金融工程及数值计算
金融工程的计算方法
金融工程的计算方法金融工程是指利用金融产品和工具，通过量化分析、计算、模拟等方法，管理金融风险、优化投资组合、实现资产定价等目的的一门学科。
而计算方法，则是金融工程中不可或缺的一个重要组成部分。
本文将探讨金融工程中的计算方法。
一、基础数学方法金融工程是一门应用广泛的学科，各类金融产品的价格、风险等都需要进行计算和评估。
因此，基础数学方法是金融工程计算方法的前提。
其中，概率与统计学、微积分等都是金融工程中不可或缺的数学基础。
使用概率与统计学方法，我们可以对金融市场、金融产品等进行分析，并做出风险评估。
例如，在股票市场中，我们可以使用随机游走模型、波动率模型等方法来预测股票的价格变化。
而微积分方法，则可以用于计算衍生品的价格、风险等。
二、金融模型在金融工程中，许多问题都需要使用金融模型来求解。
金融模型可以用来计算不同金融产品的价格、风险等指标。
常用的金融模型包括：1. 常规模型：例如资本资产定价模型（CAPM）、布莱克-什尔斯模型（Black-Scholes model）等。
2. 离散时间模型：例如科克斯-卢宾斯坦模型（Cox-Ross-Rubinstein model）、二叉树模型（Binomial tree model）等。
3. 连续时间模型：例如几何布朗运动模型（Geometric Brownian motion model）、欧几里得期权模型（Euclidean option pricing model）等。
不同的金融产品和问题所需的模型不同，因此选择合适的金融模型也是金融工程计算方法中至关重要的一环。
三、计算机程序计算机程序在金融工程计算方法中也扮演着重要的角色。
计算机程序可以加快计算速度、提高精度，同时也便于实际操作和使用。
许多金融计算问题都需要进行大量数据处理、精确计算等，而手动计算工作效率低下且易出错。
因此，编写计算机程序是处理金融计算问题的好方法。
例如，我们可以使用Python、Matlab等编写计算程序，快速完成股票价格、期权价格、债券价格等各类金融产品的计算和分析工作。
金融工程学BS公式
14
实际中GBM的参数估计
• 知道期限[0，T]的股价数据记录，将[0，T]分为 长度相等的子区间
• 第一步计算每个区间的连续收益率，得到序列 U1,U2,…,Un
• 第二步计算U1,U2,…,Un的均值和方差 • 第三步 解方程
U ( 2 )t
2
S 2 2t
有得到审稿意见的情况下遭到拒绝
• 在芝加哥人E. Fama和M. Miller与JPE杂志的编辑 打了招呼以后，JPE才最终发表了这篇论文
• 这一番波折导致他们检验B-S公式的论文发表在先
2
教学内容
1. 风险中性定价 2. 标的资产的变化过程 3. B-S期权定价公式 4. 波动率的计算 5. 二值期权 6. 标的资产支付红利情况下的期权定价 7. 欧式指数期权、外汇期权和期货期权
其中，
d1 d2
t 1 (ln S0 (r 2 )t)
t X
2
21
定理：Black-Scholes 期权定价公式
c S0 N (d1 ) XerT N (d2 )
p XerT N (d2 ) S0 N (d1)
d1
ln
S0
X
r 2 2
T
T
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ln
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X
r 2 2
表示基础货币的利率cbot交易的中长期国债期货期权cme交易的欧洲美元期货期权maxfx0其中maxxf0其中表示期权执行时的期货价格41期货期权风险中性下的期望增长率在风险中性条件下支付连续红利的股票的期望增长率为rq其中签订期货合约不需要支付因此期货价格的期望增长率为零如果把期货看作支付连续红利的股票那么该股票的红利率等于无风险利率rtrtrtrt43期货期权black定价模型1976假定期货合约和期权合约同时到期在连续红利的期权定价公式中用期货价格代就得到期货期权的定价公式dffdtfdz44black模型1976标准普尔500股指期货期权期货价格1401到期时间01233无风险利率00543波动率021计算448845模型46希腊字母偏导数rtrtrtrt期权费关于执行价格是减函数事实上48期权风险只用较少的股票来对冲就行事实上rtrtrtrtxeteixtedyyedy则有上式右边52rtrtrtrtrt时间越长期权的价值就越大证明
分析金融工程学的数学模型与方法
分析金融工程学的数学模型与方法
金融工程学是一门研究应用数学方法和模型来解决金融问题的学科。
它结合了金融学和数学的知识，以及统计学、计算机科学等相关领域的方法，通过建立数学模型来描述金融市场和金融产品的特征，并运用数学方法进行分析和预测。
1. 随机过程：金融市场的价格和利率等变量通常具有随机性，因此随机过程是金融工程学中最基本的数学工具之一。
常见的随机过程包括布朗运动、几何布朗运动、鞅等，用来描述金融市场的价格变动。
2. 衍生品定价模型：衍生品是一种派生自标的资产的金融产品，如期权、期货等。
衍生品的定价需要基于现有的市场数据和数学模型来计算，常用的定价模型包括布莱克-斯科尔斯模型、卡尔曼滤波器、蒙特卡洛模拟等。
3. 风险评估和资产配置：金融工程学的一个重要应用是对投资组合进行风险评估和资产配置。
