数形结合巧解的有关数学问题
数形结合巧解高考题
数形结合巧解高考题引言在高考数学中，有一类常见的题目是要求我们将数学问题与几何图形相结合，通过观察图形特征或者利用几何性质来解决问题。
这种数形结合的方法可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，提高解题的效率和准确性。
本文将通过一些典型的高考题目，介绍数形结合的思路和方法，并给出详细的解答过程。
例题1题目描述已知函数f(x)=13x3+ax2+bx+c，其中a,b,c为常数。
若对于任意实数x，都有f(x+1)−f(x)=3x2+5x+2，求a,b,c的值。
解答过程首先观察到题目中给出了函数f(x)的表达式以及关于f(x)的等式。
我们可以利用这些信息来推导出a,b,c的值。
由于等式f(x+1)−f(x)=3x2+5x+2成立对于任意实数x都成立，所以我们可以尝试取特殊值来简化计算。
让我们取x=0，代入等式中得到：f(1)−f(0)=2再取x=1，代入等式中得到：f(2)−f(1)=10通过观察这两个等式，我们发现f(x)的每一项系数都可以通过这些等式来求解。
将f(x)展开得到：f(x)=13x3+ax2+bx+c=13x3+(a−13)x2+(b−a+13)x+(c−b+a3)由于等式成立对于任意实数x 都成立，所以我们可以将x 换成特殊的值来简化计算。
取x =0，代入上述展开式中，得到：c −b +a 3=0 (1) 再取x =1，代入上述展开式中，得到：43+a −23+b −a +13=10 (2) 将(1)带入(2)，整理可得：b =−56 (3) 将(1)和(3)带入(2)，整理可得：a =76 (4) 将(4)带入(1)，整理可得：c =518 (5) 综上所述，a =76，b =−56，c =518。
例题2题目描述已知函数f (x )=ax 2+bx +c 的图像上存在两个不同的点(x 1,y 1)和(x 2,y 2)，满足以下条件： 1. x 1+x 2=4 2. y 1+y 2=6 3. x 1y 1+x 2y 2=9求a,b,c 的值。
“数形结合”巧计算
“数形结合”巧计算数形结合使“代数问题几何化，几何问题代数化”。
比如列方程解应用题时常画线段图、有理数用数轴上的点来表示等等，都是数形结合的典型例子。
对于一些较难的数学问题，采用由形思数、由数想形，结合具体问题，灵活进行数形转化，往往可使复杂问题简单化、抽象问题具体化。
下面就以举例谈谈“数形结合”解问题。
例如，求1＋2＋3＋4＋…＋n的值，其中n是正整数．分析：对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对正整数n是奇数，还是偶数进行讨论．如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1＋2＋3＋4＋…＋n的值，方案如下．方案一：如图1，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n 个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1＋2＋3＋4＋…＋n 的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n＋1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n＋1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为21）（+nn，即1＋2＋3＋4＋…＋n＝21）（+nn．图1方案二：设计图形如图2所示．图2因为组成此正方形的小圆圈共有n行，每行有n个，所以共有（n×n）个，即n2个．∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n×n＝n2．（1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中n 是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）（2）试设计另外一种图形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）【分析】这是一道通过材料阅读，从中得出“解题方法型”的试题；试题中渗透了运用“数形结合”的思想。
数形结合 巧解代数问题
求 ： 争， ，争， 争 证Ｄ ≤ Ｄ， Ｄ ≤ ≤ ≤≤ ≤
证明 ： 将已知条件看作直线和圆 ，
综上， 数形结合 作为—种 重要的数学思 想方法 ， 在运 用
其解题 时 ， 到认真分析 ， 要做 精确 作图 ， 严密推理 ， 能实现 才 数与形的等价 转换 ， 保证正确的解题结 果。
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数 结 在 方 中 运 形 合解 程 的 用
因 圆 （Ｄ 直 距 ｄ ≤／ Ｄ 此 心Ｄ） 线 离＝ ，到 、 争 ≤
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由图像可知 的范围为（ ，） Ｊ＋ ） 一 ０ ｕ（，＊
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解： 问题可 转化成 是动点 （ｎ ，ｎ） ｃｓ ｓ ｘ与定点 （ ，） ｉ ２２ 的连
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高 千 江苏省淮安市涟水中学
