211椭圆及其标准方程(2)
2.2.1椭圆及其标准方程(2)
§2.2.1椭圆及其标准方程（2）编写：英德市第二中学，叶加修；审核：英西中学，刘东【学习目标】熟练椭圆方程的求解【知识回顾】1. 椭圆221259x y +=上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.102.椭圆 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0)3.小结：【新知构建】用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上．(2)设方程：①依据上述判断设方程为 或 ．②在不能确定焦点位置的情况下也可设 ．(3)找关系，根据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组．(4)解方程组，代入所设方程即为所求．例1 已知圆A ：(x ＋3)＋y ＝100，圆A 内一定点B(3，0)，圆P 过B 点且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．例2 已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，圆C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹．小结： 22125169x y +=【当堂练习】1．已知两定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点P 是平面上一动点，且|PF 1|＋|PF 2|＝6，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．直线C ．椭圆D ．线段2．若椭圆的两焦点为(－2，0)，(2，0)，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32，则该椭圆的方程是( ) A.y 28＋x 24＝1 B.y 210＋x 26＝1 C.y 24＋x 28＝1 D.y 26＋x 210＝1 3．过椭圆4x 2＋2y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点F 2构成△ABF 2，那么△ABF 2的周长是______．小结：【课后作业】1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值为( ) A ．5或3 B ．8 C ．5 D ．32. 如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．(0，2)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(0，1)3.椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1、F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为( )A ．20B ．22C ．24D ．284. 一动圆过定点A (1，0)，且与定圆(x ＋1)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心轨迹方程是__________．5. 与椭圆x 2＋4y 2＝4有公共的焦点，且经过点A (2，1)的椭圆的方程为 ．6.△ABC 的三边a ＞b ＞c 且成等差数列，A 、C 两点的坐标分别是(－1，0)、(1，0)，求顶点B 的轨迹方程。
高中数学第二章_椭圆定义_椭圆及其标准方程(二).人教版选修2
9
~ 求曲线方程的方法：
代入法：或中间变量法，利用所求曲 线上的动点与某一已知曲线上的动点 的关系，把所求动点转换为已知动点 满足的曲线的方程，由此即可求得动 点坐标x,y之间的坐标。
10
课堂练习:
x2 y2 1.如图，F1，F2 分别为椭圆 2 2 1 a b 的左、 右焦点， 点 P 在椭圆上， △POF2 是面积为 3 的正三角形， 则 b 2 的值是____________.
F
其中F1(0,-c)，F2(0,c) x
2
2
知识概括
椭圆的定义
图形 标准方程 焦点坐标 a,b,c的关系
焦点位置的 判断
2
a b F 1 co
2
MF1 MF2 2a(2a 2c 0) y y F 2 M M
F2 x
M
o
F 1
x
x y 1 a b 0 2 2 a b
2 2
0 2 2 0 0
与点P坐标之间的关系式, 并由点P的坐标满足圆的方 程得到点 M 的坐标所满足的方程 . 把x = x, y = 2y 代入方程①, 得
0 0
因为点Ｐ(x , y )在圆x + y = 4上，所以 x + y = 4.
2 0 2 0 2 2
①
x + 4y = 4, 即 x + y =1. 4 所以点Ｍ的轨迹是一个椭圆.
2 2
x轴的垂线PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线 段PD的中点M的轨迹是什么?为什么?