通过建立风险模型和优化模型，可以评估投资组合的风险水平，并找到最优的资产配置策略。
4. 金融市场模拟：金融工程学可以通过建立模拟模型来模拟金融市场的运行情况。
模拟模型可以通过随机过程模拟金融市场的价格变动，通过蒙特卡洛模拟等方法模拟金融产品的价格和风险等。
5. 统计分析：金融工程学需要利用统计学的方法来处理和分析金融数据。
通过统计分析可以得出金融市场的特征和规律，以及对未来的预测。
数值方法在金融工程中的应用研究
数值方法在金融工程中的应用研究随着金融市场的不断变化，金融工程研究的重点也在不断发生变化，尤其是在风险管理和投资组合优化方面。
为了解决金融领域的复杂数学问题，数值方法在金融工程中逐渐得到广泛应用。
数值方法是一种通过计算机运算来近似求解数学问题的方法。
它能利用高效的算法和计算机处理速度来处理复杂的实际问题，并为决策提供正确的信息。
下面将简要介绍数值方法在金融工程中的几个应用。
1、二元期权定价二元期权是一种数字期权，其支付在到期日时不是连续的，只有两种可能的结果，即全部支付或者不支付。
为了计算二元期权的价格，常见的方法是使用二元期权的Black-Scholes方程或者蒙特卡罗方法。
Black-Scholes方程是一种非线性偏微分方程，用于定价欧式期权。
使用Black-Scholes方程时，假设期权价格满足一个随机游走模型，这一模型被称为Geometric Brownian Motion（几何布朗运动）。
常数sigma表示股票价格的波动率，常数r表示无风险利率。
蒙特卡罗方法是一种实验估计方法，通过随机模拟得到期权价格的近似值。
选择使用何种方法要视具体情况而定。
2、机器学习在金融工程中的应用在金融领域，机器学习的应用十分广泛。
机器学习是一种从数据中学习模型的算法。
最常见的应用包括分类和回归分析，这些算法都可以用来分析金融市场中的各种数据。
正确的机器学习模型可以用来预测股票价格、货币汇率、企业利润等。
机器学习还可以用来根据客户的需求来编制投资组合，从而最大化收益并降低风险。
3、模拟股票价格的蒙特卡罗方法Stock Price Simulation是投资者和交易员必须掌握的工具之一。
蒙特卡罗方法是一种基于随机模拟的数值方法，在股票价格的模拟中被广泛应用。
这种模拟模型能够呈现股票价格未来的统计特性和概率分布，从而减少投资个人面临的风险。
蒙特卡罗方法基于大量的随机数，可以模拟股票价格在未来某个时间点的分布情况。
金融工程中的蒙特卡洛方法(一)
金融工程中的蒙特卡洛方法(一)金融工程中的蒙特卡洛介绍•蒙特卡洛方法是一种利用统计学模拟来求解问题的数值计算方法。
在金融工程领域中，蒙特卡洛方法被广泛应用于期权定价、风险评估和投资策略等各个方面。
蒙特卡洛方法的基本原理1.随机模拟：通过生成符合特定概率分布的随机数来模拟金融市场的未来走势。
2.生成路径：根据设定的随机模拟规则，生成多条随机路径，代表不同时间段内资产价格的变化情况。
3.评估价值：利用生成的路径，计算期权或资产组合的价值，并根据一定的假设和模型进行风险评估。
4.统计分析：对生成的路径和价值进行统计分析，得到对于期权或资产组合的不确定性的估计。
蒙特卡洛方法的主要应用•期权定价：蒙特卡洛方法可以用来计算具有复杂特征的期权的价格，如美式期权和带障碍的期权等。
•风险评估：通过蒙特卡洛模拟，可以对投资组合在不同市场环境下的价值变化进行评估，进而帮助投资者和风险管理者制定合理的风险控制策略。
•投资策略：蒙特卡洛方法可以用来制定投资组合的优化方案，通过模拟大量可能的投资组合，找到最优的资产配置方式。
蒙特卡洛方法的改进与扩展1.随机数生成器：蒙特卡洛方法的结果受随机数的生成质量影响较大，因此改进随机数生成器的方法是常见的改进手段。
2.抽样方法：传统的蒙特卡洛方法使用独立同分布的随机抽样，而现在也存在一些基于低差异序列（low-discrepancysequence）的抽样方法，能够更快地收敛。
3.加速技术：为了提高模拟速度，可以采用一些加速技术，如重要性采样、控制变量法等。
4.并行计算：随着计算机硬件性能的提高，可以利用并行计算的方法来加速蒙特卡洛模拟，提高计算效率。
总结•蒙特卡洛方法在金融工程中具有广泛的应用，可以用于期权定价、风险评估和投资策略等多个方面。
随着不断的改进与扩展，蒙特卡洛方法在金融领域的计算效率和准确性得到了提高，有助于金融工程师更好地理解和控制金融风险。
蒙特卡洛方法的具体实现步骤1.确定问题：首先需要明确要解决的金融工程问题，例如期权定价或投资组合优化。
分析金融工程学的数学模型与方法
分析金融工程学的数学模型与方法金融工程学是一门交叉学科，它结合了数学、统计学和财务学等知识，以解决金融市场的复杂问题。
数学模型和方法在金融工程学中起着至关重要的作用，它们帮助金融从业者分析市场情况、制定风险管理策略，并进行金融产品定价等。
本文将对金融工程学的数学模型与方法进行分析，探讨其在实际金融市场中的应用。
一、金融工程学的数学模型1. 风险管理模型风险管理模型是金融工程学中的重要模型之一。
它主要用于分析金融市场中的各种风险，包括市场风险、信用风险和操作风险等。
数学模型通过对市场数据进行建模分析，帮助金融从业者识别和评估风险，从而制定相应的风险管理策略。
著名的风险管理模型包括Value at Risk模型、Expected Shortfall模型等。
