《大学物理》第七章 静止电荷的电场 (11)

电容分别为
C1

0
S d
,
C2

0
S 2d
板极上带电± Q时所储的电能为
1 Q2 1 Q2d
W1 2 0C1 2 0 S
，W2

1 2
Q2 2d
0S
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故两极板的间距拉开到2d后电容器中电场能量的 增量为
W＝W2－W1

1 2
Q2d
0S
（2）设两极板之间的相互吸引力为F ，拉开两极板 时所加外力应等于F ，外力所作的功A=Fd ，所以
3102 Ω
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（4）等效回路如图所示
+
放电回路时间常数为
C
R
RC 270 s
进一步计算表明，30分钟后电荷就只剩0.3%
（5）要补充大气电容器的电荷，必须发生雷电的 次数为
N 5105C 210 4 25C
即每30分钟要产生雷电次数为2万次，每天雷电次数 为
+
+ dq
外力作功
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把微小电荷 + dq 移到另一个极板外力克服电场力作功
dA = (V1ⅱ- V2)dq
电容器电容为C，此时带电量为q，
q
V1 V2

q C
所以 dA = dq
C
当电容器由 q 0
到
qQ
蝌 Qq
1 Q2
A = dA =
dq =
0C
2C
这个功应等于电容器的静电能。 Q CV1 V2
§7-10 静电场的能量
在电场中电荷移动电场力对电荷作功，说明电场蕴 藏着能量—静电能。电容器充放电过程中的现象则是 电场能和其它能量相互转化的结果。
静电场的能量特征
如图，电容器充电过程是把 微小电荷+ dq 移到另一个极
+ +
板，结果，两极板带等量异 +
种电荷。
+
+
Baidu Nhomakorabea设电容器极板带电荷量为
+
q，极板间电势差为 V1V2
则电容器的静电能为
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W

1 2
Q2 C

1 2
C
V1
V2 2

1 2
QV1
V2
下面说明静电能也就是电场的能量，且分布在电场 所占的整个空间之中。
设平行板面积为 S 两极板间距为 d
极板间电势差为 U12 Ed 又 C S d
W

1 2
CV1
V2 2
n 2104 2 24 106
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选择进入下一节 §7-0 教学基本要求 §7-1 物质的电结构 库仑定律 §7-2 静电场 电场强度 §7-3 静电场的高斯定律 §7-4 静电场的环路定律 电势 §7-5 电场强度与电势梯度的关系 §7-6 静电场中的导体 §7-7 电容器的电容 §7-8 静电场中的电介质 §7-9 有电介质时的高斯定律 电位移 §7-10 静电场的能量
F A Q2
d 20S
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例7-32 物理学家开尔文第一个把大气层构建为一个电 容器模型，地球表面是这个电容器的一个极板，带有 5×105C的电荷，大气等效为5km的另一块极板，带正 电荷。如下页图所示。（1）试求这个球形电容器的电 容；（2）求地球表面的能量密度以及球形电容器的能 量；（3）已知空气的电阻率为3×1013Ω ，求球形电容 器间大气层的电阻是多少？（4）大气电容器的电容和 电阻构成一个RC放电回路，这个放电回路的时间常数 是多少？（5）经研究，大气电容器上的电荷并没有由 于RC回路放电而消失是因为大气中不断有雷电补充的 结果，如果平均一个雷电向地面补充25C的电荷，那么 每天要发生多少雷电？

1 E2Sd
2

1 E2V
2
电场所占体积
由上式可见，静电能可用表征电场性质的电场强度E
表示，且与电场所占体积成正比。表明电能储存在
电场中。
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静电场的能量
匀强电场的能量
W

1 2
CU
2 AB

1 E2Sd
2

1 E2V
2
匀强电场的电场能量密度为
we
W V

1 E2
2
（2）地球表面电场强度为
E

Q
4 0r 2
可得地球表面的能量密度为
we

1 2

0
E
2

Q2
32 20r 4
5.4108 J/m3
可得电能为 W 1 Q2 1.4109 J
2C
（3）由于h<<r，大气层可简化为长为h 、截面积
为 4r2 的导体，其电阻为
R


h
4r
2
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解： 如图为地球表面外 的大气层电容模型
（1）球形电容器的电容
公式为
C

4 0
RA RB RB RA
地球半径 r 6400km
负极板 （地球表面）
正极板 （大气电荷）
极板间的 大气电阻
电离层高度 h 5km
RA r
C 0.9 F
RB r h
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在半径为r厚度为dr的球壳内的电场能量
dW = we 4p r 2dr
整个带电球体的电场能量
W
=
蝌? V
wedV
蝌 = R q2r2 4pr2dr + 0 32p 2e0R6
q2 q2
40 0R 8 0R
¥
q2 4pr2dr
R 32p 2e0r4
3q2
20 0R

1 DE 2
一般情况下，电场能量密度为
we

1 2
D

E
各向同性介质中，电场能量密度为 任一带电体系的电场总能量
we

1 E 2
2
W


V
wedV


V
1D

EdV
2
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例7-30 计算均匀带电球体的电场能量，设球半径为R， 带电量为q，球外为真空。
解：均匀带电球体内外的电场强度分布为
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E

Qr
4 0 R 3
，
(r

R)
E

1
4
0
Qr r3
，
(r

R)
相应的，球内外的电场能量密度为
we

1 2

0

qr
4 0R3
2

q2r2
32 2 0R6
we

1 2

0

q
4 0r 2
2

q2
32 20r 4
(r R)
(r R)
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例题7-31 一平行板空气电容器的板极面积为S，间
距为d，用电源充电后两极板上带电分别为± Q。断
开电源后再把两极板的距离拉开到2d。求（1）外力
克服两极板相互吸引力所作的功；（2）两极板之间 的相互吸引力。（空气的电容率取为ε0）。
解:（1 ）两极板的间距为d和2d时，平行板电容器的