解 : 设点Ｍ的坐标为(x, y), 点Ｐ的坐标为(x , y ), 则
0 0
2 PD的中点得到点M 点M的运动.我们可以由M为线段
2.2.1椭圆及其标准方程(第二课时)
把x0 x, y0 2y代入方程，得x2 4y2 4,
即 x2 y2 1.所以点M的轨迹是一个椭圆。 4
变式：已知圆x2 y2 9,从这个圆上任意一点P向x轴作 垂线段PP' ,点M 在PP '上，并且PM 2MP ',求点M的轨迹。
y P
x2 y2 1 9
椭圆的标准方程 y
M
F1
O
F2
x
y
F2
O F1
M
x
焦点F1(c,0), F2(c,0)
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
这里c2 a2 b2
焦点F1(0,c), F2(0,c) y2 x2 1(a b 0) a2 b2
这里c2 a2 b2
例1.已知椭圆方程为 x2 y2 1 , 25 16
1
a b 0
a2 b2 c2
上,则ABC的周长为( B )
A.2 3
B.4 3
C.6
D.16
3.当直线y kx 2的倾斜角大于45小于90时，它和
曲线2x2 3 y2 6的公共点的个数为( C )
A.0
B.1
C.2
D.不能确定
7.? 神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以
地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地
例1 在圆x²+y²=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段
PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点
M的轨迹是什么？为什么？
y
P
解：设点M的坐标为(x, y),
M
点P的坐标为(x0 , y0 ),
§2.2.1 椭圆及其标准方程(2)
MF + MF2 = 2a(2a > 2c > 0) 1
y y
a b F co 1
M M
F2 x
F 2
M
o
F 1
x
y2 x2 x2 y2 + 2 = 1 ( a > b > 0) 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) 2 a b a b
Q P ( x0 , y0 )在圆 x 2 + y 2 = 4上
2 2
y M 0
D
P
代 入 法
x
将 x0 = x ,
y 0 = 2 y代入上述方程 x2 + y2 = 1 4
得 x 2 + 4 y 2 = 4即
设点A 的坐标分别为（ ），（5 例4 设点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0）. 直线AM BM相交于点 AM， 相交于点M 直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是 − 4 ，求 9 的轨迹方程. 点M的轨迹方程. y
【课前练习】 课前练习】
x2 y 2 过 ， ， 1.(09山东 设椭圆 山东)设椭圆 山东 设椭圆E: 2 + 2 = 1 (a,b>0)过M(2， 2 )， a b N( 6 ,1)两点，O为坐标原点， 两点， 为坐标原点 为坐标原点， 两点 （I）求椭圆E的方程； ）求椭圆 的方程； 的方程 2 2 x y 两点, ， ， 两点 因为椭圆E: 2 + 2 = 1过M(2， 2 )，N( 6 ,1)两点 解:因为椭圆 因为椭圆 a b
PD， 为垂足。当点P在圆上运动时，求线段PD中点M PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，求线段PD中点M PD中点 的轨迹方程。轨迹是什么图形？ 的轨迹方程。轨迹是什么图形？ 的坐标为(x,y)，点P的坐标为 ( x0 , y0 ) 解：设点M的坐标为 设点 的坐标为 ， 的坐标为 则
2、2、1椭圆及其标准方程(2)
(1) (2a 2c 0) 焦点在x轴上,中心在原点：
y
M(x,y) F1
(2) 焦点在y轴上,中心在原点：
y
F2
M(x,y)
o
2
F2 x
y
x y 2 1 a b 0 a2 b
2
o
M
x
F1
b a o c F2 x
椭圆的定义
MF1 MF2 2a(2a 2c 0)
y
y M M
F2 x F 2
M
图形 标准方程 焦点坐标 a,b,c的关系
焦点位置的 判断
2
a b F co 1
2
o
F 1
x
x y 2 1 a b 0 a2 b
y2 x2 2 1 a b 0 2 a b
11
例 1 已知动点 P 到点 F1 (0, 2) , F2 (0, 2) 的距离之 和为 12,求动点 P 的轨迹方程.
解:⑴由椭圆定义可知,动点 P 的轨迹是椭圆, 且焦点是 F1 (0, 2) , F2 (0, 2) ,∴ c 2 . ∵ PF1 PF2 12 ,∴ 2a 12 ,∴ a 6 , ∴ b2 a 2 c 2 36 4 32 x2 y2 1. ∴所求的轨迹方程为 32 36
13
例 3 已知 B、C 是两个定点， BC 6 ，且△ABC 的周长 等于 16，求顶点 A 的轨迹方程.
解:如图,以直线 BC 为 x 轴,线段 BC 的中点为原点,建立 平面直角坐标系,则 B(3,0), C (3,0) .
