电像法在高中物理竞赛中的应用

应满足
ｑ１＝ｑａＲ，ｄ＝Ｒａ２ ．（ｄ 为像电荷距球心的距离）
对于球腔内的任一点 Ａ（ｒ≤Ｒ）有
φＡ ＝４πｑεｒ１ －４πｑε１ｒ２ ＋Ｕ， 其中ｒ１，ｒ２ 分别为ｑ，－ｑ１ 到 Ａ 点的距离，故
槡 φＡ
＝ ４πε
ｑ
－
槡ｒ２＋ａ２－２ａｒｃｏｓθ ４πａε
ｑＲ
＋Ｕ．
ｒ２＋ａＲ２４ －２ｒＲａ２ｃｏｓθ
解 法 ４：微 元 法 ．
求解 Ｂ 处的速度
同解 法 ２ 中 的 求 解 方
法 一 样．现 在 把 老 鼠 出
洞后从 Ａ 到Ｂ 的距离
分成ｎ 等 份 （ｎ→ ∞ ），
图３
则
每
等
份
的
长
度
为ｓ２－ｓ１ ｎ
，每
等
份
都
可
看
做
匀
速
直
线
运
动
．
如 图 ３ 所 示 ，对 第ｉ等 份 ，其 速 度 大 小 为
ｖｉ＝ ｓ１
故可得板上感应电荷在导体内 Ｐ 点产生的电场强度
大小为ห้องสมุดไป่ตู้
Ｅｑ＝Ｅ感 ＝ｒｋ０ｑ２（ｒ０ 为 Ｂ 与Ｐ 之 间 的 距 离），电 场 方 向 由 Ｂ 指向Ｐ（如图１３所示）．
显然，这样 的 结 果 是 错 误 的．学 生 之 所 以 会 出 现 这 样
的问题，原因是没有 很 好 地 掌 握 电
像法所适用的区域．像 电 荷 与 感 应
＋
ｖ１ｓ１ （ｉ－１）ｓ２ｎ－ｓ１
，
老鼠通过该小段所需时间为
［ ］ Δｔｉ＝ｓ２ｎ－ｖｉｓ１
＝
（ｓ２
－ｓ１
）ｓ１ ＋ （ｉ－１）ｓ２ｎ－ｓ１ ｎｖ１ｓ１
＝
ｓ２ －ｓ１ ｎｖ１
＋
（ｉ－１）（ｓ２－ｓ１）２ ｎ２ ｖ１ｓ１
，
老鼠从 Ａ 到Ｂ 所用的时间为
∑ ［ ］ ｔ ＝
ｎ ｉ＝１
ｓ２ －ｓ１ ｎｖ１
＋
腔，空腔内充满介电常数为ε的电介质，有一点电荷ｑ 位 于 离 空腔中心为ａ（ａ＜Ｒ）的地方（如图１０所示），求空腔内的
电势．
分析：这是一个 有 介 质 的 问 题 ，空 腔 内 的 电 势 由 ３ 部
分组 成：电 荷 ｑ 的 电 势、感 应 电 荷 的 电 势、极 化 电 荷 的 电
势．可用空腔外的像电荷－ｑ１ 来等效 球 面 上 的 感 应 电 荷 和 极化电荷（如图１１所示）．由 于 必 须 保 证 球 面 是 等 势 体，则
点评：微元法是 分 析、解 决 物 理 问 题 中 的 常 用 方 法，
也是从部分到整体 的 思 维 方 法．在 使 用 微 元 法 处 理 问 题
时，需将其分解为众 多 微 小 的 “元 过 程 ”，而 且 每 个 “元 过
程”所遵循的规律是相同的．这样，我们只需分 析 这 些“元
过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方 法 或 物 理 思
（ｒ≤Ｒ）
图８
图 １０
图９
分析：根据前 面 的 讨 论 可 知，在 研 究 导 体 球 外 点 电 荷 所受静电力时，可 以 把 导 体 球 等 效 地 看 作 两 个 像 电 荷 ：一 个带 电 荷 量 为 －ｑ１，在 点 电 荷 与 球 心 的 连 线 上，且 距 球 心 的距离为 ｘ．另一个像电荷带电量为 Ｑ＋ｑ１，在 导 体 球 的 球 心 处 （如 图 ９ 所 示 ）．满 足
