；
（2） ，若 的导函数有零点，求 的取值范围.
21．甲､乙两位同学每人每次投掷两颗骰子，规则如下：若掷出的点数之和大于6，则继续投掷；否则，由对方投掷.第一次由甲开始.
由题意可知，文化类共有 ，
而智能类共有 ，
所以智能类专业共有 人，A正确；
非文化类专业共有 人，C正确；
动ຫໍສະໝຸດ Baidu类专业共有 人，故D错误.
故选：D.
【点睛】
本题考查数据统计知识，考查数据分析，解决问题能力，命题陷阱：饼状图中信息较多，容易分析错误，从而会导致出错.
4．B
【分析】
根据韦达定理可得 均为正数，再通过等比数列的性质可得 .
【详解】
由题意可知 ，
从而 .
故选：C.
【点睛】
本题考查复数的运算及共轭复数，命题陷阱： 易被看成绝对值，从而导致错选，另外，易疏忽共轭复数的运算.
3．D
【分析】
根据形体专业所占比例和人数可求出总人数，分别求出文化类和智能类所占比例，根据比例和总人数可求出不同专业的人数，进而可得答案.
【详解】
该学院共有 人，B正确；
23．已知实数 满足 且 .
（1）证明： ；
（2）证明： .
参考答案
1．A
【分析】
通过配方求出集合 ，解不等式求出集合 ，进而可得并集.
【详解】
对于集合A：配方得 ，
从而 .
对于集合
，
解得 ，
，
从而 .
故选：A.
【点睛】
本题考查集合的并集运算，考查运算能力，是基础题.
2．C
【分析】
先由已知求出 ，进而可得 ，则复数的模可求.
【详解】
方程 的两根分别为 ，
，
，
由等比数列性质可知 ，
又 .
故选：B.
【点睛】
本题考查等比数列性质，考查运动知识解决问题的能力，是基础题.
5．D
【分析】
先根据函数 是偶函数可得出函数 的图象关于直线 对称，再由 得 在 上为增函数，根据 的大小关系可得函数值的大小.
A． B． C． D．
12．过双曲线 的左焦点 作圆 的切线，切点为 ，延长 交双曲线的右支于点 ，若 ( 为坐标原点)，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、双空题
13．适逢秋收季节，为培养学生劳动光荣的理念和吃苦耐劳的精神品质，某班随机抽取20名学生参加秋收劳动一掰玉米，现将这20名学生平均分成甲､乙两组，在规定时间内，将两组成员每人所掰的玉米进行称重(单位：千克)，得到如下茎叶图：
（1）若连续两次由甲投掷，则称甲为“幸运儿”，在共投掷四次的情况下，求甲为“幸运儿”的概率；
（2）设第 次由甲投掷的概率为 ，求 .
22．在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数， )，曲线 .以坐标原点 为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）设 与 交于 两点(异于原点)，求 的最大值.
6．已知 是不同的直线， 是不同的平面，若直线 ，直线 ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要
7．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A． B． C．20D．
8．随着交通事业的快速发展，中国高铁在我国各地已普遍建成，并投入使用，加强了各地的联系.已知某次列车沿途途经河南的安阳焦作､洛阳､郑州.开封五个城市，这五个城市有各自有名的景点：红旗渠､云台山､白马寺､二七塔､清明上河园某小朋友对河南比较陌生，他将五个景点与五个城市进行连线(一个城市对一个景点)，则他至少能连正确两对的方法数共有（ ）
2020届天一大联考高考全真模拟卷（三）数学理科试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ，则集合 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 为 的共轭复数，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．为了贯彻素质教育，培养各方面人才，使每位学生充分发挥各自的优势，实现卓越发展，某高校将其某- -学院划分为不同的特色专业，各专业人数比例相关数据统计.如图，每位学生限修一门专业.若形体专业共300人，则下列说法错误的是（ ）
A．智能类专业共有630人
B．该学院共有3000人
C．非文化类专业共有1800人
D．动漫类专业共有800人
4．已知数列 是等比数列， 是方程 的两根，则 （ ）
A． B．2C． D．
5．已知函数 是定义在 上的偶函数， 为区间 上的任意两个不相等的实数，且满足 ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
已知两组数据的平均数相同，则 _________；乙组的中位数为________.