设顶点 A 的坐标为 ( x , y )
椭圆及其标准方程教学设计 (2)
《椭圆及其标准方程》教课方案胥娟一、教材及学情分析1 ．《椭圆及其标准方程》是高中数学选修1-1 （人教版）中的内容，分三课时完成.第一课时讲解椭圆的定义及其标准方程；第二课时讲解运用椭圆的定义及其标准方程解题，牢固求曲线方程的两种基本方法，即待定系数法、定义法；第三课时讲解运用中间变量法求动点轨迹方程的基本思路。
本节是第一课时 .2．本节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线的方程的看法有了必定认识，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学惯用坐标法学习曲线。
椭圆的学习可认为后边学习双曲线、抛物线供给基本模式和理论基础 . 所以这节课有承前启后的作用，是本章和本节的要点内容之一。
3．运用多媒体形象地给出椭圆，经过让学生自已着手作图，“定性”地画出椭圆，再经过坐标法“定量”地描述椭圆，使之从感性到理性抽象归纳，形式看法，推出方程。
二、教课目标分析1.知识与技术目标：掌握椭圆的定义和标准方程；明确焦点、焦距的看法；理解椭圆标准方程的推导。
2.过程与方法目标：经过让学生踊跃参加、亲自经历椭圆定义和标准方程的获取过程；体验坐标法在办理几何问题中的优胜性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形联合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。
3.感情态度与价值观目标：经过主动研究、合作学习，相互交流，感觉研究的乐趣与成功的愉悦，养成脚踏实地的科学态度和契而不舍的研究精神。
三、学习者特色分析1．在此以前，学生已学过坐标法解决几何问题，学过圆的定义与标准方程，但掌握不够，2．从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生思想上存在阻碍.3．在求椭圆标准方程时，会遇到比较复杂的根式化简问题，而这些在目前初中代数中都没有详细介绍，初中代数不可以完整满足学习本节的需要。
4．该班学生是高二文科生，数学基础整体较差。
5．经过近一学期的指引、鼓舞，学生学习数学的踊跃性较高。
谈论：对学习者知识基础、运算能力、学习兴趣和认知特色分析较到位，能和相应的教课方法激发学生的兴趣、锻炼提高运算能力和学生学习过程的踊跃性。
2.2.1椭圆及其标准方程(二)2
2.2.1椭圆及其标准方程（二）【教学目标】1.理解椭圆的定义及标准方程；2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程；3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.【学科素养】数学抽象、逻辑推理，数学运算.【教学重点】椭圆的定义及标准方程的推导.【教学难点】理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.【学法指导】教师启发讲授，学生探究学习.复习回顾问题 1：椭圆的定义是什么？问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？新知探究例2：如图，在圆422=+y x 上任意取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？ 点评：相关点法（代入法）（设计意图：利用直线中点坐标公式，探求动点轨迹）变式训练2：教材第50页B 组第一题例3：如图所示，设A ，B 的坐标分别是()()0,5,0,5-，直线BM AM ,相交于点M ，且它们的斜率之积是94-，求Ｍ点得轨迹方程。
（设计意图：把直线相关知识与椭圆结合到一起，加强知识之间的联系，以此培养学生 的知识串联能力）点评：参数法变式训练3：(教材第42页练习第4题)小结：求解与椭圆相关的轨迹问题的方法1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）1,4==b a ，焦点在x 轴上；（2）15,4==c a ，焦点在y 轴上；（3）52,10==+c b a2、椭圆2211625x y +=的焦点坐标为（ ）A (0, ±3)B (±3, 0)C (0, ±5)D (±4, 0)3、在方程22110064x y +=中，下列a, b, c 全部正确的一项是（ ） A a=100, b=64, c=36 B a=10, b=6, c=8C a=10, b=8, c=6D a=100, c=64, b=36 教材第42页练习第1题、第3题.课堂小结1.椭圆的概念及标准方程；2.求椭圆方程的方法.作业布置 习题2.2A 组5 、7板书设计椭圆及其标准方程1、椭圆的定义 例2： 例32、椭圆的标准方程课后感悟。
高中数学选修2-1课时作业6：2.2.1 椭圆及其标准方程(二)
2.2.1 椭圆的标准方程（二）1．已知a ＝13，c ＝23，则该椭圆的标准方程为( ) A.x 213＋y 212＝1B.x 213＋y 225＝1或x 225＋y 213＝1C.x 213＋y 2＝1D.x 213＋y 2＝1或x 2＋y 213＝1 [解析]选D.由a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝13－12＝1.分焦点在x 轴和y 轴上写标准方程．2．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( ) A ．5 B ．6C ．7 D ．8[解析]选D.∵a ＝5，|PF 1|＝2.∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2×5－2＝8.3．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 [解析]选A.c ＝1，a ＝12()2＋12＋0＋2－12＋0＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. 4．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( )A ．5B ．4C ．3D ．1[解析]选B.由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴△PF 1F 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×2×4＝4. 5．“m ＞n ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]选C.mx 2＋ny 2＝1可化为x 21m ＋y 21n ＝1，因为m ＞n ＞0，所以0＜1m ＜1n，因此椭圆焦点在y 轴上，反之亦成立．6．椭圆x 2m ＋y 215＝1的焦距等于2，则m 的值是________． [解析]当焦点在x 轴时，m －15＝1，m ＝16；当焦点在y 轴时，15－m ＝1，m ＝14.[答案]16或147．若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________．[解析]原方程可化为x 22＋y 22k ＝1，因表示焦点在y 轴上的椭圆．∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，2k ＞2.解得0＜k ＜1. ∴k 的取值范围是(0,1)．[答案](0,1)8．已知椭圆的焦点是F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程为__________．[解析]由题设知|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4，∴2a ＝4,2c ＝2，∴b ＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.[答案]x 24＋y 23＝1 9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆上一点P (3,2)到两焦点的距离之和为8；(2)椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15.解：(1)①若焦点在x 轴上，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由题意知2a ＝8，∴a ＝4，又点P (3,2)在椭圆上，∴916＋4b 2＝1，得b 2＝647. ∴椭圆的标准方程为x 216＋y 2647＝1. ②若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，∵2a ＝8，∴a ＝4. 又点P (3,2)在椭圆上，∴416＋9b 2＝1，得b 2＝12.∴椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1. 由①②知椭圆的标准方程为x 216＋y 2647＝1或y 216＋x 212＝1. (2)由题意知，2c ＝16,2a ＝9＋15＝24，∴a ＝12，c ＝8，∴b 2＝80.又焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，∴所求方程为x 2144＋y 280＝1或y 2144＋x 280＝1. 10．已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 1，F 2是椭圆左、右焦点，若PF 1⊥PF 2，试求：(1)椭圆方程；(2)△PF 1F 2的面积．解：(1)由PF 1⊥PF 2，可得|OP |＝c ，即c ＝5.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－25＝1代入P (3,4)， 得9a 2＋16a 2－25＝1，解得a 2＝45，a 2＝5(舍去)．∴椭圆方程为x 245＋y 220＝1. (2)S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||y P |＝5×4＝20. 能力提升1．已知椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点F 1，F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则△MF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形[解析]选B.由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝4，且已知|MF 1|－|MF 2|＝1，所以|MF 1|＝52，|MF 2|＝32.又|F 1F 2|＝2c ＝2.所以有|MF 1|2＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2.因此∠MF 2F 1＝90°，△MF 1F 2为直角三角形．2．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)、F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为__________．[解析]当△PF 1F 2面积取最大时，S △PF 1F 2＝12×8b ＝12，∴b ＝3.又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. [答案]x 225＋y 29＝1 3．已知椭圆8x 281＋y 236＝1上一点M 的纵坐标为2. (1)求M 的横坐标；(2)求过M 且与x 29＋y 24＝1共焦点的椭圆的方程． 解：(1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236＝1，得8x 281＋436＝1， 即x 2＝9.∴x ＝±3.即M 的横坐标为3或－3.(2)对于椭圆x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5， 故设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1(a 2>5)，把M 点坐标代入得9a 2＋4a 2－5＝1， 解得a 2＝15(a 2＝3舍去)．故所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1. 4. 已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3,0)，圆P 过点B 且与圆A 内切，如下图，求圆心P 的轨迹方程．解：设|PB|＝r.∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，∴两圆的圆心距|P A|＝10－r，即|P A|＋|PB|＝10，而|AB|＝6，∴|P A|＋|PB|＞|AB|，∴圆心P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．∴2a＝10,2c＝|AB|＝6.∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.∴圆心P的轨迹方程为x225＋y216＝1.。
2.2.1椭圆及其标准方程(2)
y2 b2
1
b2
a2
c2
焦点坐标：F1 -c,0,F2 c,0 F1 0,-c,F2 0,c
a a、b、c的关系： 2 b2 c2
[1] 椭圆的标准方程有几个？
答：两个。焦点分别在 x 轴、y 轴。 [2]给出椭圆标准方程，怎样判断焦点在哪个轴上
答：在分母大的那个轴上。
[3] Ax 2 By 2 C 什么时候表示椭圆？
2.取过两个定点的直线做 x 轴，它的线段 垂直平分线做 y 轴，建立直角坐标系，从 而保证方程是标准方程。
3.根据已知求出a、c，再推出a、b
写出椭圆的标准方程。
例1 平面内两个定点的距离是8，写出到这两 个定点的距离的和是10的点的轨迹方程
解：因为动点到两定点的距离的和为10且大于两定点 的距离，由椭圆定义知，动点的轨迹为椭圆。
和是常数12，且12 6 O1O2 ,
所以点P的轨迹是焦点为-3,0、3,0的椭圆，
且方程为标准方程：x2 + y2 = 1 a2 b2
2c 6,2a 12, c 3, a 6
b2 a2 c2 36 9 27,
∴动圆圆心的轨迹方程为：x2 + y2 = 1 36 27
x2
y2
1.