题如将量有的合来能将 一些繁琐冗长 ， 时能嘉 机结起 数形 与 霎 或
无从着手的问题迎刃而解 ， 本文将谈 谈数形结合在解决代数
问题时的几点运用 ， 供参考。
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运用数形结合思想巧解高中数学题例析
运用数形结合思想巧解高中数学题例析数学是一门抽象的学科，与大多数人口中的“实在”“有形”等形容词相悖。
但是，数学却可以通过数形结合的方法让我们看到它的立体感。
在高中数学中，数形结合思想尤为重要，它能够启发我们思考问题，化繁为简，找到解题的技巧性思路。
数形结合思想是一种通过图形来解决数学问题的方法。
它将数学公式和几何图形有机地结合在一起，借助图形的视觉效果，使得数学问题更加直观易懂，容易解决。
以下将通过举例说明如何巧妙地运用数形结合思想解决高中数学问题。
例1. 在平面直角坐标系内，将直线 $y = x$ 上的点分别与 $x, y, -x,-y$ 坐标轴上的点两两连成线段，把平面分成了 $8$ 个部分，求其中钝角三角形的个数。
这是一道很巧妙的数形结合题。
题目中要求我们求的是钝角三角形的个数。
我们可以从图形入手，由题意可知，随着绕点 $O(0,0)$ 以 $(x, x)$，$(y, 0)$，$(-x,-x)$ 和$(0, y)$ 为端点的线段依次连接，整个平面被分成八个区域。
根据锐角、直角、钝角三角形三种情况，可以发现，当一个三角形中必须至少有一条边与 $y=x$ 相交时，这个三角形就是钝角三角形。
因为它的另外两条边必须显著“弯曲”，而直角三角形则需要两条边与 $y=x$ 垂直。
同样的，当一条边与 $y=-x$ 相交时，也可能会构成钝角三角形。
那么我们可以可以通过观察不同的区域得到钝角三角形的数目。
对于 $A$ 区域，只有 $(3)$ 构成的三角形（实心的）是钝角三角形。
通过以上分析，我们得到：在这八个区域中，钝角三角形的个数为$1+3+4+1+1+3+3+1=17$。
例2. 已知 $\triangle ABC$ 的三个顶点的坐标分别为 $A(0,0)$，$B(6,0)$，$C(3,5)$，$P$ 点在 $\triangle ABC$ 内部，$AP$ 与 $BC$ 相交于点 $D$，$BP$ 与$AC$ 相交于点 $E$，$CP$ 与 $AB$ 相交于点 $F$，三边上的点 $D$，$E$，$F$ 互不相同。
巧用数形结合思想求函数最值
巧用数形结合思想求函数最值六招破解函数最值及巧用数形结合求参数问题一、六招破解函数最值问题函数最值问题一直是高考的一个重要的热点问题，在高考中占有极其重要的地位.为了让大家能够更加系统、全面地掌握函数最值问题的解决方法，下面就其问题的常用解法，分类浅析如下：1.配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F(x)=6z/(x)2+/7/(x)+c(qHO)的最值问题，可以考虑用配方法.［例 1］已知函数 =(eA—a)2+(e A—tz)2(tzeR, aHO),求函数 y 的最小值.2.换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法.在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和-:角换元，我们可以根据具体问题及题目形式灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单的函数最值问题.如可用三角换元解决形如/+/=1及部分根式函数形式的最值问题.3・不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用基本不等式及其变形公式來解决函数最值问题的一-种方法.常常使用的基本不等式有以下几种：aIb#a|b。
er2ab(a, b 为实数),° ^y［ab(a0, b20), abW。
J 些艺(a, b为实数).14［例3］函数fix) =-+t^(O<x< 1)的最小值为・兀1X4.函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值.这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法.这种方法在高考屮是必考的，多在解答题中的某一问出现.［例4］已知函数»=xln x,则函数心)在也r+2］(r>0)上的最小值为.5.导数法设函数兀Q在区间［a, b］上连续,在区间(a, b)内可导,则的在［a, b］上的最大值和最小值应为兀0在(d, b)内的各极值与», fib) 中的最大值和最小值.利用这种方法求函数最值的方法就是导数法.［例5］函数»=x3-3x+l在闭区间［—3,0］上的最大值，最小值分别是，•6.数形结合法数形结合法是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的…种常用的方法.这种方法借助儿何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，还可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的-种重要途径.［a,［例 6］对 a, bWR,记 max|d, b\=\i1 函数=max||x+l|, |x—2||(x£R)的最小值是.二、巧用数形结合妙解3类求参数问题通过以下三个方面体会数形结合思想的运用.1.通过基本函数模型及变式的图象求参数的取值范围或值|lg x|, OvxWlO,若a,b,c互不相等,［例1］已知函数fix)=<1—2^+6,兀>10,_!»=»=»,则abc的取值范围是(2•通过函数的零点与方程的解的相互关系求函数零点和方程的解及参数的范围［例2］已知mGR,函数/(x)=x2+2(m2+l)x+7,g(x)=-(2m2—m+2)x+m.(1)设函数p(x)=/U)+g(x)・如果p(x)=0在区间(1,5)内有解但无重根，求实数加的取值范围；d,总存在唯一非零实数b(bHa),使得/2(d)=/z(b)成立？若存在，求加的值；若不存在，请说明理由.3.通过圆或圆锥曲线的部分图形与函数图象的关系来求参数的范围［例3］如果函数y=l+p4—F(|x|W2)的图象与函数2)。
