(仅供参考)柯西收敛准则
函数极限的柯西收敛准则
写完之后我想看看其他人是怎么证明的搜索了一下拉格朗日中值定理的辅助函数的构造结果发现自己写的这篇博客居然排名第一
函数极限的柯西收敛准则
以下内容来自中科大数学分析教程P73,定理2.4.7 函数在x_{0}点的极限的定义 若存在l，\forall \epsilon>0，\exists\delta>0，使得当|x-x_{0}|<\delta 则有|f(x)-l|<\epsilon,即称l为f(x)当x趋近于x_{0}的极限 定理：函数f(x)在x_{0}处有极限的充要条件是\forall \epsilon>0,\exists\delta>0, \quad\quad 使得任意x_{1},x_{2}\in U(x_{0},\delta)时，有 \quad\quad |f(x_{1})-f(x_{2})|<\epsilon 证明： 1.必要性 若f(x)在x_{0}点的极限为l，即\forall \frac{\epsilon}{2}>0,\exists\delta,当x_{1},x_{2}\in U(x_{0},\delta) 有|f(x_{1})-l|<\frac{\epsilon}{2},|f(x_{2})-l|<\frac{\epsilon}{2} 则：|f(x_{1})-f(x_{2})|=|f(x_{1})+l-l-f(x_{2})| \quad\quad \leqslant |f(x_{1})-l|+|f(x_{2})-l| \ห้องสมุดไป่ตู้uad\quad\leqslant\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon
柯西准则——精选推荐
柯西准则1第⼀节、数列的柯西收敛准则与函数的⼀致连续性⼀、数列极限柯西准则⼆、函数极限柯西准则三、函数的⼀致连续性四、⼩结五、作业当n > N 时, 总有lim n nx a→∞= .定义只能⽤来验证在不知道a的情况下，如何判断数列极限是否存在呢？1、夹逼准则若数列x y 及z 第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性, n n n 满⾜下列条件:(1) ( 1,2,3 ) n n n y ≤ x ≤ z n = ..则数列n x 的极限存在, lim . n nx a→∞=(2) lim , lim , n n n ny a z a→∞ →∞= =且单调有界数列必有极限.2、单调有界准则回顾:lim n nx a→∞=..ε > 0, .N ∈ N+ , 当n > N时，总有. n x . a <ε1. 柯西(Cauchy)列：如果数列{ } 具有以下特性： n a⼀、数列的柯西收敛准则第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性3则称数列是⼀个基本数列或柯西( Cauchy)列.ε 0, N N , n,m N, . > . ∈ + . > , n m 有a .a <ε{ } n a2. Cauchy收敛准则：定理数列收敛的充要条件是：是⼀个柯西数列.数列收敛{ } n a{ } n a{ } n a ε 0, N N , . . > . ∈ + .m, n>N,. m n 有a .a <ε第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性4定理1（柯西收敛准则）数列{ } n a 收敛的充分必要条件是对.ε >0,.N, 当n,m>N时, 有. n m a .a <ε证明必要性若{ } n a 收敛于a, 设lim . n n a a →∞=则对.ε >0, .N ∈N+, 当n>N, 时，有, n a a ε2. , m a a ε2. m>N第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性52< 2<n m a .a2 2<ε +ε =ε .故n m = a .a n m .a +a ≤ a .a + a .a充分性的证明从略..定理的⼏何解释柯西准则说明:x1 x2x5 x4 x3越到后⾯越是挤在⼀起.于预先给定的任意⼩正数, 或形象地说, 收敛数列的各项越是接近,收敛数列各项的值越到后边, 彼此以⾄项数充分⼤的任何两项之差的绝对值可⼩第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性6柯西收敛准则表明，数列收敛等价于数列中项数充分⼤(即n充分⼤)的任意两项的距离能够任意⼩. 柯西收敛准则的优点在于只须根据数列⾃⾝各项之间的相互关系就能判别该数列的敛散性. 它不需要借助数列以外的任何数，2柯西列：对于数列使当n，m > N 时, 总有如果对于任意给定的总存在正整数则称为柯西列。
级数收敛的柯西准则
级数收敛的柯西准则级数收敛是数学中的一个重要概念，也是数学分析的经典问题之一。
在初学者学习级数时，最先学到的可能是级数的定义和判断方法，即一个级数是否收敛，还是发散。
而柯西准则则是判断一个级数是否收敛的重要方法之一。
下面我们就来介绍一下级数收敛的柯西准则。
一、什么是级数收敛的柯西准则在数学中，级数的定义是指无穷个数相加所形成的和。
例如，1+2+3+4+...就是一个级数。
当这个级数的和存在时，我们就称它有收敛的和，反之则称它为发散。
柯西准则，也称为柯西收敛准则，是判断一个级数是否收敛的方法之一。
柯西准则是由法国数学家柯西（Augustin Cauchy）提出的，几乎所有数学分析的教科书都会讲到它。
柯西准则的基本思想是，如果从某项开始，级数的后面所有部分的和都足够小，那么这个级数就是收敛的。
具体的说，柯西准则可以被表示为：对于级数a1+a2+a3+...，若对于任意正数ε，都存在正整数N，当n>N时有：∣an+1+an+2+...+an+m∣<ε那么级数a1+a2+a3+...就是收敛的。
二、柯西准则的证明要证明柯西准则，我们需要运用到数学分析中比较基本的两个定理：当级数收敛时，其收敛的值必须是唯一的；而当级数发散时，它的部分和会趋于无穷大。
假设级数a1+a2+a3+...收敛，那么我们可以定义Sn=a1+a2+a3+...+an，表示级数的前n项和。
由于级数收敛，所以Sn是有限的。
那么我们可以根据柯西准则的定义来计算：a(n+1)+a(n+2)+...+am < ε考虑在Sn之后把级数分成两段，即：S(n+m) - Sn = a(n+1) + a(n+2) + ... + am根据上述公式，我们可以得到：∣Sn+m - Sn∣ = |a(n+1) + a(n+2) + ... + am| < ε由于Sn和Sn+m都是有限数，所以它们之差也是有限数。
因此，我们可以得出级数的后面一部分的和是“趋于零的”，也就是说，它是“无限趋近于零的”。
一般级数的收敛问题
a k bk收敛.