25 16
例2、已知F1、F2是椭圆
x2 4
+
y2 3
=1的两个焦点，P是椭圆上一点，
且F1PF2 =60，求PF1F2的面积。
解：由已知a=2,c=1, 设 PF1 = d1,PF2 = d2,
由椭圆的定义得d1 + d2 = 2a = 4,
在F1PF2中，由余弦定理得cos60°= d12
2.2.1椭圆的标准方程 (2)
（2）已知a 10，b 6；
（3）两个焦点坐标分别是（0，-2）、（0，2），且经过点（-
3 2
，5 ）； 2
椭圆标准方程的识别
已知方程： x2 y2 1
25 k k 9
（1）表示椭圆时实数k 的取值范围是______ （2）表示焦点在x 轴上的椭圆时实数的取值范围是_______ （3）表示焦点在y 轴上的椭圆时实数的取值范围是________ （4）椭圆的焦距长为6，则实数的值是_____
1．椭圆标准方程形式：左边是“平方＋平方”，分母不等， 右边为“1”．
2．焦点在 x 轴上⇔标准方程中 x2 项的分母较大，焦点在 y 轴上⇔标准方程中 y2 项的分母较大，因此由椭圆的标准方程判 断焦点位置时要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位 置看大小，焦点随着大的跑”．
1．椭圆的标准方程（分类），根据条件求椭圆标准 方程 2．椭圆标准方程中字母的含义及三者之间的关系 3．椭圆方程本质特征的认识
2.2 椭圆 2.2.1 椭圆的标准方程
1．椭圆的定义：
平面内到两个定点 F1，F2的距离的和等于常数（ 大于F1F2 )的点的轨迹
注意点：
1平面内
2到两个定点之和为定值 2a
32a F1F2
PF1 PF2 2a(2a 2c 0)
以F1，F2所在直线为 x轴，线段F1F2的垂直平分线为 y轴，建立直角坐标系 xOy
F1，F2的坐标分别为 - c，0，c，0
设Px，y为椭圆上任意一点，根 据椭圆定义知
PF1 PF2 2a
x c2 y2 (x c)2 y2 2a
将这个方程移项后两边平方，得
y
▪o F1
2021年高中数学 2.2 椭圆及其标准方程(二)同步练习 理(普通班)新人教A版选修2-1
2021年高中数学 2.2 椭圆及其标准方程（二）同步练习 理（普通班）新人教A 版选修2-1一、选择题1．将椭圆C 1∶2x 2＋y 2＝4上的每一点的纵坐标变为原来的一半，而横坐标不变，得一新椭圆C 2，则C 2与C 1有( ) A ．相等的短轴长 B ．相等的焦距 C ．相等的离心率D ．相等的长轴长2．若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为F 1，则满足△ABF 1为等边三角形的椭圆的离心率是( )A.14B.12C.22D.32 3．椭圆C 1：x 225＋y 29＝1和椭圆C 2：x 29－k ＋y 225－k＝1 (0<k <9)有( )A ．等长的长轴B ．相等的焦距C ．相等的离心率D ．等长的短轴4．椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆离心率为( )A.22 B.32 C.53 D.635．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为12，则椭圆方程为( )A.x 24＋y 26＝1B.x 26＋y 24＝1 C.x 236＋y 232＝1或x 232＋y 236＝1 D.x 236＋y 232＝1 6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b 2＝k (k >0)具有( )A ．相同的长轴B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的离心率二、填空题7．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．8．经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为________．三、解答题9．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.求椭圆的方程．2.2.2 一、选择题 1．[答案] C[解析] 把C 1的方程化为标准方程，即C 1：2x2＋4y2＝1，从而得C 2：2x2＋y 2＝1.因此C 1的长轴在y 轴上，C 2的长轴在x 轴上．e 1＝22＝e 2，故离心率相等，选C. 2．[答案] D[解析] △ABF 1为等边三角形， ∴2b ＝a ，∴c 2＝a 2－b 2＝3b 2∴e ＝a c ＝a2c2＝4b23b2＝23.3．[答案] B[解析] 依题意知椭圆C 2的焦点在y 轴上，对于椭圆C 1：焦距＝2＝8，对于椭圆C 2：焦距＝2＝8，故答案为B. 4．[答案] A[解析] 由题意知b ＝c ，∴a ＝c ，∴e ＝a c ＝22.5．[答案] C[解析] ∵长轴长2a ＝12，∴a ＝6，又e ＝31∴c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝32，∵焦点不定，∴方程为36x2＋32y2＝1或32x2＋36y2＝1.6．[答案] D[解析] 椭圆a2x2＋b2y2＝1和a2x2＋b2y2＝k (k >0)中，不妨设a >b ，椭圆a2x2＋b2y2＝1的离心率e 1＝a a2－b2，椭圆a2k x2＋b2k y2＝1(k >0)的离心率e 2＝a a2－b2＝a a2－b2.