运用数形结合法巧解高考三角函数问题
（ｘ 詈 丌 ｋ ｝ ｃｌ 十 ∈ ） ｛ ｋ 詈，ｚ
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图１
Hale Waihona Puke 已知函数ｆｘ ： ／３ｓ ｘ ＣＳ ， ∈Ｒ， （） （） 、 ｉ — ＯＸ ｘ ｎ 若ｆｘ
≥ １则 ｘ ， 的取 值 范 围为 （ ） ．
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在 同 一 坐 标 系 内作 出 函 数 ｙ ｓ ｘ与ｙ 的 图 像 （ （ ＝ｉ － ： ｎ 女 １
高中数学 数形结合_巧解“与圆有关的最值问题” 知识点+例题
数形结合，巧解“与圆有关的最值问题”例1 平面上有两点A （1-，0），B （1，0），P 为圆x y x y 2268210+--+=上的一点，试求S AP BP =+||||22最小值．解析：把已知圆的一般方程化为标准方程得()()x y -+-=34422，设点P 的坐标为(,)x y 00,则2222220000||||(1)(1)S AP BP x y x y =+=+++-+222002(1)2(1)x y OP =++=+ 要使22||||BP AP S +=最小,需||OP 最小,即使圆上的点到原点的距离最小.结合图形,容易知道325||min =-=-=r OC OP ,所以20)13(22min =+=S ．点评：设 P （x ，y ），使要求的式子转化为求圆上的点到原点的距离问题，利用数形结合法求最值，实质上是利用初中学过的“连结两点的线段中，直线段最短”这一性质．例２ 点A 在圆()()x y -+-=53922上，则点A 到直线3420x y +-=的最短距离为（ ）A. 9B. 8C. 5D. 2解析：过C 作CD ⊥直线3420x y +-=于D ，交圆C 于A ， 则AD CD r =-为所求 ．∴AD例３ )0,3(P 在圆0122822=+--+y x y x 内一点．求（1）过P 的圆的最短弦所在直线方程（2）过P 的圆的最长弦所在直线方程解析：圆方程可以化成5)1()4(22=-+-y x ，圆心)1,4(O 1=OP k∴ 短l ：)3(--=x y 即 03=-+y x ； 长l ：)3(-=x y 即03=--y x ． 点评：最长弦当然是直径了，而最短弦是与直径垂直的弦．例４ 已知实数x ，y 满足方程22(2)3x y -+=．（1） 求y x的最大值与最小值； （2） 求y x -的最大值与最小值； （3） 求22x y +的最大值和最小值．分析：22(2)3x y -+=为圆的方程，(,)P x y 是圆心为（2，0）点．y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，y x -的几何意义是直线y x b =+在轴上的截距，22x y +的几何意义是圆上一点到原点距离的平方．解：（1）设y k x=，即y kx =．当直线y kx =与圆相切时，斜率k 取最大值与最小值，=k =．所以y xk = （2）设y x b -=，当直线y x b -=与圆相切时，纵截距b 取得最大值与最小值，=解得2b =-所以y x -的最大值为2-，最小值2-．（3表示圆上一点到原点距离，由平面几何知识知，其最大值为圆心到原点的距离加上圆的半径，其最小值为圆心到原点的距离减去圆的半径，分别是2与222x y +的最大值和最小值分别为7+7-．例5 过直线1y =上一点P （x ，y ）作圆22(1)(1)1x y +++=的切线，求切线长的最小值．解析：如图所示，切线长2221PM PC CM PC =-=-，所以要求PM 的最小值，只需求PC 的最小值．PC 是直线上一点到圆心的距离，由于经直线外一点所引直线的垂线段的长度是该点到直线的距离的最小值，所以当PC 垂直于直线时，min 2PC =，此时，切线长最小，为3．小结与提升：圆的知识在初中与高中都要学习，是一典型的知识交汇点．现在的数学高考非常重视初高中知识的衔接问题，所以同学们在处理与圆有关的小题时，一定要数形结合，多联想一下与之有关的平面几何知识，以免“小题大作”．。
“数形结合”巧解数学问题
说， 用字 母表 示数既有助于揭示概念 的本 质特征 ， 又能使 数量之间的关系更加简单
明 了。 在 教 材 中 ， 学 生 所 接 触 到 的 用 字 母
０天 的 一 半 ， 即第 ２ ９天 时 的 长 度 用数学 知识 ， 能否准确运用有效的数学思 就 是 第 ３ 应 该 是 ２ ０＋２ ＝ １ ０ （ 厘 米 ） ； 再根 据第 ２ ９天 想方法。教学 实践 中我们 发现 ， 小学生 的
力。 其实数形结合就不失为一种 有效 的数 该 追寻 的快 乐教 学 。 总之 ， 数学研究的对象本身就是现实 学方法。