2. 金融产品定价模型金融产品定价模型是金融工程学中另一个重要的数学模型。
它主要用于对金融产品进行定价，并帮助交易者理解市场价格形成的原因。
常用的金融产品定价模型包括Black-Scholes期权定价模型、期货合约定价模型等。
这些模型基于对市场价格的动态建模分析，帮助交易者理解市场波动对金融产品价格的影响，并进行定价。
3. 高频交易模型随着金融市场的发展和技术的进步，高频交易成为金融市场中的重要交易方式。
高频交易模型主要通过对市场数据的快速分析和处理，帮助交易者捕捉市场中的微小价格波动，并进行快速交易。
常用的高频交易模型包括套利交易模型、市场微结构模型等。
这些模型利用数学方法来分析市场数据，挖掘交易机会，实现高频交易策略。
二、金融工程学的数学方法1. 随机过程随机过程是金融工程学中的常用数学方法之一。
它主要用于对金融市场中的价格、利率和汇率等变量进行建模分析。
随机过程可以帮助金融从业者理解市场中的随机波动和不确定性，为他们制定交易和投资策略提供理论支持。
常用的随机过程包括布朗运动、扩散过程、随机微分方程等。
2. 数值计算数值计算是金融工程学中另一个重要的数学方法。
数值计算的基础知识与应用
数值计算的基础知识与应用数值计算的基础知识与应用数值计算是一种利用计算机来求解数学问题的方法。
它可以用来解决各种实际问题，如物理、工程、经济、金融等领域中的问题。
数值计算的基础知识包括数值方法、误差分析、计算机算法等方面，这些知识是数值计算的基础。
一、数值方法数值方法是指把一个数学问题转化为一系列计算机可以处理的数值运算的方法。
它通常包括离散化、数值逼近和数值积分等内容。
离散化是指将连续的数学问题转化为离散的数值问题，如用差分法将微分方程离散化。
数值逼近是指用有限个已知函数来逼近一个未知函数或一组数据的方法，例如多项式逼近和插值方法。
数值积分是指将一个函数在一定区间上求积分的数值方法，例如辛普森公式和龙格-库塔法。
二、误差分析误差分析是数值计算的一个重要问题。
因为数值计算中存在各种误差，如截断误差、舍入误差和传播误差等。
截断误差是指由于选择适当的数值方法而引入的误差，如差分法的截断误差。
舍入误差是由计算机对数值进行处理而引入的误差，如计算机中浮点数位数有限所引进的误差。
而传播误差是指由于误差在计算过程中逐步积累而引入的误差。
为了评估数值计算的精度和可靠性，需要进行误差分析。
误差分析既可以从理论上进行，也可以通过数值实验进行。
理论误差分析需要了解数值方法的理论误差，并利用数学分析技术来证明误差的收敛性和稳定性。
而数值实验误差分析则是通过计算机程序模拟数学问题，在人工或计算机实验中确定误差的大小和性质。
三、计算机算法计算机算法是指用计算机解决数学问题的方法和技术。
有很多数值计算的算法，如快速傅里叶变换、迭代求解法、高斯消元法、梯形法则等等。
这些算法都是经过几十甚至几百年不断研究和完善的，它们在实际应用中具有很高的有效性和精度。
由于计算机算法的复杂性和多样性，不同的算法适用于不同的数学问题。
在实际应用中，选择适当的算法对解决问题至关重要。
同时，为了提高计算机的效率，需要对算法进行优化，例如通过高性能计算和并行计算来提高算法的效率和精度。
金融行业中的数值计算技术详解
金融行业中的数值计算技术详解随着现代科技的快速发展，金融行业也逐渐与时俱进，越来越多的技术被应用到金融工作中。
而在这些新型技术中，数值计算技术的应用尤为重要。
本篇文章将详细探讨数值计算技术在金融行业中的应用和作用。
数值计算技术在金融行业中的应用数值计算技术是运用计算机等数字设备对精确的数学问题进行求解的技术。
数值计算技术在金融行业中是一种非常重要的技术，因为它可以用来计算和模拟各种金融产品和交易场景。
以下是数值计算技术在金融行业中的一些具体应用。
1.金融演算法计算远期期权、期权的历史波动等金融问题时，经常会用到一些特定的计算方法和算法。
这些方法和算法就是金融演算法。
金融演算法主要是基于数值计算和数学模型来计算金融产品的价格。
例如Black-Scholes 模型和 Monte Carlo 模型，它们都是金融演算法的一种常见形式。
2. 大数据分析金融业的发展离不开所涉及的海量数据，以及对这些数据的分析和研究。
数值计算技术可以用来处理这些数据，特别是当数据量过大，传统的分析方法已无法胜任时，数值计算技术显得尤为重要。
通过大数据分析，金融机构能够更好地把握市场趋势，从而提高第一手信息的获取和利用率。
3. 金融模拟金融模拟是一种用现代数值计算技术来模拟金融风险的方法。
当人们注重风险分析时，考虑到市场“无法预测”性，人们越来越关注风险管理和控制。
金融模拟方法可以用来预测风险，从而帮助投资者制定相应的风险管理和控制策略，更有效地应对市场风险。
数值计算技术在金融行业中的作用数值计算技术在金融行业中的作用不仅是显而易见的，而且是非常重要的。
1.提高效率数值计算技术可以通过泰勒级数展开、微分方程求解等方法，对金融模型的数学原理进行精确高效的计算。
在金融工程中，它可以极大地提高模型建立、理论研究、交易决策等方面的效率。
2.提高准确度由于现代数值计算技术计算精度变得越来越高，它可以更准确地计算价格、分析风险和确定投资等问题。
数值分析在金融工程中的应用
数值分析在金融工程中的应用数值分析是一门应用数学的学科，通过使用数学和计算方法分析和解决实际问题。
在金融工程中，数值分析被广泛应用于各种金融模型的建立、风险管理和投资决策等方面。