二、填空题7． [答案] 36x2＋9y2＝1[解析] 设椭圆G 的标准方程为a2x2＋b2y2＝1 (a >b >0)，半焦距为c ，则3，∴3a ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9，∴椭圆G 的方程为36x2＋9y2＝1.8． [答案] a 2b2[解析] ∵垂直于椭圆长轴的弦所在直线为x ＝±c ，由＝1y2，得y 2＝a2b4，∴|y |＝a b2，故弦长为a 2b2. 三、解答题9． [解析] 椭圆方程可化为m x2＋m ＋3m＝1， ∵m －m ＋3m＝m ＋3m ＋2>0，∴m >m ＋3m.即a 2＝m ，b 2＝m ＋3m ，c ＝＝m ＋3m ＋2.由e ＝23得，m ＋3m ＋2＝23，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋41＝1，∴a ＝1，b ＝21，c ＝23.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F 1(－23，0)，F 2(23，0)；四个顶点分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1(0，－21)，B 2(0，21)．10．[解析] 由e ＝a c ＝23，得3a 2＝4c 2，再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b .由题意可知21×2a ×2b ＝4，即ab ＝2. 解方程组ab ＝2，a ＝2b ，得a ＝2，b ＝1，所以椭圆的方程为4x2＋y 2＝1.21914 559A 喚 21021 521D 初21299 5333 匳26741 6875 桵35225 8999 覙39074 98A2 颢H B38628 96E4 雤36395 8E2B踫31653 7BA5 箥22276 5704 圄。
椭圆及其标准方程(二)
以椭圆为载体的动点轨迹方程的探求
椭圆的标准方程
定 义 y 图 形 |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) y
M F1
F 2 M
o
F2
x
o
F1
x
x
2 2
方 程 焦 点 a,b,c之间
的关系
y b
2 2
1 a b 0
y a
2 2
x b
2 2
推广：△ABC的两个顶点坐标分别是B(0，a) 和C(0，-a)，另两边AB、AC的斜率的乘积 是 ，求顶点A的轨迹方程.
a
2
.
b
2
y a
2 2
x b
2 2
1( y a )
练习．已知F是椭圆 25 x 16 y 400在x轴上方 的焦点，Q是此椭圆上任意一点，点P分所成 的比为2，求动点P的轨迹方程 .
x
2
y
2
1
9
4
△ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和 C(0，-6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是 ， 4 求顶点A的轨迹方程. 9
解：顶点A的轨迹方程为
.
x
2
y
2
1( y 6 )
81
36
说明：方程
x
2
y
2
1
81
36
对应的椭圆与y轴有两个交点，而此两交点为（０，－６）与(0，6)应舍去
解：
x
2
y
2
1 所以点M的轨迹是一个椭圆.（如图）
4
人教版高中数学选修2-1第二章椭圆及其标准方程(二)(共19张PPT)教育课件
圆上运动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹是什 么？为什么？
解 设点 M 的坐标为(x，y)，点 P 的坐标为(x0，y0)，
则 x＝x0，y＝y20.因为点 P(x0，y0)在圆 x2＋y2＝4 上，
之前有个网友说自己现在紧张得不得了 ，获得 了一个 大公司 的面试 机会， 很不想 失去这 个机会 ，一天 只吃一 顿饭在 恶补基 础知识 。不禁 要问， 之前做 什么去 了？机 会当真 就那么 少？在 我看来 到处都 是机会 ，关键 看你是 否能抓 住。运 气并非 偶然， 运气都 是留给 那些时 刻准备 着的人 的。只 有不断 的积累 知识， 不断的 进步。 当机会 真的到 来的时 候，一 把抓住 。相信 学习真 的可以 改变一 个人的 运气。 在当今社会，大家都生活得匆匆忙忙， 比房子 、比车 子、比 票子、 比小孩 的教育 、比工 作，往 往被压 得喘不 过气来 。而另 外总有 一些人 会运用 自己的 心智去 分辨哪 些快乐 或者幸 福是必 须建立 在比较 的基础 上的， 而哪些 快乐和 幸福是 无需比 较同样 可以获 得的， 然后把 时间花 在寻找 甚至制 造那些 无需比 较就可 以获得 的幸福 和快乐 ，然后 无怨无 悔地生 活，尽 情欢乐 。一位 清洁阿 姨感觉 到快乐 和幸福 ，因为 她刚刚 通过自 己的双 手还给 路人一 条清洁 的街道 ；一位 幼儿园 老师感 觉到快 乐和幸 福，因 为他刚 给一群 孩子讲 清楚了 吃饭前 要洗手 的道理 ；一位 外科医 生感觉 到幸福 和快乐 ，因为 他刚刚 从死神 手里抢 回了一 条人命 ；一位 母亲感 觉到幸 福和快 乐，因 为他正 坐在孩 子的床 边，孩 子睡梦 中的脸 庞是那 么的安 静美丽 ，那么 令人爱 怜。。 。。。 。
数学：2.1.1《椭圆及其标准方程》(二)
∵ AB AC BC 16 , ∴ BA CA 10 .