与 除之 间的互逆关系 ， 从 后往前一步一步 地推算 ， 追根究底 ， 逐步推 出结果 ， 使 问题
得 到 解 决 。 当然 ， 在 解决 这 类 稍 复 杂 的 复
０ 厘米 ，半 圆的周长是多 之一。尤其在小学数学教学 中， 数形 结合 半 圆的半径是 １ 法的运 用不仅可 以使一 些数学 问题化抽 象为直观 ， 化难为 易， 化繁为简 ， 使问题简
生通过数形结合 ， 巧 用推理来解决。 如图 ：
圆 的 周长 等 于 ２ １ Ｔ ｒ ， 圆 周 长 的 一 半 就 可 用
题的能 力 ，让他 们在巧 思妙解 中乐学 数
帮助学生理解题意 ， 教学 中我们 可以引导 学， 好学 数学 ， 同时也让 我们 的课堂更 高 周长就 等于 １ Ｔ ｒ ＋ ２ ｒ ＝ ５ ． １ ４ ｒ ， 这道 题便可根 学 生 画 出线 段 图 ： （ 如 图） 效。那么 ， 运 用数形 结合法如何 巧解数学 据 推 理 一 步 来 算 ： Ｃ
关键词 ： 数形结合
在教学中 ， 我 们 要 适 时 对 学 生 进 行 数
这 道题 如让学 生顺 向思维分 析是 很 难 解决 的， 甚至无从 下手。解决这 类数学
利用数形结合法巧解疑难问题
利用数形结合法巧解疑难问题数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系和直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”的形式把抽象思维和形象思维进行结合，达到复杂问题简单化、抽象问题具体化目的从而优化解题途径。
现就利用表达式的几何意义，使用数形结合方法解决一些不容易入手的或计算量大的问题进行总结，望对学生掌握数学学科的解题技巧有帮助。
例题1：函数)11ln()(22+--++=x x x x x f 的值域是，)0,(:-∞A )0,1(:-B )1,0(:C ),0(:∞D这是一道2007年高考摸拟考试选择题的压轴题，不易入手，学生往往想到用求导的方法去求函数的值域，但求导过程很复杂；若利用几何性质，使用数形结合方法分析，则解题思路清晰，可以化繁为简。
利用函数的几何意义:22222222)230()21()230()21(43)21(43)21(11-+---++=+--++=+--++x x x x x x x x1122+--++∴x x x x 可看为X 轴上上的一个动点)0,(x P 到定点)23,21(-M 和)23,21(N 的距离之差，即PN PM x x x x -=+--++1122而1=<-MN PN PM ，同时考虑函数的定义域，因此得：111022<+--++<x x x x所以函数)11ln()(22+--++=x x x x x f 的值域是)0,(-∞ 例题2：定义在R 上的函数)(x f 满足1)4(=f ，)(x f '为函数的导函数，已知函数)(x f y '=的图像如图所示，两个 正数b a 、满足1)2(<+b a f ，则22++a b 的 取值范围是：)21,31(:A ),3()21,(:+∞-∞ B )3,21(:C )3,(:--∞D 这是一道西安市八校联考试题，学生摸不着头脑，不知道题设与结论之间有什么联系，但用22++a b 的几何意义，则不难理清解题思路。
“数形结合”巧解小学数学思维题
9（a+b+c)＜70
a+b+c＜70÷9
a+b+c＜ 8
a+b+c大于6小于8，所以a+b+c=7
例4: 计算：
我们用一个大正方形 表示整数1，依次表示出 、 、 ……
从图中可以 ，所以：
=1-
=
例5：计算：6²+8²+14²+22²+36²+58²
6、8、14、22、35、58这个数列是斐波那契数列，6²可以看作是边长为6的正方形，依次类推。
不难看出：6²+8²+14²+22²+36²+58²
=（36+58）×58-（8-6）×6
=5452-12
=5440
例6：甲、乙两站相距610千米，两站之间有丙站。快车从甲站开往丙站，已经行驶了90千米，慢车从乙站开往丙站，已经行驶了它全部路程的 ，这时丙站正好处在快慢两车中间的位置上，求甲站到丙站的距离。
例2：(16+△)÷(20-△)=3
根据题意有（16+△）是（20-△）的3倍，把（20-△）看作一份，（16+△）有这样的3份。由此画出线段图：
20- △：
16+△:
一份（20-△）就是36÷（1+3）=9 △=20-9=11
例3：9a+10b+11c=70(五年级思维题）
（a,b,c是非0的自然数）
求a+b+c=
先画长9、宽a的长方形，再画长10、宽b的长方形，最后画长11、宽c的长方形。
把这个图形补成一条边长11、一条边长（a+b+c)的长方形。由图可知，这个长方形的面积一定小于70，即：
数形结合巧解题
数学篇通过观察图形来探究数量关系，或利用数量关系来描述图形特征，从而使复杂的问题简单化，这种思想方法称为数形结合思想.用数形结合的思想解题可分为两类：①利用几何图形的直观性表示数的问题，它常常借用数轴、直角坐标系、函数图象等；②运用数量关系来研究几何图形问题，常常要建立方程（组）或建立函数关系等.下面简单介绍“数形结合”巧解初中数学题的几种情形.一、数形结合巧解图形变化规律问题初中阶段的图形变化规律题中往往涉及数字的变化，图形关系在发生规律性的变化时，数量关系也会随之出现规律性的变化.解题时我们应从分析图形结构的形成过程入手，从简单到复杂进行归纳猜想，从而获得隐含的数字规律，并用代数式描述出来，进而解答相关问题.例1图1是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n 条“金鱼”需要火柴_________根.