k 1
Ａbel判别法
４. 定理4.3（阿贝尔（Ａbel）判别法）
设{an }{bn }是两个实数列，满足下列条件
（1） an收敛， （2） {bn }单调有界 ;
则 an bn收敛.
bn b存在, 证明： bn 单调有界, lim n
bn b单调 0 又 an收敛, Sn 有界.
lim na n 0
n
反例 : a 1 n n ln n
Leibniz判别法
二、莱布尼茨（Leibniz）判别法 （1）定理4.1
设交错级数 ( 1)n1 a , a 0, n n n1 n1 a 收敛. 则 ( 1 ) 若{a }递减趋于0, n n1 n
( 1) n1 n1 n
收敛
分部求和公式
三、 anbn的敛散性的判别法
n1
1.引理4.1(分部求和公式)：
设{a }, {b }是两个实数列, 则对任意正整数n有
n n
a b S
k 1 k k k 1
n
n 1
(bk bk 1 ) S n bn
k 0
其中 S a a a , S 0.
§9.4
一般级数的收敛问题
回顾:柯西收敛准则
一、柯西收敛准则
* an收敛 0, N N ,当n N时， n1
p N * 恒有
k n1
a
n p
k
.
在级数第二讲中已证过 .
例1
例1.
设数列{an }单调递减, 且an 0,
证明：若级数 an收敛, 则 lim na 0. n n n1
柯西收敛准则
第十讲、柯西收敛准则定理10.1 . （柯西收敛准则）数列{x n}极限存在的充要条件是:对于∀>存在正数N , 使当n >N 时, 对于一切p∈+有| |εx x ε0+−<n p n注记10.1. （I）柯西准则的意义是：数列{x n}是否有极限可以根据其一般项的特性得出，而不必事先知晓其极限的具体值(见下面的例子10.2）。
（II）定理10.1 的逆否命题为：（柯西收敛准则）数列{x n}极限不存在的充要条件是: ∃ε0 > 0，使得对∀∈, 均存在n >N 时, 存在p∈，使得N | |+ +−≥+x x εn p n 0例子10.1 设xnsin 2n=，试用柯西收敛准则证明该数列极限存在。
n证明：注意到sin 2(n p) sin 2n sin 2(n p) sin 2n++|x x |=−−≤+ n+p n++n p n n p n1 1 2≤+≤n p n n+2∈有于是，对∀ε> 0，取正数ε, 则当n >N 时, 对于一切pN=+2 sin 2nn p n n+−≤<。
故由定理10.1 柯西收敛准则可知εn n证毕。
例子10.2.设xn1 1 1=++++，证明数列{ }1x 收敛。
2 3 n2 2 2 n证明：注意到1 1 1|x x |=n p n+−++++++2 2 2(n 1) (n 2) (n p)1 1 1≤+++n(n 1) (n 1)(n 2) (n p 1)(n p)++++−+1 1 1 1 1 1=−+++−++++−−+ n n 1 n 1 n 2 n p 1 n p1 1 1=−<n n p n+1于是，对∀ε> 0，取正数ε, 则当n >N 时, 对于一切pN=1|x x |n p n+−≤<ε。
故由定理10.1 柯西收敛准则可知n++++1 1 1存在。
lim 1n→∞n2 32 2 2 ∈有+证毕。
柯西收敛准则
1
a
例5
a
0,
x1
0.
xn1
2
xn是有界的;
lim n
xn
存在.
西 南 科
xn1
3
xn ,
x2 n1
3
xn ,
lim
n
xn21
lim(3 n
xn ),
技
大 学 品 牌
A2 3 A, 解得 A 1 13 ,
2
A 1 13 2
(舍去)
ห้องสมุดไป่ตู้
课
程
1 13
lim n
0, N 0,当n N时, 对p N有 an p an
西 南 科 技 大 学 品 牌 课 程
•定理2.10 的几何解释
柯西准则说明收敛数列各项的值越到后边,彼
此越是接近,以至充分后面的任何两项之差的绝对
值可小于预先给定的任意小正数.或形象地说,收敛
数列的各项越到后面越是挤在一起.