x2 y2 ∴由椭圆定义及标准方程知识可知 1 25 16 又∵A、B、C 三点不共线，∴ y 0 .
x2 y2 1( y 0) ∴所求的点的轨迹方程为 25 16
课堂练习:
x2 y2 1.如图，F1，F2 分别为椭圆 2 2 1 a b 的左、 右焦点， P 在椭圆上， 点 △POF2 是面积为 3 的正三角形， 则 b 2 的值是____________.
x2 y 2 1.已知椭圆方程为 + = 1，则这个椭圆的焦距为（ ） 23 32 (A)6 (B)3 (C)3 5 (D)6 5 2.F1、F2是定点，且 F1 F2 = 6，动点M 满足 MF1 + MF2 = 6， 则点M 的轨迹是（ ） (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段 x2 y2 3.已知椭圆 + = 1上一点P到椭圆一个焦点的距离 25 16 为3，则P到另一焦点的距离为（ ） (A)2 (B)3 (C)5 (D)7
例 4:如图,设点 A、 的坐标分别为 ( 5, 0), (5, 0) , B 直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是 4 ，求点 M 的轨迹方程. 9 分析:把题目条件直接用 x 、y 表示出来, x 、y 之间的 关系式就显示出来了.
这种求轨迹的方法──直译法
思维挑战题: 已知圆 B: ( x 1)2 y 2 16 及点 A(1,0) ,C 为 圆 B 上任一点,求 AC 的垂直平分线与线段 BC 的交 2 2 点 P 的轨迹方程. x y
2答案
例 1⑵求经过点 ( 2, 3) 且与椭圆 9 x 2 4 y 2 36 有共 同的焦点的椭圆的标准方程.
人教新课标版(A)高二选修1-1 2.1.2椭圆及其标准方程(二)同步练习题
人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.1.2 椭圆及其标准方程（二）同步练习题【基础演练】题型一：椭圆中的基本运算在椭圆中，a 2|PF ||PF |21=+，0b a >>，222c b a +=等都存在相互的关系，从方程的角度分析，可得方程（组）去求解，注意，在标准形式下，哪个表示a （或2a ），哪个表示b （或2b ），请用以上知识解决以下1~4题。
1. 已知椭圆的方程是125y ax 222=+（5a >），它的两个焦点分别为1F 、2F ，且8|F F |21=，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为A. 10B. 20C. 412D. 4142. 点P 是椭圆19y 25x 22=+上一点，以点P 以及焦点1F 、2F 为顶点的三角形的面积等于4，则P 点的坐标是A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±3210,1B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±±3210,1C. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛±±1,3210D. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1,3210 3. “2k >”是方程“1k5y 2k x 22=-+-”表示的曲线是椭圆的 A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 椭圆115y m x 22=+的焦距等于2，则m 的值是 A. 5或3 B. 16或14 C. 5 D. 16题型二：求椭圆的方程 求椭圆的方程的常用方法有：待定系数法、直译法、定义法、相关点法、几何法等，请根据以上知识解决以下5~9题。
5. 已知椭圆过点P ⎪⎭⎫⎝⎛-4,53和点Q （3,54-），则此椭圆的标准方程是A. 1x 25y 22=+B. 1y 25x 22=+ C. 1y 25x 22=+或125y x 22=+ D. 以上都不对6. 椭圆的两焦点为（-2，0）和（2，0），且椭圆过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,25，则椭圆的方程是A. 14x 8y 22=+ B.16x 10y 22=+ C. 18x 4y 22=+D.16y 10x 22=+ 7. 已知A 、B 两点的坐标分别为（0，-5）和（0，5），直线MA 与MB 的斜率之积为94-，则M 的轨迹方程是A. 19100y 25x 22=+B. ()5x 19100y 25x 22±≠=+C. 125y 4225x 22=+D. ()0x 125y 4225x 22≠=+8. 与椭圆4y 4x 22=+有公共的焦点，且经过点A （2，1）的椭圆的方程为_________。
2.1.1 椭圆及其标准方程(二)
A
BO C
x
讲授新课
1 已知B、C是两个定点，|BC|＝6，且
△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹
方程.
y
A
BO C
x
讲授新课
1 已知B、C是两个定点，|BC|＝6，且
△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹
方程.