（３）边 界 条 件 必 须 给 定 ．如 果 没 有 确 定 的 边 界 条 件 ，那 么 唯 一 性 定 理 也 就 不 成 立 了 ，电 像 法 就 无 从 谈 起 ．
（下 转 封 三 ）
— ７１ —
明了，还能起到 一 般 计 算 法 所 不 能 起 到 的 作 用 ，可 以 使 物
理概念得到进一步拓展．
由 对 称 性 可 知，像 电 荷 在 导 体
球的 球 心 Ｏ 与 点 电 荷ｑ 的 连 线 上．
设像电 荷 带 电 荷 量 为 －ｑ１，离 球 心
Ｏ 的距离 为ｈ１，要 满 足 球 面 的 电 势 为 ０，则
ｈ１＝ｒｈ２ ；ｑ１＝ｒｈｑ（如图６所示）．
图５
若导体球不接地，则导体的电势不为０，但仍 然 是 一 个
区域之外．也就是说像电荷产 生 的 效 果 只 有 在 所 研 究 区 域 内与感应电荷是等效的，在其 他 位 置 其 效 果 与 感 应 电 荷 并
不 相 同 ．这 也 是 学 生 最 容 易 出 错 的 地 方 ． 例 ４．如 图 １２ 所 示，一 个 接
地无穷大导 体 板，在 距 导 体 板 表
度去思考、去分析，展 开 问 题 探 究，寻 找 更 多 的 解 题 方 法，
拓开思路．通过探究 问 题 的 多 种 解 法，训 练 学 生 的 发 散 思
维，培养学生的思维能力． （收稿日期：２０１１－１２－３１）
（上 接 第 ７１ 页 ） （４）像电荷是 一 些 假 想 的 电 荷，它 的 引 入 不 能 改 变 所 研究区域的原有场分布，因此 像 电 荷 应 放 在 所 研 究 的 场 的
图３ 分析：根据接地无限大平面 导 体 板 像 电 荷 的 结 论 和 边 界条件，我们很容易想到 在 （－ｘ０，ｙ０）及 （ｘ０，－ｙ０）处 各 有
— ７０ —
图４
１．２ 导 体 球 模 型
如图 ５ 所 示，有 一 点 电 荷 ｑ 置 于半径 为ｒ 的 接 地 导 体 球 外，点 电
荷 距 球 心 的 距 离 为 ｈ．
ｑ１＝ｄＲｑ．
（１）
ｘ＝Ｒｄ２ ．
（２）
两个像电荷对点电荷的库仑力分别为
Ｆ１
＝ｋ
ｑｑ１ （ｄ－ｘ）２
，Ｆ２
＝ｋｑ（Ｑｄ＋２ｑ１）．
由题 目 已 知 条 件，要 使 点 电 荷ｑ 被 导 体 球 吸 引，则 应
满 足 Ｆ１＞Ｆ２，即
ｋ
ｑｑ１ （ｄ－ｘ）２
＞ｋｑ（Ｑｄ＋２ｑ１）．
（３）
将
（１）、（２）式
代
入
（３）式
可
得Ｑｄｄ＋３Ｒｑ＜
ｑＲｄ （ｄ２ －Ｒ２ ）２
，
故Ｑ 所满足的条件为
图 １１
２ 运 用 电 像 法 解 题 时 的 几 个 注 意 点 在运用电像法来解题时，一 般 先 根 据 题 目 的 边 界 条 件
来确定像电荷的位置和大小，然 后 再 根 据 场 的 叠 加 原 理 求 出电势、电场强 度 等 物 理 量．学 生 对 于 使 用 电 像 法 并 不 困 难，而问题出在 总 是 “滥 用”电 像 法．每 遇 到 导 体 在 电 场 中 的情况时就去使用电像法，其 实 很 多 问 题 是 无 法 用 电 像 法 解 决 的 ．所 以 一 定 要 强 调 电 像 法 的 适 用 条 件 和 使 用 范 围 ．