又
an
1
1 22
1 n2
收敛．
西
南
科
技
大 学
所以
有上界，
品
牌
课 程
于是由单调有界定理知
收敛．
例2 证明数列 xn 3 3 3 (n重根 式)的极限存在.
证 显然 xn1 xn , xn是递增的 ;
又 x1 3 3, 假定 xk 3, xk1 3 xk 3 3 3,
列。递增和递减数列统称为单调数列．
即： an n, an an1;
叙述柯西收敛准则
叙述柯西收敛准则
柯西收敛准则，也称为拟阵柯西收敛，是一种回归技术，是用来解决“多变量函数最
优化”问题的一种数学方法。
它最初由俄文·拟阵·柯西（N.V.Kozy）於1901年提出，
但直到1960年才由威廉·比尔·梅奥在他的新作中完全发展。
柯西收敛是一种算法，它
用于查找含有多个变量的函数极值，也就是最大值或最小值。
柯西收敛的思想是让计算机使用一种有序的搜索方法来降低函数。
在开始时，它会猜
想一个可以改善函数的解位置，然后使用极小法对猜想的位置进行评估，并将结果反向回
传给函数，继续兄弟位置的搜索。
柯西收敛的过程会持续进行，直到函数几乎不再看到进
一步的改善（收敛）为止。
柯西收敛用于搜索极值的过程，分为两个阶段：第一个阶段是猜测，即找出猜测的极值；第二个阶段是收敛，即根据给出的参数，找出最优解。
它与其它方法相比具有以下优点：
（1）结果可靠：由于柯西收敛按照有序的步骤进行，它可以更加可靠地找出最优解。
（2）高速：柯西收敛每一步的搜索都是有效的，可以更快地找到优化解。
（3）能处理各种多变量函数，无论是超平面形式还是不可导函数形式。
（4）只要函数满足一定条件，就能得到正确的结果。
柯西收敛准则一直以来都是数学和系统优化的重要工具，可用于求解各种问题，如最
小代价优化、最小变化优化、最大化隐式函数以及梯度下降优化。
级数的柯西收敛准则
级数的柯西收敛准则我们首先需要了解什么是级数。
在数学中，级数就是一列数的和。
我们可以写成：S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...其中，a1、a2、a3...an等表示级数的项，而...表示无限多个项的和。
接下来，我们需要了解什么是柯西收敛准则。
柯西收敛准则是判断一列数或者一列函数是否收敛的准则。
柯西收敛准则的表述如下：对于一个无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，如果对于任何一个正数ε，存在一个正整数N，当n、m都大于N时，有|an + ... + am| < ε，则级数收敛；否则，级数发散。
可以看出，柯西收敛准则的核心在于判断级数的收敛性。
若满足柯西收敛准则，则这个级数收敛；反之这个级数就是发散的。
这个公式或者准则可以帮助我们来判断级数收敛的情况。
例如，假设我们有级数：S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n+ ...我们可以使用柯西收敛准则来判断这个级数是否收敛。
对于任意一个正数ε，存在一个正整数N，当n、m都大于N时，我们有|an+ ... + am| < ε。
我们需要证明的是，对于任何的正数ε，都存在一个正整数N，使得当n、m都大于N时，有|an + ... + am| < ε成立。
首先，我们假设n > m，那么有：|an + ... + am| = 1/2^m + 1/2^(m+1) + ... + 1/2^n通过等比数列求和公式可以证明，上述式子的结果为：|an + ... + am| = (1/2^m)(1 - 1/2^(n-m+1))当n、m都大于N时，我们有 1/2^(n-m+1) < ε/(1/2^m) = 2^m ε。
因此，我们可以得到：|an + ... + am| < (1/2^m)(1 - 1/2^(n-m+1)) < (1/2^m)(1 -ε/2^m) < ε因此，我们可以得到当柯西收敛准则成立时，这个级数是收敛的。
函数极限的柯西收敛准则
函数极限的柯西收敛准则柯西收敛准则是指数列收敛的一种判据，它是由法国数学家柯西（Augustin Cauchy）在19世纪初提出的。
柯西收敛准则主要应用于函数极限的研究中，通过判断数列的柯西条件是否满足来确定数列是否收敛。
柯西收敛准则的数学表述如下：对于任意给定的正数ε，存在正整数 N，对任意的m,n≥ N，都有，an - am，< ε 成立。
直观来解释柯西收敛准则就是当数列中的一段数列的值无限接近时，整个数列也会收敛。
柯西收敛准则可以用来证明一个数列收敛，但是对于具体的极限值并没有给出明确的方法。
对于函数极限来说，柯西收敛准则可以用来证明一个函数在特定点处的极限存在。