图1分析：本题虽然是图形问题，但依然可以采用数形结合思想来解.可以将火柴棒摆成的金鱼“形”转化为火柴棒的“数”量.解：1条金鱼，有8根火柴；2条金鱼，有14根火柴，比1条金鱼多6根；3条金鱼，有20根火柴，比2条金鱼多6根，比1条金鱼多2×6根；……n 条金鱼，有（）根火柴，比（n -1）条金鱼多6根，比（n -2）条金鱼多2×6根，……，比1条金鱼多（n -1）×6根；这样，利用递推的方法就可以推算出第n 条金鱼需要8+6×（n -1）=6n +2根.点评：本题主要考查图形的变化规律.解答此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点.二、数形结合巧解二元一次方程组问题二元一次方程组和一次函数的结合很好地诠释了“数”与“形”的结合，我们可以利用两直线的交点坐标确定方程组的解，也可以利用方程组的解确定两直线的交点坐标.在利用一次函数图象解二元一次方程组时，两函数图象的交点的横坐标是x 的值，纵坐标是y 的值，正确找出交点坐标是解题的关键．例2用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图2所示），则所解的二元一次方程组是（）图2A.{x +y -2=03x -2y -1=0 B.{2x -y -1=03x -2y -1=0C.{2x -y -1=03x +2y -5=0D.{x +y -2=02x -y -1=0数形结合巧解题江苏省启东市南阳中学黄烨华学思导引27数学篇分析：题目已经给出方程组的图象，我们根据图象可以明确两条直线的斜率，进而直接将图象中两直线的交点坐标P带入方程即可以验证准确与否.解：由图可知，两直线都过P（1，1）点，其中一条直线斜率为k=-1，另一条直线斜率为k=2.对比选项，只有选项D满足条件，其中直线x+y-2=0的斜率为k=-1，直线2x-y-1=0的斜率为k=2，而且都满足过P（1，1）.答案为D项.评注：通过图象求解二元一次方程组问题，除了关注交点坐标外，还要看图象能提供哪些其他信息，同时要关注选项，对比出选项的异同点.三、数形结合巧解二次函数问题二次函数蕴含了丰富的数形结合思想，在平面直角坐标系中，二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a，b，c密不可分.因此，在解答二次函数问题时，要把图形的性质特征与数量关系相互转化，通过观察图象分析图形与数量之间的关系，通过分析数量关系的变化判断函数图象的运动轨迹，从而求解.例3图3为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3；③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤2a-b=0；⑥b2=4ac＞0.结论一定成立的是（）.图3A．①②④⑥B．①②③⑤C．②③④⑤⑥D．①②③④⑤⑥分析：此题考查了二次函数的图象.我们可以借助于二次函数的图象和性质特征完成解题.解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线和y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，∴ac＜0，∴①正确；∵图象与x轴的交点坐标是（-1，0），（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的根是x1=-1，x2=3，∴②正确；把x=1代入y=ax2+bx+c得：a+b+c＜0，∴③错误；根据图象可知：当x＞1时，y随x的增大而增大，∴④正确；∵-b2a=1，∴2a=-b，∴2a+b=0，不是2a-b=0，∴⑤错误；∵图象和x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，∴⑥正确；故选A项．评注：“数形结合”要牢牢地抓住“数”的性质和“形”的特征，本题考查了同学们对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了观察图象的能力.同学们一定要重视对定义、概念以及原理的学习，这些都是数形结合的根源.四、数形结合巧解统计问题解答统计问题的重点在于收集数据、分析数据、将数据用图形的方式表达出来，这充分显示了数形结合思想方法的灵活运用.条形统计图、扇形统计图和折线统计图是初中数学统计学中的重点.如果是关于比重的问题，可以使用扇形统计图.如果是关于数据集中分析的问题，可以使用条形统计图.如果是关于数据变化规律问题，可以使用折线统计学思导引28数学篇图.利用统计图简洁明了的特点展示数据，可以让我们对结果或者规律一目了然.例4某自行车公司调查阳光中学的学生对其产品的了解情况，随机抽取部分学生进行问卷，结果分“非常了解”“比较了解”“一般了解”“不了解”四种类型，分别记为A 、B 、C 、D.根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.图4（1）本次问卷共随机调查了名学生，扇形统计图中m =．（2）请根据数据信息补全条形统计图．（3）若该校有1000名学生，估计选择“非常了解”“比较了解”共约有多少人？分析：（1）由A 的数据即可得出调查的人数，得出m =1650×100%=32；（2）求出C 的人数即可；（3）由1000×（16%+40%），计算即可．解：（1）8÷16%=50（人），m =1650×100%=32故答案为：50，32；（2）50×40%=20（人），补全条形统计图如图5所示：图5（3）1000×（16%+40%）=560（人）；答：估计选择“非常了解”“比较了解”共约有560人．