高一数学必修4_向量复习讲义[整理]

数学必修4平面向量

一、基本概念：

1、向量：既有大小又有方向的量叫向量．

2、单位向量：长度为一个单位长度的向量。 与非零向量a 共线的单位向量0a

a a

=±

3. 平行向量：若非零向量,a b

方向相同或相反，则//a b ；规定零向量与任一向量平行 4、向量相等：b a =⇔ 模相等，方向相同；相反向量：b a

-=⇔模相等，方向相反 5、两个非零向量a 、b 的夹角：做OA =a ；OB =b ；AOB ∠叫做a

与b 的夹角。

6、坐标表示：i 、j

分别是与x 轴、y 轴同向的单位向量，若=a

j y i x +，则()y x ,叫做

a 的坐标。7.向量a 在

b 方向上的投影：设θ为a 、b 的夹角，则cos a θ 为a

在b 方向上

的投影

二、基本运算：

三、基本定理、公式：

1、平面向量基本定理：若1e 与2e

不共线，则对平面内的任意一个向量a ，有且只有一对

实数1λ、2λ；使得=a

2211e e λλ+。

2、向量的模：a

＝＝

2

2y

x +；非零向量a

与b 的夹角：

=

θc o s 2

2

222

1

2

12121y x y x y y x x b a +++=

⋅

3、向量平行：a

∥b

⇔b a λ=⇔

1221y x y x =；向量垂直：a

⊥

b

⇔0=⋅b a ⇔02121=+y y x x

四、基础训练

（1

）已知32==，且4=⋅b a ，则向量b 在向量a

上的投影为

（2）已知A （3，y ），B （5-，2），C （6，9-）三点共线，则y =_________.

（3）非零向量a 和b 满足：||||||a b a b ==- ，则a 与a b +

的夹角等于 . 五、典例讲解.

例1. 已知(1,2)A B a == ，(3,2)BC b ==- ，(6,4)C D =

（1）证明：,,A B D 三点共

线.（2）k 为何值时，① 向量k a b + 与3a b - 平行 ② 向量k a b + 与3a b -

垂直

例2、平面内有向量OA OB OP ===

（1，7），（5，1），（2，1），点Q 为直线OP 上一

动点，1）求Q A Q B ∙

取最小值时，点Q 的坐标 2）当点Q 满足1）的条件和结论时，求

cos AQB ∠的值。

例3. 已知向量(sin ,1)a θ= ，(1,cos )b θ= ，(,)22

ππ

θ∈-

（1）若a b ⊥ 求θ的值。 （2）求a b - 的最小值.（3）求函数)(θf y ==a ·b

的单调

增区间

六、巩固练习

1．已知平面内三点A （-1，0），B （x ，6），P （3，4），且−→

−AP =λ−→

−PB ，x 和λ的值分别为( ) A ．-7，2 B ．5，2 C ．-7，

5

2 D ．5，

5

2

2、向量a ，b 6=10=-的取值范围是 ．

3、已知6=，8=10=-=+ ．

4、已知=a 1e +2e ，=b ２1e －2e ，则向量a +2b 与2a －b （ ） A 、一定共线 B 、一定不共线 C 、仅当1e 与2e 共线时共线 D 、仅当1e =2e 时共线

5、已知∆ABC 顶点A （―1，12

-），B （2，3）及重心坐标G （1，12

），则顶点C 的坐标

为__________

6．已知O （0，0）和A （6，3）两点，若点P 在直线OA 上，且2PA OP =

，又P 是线段

OB 的中点，则点B 的坐标是

7、已知|→

a |=|→

b |，→

a ⊥→

b ，且（→a +→b ）⊥（k →

a -→

b ），则k 的值是( ) A ．1 B ．-1 C ．0 D ．-2

8、已知(1,2),(1,1)a b ==

，且a 与a b λ+ 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围

为_____________________

9、已知点O （0，0），A （1，2），B （4，5）,P 为一动点，及AB t OA OP +=， （1）t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？

（2）四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由。

Q

P

A

C

B

10、已知1a = ，2b =

，且a 与b 的夹角θ为060

（1）求a b ⋅ ，2

(2)a b -

，3a b +

（2）证明：a b - 与a

垂直

11、已知：→

a 、→

b 、→

c 是同一平面内的三个向量，其中→

a =（1，2）

（1）若|→

c |=2

5，且→

c ‖→a ，求→

c 的坐标

（2）若|→

b |=2

5，且→

a +2→

b 与2→a -→

b 垂直，求→

a 与→

b 的夹角θ.

12、已知等边三角形ABC 的边长为2，⊙A 的半径为1，PQ 为⊙A 的任意一条直径，

（Ⅰ）判断B P C Q A P C B ⋅-⋅

的值是否会随点P 的变化而变化，请说明理由； （Ⅱ）求BP C Q ⋅

的最大值．