具体来说，对于函数f(x)，如果对任意给定的正数ε，存在正实数δ，使得对于所有的x1，x2∈（c-δ，c+δ），都有，f(x1)-f(x2)，<ε成立，则f(x)在点c处的极限存在。
柯西收敛准则的证明通常通过数列的收敛性和函数的连续性来进行。
对于函数极限的柯西收敛准则，可以通过数列的柯西性和函数的其中一种性质（例如连续、有界等）来进行证明。
以函数极限的柯西收敛准则的证明为例，我们先假设函数f(x)在点c 处具有极限L，然后构造一个数列{x_n}，使得{f(x_n)}满足柯西收敛准则。
首先，对于给定的正数ε，由于f(x)在点c处极限存在，存在正实数δ1，使得当，x-c，<δ1时，，f(x)-L，<ε/2成立。
然后，我们选取一个数列{x_n}，使得对于任意的正整数n，，x_n-c，<δ1/n成立。
显然，当n较大时，x_n-c，较小，这意味着{x_n}收敛于c。
接下来，我们考虑数列{f(x_n)}。
由于f(x)在点c处连续，根据ε-δ定义，存在正整数N，使得对于任意的m,n≥N，都有，x_n-x_m，<δ1，从而有，f(x_n)-f(x_m)，<ε/2成立。
综上所述，数列{f(x_n)}满足柯西收敛准则，从而根据柯西收敛定理，数列{f(x_n)}收敛于一些极限值，假设为L'。
柯西收敛准则与绝对收敛的判定
柯西收敛准则与绝对收敛的判定在数学分析中，收敛是一个十分重要的概念。
在讨论数列（或者函数）的极限值时，我们经常需要考虑该数列是否收敛，以及如何判断其收敛性。
在这个过程中，柯西收敛准则和绝对收敛是两个关键的概念。
一、柯西收敛准则柯西收敛准则是收敛性的一个基本准则。
它告诉我们，如果一个数列满足满足“任意小的正数都存在一个正整数N，使得当n,m>N时有|an-am|<ε”，那么这个数列就收敛。
这个定义可能有些抽象，我们可以通过一个例子来解释。
假设有一个数列an=1/1+1/2+…+1/n，我们要证明该数列收敛。
我们任取一个小数ε，不妨设ε=0.001。
现在我们要证明存在一个正整数N，当n,m>N时，有|an-am|<0.001。
具体地，我们可以这样做：首先，由于an是一个递增数列，所以我们取n>m，不妨设n=m+k（其中k是一个正整数）。
于是我们有：|an-am|=|(1/1+1/2+…+1/n)-(1/1+1/2+…+1/m)|=|1/(m+1)+1/(m+2)+…+1/n|<=1/(m+1)+1/(m+2)+…+1/(m+k)下面我们用一个定理来证明这个式子小于0.001。
定理：对于任意一个正整数m，有1/2+1/3+…+1/m<=lnm证明：我们考虑一个递增的几何级数：1/2, 1/2^2, 1/2^3,…。
显然，该级数的和是1，即：1/2+1/2^2+1/2^3+…=1我们将每一项分别乘以2，得到：1+1/2+1/2^2+1/2^3+…=2令x=1/2，则上式为：1+x+x^2+x^3+…=2由于x<1，所以该级数在一般意义下收敛。
因此，我们可以对上式两边取极限，得到：1/(1-x)=2即：x=1/2因此，我们可以得到：1/2+1/2^2+1/2^3+…=11/3+1/4+1/5+…<=1/2+1/2^2+1/2^3+…=11/4+1/5+1/6+…<=1/3+1/4+1/5+…<=1/2……1/m+1/m+1/m+…<=ln(m-1)于是我们有：1/2+1/3+…+1/m<=lnm由此可得：1/(m+1)+1/(m+2)+…+1/(m+k)<=1/(m+1)+1/(m+2)+…+1/(m+k)<= 1/(m+1)+1/(m+2)+…+1/m-1/(m+k)<=ln(m)-ln(m-k)接下来，我们再来证明一个常用的不等式：lnn>=1-(1/2)+(1/3)-(1/4)+…+((-1)^(n-1))*(1/n)证明：由于lnx=∑((-1)^(k-1))*(x-1)^k/k因此，ln(1+x)=x-1/2*x^2+1/3*x^3-1/4*x^4+…取x=1/2，得到：ln(3/2)=1/2-1/8+1/24-1/64+…因此，ln3>=2*(ln(3/2)+1/8+1/24+1/64+…)这是一个调和级数，可以证明级数收敛，因此这个式子有一个上界。
无穷级数的柯西收敛准则
无穷级数的柯西收敛准则无穷级数是高等数学中一个重要的概念，它指的是无限个数的和，可以分为收敛和发散两种情况。
对于无穷级数的收敛，有很多判别法，而柯西收敛准则是其中一种重要的方法，本文将对此进行详细介绍。
一、柯西收敛准则的概念柯西收敛准则是由19世纪的法国数学家柯西提出的。
在介绍这个概念之前，我们需要先了解一下柯西序列的概念。
