正弦余弦正切二倍角公式及变形升降幂公式(完全版)

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二倍角的正弦余弦正切公式

cos2α＝cos2α－sin2α
(C2 α)
tan tan
∵ tan(α + β)＝ 1 tan tan
∴ 当α＝β时, tan2α ＝
tan
2

2 tan 1 tan2
.
(T2 α )
利用sin2α+cos2α=1, 公式C2α还可以变形为： cos2α=2cos2α–1=1 –2sin2α.
引例
把下列各式化为一个角的三角函数形式
(1) 3 sin 1 cos
(2)s2in

2
cos
(3)a sin x b cos x
化asin x bcos x 为一个角的三角
函数形式
asin x bcos x
a2

b2

a
sin x
a2 b2
a
令

况，还可以运用于诸如将4α 作为2α 的2倍，将
α 作为的2倍，将 α 作为的2倍，将3α 作为3
2
的2倍等等.
2
4
2
例1.已知sinα ＝ 5 ，α ∈( ,π )，求sin2α ，
cos2α ，tan2α 的1值3 .
2
解：∵sinα＝ 5 ，α∈（ , π ),
13
2
∴cosα ＝－ 1 sin2 1 ( 5 )2 12.
3
2
例3 利用三角公式化简 sin 50 (1 3 tan10 ).
例4 若sin( ) 1 ,求sin( 2 ).
解：（2

）6（
3
2）

6

6.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式

C.2
B. −

C.−

D.
）
A.
B.
C.
D.

例：在△ABC中， = ， = ，求( + )的值.

解法一：在△ABC中，由 = ， < < ，得 = − = .

∴ = ( + ) = −
综上：二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表
三角函数
正弦
公式
公式的逆用
简记
=
① =

② =

③ =

∴ ( + ) = [( + )] = −(+) =
课后作业：
1.求下列各式的值:

（1）

（2） −

（3）

−

2.求下列各式的值：
（1）

3.已知( − ) =
（1）若 = 求x的值

.
（2）设函数() = ∙ ，求()的最大值.

11.已知( − ) = ，且是锐角，则( − ) 、 ( − ) 、 ( − )分别等于多少？

12.若( + ) = ( < < )，则等于多少？
3.升幂和降幂公式：

人教A版数学必修4课件：3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式

=sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina
=3sina-4sin3a
2.cos3a=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina =(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa
=4cos3a-3cosa
公式识记口答下列各式的值：
1、升幂公式： 1 sin 2 sin2 cos2 2sin cos
=（sin cos）2
1 cos 2 2cos2 升幂缩角
1 cos 2 2sin2
2、降幂公式：
cos2 1 cos 2
2
sin2 1 cos 2
2
降幂扩角
例4.化简
变式：如何化简 2 sin2 2 cos4呢？
(1)求 f(x)的最小正周期；
(2)求对称轴，对称中心 (3)求该函数的单调区间
[解] (1)f(x)＝ 22cos2x＋π4＋sin2 x ＝ 22cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－c2os 2x ＝12－12sin 2x，故 f(x)的最小正周期为 π.
asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)的应用
∴tan x＝13， ∴cos2x1－＋ssiinn2xxcos x＝co2ss2ixn－2xs＋incxocso2xs x＝21t－ant2axn＋x1＝161.
(2)由题知 F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sin xcos x， ∴F(x)＝cos 2x＋sin 2x＋1，即 F(x)＝ 2sin2x＋π4＋1. 当 sin2x＋π4＝1 时，[F(x)]max＝ 2＋1. 由－π2＋2kπ≤2x＋π4≤π2＋2kπ(k∈Z)得－38π ＋kπ≤x≤π8＋kπ(k∈Z)，故所求函数 F(x) 的单调递增区间为－38π＋kπ，π8＋kπ(k∈Z)．

三角函数及变形公式

三角函数及变形公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=，正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y =αtan 余切：y x =αcot 正割：x r =αsec 余割：yr =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

二、同角三角函数的基本关系式倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα。

商数关系：αααcos sin tan =，αααsin cos cot =。

平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。

三、诱导公式⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。

（口诀：函数名不变，符号看象限） ⑵απ+2、απ-2、απ+23、απ-23的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。

（口诀：函数名改变，符号看象限）四、和角公式和差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=-βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- 五、二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*ααα2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=-2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，ααα2tan 1tan 22tan -=。

二倍角的正弦、余弦、正切公式

归纳小结
(1)二倍角公式是和角公式的特例，体现了二倍角公式是和角公式的特例，二倍角公式是和角公式的特例将一般化归为特殊的基本数学思想方法。将一般化归为特殊的基本数学思想方法。 (2)二倍角公式与和角、差角公式一样，反二倍角公式与和角、二倍角公式与和角差角公式一样，映的都是如何用单角α的三角函数值表示映的都是如何用单角的三角函数值表示复角（的三角函数值，复角（和、差、倍）的三角函数值，结合前面学习到的同角三角函数关系式和诱导公式可以解决三角函数中有关的求值、公式可以解决三角函数中有关的求值、化简和证明问题。简和证明问题。
化简 sin 50 (1 + 3 tan10 )
o o
cos10o + 3 sin 10o o 解：原式 = sin 50 ⋅ o cos10 o o 2 sin 40 = sin 50 ⋅ o cos10 o o 2 sin 40 = cos 40 ⋅ o cos10 o sin 80 = =1 o cos10
［例2］若270°＜α＜360°，化简：
1 1 + 2 2
求值
1 1 + cos 2α 2 2
（1）cos80°cos40°cos20° （2）sin10°sin30°sin50°sin70°
例3
1+sin2 −cos2 θ θ 求：证 = tanθ 1+sin2 +cos2 θ θ
2
1 + 2 sin θ cos θ − (1 − 2 sin θ ) 证明：证明：左边 = 2 1 + 2 sin θ cos θ + ( 2 cos θ − 1)
同样对于正切也有这样的结论

第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式

题型一给角求值——自主完成求下列各式的值：
(1)cos1π2cos51π2； (2)cos1π2－sin1π2cos1π2＋sin1π2； (3)12－cos2π8； (4)1－tanπ21π2；
tan12 (5)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.
解析：(1)原式＝cos1π2sin1π2＝12×2sin1π2cos1π2＝21sinπ6＝41.
2.12 sin 15°cos 15°的值等于( ) A.14 B.18 C.116 D.12
解析：原式＝41×2sin 15°cos 15°＝14×sin 30°＝81. 答案：B
3．计算 1－2sin222.5°的结果等于( )
1
2
3
3
A.2 B. 2 C. 3 D. 2
解析：1－2sin222.5°＝cos
跟踪训练 1 (1)已知 sinπ6＋θ＝ 32，则 sin2θ－π6＝(
)
A．－79
B．－59
5 C.9
7 D.9
(2)已知 sinπ4－x＝153，0<x<π4，则 cos 2x＝________.
解析：(1)∵sinπ6＋θ＝ 32， ∴sin2θ－6π＝sin2θ＋π3－π2 ＝－cos2θ＋π3＝－1－2sin2π6＋θ＝－95. (2)因为 x∈0，π4，所以π4－x∈0，π4，又因为 sin4π－x＝153，所以 cosπ4－x＝1123，所以 cos 2x＝sinπ2－2x＝2sinπ4－xcosπ4－x ＝2×153×1123＝112609.
C2α cos 2α＝_1_－__2_s_in_2_α____ 利用c_o_s_2α_＋__s_i_n_2α_＝__1 cos 2α＝_2_c_o_s_2α_－__1____ 消去 sin2α 或 cos2α