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.总之，数形结合思想在解答各类数学问题时都有用武之地.同学们要注意结合题目信息以及知识点之间的联系，把握“数”的性质与“形”的特征，充分挖掘隐含条件，灵活实现“以形助数”或“以数解形”，进而准确、快捷、高效地解题.上期《<二次根式>拓展精练》参考答案1.C ；2.B ；3.B ；4.C ；5.A ；6.0；7.30；8.4；9.-1；10.解：（1）当d ＝20m ，f ＝1.2时，v ＝1620×1.2=326（km/h ），答：肇事汽车的速度是326km/h ；（2）v ＝326≈78＞70，∴肇事汽车已经超速．11.解：（1）13；75（2）①3153×151515；②1125-3=11×(25+3)(25-3)×(25+3)=25+3；（3⋯+22023+2021=3-1+5-3+7-5+⋯+2023-2021=2023-1．学思导引29。
数形结合,巧解中点弦问题
数形结合,巧解中点弦问题作者：张书霞来源：《成才之路》2011年第11期平面解析几何具有数形结合与转换的特征，具体的就是对问题中的条件和结论，既分析其代数意义，又分析其几何意义，力图在代数与几何的结合上寻找解题的思路与方法。
本文借两道典型题对这一问题作一初步探讨，仅供参考。
一、引例及解法分析例1. 过A（6，1）作双曲线x2-4y2=16的弦，此弦被A平分，求该弦所在的直线方程。
分析：此题是一个典型的中点弦问题，该题入口很宽，通过画图分析可知：在双曲线内，经过点A能够画出一条直线（设其与双曲线交于点B，C），使点A为线段BC的中点，而且直线BC斜率必存在。
思路1：设B（X1，Y1），C（X2，Y2），利用“点差法”求出KBC，利用“点斜式”求出直线BC方程；思路2：设直线BC为y-1=k(x-6),与方程x2-4y2=16联立，得到关于x的方程，其中k≠± ，Δ＞0 ，x1+x2=12，从而求出k的值。
再用点斜式求出直线BC方程。
思路3：设B（x ，y ），由BC中点A(6，1）可知C（12-x，2-y），又B，C在x2-4y2=16上，则x2-4y2=16，（12-x)2-(2-y)2=16 ，由两点确定一条直线，两式相减得直线BC方程。
反思：比较可见，上述方法中，“点差法”思路清晰，计算量小，易于理解，是求中点弦的典型方法。
下面我们对此例稍作变化，推陈出新：过A（4，1）作x2-4y2=16的弦，此弦被点A平分，求该弦所在的直线方程。
这两个题很相似，由上述思路可顺利得到直线BC方程（x-y-3=0 ）。
那么，至此这个题完成了吗？通过画图(如图)，易于发现直线BC与双曲线并没有交点，细作思考，才发现A （4，1）在双曲线外，即直线BC可能与双曲线没有交点，这时必须检验：把 x-y-3=0与x2-4y2=16联立，得到关于x的方程，Δ＜0 ，所以 x-y-3=0与x2-4y2=16无交点。
运用数形结合思想巧解高中数学题例析
运用数形结合思想巧解高中数学题例析数形结合思想是数学解题中常用的一种方法，通过将抽象的数学问题转化为具体的形式，可以更直观地理解问题的本质，并且更加灵活地使用各种数学知识进行分析和解决。
在高中数学中，运用数形结合思想能够帮助学生更好地理解和掌握知识，提高解题的效率和准确性。
下面通过几个高中数学题例来具体分析运用数形结合思想巧解的方法。
例一：已知正三角形ABC的边长为s，点P在AB上，Q在BC上，PR=QB=s/3，则△PQR 的面积为多少？解析：首先我们可以将已知的情况用图形表示出来，画出正三角形ABC和点P、Q，并连接PQ。
然后我们可以根据给出的条件进行分析，发现△PQR实际上是一个梯形，因为PR 和QB是平行的，并且分别等于s/3。
我们可以通过求解梯形的面积来得到△PQR的面积。
由于梯形的面积公式为(S1+S2)×h/2，其中S1和S2分别为上底和下底的长度，h为梯形的高，因此我们可以根据已知条件求解出S1、S2和h的值，然后代入公式中进行计算，最终得到△PQR的面积。
通过上述分析，我们可以看到，利用数形结合思想可以将抽象的几何问题转化为具体的图形，然后通过图形的性质和几何知识进行分析和计算，帮助我们更好地理解和解决问题。
这种方法在高中数学中经常用到，对于解决各种几何问题都有一定的帮助。
例二：已知函数y=f(x)的图像关于y轴对称，则y=f(x-1)的图像与y=f(x)的图像有怎样的关系？解析：这个问题涉及到函数图像的平移和对称性质，我们可以通过数形结合思想来解决。
我们可以先分析y=f(x)的图像关于y轴对称的性质，可以得出当(x,y)在y=f(x)的图像上时，(-x,y)也在上面。
根据这个性质，我们可以进一步分析y=f(x-1)的图像，因为函数中x-1的变化，导致了图像在x轴上的平移，我们可以得出当(x,y)在y=f(x)的图像上时，(x-1,y)在y=f(x-1)的图像上。
也就是说，y=f(x-1)的图像相对于y=f(x)的图像向右平移了1个单位。
数形结合巧解绝对值问题
括两端点）取值（如图 4 所示）. 故 x 的取值范围
是－ 1≤x ≤2．
图4
例 ５ 对于任意数 x，若不等式 x＋2 ＋
x － 4 ＞a 恒成立，则 a 的取值范围是
．
解：由绝对值的几何意义知， x＋2 ＋
x － 4 的 最 小 值 为 6， 而 对 于 任 意 数 x ， 数 学 x ＋ 2 ＋ x － 4 ＞a 恒成立，所以 a 的取值范 篇 围是 a＜6．
（x＋2688）－
1 2016
（x＋
2688）＋
1 2068
（x＋2688）＝0.