柯西序列是指在实数或复数集合中，满足任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n，m大于等于N时，它们的差的绝对值小于ε，即|an - am| < ε。
那么，对于无穷级数来说，如果它的部分和(an + ... + ak)是一个柯西序列，那么这个无穷级数是收敛的。
具体来讲，对于一个无穷级数∑an，如果对于任意的ε > 0，都存在一个正整数N，使得当n > m > N时，它们的部分和之差的绝对值小于ε，即|∑an - ∑am| < ε，则这个无穷级数是收敛的。
这个条件也被称为柯西收敛准则。
二、柯西收敛准则的证明柯西收敛准则的证明可以分为两步。
第一步是证明如果一个无穷级数收敛，则其部分和构成的序列是柯西序列。
第二步是证明如果一个无穷级数的部分和构成的序列是柯西序列，则这个无穷级数收敛。
对于第一步，可以采用分离法和三角不等式共同完成。
分离法是指首先分离出前几项的有限和，将其余项看成一个整体，用三角不等式将其估计，最终得出一个有限的上界。
对于无穷级数∑an来说，假设它的部分和为Sn，则|Sn - Sm| = |an+1 + an+2 + ... + am|≤ |an+1| + |an+2| + ... + |am|根据无穷级数的定义可知，∑an是收敛的，即它的部分和有一个上界M，即|an+1| + |an+2| + ... + |am| ≤ M。
因此，|Sn - Sm| ≤ M，即Sn构成柯西序列。
对于第二步，可以采用反证法和取极限的方法完成。
假设一个无穷级数的部分和构成的序列是柯西序列，但这个无穷级数发散。
数列的柯西收敛准则
数列的柯西收敛准则柯西收敛准则（Cauchy convergence criterion）是数列收敛的一种准则。
柯西收敛准则是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）提出的，对于一个实数数列或复数数列，如果对于任意正数ε，存在正整数N，使得n, m > N时，有，an - am，< ε成立，则称该数列为柯西收敛。
柯西收敛准则提供了一种数列收敛的判定方法，使得我们能够通过数列的性质来判断是否收敛。
柯西收敛准则利用了数列中项的差的绝对值能够被控制的性质，如果数列的后续项之间的差趋于0，则该数列收敛。
为了更好地理解柯西收敛准则，我们先来看一个数列的例子。
考虑数列{1/n}，这是一个正数数列，当n趋于无穷大时，数列的值趋于0。
我们可以看到，对于任意正数ε，都存在正整数N，使得当n,m>N时，有：1/n - 1/m， = ，m - n，/ (mn) < ε成立。
这符合柯西收敛准则的定义，所以这个数列是柯西收敛的。
柯西收敛准则的证明是基于一个基本原理：如果一个数列收敛，则它一定是柯西收敛的。
证明的过程相对较为复杂，这里我们不进行详细展开。
柯西收敛准则的应用非常广泛，特别是在数学分析和实变函数中。
通过柯西收敛准则，我们可以判断数列是否收敛，从而对其性质进行进一步的探讨。
柯西收敛准则的一个重要应用是在实数完备性的证明中。
实数的完备性指的是实数集中的每一个柯西数列都有一个极限，也就是说，实数集中没有缺失的点。
这个定理是解析几何和微积分中重要的基本原理，通过柯西收敛准则可以证明实数的完备性。
除了对实数数列的收敛性判断外，柯西收敛准则也可以应用在复数数列的收敛性判断上。
复数数列的收敛与实数数列的收敛类似，只是需要考虑复数的模。
当复数数列的模趋于0时，数列就是柯西收敛的。
总结起来，柯西收敛准则是一种用来判定数列收敛性的准则。
它通过数列中项的差的绝对值的较小性来判断柯西收敛。
柯西数列收敛准则
柯西数列收敛准则柯西数列收敛准则是数列收敛性的一个重要判定准则，它由法国数学家柯西于19世纪提出。
在实际问题中，我们经常遇到需要判断数列是否收敛的情况，而柯西数列收敛准则正是解决这类问题的有效工具。
我们来了解一下什么是数列。
数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列，可以用数学表达式表示。
例如，1，2，3，4，5，……就是一个常数列，它的通项公式为an = n。
而1，1/2，1/3，1/4，1/5，……就是一个分数列，它的通项公式为an = 1/n。
数列中的每一个数称为数列的项，用an表示。
接下来，我们来看一下什么是数列的收敛性。
对于一个数列{an}，如果存在一个实数a，对于任意给定的正实数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，数列的项an与实数a之间的差的绝对值|an - a|小于ε，那么我们说这个数列{an}是收敛的，实数a就是数列的极限。
如果不存在这样的实数a，那么我们说这个数列{an}是发散的。
