《回归分析的基本思想及其初步应用》PPT课件
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回归分析的基本思想及其初步应用PPT课件
y
500 水稻产量
450
· ··
400
·
350 · · ·
300
施化肥量
10 20 30 40 50
x
2020/11/19
1、定义：
自变量取值一定时，因变量的取值带有一定 随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。 注 (1)：相关关系是一种不确定性关系；
(2)： 对具有相关关系的两个变量进行统计 分析的方法叫回归分析。
300
施化肥量
10 20 30 40 50
x
2020/11/19
探究
对于一组具有线性相关关系的数据(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn),
我们知道其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式
分别为： ^
^
a ybx,......(1)
n
n
y ^
(xi x)(yi y)
xi
nxy
i
bi1 n
高二数学 选修2-3
3.1回归分析的基本 思想及其初步应用
Байду номын сангаас2020/11/19
比《数学3》中“回归”增加的内容
数学３——统计
1. 画散点图 2. 了解最小二乘法
的思想 3. 求回归直线方程
y＝bx＋a
4. 用回归直线方程 解决应用问题
选修2-3——统计案例
5. 引入线性回归模型
y＝bx＋a＋e
6. 了解模型中随机误差项e产 生的原因
在《数学3》中，我们学习了用相关系数r来衡量 两个变量之间线性相关关系的方法。
相关系数r
n
(xi x)( yi y)
i 1
.
n
n
回归分析的基本思想及其初步应用ppt
预测精度可以通过计算预测值与实际值之间的均方误 差（MSE）或均方根误差（RMSE）来衡量。
线性回归模型的评估是检验模型预测效果的重 要步骤。评估的指标包括模型的拟合优度、显 著性检验和预测精度等。
显著性检验可以通过F检验和t检验来实现，用于 检验模型的参数是否显著不为零。
03
非线性回归分析
多项式回归
04
回归分析的初步应用
经济预测
总结词
通过分析历史数据和相关经济指标，回归分 析可以预测未来的经济趋势和变化。
详细描述
回归分析在经济预测中应用广泛，例如，通 过分析历史GDP、消费、投资等数据，可以 预测未来经济增长速度、通货膨胀率等经济 指标。这种预测有助于企业和政府制定经济 政策，进行资源分配和投资决策。
结果解读
查看回归分析结果，包括系数、标 准误、显著性等。
03
02
线性回归分析
选择回归分析模块，设置自变量和 因变量。
模型评估
根据回归分析结果评估模型的性能 。
04
THANKS
感谢观看
05
回归分析的注意事项
数据质量
01
02
03
完整性
确保数据集中的所有观测 值都完整无缺，没有遗漏 或缺失的数据。
准确性
数据应准确无误，避免误 差或错误的测量和记录。
一致性
不同来源或不同时间点的 数据应具有一致的格式和 标准，以便进行比较和分 析。
过拟合与欠拟合
过拟合
模型在训练数据上表现良好，但 在测试数据上表现较差。原因是 模型过于复杂，导致对训练数据 的过度拟合。
它通过找出影响因变量的因素，并确 定这些因素对因变量的影响程度，来 预测因变量的取值。
回归分析的分类
线性回归模型的评估是检验模型预测效果的重 要步骤。评估的指标包括模型的拟合优度、显 著性检验和预测精度等。
显著性检验可以通过F检验和t检验来实现，用于 检验模型的参数是否显著不为零。
03
非线性回归分析
多项式回归
04
回归分析的初步应用
经济预测
总结词
通过分析历史数据和相关经济指标，回归分 析可以预测未来的经济趋势和变化。
详细描述