10、微专题：二倍角公式及其应用-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】微专题：二倍角公式及其应用二倍角的正弦、余弦、正切公式三角比公式简记正弦 sin2sin cos2ααα=2S α 余弦 222cos2cos sin 2cos 1αααα=-=-=212sin α- 2C α正切22tan tan 21tan ααα=-2T α二倍角公式变形（1）升降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2；s in 2α＝1－cos 2α2；sin αcos α＝12sin 2α.（2）配方变形公式：1＋cos 2α＝2cos 2α；1－cos 2α＝2sin 2α；1±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；【典例】题型1、给角求值例1、求值：cos 20°cos 40°cos 80° 【提示】；【答案】；【解析】；【说明】题型2、给值求值例2、（1）已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值等于_______ 【提示】；【答案】；【解析】方法1、方法2、例2、（2）若sin θ＋3cos θ＝0，则cos 2θ＋sin 2θ＝( ) A ．2 B ．－2 C. 12D ．－12【提示】；【答案】；【解析】【说明】题型3、化简与证明例3、（1）化简：sin 2x 2cos x ⎝⎛⎭⎫1＋tan x tan x 2；（2）求证：3－4cos 2A ＋cos 4A3＋4cos 2A ＋cos 4A ＝tan 4A .题型4、二倍角公式推导思路的拓展┄┄三倍角公式例4、（1）试用sin θ 表示sin3θ；（2）试用cos θ 表示cos3θ；（2）试用sin θ 表示sin3θ；【归纳】1、二倍角的正弦、余弦、正切公式三角比公式简记正弦 sin 2α＝2sin_α_cos_αS 2α 余弦 cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α C 2α 正切tan 2α＝2tan α1－tan 2αT 2α【理解】（1）二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如4α是2α的二倍角，α是α2的二倍角等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想；（2）对于S 2α和C 2α，α∈R ，但是在使用T 2α时，要保证分母1－tan 2α≠0且tan α有意义，即α≠π4＋k π且α≠－π4＋k π且α≠π2＋k π(k ∈Z)．当α＝π4＋k π及α＝－π4＋k π(k ∈Z)时，tan 2α的值不存在；当α＝π2＋k π(k ∈Z)时，tanα的值不存在，故不能用二倍角公式求tan 2α，此时可以利用诱导公式直接求出tan 2α＝tan(π＋2k π)＝0. （3）二倍角的余弦公式的三种形式容易混淆，尤其是后两种．若对后两种形式不确定，可以记住第一种，再结合同角三角函数的平方关系推导出后两种．（4）一般情况下，sin 2α≠2sin α，cos 2α≠2cos α，tan 2α≠2tan α.（5）倍角公式的逆用能开拓思路，我们要熟悉这组公式的逆用形式．例如，sin 3αcos 3α＝12sin 6α.（6）和角公式与二倍角公式之间的联系：【即时练习】1、若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A.725 B. 15 C ．－15 D ．－7252、若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13 C.13 D.233、若1＋tan α1－tan α＝2 012，则1cos 2α＋tan 2α＝________．4、等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．5、设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________. 6、sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，则cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值为． 7、sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝16，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 4x 的值为． 8、已知sin ⎝⎛⎭⎫θ－π12＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝ 9、已知sin α＋cos α＝13，且0<α<π，求：sin2α，cos 2α，tan 2α的值．10、求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ.【教师版】微专题：二倍角公式及其应用二倍角的正弦、余弦、正切公式三角比公式简记正弦 sin2sin cos2ααα=2S α 余弦 222cos2cos sin 2cos 1αααα=-=-=212sin α- 2C α 正切22tan tan 21tan ααα=-2T α二倍角公式变形（1）升降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2；sin 2α＝1－cos 2α2；sin αcos α＝12sin 2α.（2）配方变形公式：1＋cos 2α＝2cos 2α；1－cos 2α＝2sin 2α；1±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；【典例】题型1、给角求值例1、求值：cos 20°cos 40°cos 80°【提示】注意：角“20°、40°、80°”成“二倍”关系；【答案】18；【解析】原式＝2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°2sin 20°＝2sin 40°cos 40°cos 80°4sin 20°＝2sin 80°cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝sin 20°8sin 20°＝18；【说明】本题属于：给角求值问题；对于给角求值问题，一般有两类：（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角；（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式；题型2、给值求值例2、（1）已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值等于_______ 【提示】注意：角“⎝⎛⎭⎫π4－x ”与角“2x ”之间关系；【答案】725；【解析】方法1、因为sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725，所以sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝725. 方法2、由sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，得22(s in x －cos x )＝－35，所以sin x －cos x ＝－325，两边平方得1－sin 2x ＝1825，所以sin 2x ＝725；例2、（2）若sin θ＋3cos θ＝0，则cos 2θ＋sin 2θ＝( )A ．2B ．－2 C. 12D ．－12【提示】注意：角“θ”与“2θ”之间二倍关系，以及“齐次”式的特点；【答案】D ；【解析】由sin θ＋3cos θ＝0得tan θ＝－3，所以cos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ＋sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ＋2sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θcos 2θ＋2sin θcos θcos 2θcos 2θcos 2θ＋sin 2θcos 2θ＝1＋2tan θ1＋tan 2θ＝－510＝－12，故选D ；【说明】本题属于：给值求值问题；解决给值求值问题的方法：（1）给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：①有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；②寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．（2）注意几种公式的灵活应用，如：①sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2cos 2π4－x －1＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x . ②cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin π4－x ·cos ⎝⎛⎭⎫π4－x . 题型3、化简与证明例3、（1）化简：sin 2x 2cos x ⎝⎛⎭⎫1＋tan x tan x 2；（2）求证：3－4cos 2A ＋cos 4A3＋4cos 2A ＋cos 4A ＝tan 4A .【提示】注意：灵活运用与应用公式的变形；【解析】（1）sin 2x 2cos x ⎝⎛⎭⎫1＋tan x tan x 2＝sin 2x 2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin x sinx2cos x cosx 2＝2sin x cos x2cos x· cos x cos x 2＋sin x sin x 2cos x cos x 2＝sin x ·cosx2cos x cosx 2＝tan x ；（2）证明：因为左边＝3－4cos 2A ＋2cos 22A －13＋4cos 2A ＋2cos 22A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2A 2cos 2A 2＝(tan 2A )2 ＝tan 4A ＝右边，所以3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4A ；【说明】任意角的三角比的化简方法：三角比的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”“弦化切”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等．题型4、二倍角公式推导思路的拓展┄┄三倍角公式例4、（1）试用sin θ 表示sin3θ；（2）试用cos θ 表示cos3θ；（2）试用sin θ 表示sin3θ；【解析】（1）3sin33sin 4sin θθθ=-；（2）3cos34cos 3cos θθθ=-；【说明】理解二倍角公式的推导思路；并从推导过程进行拓展（问题：如何记忆三倍角公式）【归纳】1、二倍角的正弦、余弦、正切公式三角比公式简记正弦 sin 2α＝2sin_α_cos_αS 2α 余弦 cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α C 2α 正切tan 2α＝2tan α1－tan 2αT 2α【理解】（1）二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如4α是2α的二倍角，α是α2的二倍角等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想；（2）对于S 2α和C 2α，α∈R ，但是在使用T 2α时，要保证分母1－tan 2α≠0且tan α有意义，即α≠π4＋k π且α≠－π4＋k π且α≠π2＋k π(k ∈Z)．当α＝π4＋k π及α＝－π4＋k π(k ∈Z)时，tan 2α的值不存在；当α＝π2＋k π(k ∈Z)时，tan α的值不存在，故不能用二倍角公式求tan 2α，此时可以利用诱导公式直接求出tan 2α＝tan(π＋2k π)＝0. （3）二倍角的余弦公式的三种形式容易混淆，尤其是后两种．若对后两种形式不确定，可以记住第一种，再结合同角三角函数的平方关系推导出后两种．（4）一般情况下，sin 2α≠2sin α，cos 2α≠2cos α，tan 2α≠2tan α.（5）倍角公式的逆用能开拓思路，我们要熟悉这组公式的逆用形式．例如，sin 3αcos 3α＝12sin 6α.（6）和角公式与二倍角公式之间的联系：【即时练习】1、若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A.725 B. 15 C ．－15 D ．－725【答案】D ；【解析】因为cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725. 2、若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13 C.13 D.23【答案】C ；【解析】因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2 α2＝1－2×(33)2＝13.3、若1＋tan α1－tan α＝2 012，则1cos 2α＋tan 2α＝________．【答案】 2 012；【解析】1cos 2α＋tan 2α＝1cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝（cos α＋sin α）2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 0124、等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．【答案】459【解析】设A ，B 分别是等腰△ABC 的顶角和底角，则cos B ＝23，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫232＝53.所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. 5、设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________. 【答案】17250；【解析】∵α为锐角，∴π6<α＋π6<2π3.∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2×35×45＝2425， cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1＝2×⎝⎛⎭⎫452－1＝725， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π4＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝22×1725＝17250. 6、sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，则cos 2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值为．【答案】2413；【解析】0<x <π4，∴π4－x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4.又∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1213. 又cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2×513×1213＝120169，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，∴原式＝120169513＝2413.7、sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝16，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 4x 的值为．【答案】427；【解析】∵sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝12cos 2x ＝16，∴cos 2x ＝13.∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴2x ∈(π，2π)，∴sin 2x ＝－223. ∴tan 2x ＝sin 2x cos 2x ＝－2 2.∴tan 4x ＝2tan 2x1－tan 22x ＝－421－8＝427.8、已知sin ⎝⎛⎭⎫θ－π12＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝【答案】79；【解析】sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ－π12＋π2＝cos ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫θ－π12＝79. 9、已知sin α＋cos α＝13，且0<α<π，求：sin2α，cos 2α，tan 2α的值．【解析】方法1、由sin α＋cos α＝13，得(sin α＋cos α)2＝19，即1＋2sin αcos α＝19，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－89.∵sin αcos α<0，0<α<π，∴sin α>0，cos α<0.又sin α＋cos α＝13>0，∴sin α>|cos α|.∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α<0.∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－179.ta n 2α＝sin 2αcos 2α＝81717. 方法2、：∵sin α＋cos α＝13，∴(sin α＋cos α)2＝19，即1＋2sin αc os α＝19，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－89.∵0<α<π，∴sin α>0.又sin αcos α＝－49<0，∴cos α<0.∴sin α－cos α>0.∴sin α－cos α＝（sin α－cos α）2 ＝1－sin 2α＝173. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝13×(－173)＝－179.∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝81717. 10、求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ.【证明】原式变形为1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)，(*) 而(*)式右边＝tan 2θ(1＋cos 4θ＋sin 4θ) ＝sin 2θcos 2θ(2cos 22θ＋2sin 2θcos 2θ)＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ＝sin 4θ＋1－cos 4θ＝左边，∴(*)式成立，即原式得证.。

5.5.1 第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式(课件)

经典例题
题型二条件求值
例 2(1)已知 tan α＝2，则 tan 2α＝________；
(2)已知 0<α<π2，cosπ6＋α＝13，则 sin3π＋2α＝________.
解：(1)∵tan α＝2， ∴tan 2α＝1－2tatnanα2α ＝12－×222＝－43.
(2)∵0<α<π2，∴π6<α＋π6<23π.
＝cos2( ＋α)＝2cos2( ＋α)－1＝2×( )2－1＝－ .
经典例题
题型二条件求值
跟踪训练2 (2)设 α 为锐角，若 cosα＋π6＝45，则 sin2α＋1π2的值为________．
(2)∵α 为锐角，∴α＋π6∈π6，23π. 又∵cosα＋π6＝45，∴sinα＋π6＝35，
公式
简记
正弦 sin2α＝ 2sinαcosα
S2α
余弦 cos2α＝ cos2α－sin2α
C2α
正切 tan2α＝
2tan α 1－tan2α
T2α
解读：倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于 2 的情况都成立，如 4α 是 2α 的二倍，α 是α2的二倍等.
自主学习
二．正弦的二倍角公式的变形 1.sin αcos α＝12sin 2α； 2.1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.
－解析：因为 tanα＝－，所以 tan2α＝
＝
＝－ .
经典例题
题型一给角求值
例 1 求下列各式的值：
(1)sin2 π－cos2 π；
(2)sin1π2cos1π2；
(3)
；
(4)cos20°·cos40°·cos80°.