本文将探讨数值分析在金融工程中的应用，并分析其在各个领域中的具体案例。
一、金融模型的建立数值分析在金融模型的建立中发挥着重要作用。
金融模型是指通过数学描述金融市场和金融产品的行为。
常见的金融模型包括期权定价模型、风险评估模型和投资组合优化模型等。
数值分析可以通过建立数学模型，利用各种数值计算方法对模型进行求解，从而得到模型的输出结果，进而对金融市场和金融产品进行评估和决策。
例如，在期权定价模型中，数值分析可以使用偏微分方程或蒙特卡洛方法对期权价格进行估算。
偏微分方程方法通过将期权价格的变化看作是空间和时间上的变化，将期权定价问题转化为求解偏微分方程的问题。
而蒙特卡洛方法则通过随机模拟方法，模拟出期权价格的多个可能路径，通过对这些路径的统计分析得到期权价格的估计值。
二、风险管理风险管理是金融工程中至关重要的领域，数值分析在风险管理中发挥着重要作用。
风险管理旨在评估和控制金融交易中的风险，以保护投资者的利益。
常见的风险管理方法包括价值-at-风险（VaR）、条件VaR和蒙特卡洛仿真等。
数值分析可以通过计算金融产品的VaR来评估其风险水平。
VaR是指在给定的置信水平下，在一定的时间内，金融产品的最大可能损失。
数值分析可以通过使用历史数据和模拟方法，对金融产品的收益率进行估计和模拟，得到VaR的近似值。
这可以帮助投资者更好地了解其投资组合的风险暴露，并做出相应的风险调整和决策。
三、投资决策数值分析在投资决策中也起到至关重要的作用。
投资决策涉及到选择哪些金融产品进行投资以及分配资金的问题。
数值分析可以通过对不同投资策略的评估和比较，帮助投资者做出更为合理的投资决策。
一种常见的数值分析方法是资本资产定价模型（CAPM）。
CAPM是一个用于计算股票或证券的期望回报的模型，通过分析资本市场的风险和回报关系，以及个股与市场回报的相关性，来估计某个股票的期望回报。
分析金融工程学的数学模型与方法
分析金融工程学的数学模型与方法金融工程学是应用数学于金融领域的学科，其主要研究对象是金融市场中的各种金融工具、金融衍生品和金融交易策略。
金融工程学的数学模型和方法是支撑其研究和应用的重要工具，在金融市场的预测、风险管理和投资决策中起到关键作用。
金融工程学的数学模型多为数理统计模型和金融计量模型。
数理统计模型主要应用于金融市场中价格、收益率和波动率等随机变量的建模和预测。
它包括时间序列分析、随机过程、回归分析等方法。
金融计量模型则主要用于金融市场中的相关关系和影响因素的分析，如资本资产定价模型、有效市场假设、期权定价模型等。
金融工程学的主要方法包括：1. 假设和定价模型：金融市场中的各种衍生品，如期权、期货、利率互换等，都是基于一定的假设和定价模型进行定价和交易的。
这些模型主要是基于期望理论、期权定价理论、无套利定价原理等构建的，能够更好地反映市场的风险和收益特征。
2. 随机过程和风险管理：金融市场中的价格、收益率和波动率等往往是随机的，因此需要借助随机过程理论来描述和分析这些随机现象。
常用的随机过程包括布朗运动、跳跃过程、马尔可夫过程等，通过建立这些随机过程的数学模型，可以对市场的风险进行度量和管理。
3. 优化理论和投资组合：金融工程学还涉及到投资组合的理论和方法。
通过优化理论，可以确定最优的投资组合，以最大化收益或最小化风险。
这需要对资产的预期收益和风险进行建模和预测，并采用合适的优化算法来求解。
4. 数值计算和模拟方法：金融工程学往往涉及到复杂的数学计算和模拟方法。
由于金融市场的复杂性和不确定性，通常很难通过解析方法得到明确的结果。
金融工程学采用数值计算和模拟方法，通过建立数学模型的离散化形式，用计算机进行模拟和数值求解，从而得到市场的价格、风险和收益等相关信息。
金融工程学的数学模型和方法在金融领域的应用是不可或缺的。
它们提供了一种理论和实践工具，帮助投资者和市场参与者更好地分析金融市场的风险和收益，从而进行更有效的投资决策和风险管理。
金融工程
1.金融工程的定义（约翰.芬尼迪）：金融工程将工程思维引入金融领域，综合地采用各种工程技术方法和科学方法（数学模型、数值计算、仿真模型等）设计、开发和实施新型的金融产品，创造地解决各种问题。
2.3.1）基于现金流贴现的估值方法：资产的当前价值应该由其未来现金流的贴现值所决定，不同的未来现金流假设会影响现值。
2）基于风险/收益的资本资产定价方法：投资者只有承担不可分散的风险时才能获得补偿，这种不可分散的风险越大，所获得的收益也应该越高。
3）基于不存在无风险收益的无套利的期权定价方法：核心是无套利思想，即通过基础资产和无风险资产构造的投资组合的收益来复制期权的收益，在无套利情况下，复制的期权价格应该等于购买投资组合的成本。
4.套利：以较低价格买进一项东西（包括商品、资产等）的同时马上可以以较高的价格卖出这个东西。
5.套利成本（交易中的佣金、税收等成本外）：1）信息成本2）空间成本（运输费用和存储费用）3）时间成本和风险（买卖之间的时间差）6.不存在风险套利机会的三个推论：1）同损益同价格：如果两个债券具有相同的损益，则这两个债券具有相同的价格。
2）静态组合复制定价：具有相同损益情况下的证券价格就是复制组合的价格。
3）动态组合复制定价：自融资交易策略的损益等同于一个证券的损益，证券的价格等于自融资交易策略成本。