的边界条件则必须在（－ｘ０，－ｙ０）处 引 入 一 个 带 电 荷 量 为
ｑ的镜像电荷（如图４所示）．这样等 效 处 理 后，点 电 荷ｑ 受
到的库仑力就来自于这３个像电 荷．分 别 在 ｘ 与ｙ 轴 两 个
方向上进行分析．
Ｆｘ ＝ －ｋ４ｑｘ２０２ ＋ｋ４（ｘ０ｑ２＋２ ｙ０２）ｃｏｓθ，
（１）
ｃｏｓθ＝ ｘ０
面为ｄ 的Ａ 处放一个带电量为
－ｑ 的 点 电 荷．求 板 上 感 应 电 荷 在导体 内 Ｐ 点 （ＰＡ＝ｒ）产 生 的
电场强度． 分析：在 处 理 这 个 问 题 的 时
候，很多 学 生 先 找 出 －ｑ 的 像 电 荷ｑ，其 位 置 在 与 Ａ 对 称 的 Ｂ
图 １２
处，认为感应电荷在 Ｐ 点产生的电场强 度 就 是 像 电 荷ｑ 在 该处的电场强度．
图６
图７
例２．如 图 ８ 所 示，一 个 带 有 电 荷 量 Ｑ 的 不 接 地 导 体 球，半径为 Ｒ，离球心距离为 ｄ 处 有 一 点 电 荷，带 电 荷 量 为 ｑ．试求，当 Ｑ 为何值时，点电荷ｑ 将被导体球吸引．
Ｑ＜ｑＲｄ３（ｄ（２２ｄ－２Ｒ－２Ｒ）２２）．
例３．在电势 为 Ｕ 的 导 体 内 有 一 半 径 为 Ｒ 的 球 型 空
等势 体．所 以 不 妨 仍 然 认 为 存 在 一 个 像 电 荷 －ｑ１．由 于 导 体球不带电，根 据 电 荷 守 恒 定 律，导 体 球 应 还 带 有 电 荷 量
＋ｑ１．因为导体球是 一 个 等 势 体 ，所 以ｑ１ 电 荷 只 能 均 匀 分 布于球表面．这样，一 方 面 导 体 球 上 －ｑ１ 与 ＋ｑ１ 之 和 正 好
电荷产生 的 电 场 只 有 在 导 体 板 右
．
槡ｘ０２ ＋ｙ０２
由 （１）、（２）式 可 得
（２）
［ ］ Ｆｘ＝－ｋｑ４２
１ ｘ０２
－
（ｘ０２
ｘ０ ＋ｙ０２）３２
，
同理可得
［ ］ Ｆｙ＝－ｋｑ４２
１ ｙ０２
－
（ｘ０２
ｙ０ ＋ｙ０２
）３２
．
负号表示库仑力与 ｘ、ｙ 轴的方向相反．
图１
图２ 例１．如图３所示，有 一 块 很 大 的 接 地 导 体，具 有 两 个 互相垂直的表面，在此两表面外较近处有一 个 点 电 荷ｑ，坐 标为（ｘ０，ｙ０），求点电荷ｑ 受到的库仑力．
第 ３３ 卷 第 ８ 期 ２０１２ 年
物 理 教 师 ＰＨＹＳＩＣＳ ＴＥＡＣＨＥＲ
Ｖｏｌ．３３ Ｎｏ．８ （２０１２）
等于０，同时导体球上－ｑ１、＋ｑ１ 及球外ｑ 共 同 产 生 的 电 场 仍然能保证导体 球 为 一 个 等 势 体．在 处 理 具 体 问 题 时 ，均 匀分布于球面的＋ｑ１ 可 用 处 于 球 心 带 电 量 为 ＋ｑ１ 的 点 电 荷 代 替 （如 图 ７ 所 示 ）．
Ｖｏｌ．３３ Ｎｏ．８ （２０１２）
·竞赛园地·
物 理 教 师 ＰＨＹＳＩＣＳ ＴＥＡＣＨＥＲ
第 ３３ 卷 第 ８ 期 ２０１２ 年
电像法在高中物理竞赛中的应用
周 佳
（江苏省常熟中学，江苏 常熟 ２１５５００）
