次分式函数值域的求法

次分式函数值域的求法 Last updated on the afternoon of January 3, 2021

二次分式函数值域的求法

甘肃王新宏

一定义域为R 的二次分式函数用“判别式”法

解题步骤：1把函数转化为关于x 的二次方程

2 方程有实根，△≥0

3 求的函数值域

例1：求y=2

2222+++-x x x x 的值域 解：∵x 2+x+2>0恒成立

由y=2

2222+++-x x x x 得， （y-2）x 2+(y+1)x+y-2=0

①当y-2=0时，即y=2时，方程为x=0∈R

②当y-2≠0时，即y ≠2时,

∵x ∈R

∴方程（y-2）x 2+(y+1)x+y-2=0有实根

∴△=(y+1)2-(y-2)×(y-2)≥0

∴3y 2-18y+15≤0

∴1≤y ≤5

∴函数值域为[]5,1

练习1：求y=432+x x 的值域 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-43,43 二分母最高次幂为一次的二次分式函数值域常转化为“√”函数或用“均值不等式”来做。 先来学习“√”函数。

形如y=x+x k

(x>0,k>0)的函数，叫“√”函数

图像

单调性：在x ∈[]k ,0时，单调递减。在x ∈[]+∞,k 时，单调递减。

值域：[]+∞,2k

解题步骤：①令分母为t,求出t 的范围

②把原函数化为关于t 的函数

③利用“√”函数的单调性或均值不等式来求值域

例2求y=12122-+-x x x （321

≤

解令2x-1=t,得

0

+t

∴y=21

1

2++t t

21

2+≥ 当且仅当t t

1

2=时，即t=2时，取“=”。

∴y 21

2+≥ ∴值域为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞+,21

2

练习2求y=2cos 4

cos 3)(sin 2--+x x x 的值域⎥⎦⎤

⎢⎣⎡37,1

三分子为一次因式的二次分式函数，即形如：y=e

dx cx b ax +++2(ac 0≠) 解题步骤：①令分子为t,求出t 的范围，把原函数化为关于t 的函数

②分子分母同除以t ，把分母化为关于t 的“√”函数

③根据复和函数的单调性得出原函数值域

例3y=3

312+++x x x x ()+∞-∈,1 解令x+1=t,得

t ∈()+∞,0且x=t-1

∴y=12++t t t =t

t 1

11++ ∵1+t+t

13≥(t=1时取“=”) ∴y 3

1≤且y>0 ∴值域为⎥⎦

⎤ ⎝⎛31,0 练习3:求y=

1

2+x x 的值域？ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0 四分子分母均为二次的二次分式函数可化为“三“求之。

例如：y=2216222++++x x x x =2212)22(222++-+++x x x x x =2+2

2122++-x x x 注：实际上所有的二次分式函数的值域都可以用求导的方法解决，但有些题目用求导的方法求值域时比较繁琐，配和以上方法，会得到事半功倍的效果。

张掖实验中学734000（0936）3333296