7.需求因素拉动的金融创新：1）重新配置风险2）合理避税3）降低代理成本和交易成本4）提高交易效率和便捷性5）规避金融管制6）增加流动性8.金融产品创新的开发设计：从时间的角度（时间扩展创新），从产品的角度（基本要素改变型创新），从条款的角度（条款增加组合型创新：可转换、可回售。
可赎回。
可调整、可延期/提前、可浮动/固定、可触发/触消、可互换、可封顶/保底、可依赖），从技术的家角度。
9.金融风险：相对于某些主体，未来某些风险变化的不确定性可能给主体带来的损失。
10.金融风险产生的理论解释：不稳定性理论、非对称信息理论、价格剧烈波动理论、金融风险传播理论。
金融工程中的数值方法
Copyright © 2007 Z. Li
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衍生证券的价格－期权
金融保险学院
看涨期权（欧式、美式）
f0 ,0 e rT T i 0p T ,im a x {fT ,i K ,0 )
欧式看跌期权
f0 ,0 e rT T i 0p T ,im a x {K fT ,i,0 )
衍生证券的价值是其未来期望价值按无风险利率贴现
得到的现值
基于虚拟概率
p的期望值！
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二叉树模型－推广
金融保险学院
p e rT d 时基础证券未来的期望价格
ud
E(ST)＝pS0u＋(1－p)S0d
p S0u
＝pS0 (u－d)＋S0d
1-p S0d
＝ S0erT
基础证券的价格以无风险利率增长
设定基础证券价格上升的概率等于p就等价于假设基础 证券的收益率等于无风险利率
？ 风险中性世界
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二叉树模型－风险中性定价
金融保险学院
风险中性世界（risk-neutral world）
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二叉树模型－基本思想
金融保险学院
假设基础资产价格的运动是由大量的小幅 度二值运动构成，在每个小的时间间隔内 资产的价格只有两种运动的可能：上升或 者下降
p
S0u
S0
1-p
S0d
通过现金流再造技术和无套利原理求解衍 生证券的价格
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金融工程(中科院)第九章3金融计量―期权数值方法PPT课件
89.07 0
70.70
62.99 0
0 56.12
50
0
E
2.66 44.55
39.69 5.45 F
10.31 35.36 G
31.51 14.64
18.50 28.07 21.93
二叉树方法的一般定价过程
以无收益证券的美式看跌期权为例。把该期权 有效期划分成N个长度为Dt 的小区间，令 fij(0iN ,0ji)表示在时间 iDt 时第j个结 点处的美式看跌期权的价值，同时用 Sujdij 表示结点 (i, j) 处的证券价格，可得：
S*(iDt)S(iDt)
iDt
S * (iD t) S (iD t) D e r( iD t) iDt
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利率是时间依赖的情形
2020/12/3
p e f tDt d ud
uef tDt 1 p
ud
P=0.5的二叉树图
uerq22Dt2 Dt derq22Dt2 Dt
ud 1 p 0 .4 9 2 4
2020/12/3
美式看跌期权二叉树
50 A
4.48
56.12 2.15
44.55 6.95
2020/12/3
62.99 D
0.63
50 C
3.76
39.69 B
10.35
70.70 0
56.12 1.30
44.55 6.37
35.36 14.64
79.35 0
fN ， j m ax(XSujdN j,0)
Dt 后 ，假定期权不被提前执行，则在风险中 性条件下： fije rD t[p fi 1 ,j 1 (1 p )fi 1 ,j]
分析金融工程学的数学模型与方法
分析金融工程学的数学模型与方法金融工程学是一门交叉性学科，将金融学的理论与工程学的方法相结合来分析金融市场及其衍生品的投资与风险。
其数学模型和方法十分重要，以下是对其进行简要分析。
数学模型：1. 随机过程模型：金融市场中的股价、利率、商品价格等都是随时间变化的随机过程，因此金融工程学使用此类模型来描述市场价格随机变化的规律性。
最常用的随机过程模型是布朗运动和几何布朗运动。
2. 衍生品定价模型：衍生品是一种基于现有的金融资产或指数衍生出的金融工具，如期货、期权等。
由于其本身不造成现金流，因此它的价格必须通过其他的基础资产价格进行衡量。
衍生品定价模型主要有布莱克-雪尔茨模型、期权平价关系模型和波动率模型。
3. 最优投资组合模型：投资者的目标是追求最大的收益或最小的风险，因此需要在市场中选择最优的投资组合。
金融工程学使用马科维茨模型、资本资产定价模型等进行最优投资组合的建模。
数学方法：1. 随机过程方法：用于描述金融市场中价格变化规律的方法。
包括布朗运动、离散时间马尔可夫链、随机游走、随机分形等方法。
2. 偏微分方程方法：用于分析衍生品的定价和风险控制问题。
包括布莱克-雪尔茨方程和哈密顿-雅可比-贝尔曼方程等方法。