微专题28 利用二倍角公式升、降幂的绝招(解析版)

微专题28利用二倍角公式升、降幂的绝招【方法技巧与总结】1、二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin cos ααα=⋅2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-222tan tan 2()1tan T αααα=-2、升幂公式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=3、降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=【题型归纳目录】题型一：利用二倍角公式求值题型二：利用二倍角化简、求值题型三：利用二倍角的升降幂进行化简、求值题型四：二倍角的综合运用【典型例题】题型一：利用二倍角公式求值例1．求下列各式的值：（1）sin15cos15︒︒；（2）22cos sin 88ππ-；（3）2tan 22.5122.5tan ︒-︒；（4）22cos 22.51︒-．【解析】解：（1）11sin15cos15sin 3024︒︒=︒=；（2）22cos sin cos 8842πππ-==；（3）2tan 22.511tan 45122.522tan ︒=︒=-︒；（4）222cos 22.51cos 452︒-=︒=．例2．求下列各式的值：（1）2sin 75cos 75︒︒；（2）22sin cos 1212ππ-；（3）22cos 18π-；（4）212sin 6730'-︒；（5）22tan 22.5122.5tan ︒-︒；（6）sin15sin 75︒︒；（7）22cos 1501︒-；（8）252tan125112tan ππ-．【解析】解：（1）12sin 75cos 75sin150sin 302︒︒=︒=︒=；（2）2222sin cos (cos sin )cos 121212126πππππ-=--=-=-；（3）22cos 1cos 84ππ-==（4）212sin 6730cos135cos 452'-︒=︒=-︒=-；（5）22tan 22.5tan 451122.5tan ︒=︒=-︒；（6）111sin15sin 752sin15cos15sin 30224︒︒=⨯︒︒=︒=；（7）212cos 1501cos300cos 602︒-=︒=︒=；（8）252tan512tan tan 5663112tan ππππ==-=-．例3．求下列各式的值：（1）5555(sincos )(sin cos )12121212ππππ+-（3）111tan 1tan αα--+（4）212cos cos 2θθ+-【解析】解：（1）5555(sin cos cos )12121212ππππ+-2255sin cos 1212ππ=-5cos 6π=-cos 6π=2=；（2）44cos sin 22αα-2222(cos sin )(cos sin )2222αααα=+-22cos sin 22αα=-cos α=；（3）111tan 1tan αα--+(1tan )(1tan )(1tan )(1tan )αααα+--=-+22tan 1tan αα=-tan 2α=；（4）212cos cos 2θθ+-2212cos (2cos 1)θθ=+--2=．变式1．求下列各式的值：（1）2sin15cos15︒︒；（2）22cos 22.5sin 22.5︒-︒；（3）212sin 15-︒；（4）22cos 301︒-；（6）22tan 75175tan ︒-︒．【解析】解：（1）12sin15cos15sin 302︒︒=︒=；（2）22cos 22.5sin 22.5︒-︒；cos 452=︒=；（3）212sin 15cos302-︒=︒=；（4）212cos 301cos602︒-=︒=；（5）2sin cos sin 8842πππ==；（6）22tan 75tan150tan 301753tan ︒=︒=-︒=--︒．变式2．求下列各式的值：（1）3sinsin88ππ；（2）22cos 15cos 75︒-︒；（3）252cos 112π-；（4）2tan 30130tan ︒-︒．【解析】解：（1）31sinsin sin cos sin 8888244πππππ===．（2）2222cos 15cos 75cos 15sin 15cos30︒-︒=︒-︒=︒=．（3）2552cos 1cos cos 12662πππ-==-=-．（4）22tan 3012tan 301tan 6013021tan 3022tan ︒︒=⋅=︒=-︒-︒．题型二：利用二倍角化简、求值例4．已知1sin()33παα+=，则sin(2)6πα-的值是()A ．13B ．13-C ．79D ．79-【解析】解：已知11sin()cos sin()33223ππαααααα+-==+-=-，则222sin(2)cos[(2cos(2)cos(212sin ()626333ππππππααααα-=--=-=-=--171299=-⨯=，故选：C ．例5．已知1sin()cos 63παα-=+，则cos(2(3πα+=)A ．79-B ．CD ．79【解析】解：1sin()cos 63παα-=+，整理得11cos 223αα+=-，即1sin()63πα+=-，故27cos(2)12sin ()369ππαα+=-+=．故选：D ．例6．已知3cos(13)4α︒+=-，则sin(642)α-︒+的值为()A ．18-B ．18C ．316-D ．1532【解析】解：3cos(13)4α︒+=-，则sin(642)α-︒+21cos[90(642)]cos(262)2cos (13)18ααα=-︒+-︒+=-︒+=-︒++=-，故选：A ．变式3．已知3sin()45x π-=，则cos(2)2x π-的值为()A ．1925B ．1625C ．1425D ．725【解析】解：因为3sin()45x π-=，所以2237cos(2)cos[2()]12()12(244525x x sin x πππ-=-=--=-⨯=．故选：D ．变式4．若[4πθ∈，]2π，1cos 28θ=-则sin (θ=)A ．35B ．34C ．4D ．45【解析】解：21cos 212sin 8θθ=-=-，29sin 16θ∴=，[4πθ∈，2π，3sin 4θ∴==，故选：B ．变式5．已知tan 2α=，则cos(2)4πα+的值为10-．【解析】解：tan 2α=，则222222cos sin 2sin cos cos(2)2sin 2()4222cos sin cos sin πααααααααααα-+=-=-++2221tan 2tan 1447()()21tan 1tan 2141410αααα--=-=-=-++++，故答案为：7210-．变式6．已知tan 2α=，则22sin 22cos 2sin 4ααα-=112．【解析】解：tan 2α=，22tan 4sin 215tan ααα∴==+，2213cos215tan tan ααα-==-+，24sin 42sin 2cos 225ααα==-，∴222243()2()sin 22cos 215524sin 41225ααα-⨯--==-．故答案为：112．变式7．已知θ为锐角，3cos(15)5θ+︒=，则cos(215)θ-︒=．【解析】解：θ为锐角，3cos(15)52θ+︒=<，15(45,60)θ∴+︒∈︒︒，230120θ∴+︒<︒．由二倍角公式可得27cos(230)2cos (15)125θθ+︒=+︒-=-，24sin(230)25θ∴+︒==．cos(215)cos(23045)cos(230)cos 45sin(230)s in 45θθθθ∴-︒=+︒-︒=+︒︒++︒︒7242525=-，故答案为：50．变式8．（1）已知角α的终边经过点(4,3)P -，求2sin cos tan ααα++（2）已知a 为第二象限的角，3sin 5a =，求tan 2α【解析】解：（1）α的终边经过点(4,3)P -，则3sin 5α=-，cos 45α=，3tan 4α=-，2sin ∴23cos tan 20ααα++=-（2）a 为第二象限的角，3sin 5a =，cos ∴45α=-，3tan 4α∴=-，24tan 27α∴=-题型三：利用二倍角的升降幂进行化简、求值例7．等于()A ．2sin 44cos 4-B ．2sin 44cos 4--C ．2sin 4-D ．4cos 42sin 4-【解析】解：544ππ<<，sin 4cos 40∴<<，2|sin 4cos 4|2cos 42sin 4∴==-=-，2cos 4=-，2sin 4∴=-．故选：C ．例8．若42ππθ<<，则化简的结果为()A ．2sin θB ．2sin θ-C ．2cos θD ．2cos θ-【解析】解：若42ππθ<<，则sin cos 0θθ>>，∴|sin cos ||sin cos |θθθθ==+--(sin cos )(sin cos )2cos θθθθθ=+--=，故选：C ．例9．已知53[,42ππθ∈-可化简为()A ．2sin θB ．2sin θ-C ．2cos θ-D ．2cos θ【解析】解：因为53[,]42ππθ∈，sin cos θθ∴<，且sin cos 0θθ+<．|cos sin ||cos sin |2cos θθθθθ--+=，故选：D ．变式9．sin10sin 30sin 50sin 70︒︒︒︒的值为()A ．12B ．14C ．18D ．116【解析】解：原式12sin10cos10cos 20cos 40sin 80122cos1016cos1016︒︒︒︒︒===︒︒故选：D ．变式10．若270360a ︒<<︒=cos2a -．【解析】解：270360a ︒<<︒，∴1351802a︒<<︒，===|cos |cos 22a a ====-．故答案为：cos 2a -．变式11()A ．2sin 5-︒B ．2sin 5︒C ．2cos5-︒D ．2cos5︒=50=︒︒2cos(4550)=︒+︒2sin 5=-︒．故选：A ．变式12．若2παπ-<<-得()A ．24απ+B 24απ+C ．sin()24απ-D sin()24απ-【解析】解：2παπ-<<-，22αππ∴-<<-，∴sincos 22αα=-+3sin()24απ=+3(24αππ=-+sin()24απ=-．故选：C ．变式13()A ．12B ．2C D ．2【解析】解：原式sin 4040sin 80cos10sin10sin102cos102︒︒︒===⨯=︒-︒+︒︒．故选：B ．变式14．sin 6cos 24sin 78cos 48︒⋅︒⋅︒⋅︒的值为()A ．116B ．116-C ．132D ．18【解析】解：sin 6cos 24sin 78cos 48︒⋅︒⋅︒⋅︒sin 6sin(9012)cos 24cos 48=︒⋅︒-︒⋅︒⋅︒sin 6cos12cos 24cos 48=︒︒︒︒442cos6sin 6cos12cos24cos482cos6︒︒︒︒︒=︒342sin12cos12cos 24cos 482cos6︒︒︒︒=︒242sin 24cos 24cos 482cos6︒︒︒=︒442sin 48cos 48sin 96sin(906)cos 612cos 62cos 616cos 616cos 616︒︒︒︒+︒︒=====︒︒︒︒．故选：A ．变式15．=1．cos20sin 201cos20sin 20︒-︒==︒-︒．