211椭圆及其标准方程(2)

求曲线方程的方法：
代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知 曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动 点满足的曲线的方程，由此即可求得动点坐标x,y 之间的坐标。
解 设点M 的坐标为x, y,
点 P的坐标为x0 , y0 ,则
x
x0 , y
y0 2
.
因为点Px0 , y0 在圆x2 y2
4 上,所以x02 y02 4. 1
4 9
,因此可以
建立x,
y之间的
关 系 式, 得 出 点M的 轨 迹 方 程.
解 设点M的坐标为x, y, 因为点 A 的坐标是 5,0 ,
y M
所以,直线 AM 的斜率
k AM
y x5
x
5
;
A O
B x
同理,直线 BM 的斜率
图2.1 6
kBM
x
y
5
x
5.
由已知中有
x
y
5
x
y
5
4 9
思考 从例2你能发现椭圆与圆之间 的关系吗?
练习 椭圆
：x2已 知y2 x轴1 上上的的一动定点点，A求（A1Q,0中）点，MQ的为轨
迹方程4.
y
Q
M
解：点M的轨迹方程是 (x 1)2 4 y 2 1 -2 2
O A 2x
例3 如图2.1 6, 设点A, B
的坐标分别为 5,0,5,0.
直线 AM , BM 相交于点M , A
且它们的斜率之
积是
4 9
,
求点M的轨迹方程.
y M B x
O
图2.1 6
操 作 打 开 的 几 何 画 板 观察 轨 迹 的 形 成 过 程.
分析 设点M的坐标为x, y,那么直线AM , BM
的斜率就可以用含x, y的式子表示.由于直线AM ,
BM的斜率之积是
写出椭圆的标准方程.
例2 如图2.1 5 , 在圆 x2 y2 4 上任取一点P,过点P 作 x 轴的垂线段 PD, D 为垂足.当 点 P 在圆上运动时,线段 PD 的中点M 的轨迹是什么? 为 什么?
y P
M
OD
x
图2.1 5
操作打开的几何画板, 观察点M形成轨迹的过程.
分析 点P在圆x2 y2 4 上运动,点P的运动引起 点M运动.我们可以由M为线段PD的中点得到点M 与点P坐标之间的关系式,并由点P 的坐标满足圆 的方程得到点M的坐标所满足的方程.
x
5,
百度文库
化简, 得点M的轨迹方程为2x52
y2 100 /
9
1x
5.
定义
图形
方程 焦点 a,b,c之间
的关系
椭圆的标准方程
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y
y
M
F2
M
F1 o
F2 x
o
x
F1
x2 a2
y2 b2
1
a
b
0
F(±c，0)
y2 a2
x2 b2
1
a
b
0
F(0，±c)
c2=a2-b2
求椭圆标准方程的解题步骤：
（1）确定焦点的位置； （2）设出椭圆的标准方程； （3）用待定系数法确定a、b的值，
y P
M
OD
x
图2.1 5
把 x0 x, y0 2 y 代入方程1,得 x2 4 y2 4,
即
x2 4
y2
1.所以点M的轨迹是一个椭圆.
在例2 中,寻找点M 的坐标 x, y 与中间变量 x0 , y0 之间的关系, 然后消去x0 , y0 , 得到点 M 的轨迹方程.这是解析几何中求点轨迹 方程常用的一种方法.