3. 数值计算方法：用于求解金融工程学中复杂的数学模型。
包括有限差分法、蒙特卡罗法、扰动法等方法。
综上所述，金融工程学的数学模型和方法十分复杂，因此需要大量的数学知识来应用和解决问题。
在实际应用中，金融工程学方法已被广泛应用于金融市场风险管理、衍生品定价、资产组合管理等领域，对金融市场的稳健性和可持续性发挥着重要作用。
数学与金融工程的融合
数学与金融工程的融合近年来，随着技术的不断进步和金融市场的快速发展，数学与金融工程的融合成为了一个热门的话题。
数学与金融工程的结合，不仅能为金融市场提供更为精确的分析和预测，也能为金融从业者提供更强的决策支持。
本文将探讨数学与金融工程的融合，以及它们在金融市场中的应用。
一、数学在金融工程中的应用1. 随机过程与金融模型随机过程是数学中一个重要的概念，它在金融工程中具有广泛的应用。
金融市场中的价格波动往往是随机的，随机过程能够对金融市场进行建模和预测。
通过使用随机过程，金融从业者可以分析金融市场中的价格变动、风险管理以及衍生品定价等问题。
2. 概率论与风险管理金融市场中的风险管理是非常关键的，概率论在金融工程中发挥着重要的作用。
概率论能够通过统计分析，为金融从业者提供风险评估和管理的方法。
通过利用概率论的工具，可以对金融市场中的风险进行量化和分析，帮助决策者制定更为合理的风险管理策略。
3. 数值方法与金融计算数值方法是数学中一个重要的分支，它在金融工程中扮演着重要角色。
金融市场中的许多问题，如期权定价、投资组合优化等，都需要进行数学计算。
数值方法能够通过数学模型和数值计算，对这些问题进行求解，并提供一定的预测能力。
二、金融工程在数学中的应用1. 金融数据分析金融市场中充斥着大量的数据，金融工程师可以利用数学中的统计方法和数据分析技术，对这些数据进行分析和挖掘。
通过金融数据的分析，可以帮助金融从业者更好地理解市场状况、探索隐藏的规律，并为决策提供可靠的依据。
2. 优化理论与投资组合优化理论是数学中的一个重要分支，它在金融工程中有着广泛的应用。
金融投资中的一个重要问题是如何构建一个最优的投资组合，使得风险最小、收益最大。
优化理论能够帮助金融工程师通过数学建模和优化算法，找到最佳的投资组合策略。
3. 数学建模与金融预测数学建模是数学中一个重要的环节，它在金融工程中发挥着重要的作用。
金融市场中的交易和波动是复杂而多样的，通过建立数学模型，可以对金融市场进行预测和分析。
金融工程学课程相关公式精选
金融工程学公式精选1 (,)()(,)R t T T t P t T e --= （5-1）该式又称为“折现方程”。
进一步有： 2 1(,)ln (,)R t T P t T T t =-- （5-2）该式又称“为收益率曲线”，函数(,)R t T 又称为“利率期限结构”。
固定t ，则1(,)ln (,)R t T P t T T t =--是T 的函数，是不同到期日T 对应的不同即期利率，因此称函数(,)R t T 为利率期限结构；另外(,)R t T 又可以看成不同到期日的零息收益率，所以（5-2）又称为收益率曲线。
1(,)ln (,)R t T P t T T t =-- （5-2）固定t ，则1(,)ln (,)R t T P t T T t =--是T 的函数，是不同到期日T 对应的不同即期利率，因此称函数(,)R t T 为利率期限结构；另外(,)R t T 又可以看成不同到期日的零息收益率，所以（5-2）又称为收益率曲线。
瞬时利率r 可定义为：lim (,),()t Tr R t T T t →=> 设r 是r 在t 和T 时间间隔内r 的平均值，ˆE代表无风险中性世界的期望值，则在T 时刻收益为N=1的贴现债券的价格为：()ˆ(,)[]T t P t T E e --= （5-4）()()dr m r dt s r dz =+ （5-6）其中，z 是维纳过程，m(r)和s(r)分别是r 的瞬态漂移率和瞬态标准差，我们称该随机微分方程为利率模型。
Merton 为导出贴现债券价格的模型，假定利率过程是一带漂移率的布朗运动，即：dr dt dz μσ=+ (5-7)其中μ和σ为常数，分别表示瞬时均值和瞬时标准差。
与股票价格具有长期增长趋势不同。
利率具有均值回复的特征，即随着时间的推移，利率呈现出向某个均衡水平收敛的趋势。
该模型的结构是：dr rdt rdz μσ=+ (5-8)这意味着r 服从几何布朗运动。
金融工程与数学模型
金融工程与数学模型金融工程是20世纪80年代出现的一门工程型的新兴学科，其产生发展的直接原因是20世纪70年代开始的全球金融市场汇率及利率的频繁波动。
随之而来的经济全球化和金融全球化不仅给市场参与者带来了获取潜在收益的机会，同时也带来了较高的风险管理的要求。
为了回避与防范市场风险乃至信用风险，金融家们创造并应用了诸多金融工具(如远期合约、金融期货、金融期权、互换等)，金融工程应运而生，并在不到三十年的时间里得到迅速发展和完善。
关于金融工程的定义，普遍为大家所接受的是由约翰·芬尼迪提出的，他认为“金融工程学包含创新性金融工具及金融手段的设计、开发和实施，以及对金融问题的创造性地解决.”具体说来，金融工程将工程思维引入金融领域，综合的采用各种工程技术方法(数学建模、数值计算、仿真模拟等)设计、开发和实用新型的金融产品，将现在的金融结构进行重组以获得人们所希望的结果。