故答案为：1．题型四：二倍角的综合运用例10．设(0,)απ∈，1sin cos 3αα+=，则22cos sin αα-的值是()A ．9B ．3-C ．9-D ．9或9-【解析】解：1sin cos 3αα+=，112sin cos 9αα∴+=，82sin cos 9αα∴=-，(0,)απ∈，sin 0α∴>，cos 0α<，cos sin3αα∴-=-，221cos sin (cos sin )(cos sin )3αααααα∴-=-+=-=-故选：C ．例11．若1sin cos 3αα+=，0απ<<，则sin 2cos 2(αα+=)A ．89+B ．89-±C ．89-D ．89--【解析】解：因为1sin cos 3αα+=①，所以112sin cos 9αα+=，即82sin cos sin 29ααα==-，所以21712sin cos (sin cos )9αααα-=-=，因为sin cos 0αα<且0απ<<，所以sin 0α>，cos 0α<，故sin cos 3αα-=②，①⨯②可得，22cos 2cos sin ααα-==-，所以88sin 2cos 2999αα--+=--=．故选：D ．例12．函数2()sin cos f x x x x =+在区间[,42ππ上的最大值是()A ．1B ．12C ．32D ．1【解析】解：由1cos 21()2sin(2)2226x f x x x π-=+=+-，5242366x x πππππ⇒-，∴13()122max f x =+=．故选：C ．变式16．已知函数2()(2cos 1)sin 2xf x x =-，则函数()f x 的最小正周期和最大值分别为()A ．π和1B ．π和12C ．2π和1D ．2π和12【解析】解：函数21()(2cos 1)sin cos sin sin 222x f x x x x x =-==，故它的最小正周期为22ππ=；它的最大值为12，故选：B ．变式17．当x θ=时，函数2()2sin 4cos 2xf x x =+-取得最大值，则cos θ=5-．【解析】解：2()2sin 4cos sin 2cos )2xf x x x x x ϕ=+-=-=-，且sin 5ϕ=，cos 5ϕ=，又当x θ=时函数取得最大值，则22k πθϕπ-=+，可得22k πθπϕ=++，则cos cos(2)sin 2k πθπϕϕ=++=-=-，故正确答案为：5-．变式18．已知函数()cos cos )(0)f x x x x ωωωω=->的两条对称轴之间的最小距离为2π．（1）求函数()f x 的最大值；（2）若3()10f α=，(0,3πα∈，求cos 2α的值．【解析】解：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得2()cos cos f x x x x ωωω=-1cos 212sin(2)2262x x x ωπωω+=-=--，函数()f x 图象两条对称轴之间的最小距离为2π，∴周期2222T ππω==⨯，解得1ω=，1()sin(262f x x π∴=--，()f x ∴的最大值为11122-=；（2）因为314()sin(2)sin(2106265f ππααα==--⇒-=，(0,)3πα∈，2(66ππα∴-∈-，2π；3cos(265πα∴-=．cos 2cos[(2)66ππαα∴=-+cos(2)cos sin(2)sin 6666ππππαα=---341552=⨯410=．变式19．已知tan α，tan β是一元二次方程的2420x x --=两根，且0βαπ<<<，求tan2αβ+的值．【解析】解：由已知得tan tan 4αβ+=，tan tan 2αβ=-，tan tan 44tan()1tan tan 123αβαβαβ++===-+，22tan42tan()312tan αβαβαβ++==+-，23tan22tan 22αβαβ++∴=-，即22tan 3tan 2022αβαβ+++-=，则1tan22αβ+=或2-，0βαπ<<<，tan tan 40αβ+=>，tan tan 20αβ=-<，tan α∴与tan β异号，则tan 0α>，tan 0β<，且|tan ||tan |βα>，02πβ∴<<，2παπ<<，则322ππαβ<+<，3424παβπ+<<，则tan22αβ+=-．【过关测试】1．已知3cos 25θ=，则44sin cos θθ+的值为()A ．925B ．1625C ．1725D ．4150【解析】解：3cos 25θ=，4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ∴+=+-2211121(12)22sin cos θθ=-=--213171[1()]2525=--=．故选：C ．2．已知3cos 25α=，则44sin cos αα-的值为()A ．35-B ．15-C ．15D ．35【解析】解：3cos 25α=，223cos 2cos sin 5ααα∴=-=，442222223sin cos (cos sin )(cos sin )(cos sin )5αααααααα∴-=-+-=--=-，故选：A ．3．已知1tan 4tan θθ+=，则44sin cos (θθ+=)A ．38B ．12C ．34D ．78【解析】解：由221sin cos sin cos 1tan 4tan cos sin sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ++=+===，得1sin cos 4θθ=，4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ∴+=+-1712168=-⨯=．故选：D ．4．若[,]42ππθ∈，sin 28θ=，则sin (θ)A ．23B ．4C ．4D ．34【解析】解：因为[,]42ππθ∈，所以2[,]2πθπ∈，所以cos 20θ<，所以，1cos 28θ==-．又21cos 212sin 8θθ=-=-，所以29sin 16θ=．再由[,]42ππθ∈，得sin 0θ>，所以3sin 4θ=．故选：D ．5．已知角α满足1sin()43πα+=，则sin cos αα+=23，sin 2α=．【解析】解：角α满足1sin()43πα+=，则21(sin cos )23αα+=，则2sin cos 3αα+=．所以22(sin cos )9αα+=，整理得27sin 2199α=-=-．故答案为：739-6．函数111cos 24cos 22y x x =-+的值域为[2，10]．【解析】解：2111cos 24cos (cos 2)122y x x x =-+=-+，设cos x t =，所以函数2()(2)1f t t =-+该函数在(,2)-∞上单调递减，当cos 1x =-时函数取得最大值为10，当cos 1x =时，函数取得最小值为2．故函数的值域为[2，10]．故答案为：[2，10]．7．（1）已知角α的终边经过点(4,3)P -，求2sin cos tan ααα++（2）已知a 为第二象限的角，3sin 5a =，求tan 2α【解析】解：（1）α的终边经过点(4,3)P -，则3sin 5α=-，cos 45α=，3tan 4α=-，2sin ∴23cos tan 20ααα++=-（2）a 为第二象限的角，3sin 5a =，cos ∴45α=-，3tan 4α∴=-，24tan 27α∴=-8．（1）已知445sin cos 9θθ+=．求sin 2θ的值；（2）已知3cos 25θ=，求44sin cos θθ+的值．【解析】解：已知445sin cos 9θθ+=．所以222225(sin cos )2sin cos 9θθθθ+-=，整理得2511(2sin cos )92θθ-=，所以214(sin 2)29θ=，故：sin 23θ=±．（2）已知3cos 25θ=，所以4sin 25θ=±，44sin cos θθ+的2222211617(sin cos )2sin cos 122525θθθθ=+-=-⨯=．9．（1）已知3cos 5θ=-，32ππθ<<，求2(sin cos 22θθ-的值；（2）已知1sincos 225αα-=，求sin α的值；（3）已知445sin cos 9θθ+=，求sin 2θ的值；（4）已知3cos 25θ=，求44sin cos θθ+的值．【解析】解：（1）由3cos 5θ=-，32ππθ<<，得4sin 5θ==-，所以22249(sincos )sin 2sin cos cos 1sin 122222255θθθθθθθ-=-+=-=+=；（2）由1sin cos 225αα-=，所以2221(sincos )sin 2sin cos cos 1sin 22222225ααααααα-=-+=-=，解得24sin 25α=；（3）由445sin cos 9θθ+=，得2224422251(sin cos )sin cos 2sin cos sin 2192θθθθθθθ+=++=+=，解得28sin 29θ=，则sin 23θ=±；（4）由3cos 25θ=，得：4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ+=+-211sin 22θ=-211(1cos 2)2θ=--21131(225=-+⨯1725=．10．已知324ππα<<，110tan tan 3αα+=-．（1）求3tan()4απ+的值；（2）求225sin 8sin cos 11cos 822223sin()2ααααπα++--的值．【解析】解：由110tan tan 3αα+=-，得23tan 10tan 30αα++=，解得：tan 3α=-或1tan 3α=-．324ππα<<，1tan 3α∴=-，（1）131tan tan 334tan()23141tan tan 1()(1)43απαπαπ--++===----⨯-；（2）225sin 8sin cos 11cos 822223sin()2ααααπα++--41cos 1cos 354sin 1184sin 3cos 4tan 353223cos 3cos 339αααααααα-+-+⋅++⋅-++=====-----．11．已知4tan 2,223θπθπ=<<（1）求tan θ的值；（2）求22cos sin 12sin()cos θθπθθ---+的值．【解析】解：（1）22tan 4tan 21tan 3θθθ==-，∴122tan tan θθ=-=或，2πθπ<<，∴2πθπ<<，tan 2θ∴=-．（2）22cos sin 1cos sin 1tan 23sin()cos sin cos tan 1θθθθθπθθθθθ----===--+++．12．已知sin3cos 022x x -=（1）求tan x 的值；（2）求cos 2cos()sin 4xx xπ+的值．【解析】解：（1）由sin 3cos 022x x -=，可得tan 32x =，∴22tan632tan 1941tan 2xx x ===---．（2）原式22cos sin 111sin tan 3x x x x +===+=-．13．不用计算器，求值：tan10tan 20tan 30tan 40tan 50tan 60tan 70tan 80︒︒︒︒︒︒︒︒．【解析】解：tan cot(90)αα=︒-．∴原式cot 80cot 70cot 60cot 50tan 50tan 60tan 70tan 80=︒︒︒︒︒︒︒︒1=．故答案为：1．。