而柯西数列收敛准则就是一种用来判断数列收敛性的方法。
柯西数列收敛准则的表述如下：对于一个数列{an}，它是收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正实数ε，总存在正整数N，使得当m，n>N时，数列的项am与an之间的差的绝对值|am - an|小于ε。
简单来说，柯西数列收敛准则要求数列的项之间的差越来越小，且差的绝对值可以任意小。
我们来看一个例子来理解柯西数列收敛准则。
考虑数列{1/n}，它的通项公式为an = 1/n。
我们需要证明这个数列是收敛的。
对于任意给定的正实数ε，我们需要找到正整数N，使得当m，n>N时，数列的项am与an之间的差的绝对值|am - an|小于ε。
由于am = 1/m，an = 1/n，所以|am - an| = |1/m - 1/n| = |(n - m)/(mn)| = |(n - m)/(mn)| < ε。
由于n，m都是正整数，所以n - m > 0，mn > 0，所以|am - an| = |(n - m)/(mn)| < ε可以得到 |n - m| < εmn。
数列收敛的柯西准则
数列收敛的柯西准则柯西准则是判断数列收敛性的一个重要方法。
柯西准则的核心思想是，如果一个数列中的任意两项之差可以任意小，那么这个数列就是收敛的。
具体来说，对于一个数列{an}来说，如果对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得当n>N时，数列中任意两项之差|an - am|都小于ε，那么这个数列就是收敛的。
柯西准则的证明可以通过数学方法进行推导。
假设数列{an}是收敛的，设其极限为L。
那么对于任意给定的正数ε，我们可以找到一个正整数N，使得当n>N时，|an - L| < ε/2成立。
同理，对于同一个正数ε，我们可以找到另一个正整数M，使得当m>M时，|am - L| < ε/2成立。
那么对于任意给定的正整数n和m，当n>N且m>M 时，我们有：|an - am| = |(an - L) + (L - am)| ≤ |an - L| + |L - am| < ε/2 + ε/2 = ε由此可见，数列{an}中的任意两项之差都小于ε，符合柯西准则的要求，因此数列{an}是收敛的。
柯西准则不仅可以用于判断数列的收敛性，还可以用于证明数列的收敛性。
如果我们想证明一个数列是收敛的，就可以利用柯西准则来进行证明。
具体做法是，首先根据数列的定义，找到一个表达式，使得数列中任意两项之差可以表示为该表达式的形式。
然后，通过数学推导，证明该表达式可以任意小。
最后，根据柯西准则的定义，得出结论：该数列是收敛的。
柯西准则的应用范围非常广泛。
在实际问题中，我们经常会遇到一些数列，比如数学建模中的数值逼近问题、物理学中的运动问题等等。
而柯西准则可以帮助我们判断数列的收敛性，从而解决这些实际问题。
除了柯西准则，数列的收敛性还可以通过其他准则进行判断。
比如，我们可以利用数列的有界性来判断数列的收敛性。
如果一个数列是有界的，即存在一个实数M，使得数列中的任意一项都小于等于M，那么这个数列就是收敛的。
柯西收敛准则的证明(老黄学高数第78讲)
老黄学高数
第78讲
柯西收敛准则的证明
(戴金德基本定理)： 将实数域任意分割成两个非空集A, A -. 设集A中任一元素小于集A -的每一元素，
则必产生实数β，使β是下组的最大值或上组的最小值.
A
A-敛的充要条件： ∀ε>0，∃N，使得当n,m>N时，有|an-am|<ε. 证：[必要性]设{an}收敛于η, 则∀ε>0，∃N， n,m>N时，有|an-η|<ε/2, |am-η|<ε/2, 则 |an-am|=|(an-η)-(am-η)|≤|an-η|+|am-η|<ε. 必要性得证！
(柯西收敛准则)：数列{an}收敛的充要条件：
∀ε>0，∃N，使得当n,m>N时，有|an-am|<ε. [充分性]设∀ε>0，∃N，使当n,m>N时，有|an-am|<ε. 取m’=N+1，则当n>N时，有|an-aN+1|<ε. 解得aN+1- ε<an<aN+1+ε，∴{an}有界.
(柯西收敛准则)：数列{an}收敛的充要条件：
∀ε>0，∃N，使得当n,m>N时，有|an-am|<ε. [充分性]已证{an}有界. 可设a<an<b (或a≤an≤b)， 存在某戴德金分割A, A-，使任一实数c满足
{an}中只有有限多个项落在(-∞,c)上时，A={c}. 对戴金德分界点η，有η-ε∈A， ∃m>N，使η-ε<am<η+ε， 又当m, n>N时，|an-am|<ε. 即有η-2ε<am-ε<an<am+ε<η+ε，∴{an}收敛于η.