三、填空题
14．某事业单位欲指派甲､乙､丙､丁四人下乡扶贫，每两人一组，分别分配到 两地，单位领导给甲看乙，丙的分配地，给乙看丙的分配地，给丁看甲的分配地，看后甲对大家说：我还是不知道自己该去哪里，则四人中可以知道自己的分配地的是_________.
A．4种B．5种C．31种D．36种
9．已知函数 的部分图像如图所示，给出下列四个结论：
① 的最小正周期为 ；
② 的最小值为 ；
③ 是 的一个对称中心；
④函数 在区间 上单调递增.
其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
10．已知实数 满足 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
17．如图， 为等边三角形，边长为3， 为边 上一点且 ，过 作 交 的延长线于点 .
（1）求 的值；
（2）求 的长.
18．如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 平面 ，
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
19．已知椭圆 的左､右焦点分别是 ，直线 过 交 于 两点， 的周长为 ，过 且垂直于 轴的直线被椭圆截得的弦长为 .
15．已知抛物线 ，有如下性质：由抛物线焦点 发出的光线，经抛物线反射后，反射光线与抛物线的对称轴平行.现有一光线的倾斜角为 ，过抛物线 的焦点 ，经反射后，反射光线与 轴的距离为 ，则抛物线 的方程为_________.
16．已知函数 ，满足 恒成立，则实数 的取值范围为_________.
四、解答题
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设直线 (斜率存在)交椭圆 于 两点( 异于上顶点)，椭圆上顶点为 ，线段 的垂直平分线 在 轴上的截距为 ，求 的取值范围.
20．已知函数
（1）若 ，求 的单调区间；
（2） ，若 的导函数有零点，求 的取值范围.
21．甲､乙两位同学每人每次投掷两颗骰子，规则如下：若掷出的点数之和大于6，则继续投掷；否则，由对方投掷.第一次由甲开始.
由题意可知，文化类共有 ，
而智能类共有 ，
所以智能类专业共有 人，A正确；
非文化类专业共有 人，C正确；
动ຫໍສະໝຸດ Baidu类专业共有 人，故D错误.
故选：D.
【点睛】
本题考查数据统计知识，考查数据分析，解决问题能力，命题陷阱：饼状图中信息较多，容易分析错误，从而会导致出错.
4．B
【分析】
根据韦达定理可得 均为正数，再通过等比数列的性质可得 .
【详解】
由题意可知 ，
从而 .
故选：C.
【点睛】
本题考查复数的运算及共轭复数，命题陷阱： 易被看成绝对值，从而导致错选，另外，易疏忽共轭复数的运算.
3．D
【分析】
根据形体专业所占比例和人数可求出总人数，分别求出文化类和智能类所占比例，根据比例和总人数可求出不同专业的人数，进而可得答案.
【详解】
该学院共有 人，B正确；
23．已知实数 满足 且 .
（1）证明： ；
（2）证明： .
参考答案
1．A
【分析】
通过配方求出集合 ，解不等式求出集合 ，进而可得并集.
【详解】
对于集合A：配方得 ，
从而 .
对于集合
，
解得 ，
，
从而 .
故选：A.
【点睛】
本题考查集合的并集运算，考查运算能力，是基础题.
2．C
【分析】
先由已知求出 ，进而可得 ，则复数的模可求.
【详解】
方程 的两根分别为 ，
，
，
由等比数列性质可知 ，
又 .
故选：B.
【点睛】
本题考查等比数列性质，考查运动知识解决问题的能力，是基础题.
5．D
【分析】
先根据函数 是偶函数可得出函数 的图象关于直线 对称，再由 得 在 上为增函数，根据 的大小关系可得函数值的大小.