由于金融工程的产生和发展都是以管理金融风险为目的，因此国内有学者认为“金融工程其核心是风险管理的工程化和系统化”。
面对风险，金融工程有两个选择，第一个选择是用确定性来代替风险，这就意味着既防范不利结果的出现，同时也消除有利结果出现的可能性，主要表现为运用远期、期货、互换等产品。
所有这些工具都能确保使用者获得既定的金融结果。
当然，这属于消除风险的范畴。
例如，有一家美国公司，在3个月内将支付一笔日元，它就可以以固定的价格现在购买一笔未来3个月内交割的日元，这笔远期交易就将可能的货币风险避免了。
不论在3个月内汇率如何变化，该公司已经以己知的固定价格购买了日元，从而不会受到3个月后的市场汇率高低的影响。
另一种方法是消除不利风险，同时保留了有利的获利机会，主要表现为运用期权及其相关产品。
这里所谓的“消除不利风险”也不是绝对地从根源上消除了风险，而是将风险转移给交易的另一方，这属于风险转移的范畴。
例如，期权则可以替换掉于己不利的风险，同时保留获利的机会。
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4.金融理论的发展
金融市场300多年, 现代金融学:50余年(金融工程的发展史), 两次华尔街革命: 第1次:1952年,H. Markowitz投资组合选择理 论的问世(博士论文), 第2次:1973年,Black-Scholes期权定价公式 的问世, 被认为是”异端邪说”(Friedman,1976年 诺贝尔奖得主,称其不是经济学), 但在以 华尔街为代表的金融市场引起了革命,使金 融学发生了根本的变化.
一.什么是金融工程
John Finnerty(1988) 金融工程包括创新型金融工具和金融手段的设 计,开发和实施,以及对金融问题给予创造性 的解决. “创造”和“创新”包括三种内涵： (1)思维上的飞跃：也就是一种革命性的新 的金融产品问世时所具有的创造性。 （2)对旧有观念的重新理解和运用。 （3)将现有产品和手段进行分解和组合，以 适应某种特定的情况。
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Markowitz的贡献:
首次提出了资产和资产组合的收益和风险的量化 方法,使金融学实现了从定性分析向定量分析的飞 跃. 从理论上论证了分散投资可以控制风险,为现代投 资组合理论奠定了基础.
1958: Tobin, 两基金分离定理, 1958: Modigliani, Miller, MM定理,提出了 无套利分析法, 使得对金融产品的定价摆脱 了经济均衡理论的框架,大大简化,由此金融 学的研究方法完全从经济学中独立出来.
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Marshall的观点:
金融工程 *设计新工具 *创造型解决问题的方案
公司理财 *筹集资金 *兼并和收购
金融工具交易 *开发动态交易策 略
投资管理 *重新包装 *超额按揭
风险管理 *识别度量风险 *保险 *套期保值 *资产负债管理
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要解决的根本问题有二: (一)是如何用确定性来代替不确定性(风险); (二)是仅替换掉于己不利的风险,保留对己有 利的风险; 所有金融工程开发、创新和深入分析的目 的都是为了解决这两个问题，如期货、互 换、远期等产品,以及方差、敏感性等风险 度量工具，可用于解决问题(一); 期权、衍生产品组合、证券化资产等产品、 下半方差、下侧风险测度、VaR、CVaR等风 险度量方法，可用于处理问题(二)。
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1976: Ross, 套利定价理论(APT), 多因素定 价模型, 每种证券的收益都可以表示成 市场的若干基本经济因素的线性函数, 1979: Cox, Ross, Robinstein, 期权定价的 简化—二叉树定价模型, 1979: Ederington, 金融期货对金融价格风 险的套期保值理论; 1985: Duffie, Schafer, 不完全市场的一般 均衡理论, 大多数的不完全市场,均衡 是存在.
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(B)金融行业的竞争加剧,使得金融机构希
望借助金融工程的创新来寻求套利的机会,
金融监管的放松和金融自由化的兴起
使得这种行为成为可能.
3.科学技术的进步
信息技术的进步放大了对市场的冲击, (数据的收集,处理和传送) 计算机技术,软件技术,数值计算与模拟的 进步,
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金融问题
管理和控制金融风险时出现的各种不 同的问题,选择不同的金融产品,研究 和设计用于控制和管理不同金融风险 的策略和措施,使得投资者或管理者能 够实现确定的目标.
工程技术方法: 主要有建模,数值计算,计算机仿真模拟, 网络图解等.
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金融工程就是设计,开发和利用金融产品,对 现金流进行重组或重新按排,使投资者实现 金融风险管理的目标.