三角函数公式

一）两角和差公式（写的都要记）sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)二）用以上公式可推出下列二倍角公式tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 （上面这个余弦的很重要）sin2A=2sinA*cosA三）半角的只需记住这个：tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)四）用二倍角中的余弦可推出降幂公式(sinA)^2=(1-cos2A)/2(cosA)^2=(1+cos2A)/2五）用以上降幂公式可推出以下常用的化简公式1-cosA=sin^(A/2)*21-sinA=cos^(A/2)*2+一）两角和差公式（写的都要记）sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)二）用以上公式可推出下列二倍角公式tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 （上面这个余弦的很重要）sin2A=2sinA*cosA三）半角的只需记住这个：tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)四）用二倍角中的余弦可推出降幂公式(sinA)^2=(1-cos2A)/2(cosA)^2=(1+cos2A)/2五）用以上降幂公式可推出以下常用的化简公式1-cosA=sin^(A/2)*21-sinA=cos^(A/2)*2公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

(完整版)三角函数公式大全

三角函数公式一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=，正弦函数：r y =αsin 余弦函数：r x =αcos 正切函数：x y=αtan 余切函数：y x =αcot 正割函数：xr=αsec 余割函数：y r =αcsc 二、同角三角函数的基本关系式六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。

”倒数关系：1csc sin =⋅x x ，1sec cos =⋅x x ，1cot tan =⋅x x 。

商数关系：x x x cos sin tan =，xxx sin cos cot =。

平方关系：1cos sin 22=+x x ，x x 22sec tan 1=+，x x 22csc cot 1=+。

积的关系：sinx=tanx·cosx cosx=sinx·cotx tanx=sinx·secxcotx=cosx·cscx secx=tanx·cscx cscx=secx·cotx三、诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2kπ＋α）＝sinα cos （2kπ＋α）＝cosαtan （2kπ＋α）＝tanα cot （2kπ＋α）＝cotα (其中k ∈Z)公式二：设α为任意角，π＋α的三角函数的值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）＝－sinα cos （π＋α）＝－cosα tan （π＋α）＝tanα cot （π＋α）＝cotα公式三：任意角α与－α的三角函数值之间的关系：sin （－α）＝－sinα cos （－α）＝cosα tan （－α）＝－tanα cot （－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π－α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）＝sinα cos （π－α）＝－cosα tan （π－α）＝－tanα cot （π－α）＝－cotα 公式五：απ-2与α的三角函数值之间的关系：sin （απ-2）＝cosα cos （απ-2）＝sinα tan （απ-2）＝cotα cot （απ-2）＝tanα公式六：απ+2与α的三角函数值之间的关系：sin （απ+2）＝cosα cos （απ+2）＝－sinα tan （απ+2）＝－cotα cot （απ+2）＝－tanα公式七：απ-23与α的三角函数值之间的关系： sin （απ-23）＝－cosα cos （απ-23）＝－sinαtan （απ-23）＝cotα cot （απ-23）＝tanα公式八：απ+23与α的三角函数值之间的关系：sin （απ+23）＝－cosα cos （απ+23）＝sinαtan （απ+23）＝－cotα cot （απ+23）＝－tanα公式九：利用公式一和公式三可以得到2π－α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π－α）＝－sinα cos （2π－α）＝cosα tan （2π－α）＝－tanα cot （2π－α）＝－cotα⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。

二倍角的正弦、余弦、正切公式课件

反思与感悟利用倍角公式证明三角恒等式，关键是找到左、右两边式子中的倍角关系，先用倍角公式统一角，再用同角三角函数基本关系式等完成证明.
例 3 在△ABC 中，cos A＝45，tan B＝2，求 tan(2A＋2B)的值. 解方法一在△ABC 中，由 cos A＝45，0<A<π，
得 sin A＝ 1－cos2A＝
(2)(sin α±cos α)2＝ 1±sin 2α ；
1－cos 2α
1＋cos 2α
(3)sin2α＝
2
，cos2α＝ 2 ；
(4)1－cos α＝2sin2α2 ,1＋cos α＝2cos2α2 .
探究点一二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导
思考1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示 2α的三角函数的公式.根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式.你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？试一试？答 sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2α－sin2α； tan 2α＝tan(α＋α)＝1－2tatnanα2α.
探究点二余弦的二倍角公式的变形形式及应用
思考余弦的二倍角公式是否有其他变形？
答二倍角的余弦公式cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－
2sin2α
变
形
较
多
，
应
用
灵
活
.
其
中
sin2α
＝
1－cos 2
2α
，
cos2α
＝
1＋cos 2

【高中数学】两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式

两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式一、基础知识1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.T (α±β)：tan(α±β)，β，α±β≠π2＋k π，k ∈两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C (α±β)同名相乘，符号反；S (α±β)异名相乘，符号同；T (α±β)分子同，分母反.2．二倍角公式S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.T 2α：tan 2α≠k π＋π2且α≠k π2＋π4，k ∈二倍角是相对的，例如，α2是α43α是3α2的二倍角．二、常用结论(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．(4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φsin φ＝b a 2＋b 2，cos φ考点一三角函数公式的直接应用[典例](1)已知sin α＝35，αtan β＝－12，则tan(α－β)的值为()A ．－211B.211C.112D ．－112(2)(2019·呼和浩特调研)若sin (π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为()A ．－229B ．－429C.229D.429[解析](1)因为sin α＝35，α所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211.(2)因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×＝－429.[答案](1)A(2)B[解题技法]应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．[题组训练]1．已知sin α＝13＋cos α，且α，则cos 2α()A ．－23B.23C ．－13D.13解析：选A因为sin α＝13＋cos α，所以sin α－cos α＝13，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α)＝－1322＝－23.2．已知sin α＝45，且αsin α________．解析：因为sin α＝45，且αα所以cos α＝－1－sin 2α＝－＝－35.因为sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.所以αsin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝－24＋7350.答案：－24＋7350考点二三角函数公式的逆用与变形用[典例](1)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.(2)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝________.[解析](1)∵sin α＋cos β＝1，①cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.(2)原式＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°·tan 35°＝3(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝3.[答案](1)－12(2)3[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)公式的一些常用变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；1±sin αsin α2±cos ；sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.[提醒](1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．(3)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．[题组训练]1.设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是()A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b解析：选D由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a ＝cos 50°cos 127°＋cos40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝22sin 56°－22cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝1－sin 239°cos 239°1＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y ＝sin x ，x ∈0，π2为增函数，所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a >c >b .2.已知sin α＝435，则________.解析：由sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435，∴3sin ＝435，即＝45.答案：453.化简sin sin sin 2α的结果是________．解析：sin 2α＝1－12cos ααsin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12.答案：12考点三角的变换与名的变换考法(一)三角公式中角的变换[典例](2018·浙江高考改编)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点－35，－若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________．[解析]由角α的终边过点－35，－得sin α＝－45，cos α＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665.[答案]－5665或1665[解题技法]1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝考法(二)三角公式中名的变换[典例](2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．[解](1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以α＋β所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255，所以tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247.所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.[解题技法]三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．[题组训练]1．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos ()A.12B.13C.14D.15解析：选C由tan θ＋1tan θ＝4，得sin θcos θ＋cos θsin θ＝4，即sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，∴sin θcos θ＝14，∴cos ＝1－sin 2θ2＝1－2sin θcos θ2＝1－2×142＝14.2．(2018·济南一模)若＝7210A sin A 的值为()A.35B.45C.35或45D.34解析：选B ∵A A ＋π4∈∴＝－210，∴sin A ＝－π4＝cos π4－sin π4＝45.3．已知sin α＝－45，α∈3π2，2π，若sin (α＋β)cos β＝2，则tan(α＋β)＝()A.613B.136C ．－613D ．－136解析：选A ∵sin α＝－45，α∈3π2，2π，∴cos α＝35.又∵sin (α＋β)cos β＝2，∴sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]．展开并整理，得65cos(α＋β)＝135sin(α＋β)，∴tan(α＋β)＝613.[课时跟踪检测]A 级1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝()A ．1 B.12C.32D ．－12解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.2．若2sin x ＋1，则cos 2x ＝()A ．－89B ．－79C.79D ．－725解析：选C 因为2sin x ＋1，所以3sin x ＝1，所以sin x ＝13，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝79.3．(2018·山西名校联考)若＝－33，则cos α＝()A ．－223B ．±223C ．－1D ．±1解析：选C cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝32cos α＋32sin α＝3cos ＝－1.4．tan 18°＋tan 12°＋33tan 18°tan 12°＝()A.3B.2C.22D.33解析：选D ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝tan 18°＋tan 12°1－tan 18°tan 12°＝33，∴tan 18°＋tan 12°＝33(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝33.5．若α3cos 2α＝sin 2α的值为()A ．－118B.118C ．－1718D.1718解析：选C由3cos 2α＝3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin 2α＝－1718.6．已知sin 2α＝13，则cos ()A ．－13B.13C ．－23D.23解析：选Dcos ＝12＋12sin 2α＝12＋12×13＝23.7．已知＝12，α－π2，cos________．解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以＝12cos α＋32sin α＝－12.答案：－128．(2019·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.解析：因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cosαsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5.答案：59．(2017·江苏高考)若＝16，则tan α＝________.解析：tan α＝＋π4＝tanπ41－tan π4＝16＋11－16＝75.答案：7510．化简：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.答案：－111．已知tan α＝2.(1)求tan(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解：＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－(2cos 2α－1)－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1.12．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值．解：(1)∵α，β，∴－π2<α－β<π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×31010＋35×＝91050.B 级1．(2019·广东五校联考)若4cos(2π－θ)，|θ|<π2，则tan2θ＝________.解析：∵4cos(2π－θ)，∴cos θsin θ＝4cos θ，又∵|θ|<π2，∴sin θ＝14，∴0<θ<π2，cos θ＝154，tan θ＝sin θcos θ＝115，从而tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝157.答案：1572．(2018·江西新建二中期中)已知A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，＝35，则________.解析：因为A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，＝35，所以π2<A ＋B <π，π2<B ＋π3<π，所以sin(A ＋B )＝1－cos 2(A ＋B )＝725，＝－45，可得cos (A ＋B )＝－2425×＋725×35＝117125.答案：1171253．(2019·石家庄质检)已知函数f (x )＝x ∈R.(1)求f(2)若cos θ＝45，θf θ解：(1)－π4＋＝－12.(2)θθ－π3＋θ＝22(sin 2θ－cos 2θ)．因为cos θ＝45，θsin θ＝35，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725，所以θ＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×＝17250.。

高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件

8
(1)2cos2 =
(2) sin
;
.
解析:(1)原式=1+cos 2 ×
π
π
12
π
6
3
2
=1+cos =1+ .
2
(2)原式=1+sin 4=1+ 2 .
3
答案:(1)1+
2
2
(2)1+
2
第9页
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的
打“×”.
(1)sin 2θ=2sin θ.
3.1.3 二倍角正弦、余弦、正切公式
第1页
课
标阐释
1.会推导二倍角的正弦、余弦、正
切公式.
2.能够灵活运用二倍角公式解决求
值、化简和证明等问题.
思
维脉络
二倍角公式
二倍角公式的推导
二倍角公式的变形
二倍角公式的应用
第2页
一
二
一、二倍角正弦、余弦和正切公式
【问题思索】
1.在两角和正弦、余弦、正切公式中,令β=α,将得到怎样结果?
形式?
提醒:1±sin 2α=sin2α±2sin αcos α+cos2α=(sin α±cos α)2.
2.依据二倍角余弦公式,sin α,cos α与cos 2α关系分别怎样?
提醒:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α,
1-cos2
1+cos2
2
2
sin α=
,cos α=
1
2
3
6
(2)原式= tan 150°=- tan 30°=- .