柯西收敛准则的定义
柯西收敛准则的定义柯西收敛准则是数学分析中非常重要的一个概念，它是用来判断数列或者函数是否收敛的一个准则。
柯西收敛准则是由法国数学家柯西在19世纪提出的，它是关于数学分析中极限的一个重要定理。
柯西收敛准则的定义涉及到数列和函数的收敛性质，下面我们将详细介绍柯西收敛准则的定义及相关内容。
首先，我们来了解一下什么是柯西收敛准则。
柯西收敛准则是指数列或者函数收敛的一个准则，它是通过数列或者函数的项之间的差距来判断其是否收敛。
具体来说，对于一个数列或者函数，如果它满足柯西收敛准则，那么就可以判断这个数列或者函数是收敛的。
柯西收敛准则在数学分析中有着非常广泛的应用，它是判断数列或者函数收敛性质的一个重要工具。
接下来，我们来详细介绍柯西收敛准则的定义。
对于一个实数数列{an}，如果对于任意给定的正实数ε，都存在一个正整数N，使得当n，m大于N时，|an - am| < ε成立，那么这个数列{an}就是柯西收敛的。
换句话说，对于一个柯西收敛的数列，它的项之间的差距会随着项的下标增大而逐渐变小，最终趋于0。
类似地，对于一个实数函数f(x)，如果对于任意给定的正实数ε，都存在一个正实数δ，使得当|x - y| < δ时，|f(x) -f(y)| < ε成立，那么这个函数f(x)就是柯西收敛的。
柯西收敛准则的定义看起来比较抽象，但是实际上它非常直观和直接。
从定义中可以看出，柯西收敛准则是通过项之间的差距来判断数列或者函数是否收敛的。
如果一个数列或者函数满足柯西收敛准则，那么它就是收敛的；反之，如果一个数列或者函数不满足柯西收敛准则，那么它就是发散的。
除了上面介绍的实数数列和实数函数的柯西收敛准则外，还有复数数列和复数函数的柯西收敛准则。
对于复数数列{zn}，如果对于任意给定的正实数ε，都存在一个正整数N，使得当n，m大于N时，|zn - zm| < ε成立，那么这个复数数列{zn}就是柯西收敛的。
第十讲 柯西收敛准则
第十讲、柯西收敛准则定理10.1 . （柯西收敛准则）数列{}n x 极限存在的充要条件是:对于0ε∀>存在正数 N , 使当n N >时, 对于一切p +∈ 有||n p n x x ε+−<注记10.1. （I ）柯西准则的意义是：数列{}n x 是否有极限可以根据其一般项的特性得出，而不必事先知晓其极限的具体值(见下面的例子10.2）。
（II ）定理10.1的逆否命题为：（柯西收敛准则）数列{}n x 极限不存在的充要条件是: 00ε∃>，使得对 +N ∀∈ , 均存在n N >时, 存在p +∈ ，使得0||n p n x x ε+−≥例子10.1设sin 2n n x n =，试用柯西收敛准则证明该数列极限存在。
证明：注意到sin 2()sin 2sin 2()sin 2||=112n p n n p n n p n x x n p n n p nn p n n +++−−≤+++≤+≤+于是，对0ε∀>，取正数 2=N ε, 则当n N >时, 对于一切p +∈ 有2||n p n x x n ε+−≤<。
故由定理10.1柯西收敛准则可知sin 2lim n n n →∞存在。
证毕。
例子10.2.设222111123n x n =++++ ，证明数列{}n x 收敛。
证明：注意到222111||=(1)(2)()111(1)(1)(2)(1)()1111111121111n p n x x n n n p n n n n n p n p n n n n n p n p n n p n+−++++++≤+++++++−+ =−+−++− ++++−+=−<+ 于是，对0ε∀>，取正数 1=N ε, 则当n N >时, 对于一切p +∈ 有1||n p n x x nε+−≤<。
故由定理10.1柯西收敛准则可知222111lim 123n n →∞ ++++ 存在。
柯西收敛准则的证明
柯西收敛准则的证明
要证明柯西收敛准则，需要使用数学分析和序列的性质。
下面是柯西
收敛准则的证明。
假设有一个实数序列{An}，我们想证明该序列是否是柯西收敛的。
设ε>0是一个任意的实数。
由于An是柯西序列，存在一个正整数N，使得当n>N时，An-Am，<ε，这意味着序列中的足够远的两个元素之间的
差值小于ε。
考虑若n>N且m>N，不失一般性，假设n>m。
根据三角不等式，我们有：
An-Am，=，An-An-1+An-1-An-2+An-2-...-Am+1+Am+1-Am，≤，An-
An-1，+，An-1-An-2，+...+，Am+1-Am，.
由柯西序列的性质，对于给定的ε，存在一个正整数K，当k>K时，
我们有，Ak-Ak-1，<ε。
于是:
An-Am，<ε+ε+...+ε=ε(k-m)<εk.
因此当n>N和n>N+K时，我们有：
An-Am，<εk<ε.
这证明了对于任意的ε>0，存在一个正整数N，使得当n>N和n>N+K 时，An-Am，<ε成立。
这就证明了序列{An}收敛。
至此，我们证明了柯西收敛准则，即对于一个实数序列{An}，如果对
于任意的ε>0，存在一个正整数N，使得当n>N和n>N+K时，An-Am，<ε
成立，则该序列是收敛的。
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例3 设数列满足条件 : an1 an r n , n 1, 2,,
其中 r (0,1). 求证 {an}收敛.
证 an p an an1 an an2 an1 an p an p1
r n r n1
由于
lim
n
rn 1r
rn 0, 于是
p1
r n (1 r p ) 1r
定理1 对于级数 un, 将它的所有正项保留而
n1
将负项换为0, 组成一个级数记为 vn 将它
n1
的所以负项变号(乘上因子-1)而将正项换为0, 也组
成一个正项级数记 wn
n1
vn
un
un 2
un , un 0, un
0 0
wn
un
un 2
un , un 0 0, un 0
(1)若级数 un 绝对收敛, 则级数 vn wn 都收敛;
(
1
1 2
1
,
{ xn} 收敛 .