y
A
BO C
x
讲授新课
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)， 且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和 (1,0)； (3)中心在原点，且经过点P(3,0)，a＝3b；
(5)3 x 4 y 2
2 2
讲授新课
对椭圆及其标准方程的理解：
讲授新课
对椭圆及其标准方程的理解： ⑴椭圆标准方程中，哪个分母大，焦点 就在相应的哪条坐标轴上；
讲授新课
对椭圆及其标准方程的理解： ⑴椭圆标准方程中，哪个分母大，焦点 就在相应的哪条坐标轴上； ⑵a、b、c始终满足c2＝a2－b2，焦点在x 轴上为(－c,0)、(c,0)，在y轴上为(0,－c)、 (0, c)；
讲授新课
对椭圆及其标准方程的理解： ⑴椭圆标准方程中，哪个分母大，焦点 就在相应的哪条坐标轴上； ⑵a、b、c始终满足c2＝a2－b2，焦点在x 轴上为(－c,0)、(c,0)，在y轴上为(0,－c)、 (0, c)； ⑶形如Ax2＋By2＝C的方程中，只要A、 B、C同号(A≠B)，就可化为椭圆标准 方程．
2.椭圆的标准方程： y
y
F2
F1O F2
2 2
x
O
x
F1
x y 2 1 (a＞b＞0) 2 a b
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
图形
方程 焦点 a,b,c之间
的关系
椭圆的标准方程
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y
y
M
F2
M
F1 o
F2 x
o
x
F1
x2 a2
y2 b2
1
a
b
0
F(±c，0)
y2 a2
x2 b2
1
a
b
0
F(0，±c)
c2=a2-b2
求椭圆标准方程的解题步骤：
（1）确定焦点的位置； （2）设出椭圆的标准方程； （3）用待定系数法确定a、b的值，
x
5,
化简, 得点M的轨迹方程为2x52
y2 100 /
9
1x
5.
思考 从例2你能发现椭圆与圆之间 的关系吗?
练习 椭圆
：x2已 知y2 x轴1 上上的的一动定点点，A求（A1Q,0中）点，MQ的为轨
迹方程4.
y
Q
M
解：点M的轨迹方程是 (x 1)2 4 y 2 1 -2 2
O A 2x
例3 如图2.1 6, 设点A, B
的坐标分别为 5,0,5,0.
y P
M
OD
x
图2.1 5
把 x0 x, y0 2 y 代入方程1,得 x2 4 y2 4,
即
x2 4
y2
1.所以点M的轨迹是一个椭圆.
在例2 中,寻找点M 的坐标 x, y 与中间变量 x0 , y0 之间的关系, 然后消去x0 , y0 , 得到点 M 的轨迹方程.这是解析几何中求点轨迹 方程常用的一种方法.
4 9
,因此可以
建立x,
y之间的
关 系 式, 得 出 点M的 轨 迹 方 程.
解 设点M的坐标为x, y, 因为点 A 的坐标是 5,0 ,
y M
所以,直线 AM 的斜率
k AM
y x5
x
5
;
A O
B x
同理,直线 BM 的斜率
图2.1 6
kBM
x
y
5
x
5.
由已知中有
x
y
5
x
y
5
4 9直线 AM , BM 相交于 NhomakorabeaM , A
且它们的斜率之
积是
4 9
,
求点M的轨迹方程.
y M B x
O
图2.1 6
操 作 打 开 的 几 何 画 板 观察 轨 迹 的 形 成 过 程.
分析 设点M的坐标为x, y,那么直线AM , BM
的斜率就可以用含x, y的式子表示.由于直线AM ,
BM的斜率之积是
写出椭圆的标准方程.
例2 如图2.1 5 , 在圆 x2 y2 4 上任取一点P,过点P 作 x 轴的垂线段 PD, D 为垂足.当 点 P 在圆上运动时,线段 PD 的中点M 的轨迹是什么? 为 什么?
y P
M
OD
x
图2.1 5
操作打开的几何画板, 观察点M形成轨迹的过程.
分析 点P在圆x2 y2 4 上运动,点P的运动引起 点M运动.我们可以由M为线段PD的中点得到点M 与点P坐标之间的关系式,并由点P 的坐标满足圆 的方程得到点M的坐标所满足的方程.
求曲线方程的方法：
代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知 曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动 点满足的曲线的方程，由此即可求得动点坐标x,y 之间的坐标。
解 设点M 的坐标为x, y,
点 P的坐标为x0 , y0 ,则
x
x0 , y
y0 2
.
因为点Px0 , y0 在圆x2 y2
4 上,所以x02 y02 4. 1