二倍角公式

法二由 α 为锐角，且 tan α＝34，得 sin α＝35，cos α＝45，所以 sin 2α＝2sin αcos α＝2×35 ×45＝2245，故选 D.
(2)cos 2α＝2cosα＋π4，α∈(0，π)，得 cos2α－sin2α＝ 2cos α－ 2sin α，α∈(0，π)，
即(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝ 2(cos α－sin α) ①，α∈(0，π)，当 cos α－sin α＝0 时，α
＝cosα2cos2α2α－ sin2α2＝cosα2coαs
α .
cos2
cos2
因为 0<α<π，所以 0<α2<π2，所以 cosα2>0，所以原式＝cos α.
20
课
前
自主回顾
【训练 2】(1)化简cossin1203°5c°o－s 8120°＝________.
课后
限
课
(2)化简 sin2α－π6＋sin2α＋π6－sin2α 的结果是________．
后
sin 2α＝sin2α＋cos2α＝1＋tan2α；
限时
集
课
堂考点探
cos2α－sin2α 1－tan2α
cos 2α＝
＝
.
cos2α＋sin2α 1＋tan2α
训
究
返首页
6
课前
2．降幂公式
自
主回顾
sin2α＝1－c2os 2α；
课后
限
课
cos2α＝1＋c2os 2α；
时集训
D.－2sin
α 2
解析 ∵α∈52π，72π，∴54π≤α2≤74π， ∴ 1＋sin α＋ 1－sin α＝sinα2＋cosα2＋sinα2－cosα2

两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式考点与提醒归纳

两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式考点与提醒归纳一、基础知识1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α±β≠π2＋k π，k ∈Z .两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C (α±β)同名相乘，符号反；S (α±β)异名相乘，符号同；T (α±β)分子同，分母反.2．二倍角公式 S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2且α≠k π2＋π4，k ∈Z . 二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α2的二倍角．二、常用结论(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α. (3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．(4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.考点一三角函数公式的直接应用[典例] (1)已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan β＝－12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211B.211C.112D ．－112(2)(2019·呼和浩特调研)若sin ()π－α＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( )A ．－229B ．－429C.229D.429[解析] (1)因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211.(2)因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝⎛⎭⎫－223＝－429.[答案] (1)A (2)B[解题技法] 应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． [题组训练]1．已知sin α＝13＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( ) A ．－23B.23C ．－13D.13解析：选A 因为sin α＝13＋cos α，所以sin α－cos α＝13，所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α)＝－1322＝－23.2．已知sin α＝45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值为________．解析：因为sin α＝45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. 因为sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝－24＋7350. 答案：－24＋7350考点二三角函数公式的逆用与变形用[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.(2)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝________. [解析] (1)∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.(2)原式＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋ 3 t an 25°·tan 35°＝ 3 (1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝ 3. [答案] (1)－12 (2)3[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)公式的一些常用变形： sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β； cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β； 1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22； sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.[提醒](1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．(3)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32， 3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．[题组训练]1.设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b解析：选D 由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b ＝22 (sin 56°－cos 56°)＝22 s in 56°－22 c os 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝1－sin 239°cos 239°1＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2为增函数，所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a >c >b .2.已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝________. 解析：由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435， ∴3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45. 答案：453.化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________．解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 答案：12考点三角的变换与名的变换考法(一) 三角公式中角的变换[典例] (2018·浙江高考改编)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45.若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________． [解析] 由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45，得sin α＝－45，cos α＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665.[答案] －5665或1665[解题技法]1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β等．考法(二) 三角公式中名的变换[典例] (2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．[解] (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α .因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255，所以tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以 tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247.所以tan(α－β)＝tan [2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.[解题技法] 三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．[题组训练]1．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝( ) A.12 B.13C.14D.15解析：选C 由tan θ＋1tan θ＝4，得sin θcos θ＋cos θsin θ＝4，即sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，∴sin θcos θ＝14，∴cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝1－sin 2θ2＝1－2sin θcos θ2＝1－2×142＝14.2．(2018·济南一模)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，则sin A 的值为( ) A.35 B.45C.35或45D.34解析：选B ∵A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，∴A ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－210，∴sin A ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫A ＋π4－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin π4＝45. 3．已知sin α＝－45，α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π，若sin (α＋β)cos β＝2，则tan(α＋β)＝( ) A.613 B.136C ．－613D ．－136解析：选A ∵sin α＝－45，α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π， ∴cos α＝35.又∵sin (α＋β)cos β＝2，∴sin(α＋β)＝2cos [(α＋β)－α]．展开并整理，得65cos(α＋β)＝135sin(α＋β)，∴tan(α＋β)＝613.[课时跟踪检测]A 级1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A ．1 B.12C.32D ．－12解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.2．若2sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1，则cos 2x ＝( ) A ．－89B ．－79C.79D ．－725解析：选C 因为2sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1，所以3sin x ＝1，所以sin x ＝13，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝79.3．(2018·山西名校联考)若cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－33，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝( ) A ．－223B ．±223C ．－1D ．±1解析：选C cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝32cos α＋32sin α＝3cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－1.4．tan 18°＋tan 12°＋33tan 18°tan 12°＝( ) A.3 B.2 C.22D.33解析：选D ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝tan 18°＋tan 12°1－tan 18°tan 12°＝33，∴tan 18°＋tan 12°＝33(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝33. 5．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－118B.118C ．－1718D.1718解析：选C 由3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin2α＝－1718.6．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B.13C ．－23D.23解析：选D cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝12＋12sin 2α＝12＋12×13＝23. 7．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值为________．解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12. 答案：－128．(2019·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.解析：因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cosαsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5.答案：59．(2017·江苏高考)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 解析：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75.答案：7510．化简：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.答案：－1 11．已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解：(1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－(2cos 2α－1)－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1. 12．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13. (1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值．解：(1)∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0. ∴sin(α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010. ∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45. ∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×⎝⎛⎭⎫－1010＝91050. B 级1．(2019·广东五校联考)若tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝4cos(2π－θ)，|θ|<π2，则tan 2θ＝________. 解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝4cos(2π－θ)，∴cos θsin θ＝4cos θ，又∵|θ|<π2，∴sin θ＝14， ∴0<θ<π2，cos θ＝154，tan θ＝sin θcos θ＝115，从而tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝157. 答案：157 2．(2018·江西新建二中期中)已知A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫A －π3＝________. 解析：因为A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝35，所以π2<A ＋B <π，π2<B ＋π3<π，所以sin(A ＋B )＝1－cos 2(A ＋B )＝725，cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－45，可得cos ⎝⎛⎭⎫A －π3＝cos ⎣⎡⎦⎤(A ＋B )－⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－2425×⎝⎛⎭⎫－45＋725×35＝117125. 答案：1171253．(2019·石家庄质检)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12，x ∈R. (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π4的值； (2)若cos θ ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3的值．解：(1)f ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)．因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin θ＝35，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725，所以f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝17250.。

专题57 高中数学二倍角的正弦、余弦、正切公式(解析版)