回归分析在经济预测中应用广泛，例如，通 过分析历史GDP、消费、投资等数据，可以 预测未来经济增长速度、通货膨胀率等经济 指标。这种预测有助于企业和政府制定经济 政策，进行资源分配和投资决策。
结果解读
查看回归分析结果，包括系数、标 准误、显著性等。
03
02
线性回归分析
选择回归分析模块，设置自变量和 因变量。
模型评估
根据回归分析结果评估模型的性能 。
04
THANKS
感谢观看
05
回归分析的注意事项
数据质量
01
02
03
完整性
确保数据集中的所有观测 值都完整无缺，没有遗漏 或缺失的数据。
准确性
数据应准确无误，避免误 差或错误的测量和记录。
一致性
不同来源或不同时间点的 数据应具有一致的格式和 标准，以便进行比较和分 析。
过拟合与欠拟合
过拟合
模型在训练数据上表现良好，但 在测试数据上表现较差。原因是 模型过于复杂，导致对训练数据 的过度拟合。
它通过找出影响因变量的因素，并确 定这些因素对因变量的影响程度，来 预测因变量的取值。
回归分析的分类
回归分析的基本思想及其初步应用课件PPT
返回
[导入新知]
1．残差平方和法
(1)^e i＝yi－^y i＝yi－^b xi－^a (i＝1,2，…，n)，称为相应于点
(xi，yi)的残差． n
(2)残差平方和
i＝1
(yi－^y i)2
越小，模型拟合效果越好．
2．残差图法
残差点 比较均匀地 落在水平的带状区域内，说明选用的
模型比较合适，其中这样的带状区域宽度 越窄 ，说明模型的
年序 1 2 3 4 5
最大积雪深度x/尺 15.2 10.4 21.2 18.6 26.4
灌溉面积y/千亩 28.6 19.3 40.5 35.6 48.9
返回
年序 6 7 8 9 10
最大积雪深度x/尺 23.4 13.5 16.7 24.0 19.1
灌溉面积y/千亩 45.0 29.2 34.1 46.7 37.4
y ＝110(28.6＋19.3＋…＋37.4)＝36.53，
返回
10
x2i －10 x 2＝227.845，
i＝1
10
xiyi－10 x y ＝413.065，
i＝1
^b＝∑i＝n1x∑i＝niy1xi－2i －1010－－xx 2
－y ≈1.813，
^a＝36.53－1.813×18.85≈2.355.
返回
解：对 U＝Aebt 两边取对数得 ln U＝ln A＋bt，令 y＝ln U， a＝ln A，x＝t，则 y＝a＋bx，y 与 x 的数据如下表：
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 4.6 4.3 4.0 3.7 3.4 3.0 2.7 2.3 2.3 1.6 1.6 根据表中数据画出散点图，如图所示，从图中
因此电压 U 对时间 t 的回归方程为U^＝e－0.313t·e4.61.
[导入新知]
1．残差平方和法
(1)^e i＝yi－^y i＝yi－^b xi－^a (i＝1,2，…，n)，称为相应于点
(xi，yi)的残差． n
(2)残差平方和
i＝1
(yi－^y i)2
越小，模型拟合效果越好．
2．残差图法
残差点 比较均匀地 落在水平的带状区域内，说明选用的
模型比较合适，其中这样的带状区域宽度 越窄 ，说明模型的
年序 1 2 3 4 5
最大积雪深度x/尺 15.2 10.4 21.2 18.6 26.4
灌溉面积y/千亩 28.6 19.3 40.5 35.6 48.9
返回
年序 6 7 8 9 10
最大积雪深度x/尺 23.4 13.5 16.7 24.0 19.1
灌溉面积y/千亩 45.0 29.2 34.1 46.7 37.4
y ＝110(28.6＋19.3＋…＋37.4)＝36.53，
返回
10
x2i －10 x 2＝227.845，
i＝1
10
xiyi－10 x y ＝413.065，
i＝1
^b＝∑i＝n1x∑i＝niy1xi－2i －1010－－xx 2
－y ≈1.813，
^a＝36.53－1.813×18.85≈2.355.