分析：直接去分母、去括号都比较麻烦.观
察题目特征，可将（x＋2688）视为一个整体，逆
用乘法分配律求解.
解：逆用乘法分配律，将原方程化为（ 1 2018
－ 1 ＋ 1 ）（x＋2688）＝0. 2016 2068
显然
1 2018
y － 5 ＋ y ＋ 1 ＝9.
∵ x ＋ 2 ＋ x － 1 ≥3，y － 5 ＋ y ＋ 1
≥6，
而 x＋2 ＋ x－1 ＋ y－5 ＋ y＋1
＝9，
∴ x ＋ 2 ＋ x － 1 ＝3，y － 5 ＋ y ＋ 1
＝6，
∴－ 2≤x ≤1，－ 1≤y ≤5，
故 x＋y 的最大值与最小值分别为 6
四、解不等式
例 ６ 不等式 x ＋ 2 ＋ x － 3 ＞5 的解集
是
．
解：由绝对值的几何意义知， x＋2 ＋
x － 3 的最小值为 5，此时 x 在－ 2～3 之间（包
括两端点）取值. 若 x ＋ 2 ＋ x － 3 ＞5 成立，
则 x 必在－ 2 的左边或 3 的右边取值 （如图 5
运用数形结合思想巧解高中数学题例析
运用数形结合思想巧解高中数学题例析例题1：已知直角三角形ABC中，\angle B=90^\circ, AB=3, BC=4.过点B画高BD交AC于点D，求\bigtriangleup ABD的面积。
解析：在解决这个问题时，我们可以通过数形结合的思想来进行分析。
我们可以通过勾股定理知道AC=5。
然后我们可以通过计算直角三角形ABC的面积，S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}\times 3\times 4=6。
接着，我们可以通过计算直角三角形ABC在AC上的高BD，可以用\frac{1}{2}AB\times BC=6可以得到BD=1.5。
接下来，我们可以计算\bigtriangleup ABD的面积，S_{\bigtriangleup ABD}=\frac{1}{2}\times 3\times 1.5=2.25。
\bigtriangleup ABD的面积为2.25。
通过这个例题我们可以看到，通过数形结合的思想，我们可以用较为简洁的步骤来解决这个问题，使得我们更清晰地理解题目，找到更加直观的解法。
例题2：已知f(x)=x^2+bx+c是一个以x为自变量的二次函数，且f(2)+f(3)=26,f(4)=19，求b,c的值。
解析：对于这个问题，我们可以通过数形结合的思想来进行分析。
我们可以通过函数值的计算得到f(2)=4+2b+c，f(3)=9+3b+c，f(4)=16+4b+c。
由f(2)+f(3)=26可得13+5b+2c=26，所以5b+2c=13。
由f(4)=19可得16+4b+c=19，所以4b+c=3。
通过解这个方程组可以得到b=5,c=3。
例题3：已知椭圆的离心率为\frac{1}{2}，长轴的长为8，求其短轴的长。
解析：对于这个问题，我们可以通过数形结合的思想来进行分析。
椭圆的离心率定义为e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}，其中a为长轴的长，b为短轴的长。
妙用“数形结合”,巧解小学数学问题
移７
教 苑 时空 ・ 教法探讨
妙用‘ ‘
酷国’ ’ ， 巧解小学数学问题
浙 江绍兴 市越城 区灵芝镇 中心 小学（ ３ １ ２ ０ ０ ０ ） 罗海明
“ 数形 结合 ” 是数 学的 重要 思想 方 法之 一 ， 而 且“ 数 形 结
梯 形 的面 积 公 式 得 （ 上 底＋ 下底 ） × 高÷ ２ ＝ （ ６ ｘ ６ ） ＋ ２ ＝ １ ８ （ 平 方
１ １ ５ ＝ ５ ｘ ２ ３ ＝ ５ ｘ （ 丙＋ 丁） ，
三 角形 ， 因此梯 形 高的 左边部 分 与 下底 相 等 。同理 可知 ， 右
边 的小 三角形 也是 一个 等腰 直 角三 角形 ，因此梯 形 的上 底
所以 ， 丙＋ 丁＝ ２ ３ 。 根 据 已知条 件 ， 甲数 比 乙数大 ７ ，
此， 引导 学生 通过 想像 ， 将“ 数” 化为 “ 形” ： 画一 个长 方 形 ， 长
６厘 米
为甲， 宽为乙， 把长 方形 的面 积想 像 为 甲 、 乙两 数之 积 ， 阴影 面积为 丙 、 丁 两数 的积 ， 空 白面积 为 甲 、 乙 两数 的积 比 丙 、 丁
两数 的 积大 １ ４ ０ 。如 图 ３ 。
是６ 厘米 ， 那 么解题 的关 键就 是 求 出上底 以及 下底 的长 度 ，
或 者求 出它 们二 者 的长 度和 。 在左边 的直 角三 角形 中 ， 其 中
一
翻
图 ３
个 内角是 ４ ５ 。 ， 由此 可知 左边 这个 直 角三 角形 为等 腰直 角
解： 由图可知 １ ４ ０ — ５ ｘ ５ ＝ １ １ ５ ，