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四.金融工程师职业
金融工程师的称谓始于上世纪80年代, 1991年成立国际金融工程师学会, 金融工程师扮演的三种角色(Marshall): (1)交易方案的制定者(参与者); (2)新观念的创造者(创新者); (3)钻法律空子者(在法律边缘活动的人);
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金融工程与数值计算
徐成贤
西安交通大学
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一.什么是金融工程 二.金融工程的发展 三.金融工程学习和研究的内容 四.金融工程在金融创新中的作用 五.金融工程师职业 六.金融风险的类别和量化 七.金融衍生产品开发 八.投资组合选择 九.对冲策略 十.信用风险的控制
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金融工程师的工作领域:
金融工程师通常受雇于投资银行、商业银行、 证券公司、各种各样的其他金融中介机构 以及非金融性质的公司。 到2020年仅上海紧缺20万,
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五.金融工程中的数值计算
1.各种不同类型金融风险的度量和估计 信用风险, 操作风险, 市场风险(价格,利率,汇率) 流动性风险, 法律风险, 风险的度量: 波动性方法(方差,绝对偏差,下半方差) 灵敏度方法(久期,凸度等) 直接法(风险价值,VaR, TailVaR等)
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1981年: Tobin, 两基金分离定理(每一种有 效的证券组合都可以表示为一种无 风险资产和一种具体的风险资产的 组合, 条件是允许卖空), 1985年: Modigliani, MM定理,
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发展进程
1896: Fisher, 基本的估值关系,一项资产的价值等 于其产生的未来现金流的现值之和; 1934: Graham, Dodd, 证券的估价; 1952: Markowitz投资组合选择理论 问题:如何选择各种证券的投资比例,使得在 确定的收益目标下,风险最小. 解法: 把证券的收益看作随机变量,把这个随 机变量的均值定义为期望收益,方差定 义为风险, 把各证券的投资比例看作决策变量,建 立了确定实现上述目标的投资组合选 择模型.
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1960: Jonson, Stein(1961), 套期保值理论; 1964: Sharpe, CAPM,某一风险资产预期的收益率超 出无风险资产收益率的部分与资产的不可分 散的风险（系统风险）正相关. Lintner, Trynor和Mossin 1970: Fama, 市场的有效性研究(市场的有效与否 同无套利假设是否成立有关),有效性指市场 价格是否充分反映市场的信息, 1973: Black, Scholes, 期权定价公式, 建立了期 权价格和股票价格之间的关系方程---微分方 程,其中的参数有期权的期限,期权的执行价 格,无风险利率以及股票价格的波动性,解这 个微分方程得到的解就是期权的定价公式.
金融工程结合了现代金融学,工程技术方法和现代信 息技术.
金融学
金融 工程
信息技术 工程技术
一门新兴的交叉学科,是金融科学的 工程化和产品化.
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二.金融工程的发展
形成于上世纪80年代末,90年代初. 1.市场不确定性大幅增大,金融风险加剧. (A) 金融管制放松 1973布雷顿森林体系崩溃, 汇率浮动, 1979西方发达国家放弃利率管制, 80年代美国取消对石油价格的管制, 通货膨胀, 结果:汇率,利率,股价和商品价格波动 性加剧.
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2. 资产的定价 债券,股票,互换,远期,期货,期权, 信用违 约互换等, 3. 不同风险的控制和管理方法 投资组合选择---控制非系统风险, 套期保值---控制系统风险. 4. 有关的计算方法: 代数方程与方程组的求解, 微分方程的求解, 统计计算, 模拟计算, 运筹学方法,最优化算法等
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三.金融工程学习和研究的内容
金融工程的三大支柱: (一)资金的时间价值; (二)资产定价; (三) 风险的管理和控制;
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研究内容主要有四： (一)是风险的分析与度量, (二)是创新型金融产品和工具的开发，包括 新的银行帐户、对冲基金、期货、期权、 可转换债券、互换、远期等等； (三)是创造性地解决金融问题，像风险管理 控制策略的创新、公司融资结构创造、原 有资产组合的重新整合和打包用以解决新 问题等. (四)是新型金融手段的开发，目的是减少交 易成本，如电子化证券交易与清算方式等；
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(B) 经济全球化
跨国公司的成立(降低劳动成本,获取原材料), 市场全球化, 结果: 竞争加剧,引发价格波动, 同时还要承担汇率风险和利率风险,乃至法 律风险 2.寻找套利机会的需要
(A)税收的不对称性
税率的不同(特殊行业或地区的税收豁免或 优惠,国内企业和境内外国企业的税率不同), 使的企业希望通过金融工程技术利用税收不 对称来避税.
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诺贝尔经济学奖:
1990年: Markowitz, 投资组合理论,分散投资 可以控制非系统风险(1952), Sharpe, 资本资产定价模型(CAPM,1964), Miller, 在研究企业资本结构和企业价值 分析时提出了无套利分析法,使对 金融产品的定价大大简化,称MM定 理(与Modigliani合作,1958), 1997年: Scholes, 期权定价公式(1973), Merton, 对期权定价作出系统研究,
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国际金融工程师协会 (1991) 金融工程将工程思维引入金融领域,综合地 采用各种工程技术方法设计,开发和实施 新型的金融产品,创造性地解决各种金融 问题. 广义的金融产品: 既包括金融商品,如股票, 债券,期货,期权,互换等,也包括金融服 务,如结算,清算,发行,承销等.设计开发 新型金融产品的目的就是为了创造性地 解决金融问题,这也是金融产品.