湖南理工学院高等数学期末模拟(1)

高等数学

一、试解下列各题：

1．[6分]求函数2

2y x u -=在点（1，1）沿与x 轴正向成角 60=a 方向的方向导数。 2．[6分]计算ds y x L ⎰-)(2，其中L 是圆周12

2=+y x 。 3．[6分]将函数)10ln(

)(x x f +=展开成x 的幂级数并指出收敛域。 4．[6分]求微分方程1)1(=''-y x 的通解。

5．[6分]求微分方程x

e x y y y 22=+'-''的一个特解。 二、[12分]求椭球面12322

2=++z y x 被平面0=++z y x 截得的椭圆的长半轴与短半轴之

长。

三、[10分]函数),(y x z z =由方程0,,=）（x z z y y x F 所确定，F 具有连续的一阶偏导数，

求dz 。

四、[10分]由曲面z y x -=+222与22y x z +=所围成立体为Ω，其密度为1，求Ω关

于z 轴的转动惯量。

五、[10分]计算∑+⎰⎰∑,22dxdy y x e z 是由锥面22y x z +=，平面1=z 和2=z 所围成的

圆台的侧面的下侧。

六、[12分]计算曲线积分dy e x dx y e y L x )()(22-+-⎰，式中L 是由点)0,0(0沿曲线

23x y =至点)1,1(A 的一段。

七、[8分]设 ,,,,21n a a a ，是正项单调递增数列，问级数

++++n a a a a a a 21211111何时收敛，何时发散？证明你的结论。

八、[8分]设平面π在平面022:1=-+-z y x π和平面062:2=-+-z y x π之间，它把平面1π与2π之间的距离分为3:1，求平面π的方程。

参考答案：

一、1．31-=∂∂l u 2．π-

3．

n n

n n x n x 10)1(10ln )10ln(11⋅-+=+∑∞=- 1010≤<-x 4．21)1ln()1(c x c x x y ++--= 5．x

e x y 4*121= 二、长半轴：61311+=

a ， 短半轴61311-=

b 三、])()([)(12223123222dy xzF F y x dx yzF F x yz F z xyF xy z dz -+--= 四、π154=

z I 五、)(22e e -π 六、51- 七、当1lim ≤∞

→n n a 时原级数发散，否则原级数收敛。 八、032=-+-z y x