专题57 二倍角的正弦、余弦、正切公式1．二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式 S 2α sin 2α＝2sin αcos α C 2α cos 2α＝cos 2α－sin 2α T 2αtan 2α＝2tan α1－tan 2α2.余弦的二倍角公式的变形3．二倍角余弦公式的重要变形——升幂公式和降幂公式(1)升幂公式：1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α，1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.(2)降幂公式：sin αcos α＝12sin 2α，cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2.4．要牢记二倍角公式的几种变形(1)sin2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －1＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ； (2)cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ； (3)cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x . (4)1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.5．用正切来表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下：(1)sin2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α，即sin2α＝2tan α1＋tan 2α. (2)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α，即cos2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.题型一给角求值1．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°D ．sin 215°＋cos 215°[解析]2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12；cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32；2sin 215°＝1－cos 30°＝1－32；sin 215°＋cos 215°＝1，故选B.2．求下列各式的值：(1)cos 415°－sin 415°；(2)1－2sin 275°；(3)1－tan 275°tan 75°；(4)cos 72°cos 36°；(5)2tan150°1－tan 2150°；[解析] (1)cos 415°－sin 415°＝(cos 215°－sin 215°)(cos 215°＋sin 215°)＝cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32. (2)1－2sin 275°＝1－(1－cos 150°)＝cos 150°＝－cos 30°＝－32. (3)1－tan 275°tan 75°＝2×1－tan 275°2tan 75°＝2×1tan 150°＝－2 3.(4)cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14.(5) 原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－ 3. 3．求下列各式的值．(1)sin π8sin 3π8＝________；(2)12－cos 215°＝________；(3)1－tan 215°tan15°＝________.[解析] (1)∵sin 3π8＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－π8＝cos π8，∴sin π8sin 3π8＝sin π8cos π8＝12·2sin π8cos π8＝12sin π4＝24. (2)原式＝12(1－2cos 215°)＝－12cos30°＝－34.(3)原式＝2tan30°＝2 3.4．cos 275°＋cos 215°＋cos75°cos15°的值等于 [解析]原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝1＋14＝54.5．sin 4π12－cos 4π12等于[解析] 原式＝⎝⎛⎭⎫sin 2π12＋cos 2π12⎝⎛⎭⎫sin 2π12－cos 2π12＝－⎝⎛⎭⎫cos 2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32 6．sin 20°cos 20°cos 2155°－sin 2155°的值是 [解析]原式＝12sin 40°cos 310°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.7．求下列各式的值：(1)1sin 10°－3cos 10°；(2)1sin 50°＋3cos 50°.[解析] (1)1sin 10°－3cos 10°＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4(sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°)2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.(2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2⎝⎛⎭⎫12cos 50°＋32sin 50°12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4.8．sin65°cos25°＋cos65°sin25°－tan 222.5°2tan22.5°＝[解析] 原式＝sin90°－tan 222.5°2tan22.5°＝1－tan 222.5°2tan22.5°＝1tan45°＝1.9．cos20°cos40°cos80°值为 .[解析]原式＝2sin20°·cos20°·cos40°·cos80°2sin20°＝2sin40°·cos40°·cos80°4sin20°＝2sin80°·cos80°8sin20°＝sin160°8sin20°＝18.10．cos π7cos 3π7cos 5π7的值为[解析] ∵cos 3π7＝－cos 4π7，cos 5π7＝－cos 2π7，∴cos π7cos 3π7cos 5π7＝cos π7cos 2π7cos 4π7＝8sin π7cos π7cos 2π7cos 4π78sin π7＝4sin 2π7cos 2π7cos 4π78sin π7＝2sin 4π7cos 4π78sin π7＝sin8π78sinπ7＝－18.11．sin6°sin42°sin66°sin78°＝________.[解析] 原式＝sin6°cos12°cos24°cos48°＝sin6°cos6°cos12°cos24°cos48°cos6°＝12sin12°cos12°cos24°cos48°cos6°＝14sin24°cos24°cos48°cos6°＝18sin48°cos48°cos6°＝116sin96°cos6°＝116cos6°cos6°＝116题型二给值求值1．设α是第四象限角，已知sin α＝－35，则sin2α，cos2α和tan2α的值分别为( )A ．－2425，725，－247 B.2425，725，247 C ．－2425，－725，247 D.2425，－725，－247[解析]因为α是第四象限角，且sin α＝－35，所以cos α＝45，所以sin2α＝2sin αcos α＝－2425，cos2α＝2cos 2α－1＝725，tan2α＝sin2αcos2α＝－247.2．已知α是第三象限角，cos α＝－513，则sin2α等于[解析] ∵cos α＝－513，α是第三象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1213(舍正)因此，sin2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－1213×⎝⎛⎭⎫－513＝120169. 3．若tan θ＝2则tan 2θ＝________. [解析]tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×21－22＝－43.4．已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝[解析]∵sin α－cos α＝43，∴1－2sin αcos α＝169，即1－sin 2α＝169，∴sin 2α＝－79.5．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝[解析]因为sin α＋cos αsin α－cos α＝12，整理得tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×(－3)1－(－3)2＝34.6．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．[解析]∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π知sin α≠0， ∴cos α＝－12，∴α＝2π3，∴tan 2α＝tan 4π3＝tan π3＝ 3.7．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sin α＝ [解析]∵2sin2α＝cos2α＋1，∴4sin α·cos α＝2cos 2α.∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α>0，sin α>0，∴2sin α＝cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴5sin 2α＝1，sin 2α＝15，又sin α>0，∴sin α＝558．已知等腰三角形底角的正弦值为53，则顶角的正弦值是 [解析]设底角为θ，则θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，顶角为180°－2θ.∵sin θ＝53，∴cos θ＝1－sin 2θ＝23， ∴sin(180°－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×53×23＝459. 9．已知π2＜α＜π，cos α＝－45.(1)求tan α的值；(2)求sin 2α＋cos 2α的值．[解析] (1)因为cos α＝－45，π2＜α＜π，所以sin α＝35，所以tan α＝sin αcos α＝－34.(2)因为sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝725，所以sin 2α＋cos 2α＝－2425＋725＝－1725.10．已知π2<α<π，sin α＝45.(1)求tan 2α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4的值． [解析](1)由题意得cos α＝－35，所以tan α＝－43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－831－169＝247. (2)因为sin α＝45，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫452＝－725， sin 2α＝2sin α·cos α＝2×45×⎝⎛⎭⎫－35＝－2425. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝cos 2α·cos π4＋sin 2α·sin π4＝⎝⎛⎭⎫－725×22＋⎝⎛⎭⎫－2425×22＝－31250. 11．已知角α在第一象限且cos α＝35，求1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2的值．[解析]∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45.∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－725，sin2α＝2sin αcos α＝2425，∴原式＝1＋2⎝⎛⎭⎫cos2αcos π4＋sin2αsin π4cos α＝1＋cos2α＋sin2αcos α＝145.12．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，则sin2x ＝__________. [解析] ∵cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，∴sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝98100而sin2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝2100－98100＝－96100＝－2425. 13．若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin2α等于 [解析]因为sin2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1，又cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，所以sin2α＝2×925－1＝－725 14．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. [解析]cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16.15．已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________.[解析]sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56. 16．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α＝________.[解析]∵tan(π＋2α)＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43，∴tan α＝－12或tan α＝2. ∵α在第二象限，∴tan α＝－12.17．已知tan αtan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－23，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值是________． [解析]由tan αtan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan αtan α＋11－tan α＝tan α(1－tan α)tan α＋1＝－23，得3tan 2α－5tan α－2＝0，解得tan α＝2，或tan α＝－13.sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝sin2αcos π4＋cos2αsin π4＝22(sin2α＋cos2α)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin αcos α＋cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan α＋1－tan 2αtan 2α＋1，当tan α＝2时，上式＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2＋1－2222＋1＝210；当tan α＝－13时，上式＝22×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝⎛⎭⎫－13＋1－⎝⎛⎭⎫－132⎝⎛⎭⎫－132＋1＝210. 综上，sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝210. 18．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为 [解析]cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α，代入原式，得6sin ⎝⎛⎭⎫π4－α·cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，所以sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝－1718. 19．若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α＝________. [解析]由tan α＋1tan α＝103，得tan α＝13或tan α＝3.又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴tan α＝3.∴sin α＝310，cos α＝110. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α＝sin2αcos π4＋cos2αsin π4＋2cos π4cos 2α＝22×2sin αcos α＋22(2cos 2α－1)＋2cos 2α＝2sin αcos α＋22cos 2α－22＝2×310×110＋22×⎝⎛⎭⎫1102－22＝5210－22＝0.20．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13，则sin(－3π＋2α)＝ [解析]易得cos ⎝⎛⎭⎫2α－π2＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4－1＝2×⎝⎛⎭⎫－132－1＝－79. 又cos ⎝⎛⎭⎫2α－π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin 2α，所以sin(－3π＋2α)＝sin(π＋2α)＝－sin 2α＝－⎝⎛⎭⎫－79＝79. 21．若1＋tan α1－tan α＝2019，则1cos 2α＋tan 2α＝________.[解析]1cos 2α＋tan 2α＝1cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝(cos α＋sin α)2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 019.22．已知θ为锐角，cos(θ＋15°)＝35，则cos(2θ－15°)＝________.[解析]∵θ为锐角，cos(θ＋15°)＝35，∴sin(θ＋15°)＝45，∴sin(2θ＋30°)＝2sin(θ＋15°)cos(θ＋15°)＝2425， cos(2θ＋30°)＝2cos 2(θ＋15°)－1＝2×925－1＝－725.∴cos(2θ－15°)＝cos(2θ＋30°－45°)＝cos(2θ＋30°)cos45°＋sin(2θ＋30°)sin45°＝－725×22＋2425×22＝17250. 23．已知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，1sin θ＋1cos θ＝22，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝________． [解析]1sin θ＋1cos θ＝22⇒sin θ＋cos θsin θcos θ＝22⇒sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ⇒1＋sin 2θ＝2sin 22θ，因为θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以2θ∈(π，2π)，所以sin 2θ＝－12，所以sin θ＋cos θ<0，所以θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，所以2θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，所以cos 2θ＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝sin 2θ·cos π3＋sin π3cos 2θ＝12. 24．已知cos x ＝1010，且x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin 2x 的值． [解析]∵cos x ＝1010，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴sin x ＝－1－cos 2x ＝－31010， ∴sin 2x ＝2sin x cos x ＝－35，∴22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin 2x ＝22⎝⎛⎭⎫cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－cos 2x 2＝12－12sin 2x ＝12－12×⎝⎛⎭⎫－35＝45. 25．已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值； (2)求cos2xcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin (π＋x )的值．[解析] (1)由sin x 2－2cos x 2＝0，知cos x 2≠0，∴tan x2＝2，∴tan x ＝2tanx21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43. (2)由(1)，知tan x ＝－43，∴cos2xcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin (π＋x )＝cos2x－cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x (－sin x )＝cos 2x －sin 2x ⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x sin x＝(cos x －sin x )(cos x ＋sin x )22(cos x －sin x )sin x ＝2×cos x ＋sin x sin x ＝2×1＋tan x tan x ＝24.26．