第三章二次量子化之基础理论

0
x
海森堡表象(Heisenberg representation)
O(t) i [H ,O(t)] O(t) is time development operator t
a(t) i[H ,a(t)]i[aaaaaa]
t
i[a,a]a i a (1)
a(t)aeit a (t) aeit
n
1n
e
2
d
d
e 2
2En
2n 1 En
n
1 2
x
x
1x
100x 2
x
2x
3 x
x
x
簡諧振之粒子模型(二次量子化的理想模式)
Hamiltonian : H p2 K x2 2m 2
2 K
m
x m
H
2
来自百度文库
2
2
2
產生[raising ( a)]和湮滅[lowering ( a )]算符
第三章 二次量子化之基礎理論
•古典粒子與波動現象
離散振子系統(粒子性)
m
K
.......
j0
a
j N 1
L Lagrangian
d(
q , q)
N
[
j0
m 2
q2j
K 2
(
q j q j1 ) 2]
Euler 運動方程
n2
02 sin 2(
2
n) N 1
mqj K( q j1 2q j q j1 ) 0
H
A
A
1 2
A
A
2
H AA 1 2
2
|n (A )n |0 n!
H
|n
n
1
2
|
n
2
x
2m
A
A
2
pi
m A A
2
＜置換算符及置換群＞
H H (1,2,N ) N個等同粒子的Hamiltonian
(1,2,N ) N個等同粒子的波函數
位置
1 x1,1
a
1 2
a
1 2
m
2
x
ip
m
m
2
x
ip
m
[ a , a ] 1 [a,a]0 [ a , a ] 0
H
2
aa
a a
2
aa
1
aa
2aa
aa
1
2
and
x
2m
a
a
pi
m
2
a
a
簡諧振子之量子狀態
from
Hn
H
| n
aa
1
2
| n En
| n
H
a
| n
Sij
S(1, N) 為對稱算符
矩陣元在 i 座標之表現
• 所有粒子均受相同之物理作用 所有物理算符對粒子變換具對稱性
• 由 Pij 定義兩類波函數
Pij s s
a
a
對稱（波色子）
反稱（費米子）
• P S S P a (1) P a
aa
1 2
a
| n
aaa
1 a 2
| n
a
aa
1
2
|
n
a
(a
a
1)
1
2
| n
(En ) a | n
H
a
|
n
aa
1 2
a
|
n
aa
1 2
a
|
n
a
aa
1 2
|
n
a
(a
a
1) 2
1
|
n
(En )a | n
H E0 n
a | 0 0
群元素 偶元 奇元
P Pij Plk Pmn
H ( , i, , j, )Pij ( , j, , i, ) H ( , j, , i, )Pji ( , j, , i, ) 1 H ( , i, , j, )Pij ( , i, , j, ) 2
1
2
3 N
所 有
‧
可 能
‧‧
置 換
P SN 滿足 PH HP
3
‧‧‧
算 符
N
‧ ‧ ‧ ‧
數 目
置換算符數目 N N-1 N-2 1 =N!
置換算符之特性
H E
為 H 之 eigenfunction
• HP PH PE EP p 亦為 H 之 eigenfunction
• / P / P
自旋
置換算符：Pij ( , i, , j, ) ( , j, , i, )
Pij 2 1 Pij
置換群 SN ,• ： N 個客體之 N! 個置換算符 Pij構成之群
因 Pij Pji ; H ( , i, , j, ) H ( , j, , i, )
故 Pij H ( , i, , j, ) ( , i, , j, ) H (, j,, i,)(, i,, j,) H (, i,, j,)(, i,, j,)
n ckn
n L
k m
n
N
n N
kn
n
L
波與粒子運動示意圖
1.
2.
6.
3.
7.
4.
8.
5.
9.
量子波動與粒子模型
簡諧振子的波動模型
Hamiltonian
2 k
H p2 K x2
m
2m 2 x m
H
2
2
2
2
H
E
d2
d 2
2
2E
n
(
m
)
1 2n n!
Hn(
2
)e 2
n
H
2
a
2
qx,
x
t
2
1
L
dx
j a0
m
a
ka
L
Lagrangian
L c( qt ,qx )
1 2
L 0
qx,t
t
2
qx,t
x
2
dx
Euler運動方程
2qx,t
t
1 c2
2qx, t
x2
0
c
波速
qn x,t cos ntsin kn x
因 q0,t 0 qL,t
定義： / P P /
轉置置換算符
/ P P 1 / P 1P P 1 /
P P P1P 1 PP PP
P 為ㄠ正算符 ( unitary )
• P, S 0
且 Pi S P j i P SP j i SP P j
S (P) ij
矩陣元在 Pi 座標之表現
i S j
3-2.受固定電場強度作用下之簡諧振子模型
Hamiltonian : H p2 K x2 eEx , E: 電場
2m 2
H aa 1 aa 2
, eE 2m
then
a(t) i[H ,a(t)]i a , let
t
Aa
A iA
A a t
[ A, A ]1
[A,A]0 [A ,A ]0
H
| 0
aa
1 2
|
0
E0 |0
1 |0
2
E0
1
2
H |n n 1 |n
2
E 3 E 2
E
E
E
E 2
E0
E
a
a3 a2 a
a
a2
a
0
n
| n
(a )n n!
| 0
a | n n 1 | n
a | n n | n 1
x
3 2
3
2 2
2
2
1
2
0 2
K m
固定 邊界
q j( t ) cos( t ) sin( jp )
q0 (t) 0
qN1( t ) cos( t ) sin[( N 1) p]
pn
n
N 1
n 1,2,......,N
連續振子系統(波動性)
a 0 ， N ( L=Na 固定)
qx,t q j t
， q j1 q j