2
2016/6/14
二 函数极限的柯西收敛准则
lim
n
xn
a
xn f (n)
lim f (n) a
n
lim f ( x) A
x
当 n，m > N 时, 总有
当 n , m > N 时, 总有
当x1, x2 X时，
总有
lim f ( x) A
x x0
当0 x1 x0 ,
0 x2 x0 时，总有
lim f ( x) A
x x0
当0 x1 x0 ,
0 x2 x0 时，总有
lim f ( x)不存在
x x0
尽管
0 0
x1 x0 x2 x0
, ，
但是
总存在x1, x2 ,
例1.
用柯西收敛准则证明:
当x→+∞时,
国)
由此推得
an am
an A
am A
. 22
例1 证明数列 证明 ：
收敛
都有 由柯西收敛准则可知,
当 n﹥N 时, 对任意 p Z , 收敛
1
2016/6/14
例2 证明数列
发散
证明 ：
故对 1 对任意 n, 总存在 p n
2
an p an
a2n an
1 2
= 1 ( p n) 2
3
2016/6/14
定理. (柯西审敛原理) 的充要条件是: 0, N Z ,
当n N 时，对任意 p Z , 有
例1 利用柯西审敛原理判别级数 解: 对任意 p Z , 有
都有
当 n﹥N 时, 对任意 p Z ,
由柯西审敛原理可知, 级数
绝对收敛级数和条件收敛 级数的性质(p397)
2016/6/14
柯西收敛准则
一 数列极限的柯西收敛准则 p30 二 函数极限的柯西收敛准则 三 级数的柯西收敛原理 p386
lim
n
xn
a
当 n > N 时, 总有
定义只能用来验证
lim
n
xn
a
在不知道a的情况下，如何判断数列极限是否存在呢？
1 夹逼准则
若数列 xn , yn 及 zn 满足下列条件:
n1
n1
n1
(2)若级数 un 条件收敛,则级数 vn wn都发散.
n1
n1 n1
(1) 若级数 un 绝对收敛
n1
由0 vn un ,0 wn un 可知, vn wn 都收敛
n1 n1
(2) 若级数 un 条件收敛，不妨设 vn收敛
n1
n1
由wn vn un可知， wn也收敛，
等价定义: 对于数列 如果对于任意给定的
总存在正整数 使当 n > N 时, 对任意的正数 p
总有
则称 为柯西列。
收敛
为柯西列
证
设 lim n
an A. 由极限定义， 0 ,
N 0, 当 n, m N 时, 有
| an
A|
2
,
| am
A|
2
.
柯西 ( Cauchy,A.L.
1789-1857 ,法
sin x
x
存在极限
证明
：
sin x1 x1
sin x2 x2
1 x1
1 x2
对
0，取X=
2
,
则当x1 ,x2
2 时，
sin x1 x1
sin x2 x2
1 x1
1 x2
故
sin x
x
存在极限
22
例2. 证明: 当x→+∞时, sin x 极限不存在。
证明 ：
取x1
2n
,
x2
2n
2
,
对X 0, n足够大时 x1 X , x2 X ,
n1
n1
定理3 条件收敛级数 的更序级数 可以收敛于任 一事先给定的数，也可以发散到无穷大
定理4(柯西定理) 若级数 un和 vn 都绝对收敛,
n1
n1
其和分别为 s和 ,则它们各项之积按照任何
但是 故 sin x 极限不存在
三 级数的柯西审敛原理 定义：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依
次相加, 简记为 un ,即
n1
称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
则称无穷级数收敛 , 则称无穷级数发散 .
总存在正整数 总有
对于任意给定的 使当 n > N 时, 对任意的正数 p un1 un2 un p
0, N , n
rn 1r N,
.
rn 1r
.
故对任意p > 0，an p an
rn 1r
.
由柯西准则,{an}收敛.
补充作业抄题 利用柯西收敛原理讨论下列数列的收敛性
p 为偶数
n
1
1
(
n
1
2
n
1
) 3
(n
1 p
2
n
1 p
) 1
n
1
p
1 n
1
p 为奇数
1 n
1
(
n
1
2
n
1
) 3
(n
1 p
1
n
1
p)
1 n1
2
设
xn
sin1 21
sin 2 22
sin n 2n
,
n 1, 2, .
求证 { xn } 收敛.
证 0, N log , 当 n N 时, 有 log 2
xn+p x p
sin(m 2n1
1)
sin n 2n+p
1 2n1
1 2n p
1 2n1
n1
而 u n v n w n，所以 un 绝对收敛
n1
n1
n1
n1
vn
un
un 2
u0n,,uunn
0 0
wn
un
2
un
un , un 0 0, un 0
4
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定理2 绝对收敛级数 un的更序级数 un*仍绝对收敛,
n1
n1
且其和相同, 即 un un*
(1) yn xn zn (n 1, 2, 3)
(2)
lim
n
yn
a,
lim
n
zn
a,
则数列
xn的极限存在,且
lim
n
xn
a.
2 单调有界准则
单调有界数列必有极限.
一 数列极限的柯西收敛准则
收敛
为柯西列
柯西列：对于数列 如果对于任意给定的 总存在正整数 使当 n，m > N 时, 总有
则称 为柯西列。