算 圆的 面积 ， 那 么解 决此 题 的关键 之处 在 于先 求 出 ｒ 。在 图 ２中 ， 三角 形 的底 以及 高都 是 圆 的半 径 ， 图 中阴影 部 分 三角 形面积 Ｓ ＝ ｒ ￣ ｒ ＋ ２ ＝ １ ２ （ 平 方厘 米 ） ， 即ｒ Ｚ ＝ １ ２ ＋ ２ ＝ ６ （ 平方厘米 ） ， 所 以 圆的面 积为 ６ 盯 ＝ ６ × ３ ． １ ４ ＝ １ ８ ． ８ ４ （ 平方 厘米 ） 。
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数形结合巧解的有关数学问题
数形结合的思想方法是高中教学中最重要的思想方法之一，在每年的高考中必须要涉及的思想方法，它可使数量关系与几何图形巧妙地结合起来，“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，数形结合思想可以帮助我们迅速解决问题。
下面就几个问题巧用数形结合思想的方法来解决的问题供参考。
一、函数的零点问题
在最近两年各地高考和模拟考试中，出现的频率很高，特别对于含参数函数的零点问题，转化为曲线图像问题，利用数形结合的方法来解决，显得简洁明了。
例1.（2010南京调研）设函数f（x）=x3-mx2+（m2-4）x，x ∈r，函数f（x）有三个互不相同的零点0，α，β，且α＜β，若对任意的x∈［α，β，］，都有f（x）≥f（1）恒成立，求实数的取值范围。
解：∵f（x）=x3-mx2+（m2-4）x，x∈r
∴f′（x）=x2-2mx+（m2-4），令f′（x）=0，得 x=m-2或x=m+2且m-2＜m+2
当x∈（-∞，m-2）时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，m-2）上是增函数；
当x∈（m-2，m+2）时，f′（x）0，f（x）在（m+2，+∞）上是增函数.
所以x=m-2，f（x）取极大值，x=m+2，f（x）取极小值.
所以根据f（x）的单调性,可以把f（x）图像的趋势画出，有三种情况：
（1）当α＜β＜0时，f（x）图像的趋势为
由图像可知：f（α）=f（β）=0，f（1）=f（0）=0所以有f （1）＞f（α）＞f（β），与已知条件，若对任意的x∈［α，β］，都有f（x）≥f（1）恒成立矛盾，此情况舍去;
（2）当α＜0＜β和0＜α＜β这两种情况时，对于x∈［α，β］，由图像可知，f（x）的最小值为f（m+2），已知条件，若对任意的x∈［α，β］，都有f（x）≥f（1）恒成立
必有α＜1＜β，所以要想使对任意的x∈［α，β］，都有f（x）≥f（1）恒成立，一定有f（m+2）=f（1），即m+2=1，所以m=-1.
解后反思：本题借助图像很直观地把函数本质展现出来，通过图像函数的一些特点和性质也暴露无遗，避免讨论很多问题，数形结合是高中四大数学思想方法之一，在每年的高考中必出现的内容，对小题解决起来可能更来得简洁，所以以后在解决数的问题时，不妨用形来解决，可能会带来意想不到的效果。
二、最值问题
例2.（2008年江苏高考）满足条件ab=2，ac=bc的三角形abc 的面积的最大值.
解：建立如图的直角坐标系，则a（-1，0），b（1，0），设c（x，y），由ac=bc得=·，化简并整理得（x-3）2+y2=（2）2，即△abc 的顶点c在圆（x-3）2+y2=（2）2上运动.
由图易知s△abc =ab·y=y≤2.
解后反思：由已知条件我们可以把a，b两点当做定点，c是动点，且动点c满足，=，即c的轨迹是一个圆（著名的阿波罗斯圆）。
问题转化为求圆上动点c到ab距离的最大值的问题，建立坐标系，用解析法处理简单明了，应用数形结合思想方法将代数问题几何化处理。
三、不等式恒成立问题
例3.（2008江苏高考）设函数f（x）=ax2-3x+1（x∈r），若对于任意x∈［-1，1］，都有f（x）≥0成立，求实数a的值.
解：由题意得ax2≥3x-1对于x∈［-1，1］恒成立，显然当a ≤0时不恒成立，故a>0，设g（x）=ax3，h（x）=3x-1在同一坐标系做出两个图像，要满足条件，一方面g（-1）≥h（-1），即a ≤4，另一方面，设g（x）与h（x）相切于点a（x0，y0），则g′（x0）=3ax02=3，即ax02=1，故ax03=x0，将a（x0，y0）代入h （x）=3x-1，得3x0-1=x0，x0=.
由g（）≥h（），得a≥4.
综上得a=4.
解后反思：不等式恒成立问题，常常可以利用导数来研究函数的单调性、奇偶性，极值、最值等，通过数形结合的思想，借助函数图像的几何直观性来处理往往会收到很好的效果。
总之，“数”与“形”的结合是数学问题研究中重要的利器，作为中学数学中的一种重要数学思想方法在高考中有着举足轻重的
地位，因此在平时的教学中要特别重视数形结合思想的渗透，使之成为一种自然。
作者单位：江苏教育学院附属高级中学。