返回
解：对 U＝Aebt 两边取对数得 ln U＝ln A＋bt，令 y＝ln U， a＝ln A，x＝t，则 y＝a＋bx，y 与 x 的数据如下表：
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 4.6 4.3 4.0 3.7 3.4 3.0 2.7 2.3 2.3 1.6 1.6 根据表中数据画出散点图，如图所示，从图中
因此电压 U 对时间 t 的回归方程为U^＝e－0.313t·e4.61.
回归分析的基本思想及其初步应用PPT教学课件
就转换为z=bx+a.
温度xoC z=lny 产卵数y/个
21
1.946
7
23
2.398
11
25
3.045
21
27
3.178
24
29
4.190
66
32
4.745
115
35
5.784
325
由计算器得：z关于x的线性回归方程
z
为
zˆ=0.272x-3.849
,
yˆ
e0.272x-3.849
.
2.8 2.4
温度xoC 21 23 25 27 29 32 35 产卵数y/个 7 11 21 24 66 115 325
（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并 预测温度为28oC时产卵数目。 （2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了 产卵数的变化？
探索新知
选变量
一元线性模型
方案1
解：选取气温为解释变量x，产卵数 为预报变量y。
数据的散点图； （2） 描述解释变量与预报变量
繁殖个数
之间的关系；
（3） 计算残差、相关指数R2.
解：（1）散点图如右所示
天数
的周（围2，）于由是散令点Z图=l看ny出,样则本点分布在一条指数函数Cy=1eC2x
x
1
2
3
4
5
6
Z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25
由计数器算得 Zˆ =0.69X 1.112 则有 yˆ=e0.69x1.112
其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。
2是、随数机据误点差和的它效在应回，归称直e$线i =上y相i 应$y位i 为置残的差差。异(yi $yi )
温度xoC z=lny 产卵数y/个
21
1.946
7
23
2.398
11
25
3.045
21
27
3.178
24
29
4.190
66
32
4.745
115
35
5.784
325
由计算器得：z关于x的线性回归方程
z
为
zˆ=0.272x-3.849
,
yˆ
e0.272x-3.849
.
2.8 2.4
温度xoC 21 23 25 27 29 32 35 产卵数y/个 7 11 21 24 66 115 325
（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并 预测温度为28oC时产卵数目。 （2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了 产卵数的变化？
探索新知
选变量
一元线性模型
方案1
解：选取气温为解释变量x，产卵数 为预报变量y。
数据的散点图； （2） 描述解释变量与预报变量
繁殖个数
之间的关系；
（3） 计算残差、相关指数R2.
解：（1）散点图如右所示
天数
的周（围2，）于由是散令点Z图=l看ny出,样则本点分布在一条指数函数Cy=1eC2x
x
1
2
3
4
5
6
Z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25
由计数器算得 Zˆ =0.69X 1.112 则有 yˆ=e0.69x1.112
其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。
2是、随数机据误点差和的它效在应回，归称直e$线i =上y相i 应$y位i 为置残的差差。异(yi $yi )
回归分析的基本思想及其初步应用 课件
y βx α yi βxi y βx i1
y
βx
αn
yi
n
β
xi
ny
βx
i1
i1
y βx αny nβx ny βx 0,
所以nΒιβλιοθήκη Qα,β yi βxi y βx2 ny βx α2 i1
n
n
β2 xi x2 2βxi xyi y
i1
i1
n
yi y2 ny βx α2
x的样本的取值范围为155cm,170cm,而用这个方
程计算x 70cm时的y值,显然不合适.)
4.不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的 精确值.事实上,它是预报变量的可能取值的平均值.