已知0<x <π2，sin 2x 2＋3sin x 2cos ⎝⎛⎭⎫π＋x 2＝－110，求tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值． [解析]∵sin 2x 2＋3sin x 2cos ⎝⎛⎭⎫π＋x 2＝1－cos x 2－3sin x 2cos x 2＝12－⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝12－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， ∴由已知得12－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝－110，∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝35.∵0<x <π2，结合sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝35<32，易知π6<x ＋π6<π2.∴cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝45，∴tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝34. ∴tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π61－tan 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝2×341－916＝247. 27．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x . (1)化简f (x )；(2)若f (α)＝17，2α是第一象限角，求sin2α.[解析] (1)f (x )＝12cos2x －32sin2x －cos2x ＋3sin2x ＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.(2)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝17，2α是第一象限角，即2k π＜2α＜π2＋2k π(k ∈Z)， ∴2k π－π6＜2α－π6＜π3＋2k π，k ∈Z ，∴cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝437， ∴sin2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α－π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6sin π6＝17×32＋437×12＝5314. 28．已知sin 2θ＝34，则cos 2⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. [解析]cos 2⎝⎛⎭⎫θ－π4＝1＋cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ－π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ－π22＝1＋sin 2θ2，∵sin 2θ＝34， ∴cos 2⎝⎛⎭⎫θ－π4＝1＋342＝78. 29．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值； [解析]∵π2≤α＜3π2，∴3π4≤α＋π4＜7π4.∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＞0，∴3π2＜α＋π4＜7π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45， ∴cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2×⎝⎛⎭⎫－45×35＝－2425， sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α＝22×⎝⎛⎭⎫－2425－22×725＝－31250. 30．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α的值等于 [解析]因为cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝13，所以cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π3－α－1＝2×⎝⎛⎭⎫132－1＝－79. 31．设sin ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＝ [解析]因为sin ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝23，所以sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2θ＋π3－π2＝－cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝－59. 32．已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值． [解析] (1)因为tan α ＝sin α cos α ＝43，所以sin α＝43cos α .因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725. (2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255，所以tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以 tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247.所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.33．已知sin α＋cos α＝15，且α∈(0，π)．(1)求tan 2α的值；(2)求2sin 2⎝⎛⎭⎫α2＋π6－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6. [解析] (1)由sin α＋cos α＝15，得sin αcos α＝－1225，因为α∈(0，π)，所以α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin α－cos α＝2－(sin α＋cos α)2＝75，解得sin α＝45，cos α＝－35，故tan α＝－43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247. (2)2sin 2⎝⎛⎭⎫α2＋π6－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝1－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6 ＝1－12cos α＋32sin α－32sin α－12cos α＝1－cos α＝85.34．如图所示，在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿由点B 到点E 的方向前进30 m 至点C ，测得顶端A 的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10 3 m 到点D ，测得顶端A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高．[解析]∵∠ACD ＝θ＋∠BAC ＝2θ，∴∠BAC ＝θ，∴AC ＝BC ＝30 m. 又∠ADE ＝2θ＋∠CAD ＝4θ，∴∠CAD ＝2θ，∴AD ＝CD ＝10 3 m. ∴在Rt △ADE 中，AE ＝AD ·sin 4θ＝103sin 4θ(m)，在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin 2θ＝30sin 2θ(m)，∴103sin 4θ＝30sin 2θ，即203sin 2θcos 2θ＝30sin 2θ，∴cos 2θ＝32，又2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴2θ＝π6，∴θ＝π12， ∴AE ＝30sin π6＝15(m)，∴θ＝π12，建筑物AE 的高为15 m.题型三给值求角1．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，则锐角α＝________.[解析]由原式，得sin 22α＋sin 2αcos α－2cos 2α＝0，∴(2sin αcos α)2＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0，∴2cos 2α(2sin 2α＋sin α－1)＝0，∴2cos 2α(2sin α－1)(sin α＋1)＝0.∵α为锐角，∴cos 2α≠0，sin α＋1≠0，∴2sin α－1＝0，∴sin α＝12，∴α＝π6. 2．已知α，β均为锐角，且3sin α＝2sin β，3cos α＋2cos β＝3，则α＋2β的值为[解析]由题意得⎩⎨⎧ sin α＝23sin β， ①cos α＝1－23cos β， ②，①2＋②2得cos β＝13，cos α＝79，由α，β均为锐角知，sin β＝223，sin α＝429， ∴tan β＝22，tan α＝427，∴tan 2β＝－427， ∴tan(α＋2β)＝0.又α＋2β∈⎝⎛⎭⎫0，3π2，∴α＋2β＝π. 3．已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且sin 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π4，则α= . [解析]∵sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝－⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4－1＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4， sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α， ∴原式可化为1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4，解得cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1或cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴α＋π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，3π4，故α＋π4＝0或α＋π4＝2π3，即α＝－π4或α＝5π12. 4．已知角α，β为锐角，且1－cos2α＝sin αcos α，tan(β－α)＝13，则β＝________. [解析]由1－cos2α＝sin αcos α，得1－(1－2sin 2α)＝sin αcos α，即2sin 2α＝sin αcos α.∵α为锐角，∴sin α≠0，∴2sin α＝cos α，即tan α＝12. 解法一：由tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝tan β－121＋12tan β＝13，得tan β＝1.∵β为锐角，∴β＝π4. 解法二：tan β＝tan(β－α＋α)＝tan (β－α)＋tan α1－tan (β－α)tan α＝13＋121－13×12＝1.∵β为锐角，∴β＝π4. 5．已知tan α＝17，sin β＝1010，且α，β为锐角，求α＋2β的值． [解析]∵tan α＝17<1，且α为锐角，∴0<α<π4，又∵sin β＝1010<22，且β为锐角，∴0<β<π4，∴0<α＋2β<3π4. 由sin β＝1010，β为锐角，得cos β＝31010，∴tan β＝13， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12，∴tan(α＋2β)＝tan (α＋β)＋tan β1－tan (α＋β)tan β＝12＋131－12×13＝1，故α＋2β＝π4. 6．已知tan α＝13，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值． [解析]∵tan α＝13>0，α∈(0，π)，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2α∈(0，π)， ∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0，∴2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 又∵tan β＝－17<0，β∈(0，π)，∴β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34－⎝⎛⎭⎫－171＋34×⎝⎛⎭⎫－17＝1 又∵2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－3π4. 题型四化简问题1．2sin2α1＋cos2α·cos 2αcos2α等于 [解析]原式＝4sin αcos α1＋2cos 2α－1·cos 2αcos2α＝2sin αcos αcos2α＝sin2αcos2α＝tan2α. 2．化简：sin 235°－12sin10°cos10°＝________. [解析]原式＝2sin 235°－12sin10°cos10°＝－cos70°sin20°＝－cos70°sin (90°－70°)＝－13．化简2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α= . [解析]解法一：原式＝2cos 2α－12·sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2cos 2α－12·sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2cos 2α－1sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos2αcos2α＝1. 解法二：原式＝cos2α2·1－tan α1＋tan α⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α2＝cos2αcos α－sin αcos α＋sin α(sin α＋cos α)2 ＝cos2α(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝cos2αcos 2α－sin 2α＝1. 4．化简：1tan θ＋1＋1tan θ－1＝________. [解析]原式＝tan θ－1＋tan θ＋1(tan θ＋1)(tan θ－1)＝2tan θtan 2θ－1＝－2tan θ1－tan 2θ＝－tan 2θ. 5．化简：tan 70°cos 10°(3tan 20°－1)＝________.[解析]原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝⎛⎭⎫3sin 20°cos 20°－1＝sin 70°cos 70°·cos 10°·3sin 20°－cos 20°cos 20°＝sin 70°cos 70°·cos 10°·2sin (－10°)cos 20°＝－sin 70°cos 70°·sin 20°cos 20°＝－1. 6．化简cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________； [解析]cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2(sin30°cos10°＋cos30°sin10°)2sin 240°＝2sin40°2sin40°＝ 2. 7．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A 2，则△ABC 是( ) A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 [解析]由sin B sin C ＝cos 2A 2得sin B sin C ＝1＋cos A 2，∴2sin B sin C ＝1＋cos A ， ∴2sin B sin C ＝1＋cos[π－(B ＋C )]＝1－cos(B ＋C )，∴2sin B sin C ＝1－cos B cos C ＋sin B sin C ，∴cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，∴cos(B －C )＝1，又∵－180°<B －C <180°，∴B －C ＝0°，∴B ＝C ，∴△ABC 是等腰三角形．8．1＋cos100°－1－cos100°＝( )A ．－2cos5°B ．2cos5°C ．－2sin5°D ．2sin5°[解析] 原式＝2cos 250°－2sin 250°＝2(cos50°－sin50°)＝2⎝⎛⎭⎫22cos50°－22sin50° ＝2sin(45°－50°)＝－2sin5°.[答案] C9．若α为第三象限角，则1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝________． [解析] 因为α为第三象限角，所以cos α＜0，sin α＜0，所以1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝2cos 2αcos α－2sin 2αsin α＝－2cos αcos α－－2sin αsin α＝0. 10．设－3π<α<－5π2，化简 1－cos （α－π）2的结果是( ) A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α2 [解析] 因为－3π<α<－5π2，－3π2<α2<－5π4，所以1－cos （α－π）2＝1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2. 11．化简tan 14°1－tan 214°·cos 28°的结果为( ) A.sin 28°2B ．sin 28°C ．2sin 28°D ．sin 14°cos 28° [解析]tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12×2tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12tan 28°·cos 28°＝sin 28°2，故选A. 12．1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝________． [解析] 1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝（cos 20°－sin 20°）2cos 20°－sin 20°＝cos 20°－sin 20°cos 20°－sin 20°＝1. 13．化简：(1)1＋sin20°＋1－sin20°；(2)1＋sin4α＋cos4α1＋sin4α－cos4α. [解析] (1)原式＝sin 210°＋cos 210°＋2sin10°cos10°＋sin 210°＋cos 210°－2sin10°cos10° ＝(sin10°＋cos10°)2＋(sin10°－cos10°)2＝|sin10°＋cos10°|＋|sin10°－cos10°|＝sin10°＋cos10°＋cos10°－sin10°＝2cos10°.(2)原式＝1＋2sin2αcos2α＋2cos 22α－11＋2sin2αcos2α＋2sin 22α－1＝2cos 22α＋2cos2αsin2α2sin 22α＋2sin2αcos2α＝2cos2α(cos2α＋sin2α)2sin2α(sin2α＋cos2α)＝1tan2α. 14．求值：sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°. [解析] ∵sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1， cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°， ∴sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2. 题型五证明问题1．证明：3tan 12°－3sin 12°(4cos 212°－2)＝－4 3. [解析] 左边＝3sin 12°－3cos 12°cos 12°2sin 12°(2cos 212°－1)＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°＝23sin (12°－60°)sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48° ＝－43＝右边，所以原等式成立．2．求证：(1)cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos 2A cos 2B ；(2)cos 2θ(1－tan 2θ)＝cos 2θ.[解析] (1)左边＝1＋cos (2A ＋2B )2－1－cos (2A －2B )2＝cos (2A ＋2B )＋cos (2A －2B )2＝12(cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＋cos 2A cos 2B ＋sin 2A sin 2B )＝cos 2A cos 2B ＝右边，∴等式成立． (2)法一：左边＝cos 2θ⎝⎛⎭⎫1－sin2θcos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ＝右边．法二：右边＝cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ⎝⎛⎭⎫1－sin2θcos 2θ＝cos 2θ(1－tan 2θ)＝左边． 3．求证：1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝tan θ2. [解析] 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2.4．求证：(sin2x ＋cos2x －1)(sin2x －cos2x ＋1)sin4x＝tan x . [解析] 证法一：左边＝(2sin x cos x －2sin 2x )(2sin x cos x ＋2sin 2x )sin4x ＝4sin 2x (cos 2x －sin 2x )sin4x ＝4sin 2x cos2x 2sin2x cos2x＝4sin 2x 2×2sin x cos x＝tan x ＝右边．故原等式成立．证法二：左边＝(sin2x ＋cos2x －1)(sin2x －cos2x ＋1)(sin2x ＋cos2x )2－1＝(sin2x ＋cos2x －1)(sin2x －cos2x ＋1)(sin2x ＋cos2x －1)(sin2x ＋cos2x ＋1) ＝sin2x ＋1－cos2x sin2x ＋1＋cos2x ＝2sin x cos x ＋2sin 2x 2sin x cos x ＋2cos 2x ＝2sin x (cos x ＋sin x )2cos x (sin x ＋cos x )＝tan x ＝右边．故原等式成立．。