电像法是高中物理竞赛 中 常 用 到 的 一 种 方 法 ，主 要 应 用于讨论导体周围有一个或几个点电荷时空间的电势和 场强等问题．其核心思想是在 不 改 变 原 来 问 题 的 边 界 条 件 基础上，用 求 解 区 域 外 的 假 想 电 荷 代 替 导 体 上 的 感 应 电 荷．掌握了这种 方 法，对 学 生 解 题 思 路 的 拓 展 和 解 题 能 力 的提高都有很大的帮助． １ 电 像 法 在 高 中 物 理 竞 赛 中 的 应 用 １．１ 接 地 平 面 导 体 板 模 型
想 处 理 ，进 而 使 问 题 求 解 ．
解 法 ５：积 分 法 ．
如 图 ４ 所 示，在
ＡＢ 之 间 取 一 点 Ｃ，Ｃ
到老鼠洞口的距离为 ｘ，则 Ｃ 点 速 度 为ｖＣ ＝ｖｘ１ｓ１ ．
图４
在 Ｃ 附近取一微元 ｄｘ，有 ｄｔ＝ｖｄｘＣ ＝ｖｘ１ｓ１ｄｘ， 对 两 边 定 积 分 ，所 求 时 间
如图１所示，在一接地的无 限 大 平 面 导 体 板 上 方 有 一 点电荷 Ｑ，其感 应 电 荷 在 导 体 板 上 方 区 域 产 生 的 影 响 ．根 据电磁学知识可知，可以用带电荷量为－Ｑ，位置与 Ｑ 关于 导 体 板 对 称 的 像 电 荷 Ｑ１ 来 取 代（如 图 ２所 示）．［１］
一个带电荷量为－ｑ 的 镜 像 电 荷．但 要 同 时 满 足 两 个 表 面
（１）所求区域有 少 数 几 个 或 一 个 点 电 荷．如 果 点 电 荷 过 多 ，就 很 难 利 用 边 界 条 件 求 出 像 电 荷 的 电 荷 量 与 位 置 ．
（２）导体或者介 质 的 边 界 形 状 比 较 规 则 （球 面，平 面， 圆柱面），具有一 定 的 对 称 性．如 果 没 有 很 好 的 对 称 性 ，像 电荷是很难找出来的．
∫ ∫ ｔ＝
Ｂ
ｄｔ＝
Ａ
ｓ２ ｓ１
ｘ ｄｘ ｖ１ｓ１
＝
ｘ２ ２ｖ１ｓ１
ｓ２ ｓ１
＝ｓ２２２ｖ－１ｓｓ１１２ ．
代 入 数 据 得ｔ＝７．５ｓ．
点评：高中数学已初步接触到积分的概 念，竞 赛 学 生
已掌握简单的积分公式，本题用积分的方式 求 解，比 用 初
等数学的微元累加求和要简单得多．
以 上 的 ５ 种 不 同 方 法 求 解 同 一 道 题 目 ，每 种 方 法 都 体
现 不 同 的 思 想 方 法 ，收 到 了 “横 看 成 岭 侧 成 峰 ，远 近 高 低 各
不同”的效 果．在 教 学 中 我 们 要 为 学 生 创 造 条 件，创 设 情
景 ，想 方 设 法 引 导 学 生 去 探 究 ，去 思 考 ，不 断 培 养 学 生 的 思
维能力和创新精神．在 习 题 教 学 中，引 导 学 生 从 不 同 的 角
（ｉ－１）（ｓ２ －ｓ１ ｎ２ ｖ１ｓ１
）２
＝
ｓ２ －ｓ１ ｖ１
＋
（ｓｎ２２－ ｖ１ｓｓ１１）２ ［１＋２＋３＋
…
＋
（ｎ－１）］＝ｓ２ｖ－１ｓ１
＋
（ｓ２ －ｓ１ ）２ ｎ２ ｖ１ｓ１
·ｎ（ｎ－１）， ２
当
ｎ→
∞
时
，ｔ＝ｓ２ｖ－１ｓ１
＋
（ｓ２ －ｓ１ ）２ ２ｖ１ｓ１
＝ｓ２２２ｖ－１ｓｓ１１２
．
代 入 数 据 得ｔ＝７．５ｓ．