一般地,建立回归模型的基本步骤为:
1确定 研究 对象,明确 哪个 变量 是解释 变量,哪个 变
量 是 预 报 变 量;
释变量对于预报变量变化的贡献率. R2 越 接近于1,
表 示 回 归 的 效 果 越 好(因 为R2越 接 近 于1, 表 示 解 释 变
量和预报变量的线性相关性越强) .如果对某组数据
可能性采 取几 种不同的回归方程进行回归分析,也 可以通过比较几个R2,选择R2 大的模型作为这组数 据的模型. 在例1中,R2 0.64,表明" 女大学生身高解释了64%的 体重变化",或者说" 女大学生体重差异有64%是由身 高引起的". 用身高预报体重时,需要注意下列问题:
2画 出确 定好 的 解释 主变 量和 预 报变 量的散 点图,
观 察它 们之 间 的关 系如 是否 存在 线 性关 系等;
3由 经 验 确 定 回 归 方 程 类型(如 我 们 观 察 到 数 据 呈
y
βx
αn
yi
n
β
xi
ny
βx
i1
i1
y βx αny nβx ny βx 0,
所以nΒιβλιοθήκη Qα,β yi βxi y βx2 ny βx α2 i1
n
n
β2 xi x2 2βxi xyi y
i1
i1
n
yi y2 ny βx α2
x的样本的取值范围为155cm,170cm,而用这个方
程计算x 70cm时的y值,显然不合适.)
4.不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的 精确值.事实上,它是预报变量的可能取值的平均值.
一般地,建立回归模型的基本步骤为:
1确定 研究 对象,明确 哪个 变量 是解释 变量,哪个 变
量 是 预 报 变 量;
释变量对于预报变量变化的贡献率. R2 越 接近于1,
表 示 回 归 的 效 果 越 好(因 为R2越 接 近 于1, 表 示 解 释 变
量和预报变量的线性相关性越强) .如果对某组数据
可能性采 取几 种不同的回归方程进行回归分析,也 可以通过比较几个R2,选择R2 大的模型作为这组数 据的模型. 在例1中,R2 0.64,表明" 女大学生身高解释了64%的 体重变化",或者说" 女大学生体重差异有64%是由身 高引起的". 用身高预报体重时,需要注意下列问题:
2画 出确 定好 的 解释 主变 量和 预 报变 量的散 点图,
观 察它 们之 间 的关 系如 是否 存在 线 性关 系等;
3由 经 验 确 定 回 归 方 程 类型(如 我 们 观 察 到 数 据 呈
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名师点睛 1．线性回归方程
(1)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据散点图确定 两个变量之间是否存在相关关系，然后利用最小二乘法求出回 归直线方程． (2)求线性回归方程^y＝b^x＋a^的关键是求未知参数a^和b^，其中b^ 可借助于计算器求出，因为a^＝ y －b^ x ，即 y ＝b^ x ＋a^，所以点 ( x ，y )一定满足线性回归方程，即回归直线一定过点( x ，y )．
n
差.
(yi－y^ i)2
称为残差平方和
i＝1
利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为 残差 ，横 残差图 坐标可以选为样本编号 ，或 身高数据 ，或体重估计值
等，这样作出的图形称为残差图
残差 图法
残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选 用的模型比较适合，这样的带状区域的宽度越窄， 说明模型拟合精度越高
1．1 回归分析的基本思想及其初步应用
【课标要求】 1．了解随机误差、残差、残差分析的概念； 2．会用残差分析判断线性回归模型的拟合效果； 3．掌握建立回归模型的步骤； 4．通过对典型案例的探究，了解回归分析的基本思想方法
和初步应用．
【核心扫描】 1．利用散点图分析两个变量是否存在相关关系，求线性回归方
解 (1)散点图如图．
(2) x ＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2， y ＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.
(4)用相关指数R2来刻画回归效果． R2越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R2
越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差．
3．建立回归模型的基本步骤 (1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报 变量． (2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间 的关系(如是否存在线性关系等)． (3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系， 则选用线性回归方程)． (4)按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数． (5)得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过 大或残差呈现不随机的规律性等)．若存在异常，则检查数据是 否有误，或模型是否合适等．
(3)求线性回归方程的步骤： ①先把数据制成表，从表中计算出 x ， y ， x12＋x22＋…＋x2n，x1y1＋x2y2＋…＋xnyn 的值； ②计算未知参数a^，b^； ③写出线性回归方程^y＝b^x＋a^.
2．线性回归分析 (1)由线性回归方程给出的是一个预报值而非精确值． (2)随机误差的主要来源 ①线性回归模型与真实情况引起的误差； ②省略了一些因素的影响产生的误差； ③观测与计算产生的误差． (3)残差分析是回归分析的一种方法．
程．(重点) 2．回归模型的选择，特别是非线性回归模型．(难点、易错点)
自学导引
1．回归分析
回归分析是对具相有关关系
的两个变量进行统计
分析的一种常用方法．
2．线性回归模型
(1)由散点图易发现，样本点散布在某一条直线附近，而不
是一条直线上，不能用一次函数y＝bx＋a描述它们之间的关系，
因此用线性回归模型y＝bx＋a＋e来表示，其中a、b为未知参
数，e为 随机误差
．
(2)对参数 a 和 b 的估计，由《数学必修 3》可知：最小二乘法估 计a^和b^就是未知参数 a、b 的最好估计，其计算公式为
n
n
xi－ x yi－ y xiyi－n x y
i＝1
b^ ＝
i＝1
＝
，a^ ＝ y －b^ x ，
n
xi－ x 2
n
x2i －n x 2
4．非线性回归分析 (1)非线性相关关系：样本点分布在某一条曲线的周围，而不
是一条直线附近．我们就称这两个变量之间不具有线性相关关 系而是非线性相关关系． (2)非线性回归方程线性化
①y＝axn(其中a，x，y均为正值)(幂函数型函数) lg y＝lg a＋n lg x，令u＝lg y，v＝lg x，b＝lg a， 则u＝nv＋b，图象为一直线． ②y＝cax(a＞0，c＞0)(指数型函数) lg y＝x lg a＋lg c，令u＝lg y，b＝lg c，d＝lg a， 则u＝dx＋b，图象为一直线．
残差平
残差平方和为
n
(yi－y^ )2，残差平方和
越小
，模型
i＝1
方和
拟合效果越好
n
yi－y^ i2
i＝1
相关指 R2＝1－
，R2 表示 解释 变量对 预报 变量变
数 R2
n
yi－ y 2
i＝1
化的贡献率，R2 越接近于 1，表示回归的效果越好
想一想：回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实 值吗？为什么？ 提示 不一定是真实值，利用线性回归方程求的值，在很多时候是 个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除 了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食，是否喜欢运动 等．
试一试：下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的线性回归方程必
过( ).
x1234 y1357
A．点(2,3) C．点(2.5,4)
B．点(1.5,4) D．点(2.5,5)
提示 选 C.线性回归方程必过样本点的中心( x ， y )，即(2.5,4)．
3．刻画回归效果的方式
残差
数据点和它在回归直线上相应位置的差异(yi－y^i)是随机 误差．称e^i＝yi－y^i 为残差，e^i 称为相应于点(xi，yi)的残
i＝1
i＝1
其中 x ＝1ni＝n1xi， y ＝1ni＝n1yi，( x ， y )称为样本点的中心．
(3)解释变量和预报变量
线性回归型与一次函数模型的不同之处是增加了随机误差项e，
因变量y由 自变量x
随机和误差e
共
同确定，即自变量x只解释部分y的变化，在统计中，我们也把自变
量x称为解释变量，因变量y称为预报变量．
题型一 求线性回归方程 【例1】 某班5名学生的数学和物理成绩如下表：
学生
学科
A B CDE
数学成绩(x) 88 76 73 66 63
物理成绩(y) 78 65 71 64 61
(1)画出散点图；
(2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程；
(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩． [思路探索] 先利用散点图分析物理成绩与数学成绩是否线性相关， 若相关再利用线性回归模型求解．