物理学中的群论基础第一章
群论 群论基础
物理学中的群论——群论基础主讲翦知渐群论教材教材与参考书教材：自编参考书群论及其在固体物理中的应用参考书：群论及其在固体物理中的应用（徐婉棠）物理学中的群论（马中骐）物理学中的群论基础（约什）群论-群论基础第章群论基础第一章群的基本概念和基本性质§1.1 集合与运算§1.2群的定义和基本性质§1.3 子群及其陪集13§1.4 群的共轭元素类§1.5 正规子群和商群§1.6 直积和半直积16§1.7 对称群§1.8 置换群§1.1集合与运算抽象代数的基本概念1集合抽象代数研究的对象什么都不是，所以什么都是集合的直乘：C=A×B，表示“C的元素是由A和B两个集合的元素构成的C A表示“一对有序元”，也称为A和B的直乘，用符号表示即：, a2,…, a i,…}，B={b1, b2,…, b j,…}，则集合设A={aA}B b b}则集合1C=A×B={(a i,b j)| a i∈A, b j∈B}是A与B的直乘。
定义设是两个集合若有种规则使得2映射定义：设A 与B 是两个集合，若有一种规则f ，使得A 的每一个元素在B 上都有唯一的元素与之对应，这种对应规则f 的一个映射记为就称为A 到B 的个映射，记为f ：A → Bf ：x → y = f ( x ) , 或写为f y f (),式中y 称为x 在B 上的象，而x 称为y 在A 上的原象。
对应规则函数对应规则：函数满射单射一一映射逆映射：f -1恒等映射：e 变换恒等映射：体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换，若f 是一一映射则称为对称变换一一变换有性质：射，则称为对称变换。
变换有性质：f f -1= f -1f = e3二元运算定义：若对A 上的每对有序元(a, b ) ，在A 上有唯确定的A每一对a,b)A上有唯一确定的c与之对应，即有一规则R 使得A×A → A，则R 称为A上的一个二元运算，记为()()R：A×A → A，或R：a, b ) →c= R(a, b)一般记为c = a·b，或c = ab。
北京大学群论-第一章_抽象群基础
第一章抽象群基础§1.1 群【定义1.1】G是一个非空集合，G =｛…，g，…｝，“·”为定义在任意两个元素之间的二元代数运算(乘法运算)，若G及其运算满足以下四个条件：（1）封闭性：∀f,g ∈G, f·g=h, 则h∈G;（2）结合律：∀f, g, h∈G，（f·g）·h＝f·(g·h);（3）有单位元：∃e ∈G, ∀f ∈G, f·e＝e·f＝f;（4）有逆元素：∀f ∈G，∃f -1∈G, 使f·f -1= f -1·f = e;则称G为一个群，e为群G的单位元，f--1为f的逆元。
·系1. e是唯一的。
若e、e´皆为G的单位元，则e·e´= e´，e·e´= e，故e´= e。
·系2. 逆元是唯一的。
若存在f的两个逆元f´=f"，则f'=⋅⋅=⋅=⋅=, 即''f⋅=⋅f'=f''ef''f''f)(f'ef'(ff'f'')·系3 e –1 = ee –1 = e -1·e = e, 即：e –1 = e。
·系4 若群G的运算还满足交换律，∀f，g∈G,有f·g=g·f, 则称G为交换群，或阿贝尔群。
群是我们定义的一种抽象结构，具有一般性，它象一个空筐子，可以装入各种具有相同抽象结构的实际对象。
通过研究抽象结构的一般性质，就可以掌握各种实际对象的性质。
例1.1 整数集{z}及其上的加法+单位元为0, 逆元z-1= -z,构成整数加法群。
例1.2 实数集R，运算为加法：单位元e = 0, 逆元：∀a∈R，a –1 = -a，构成加群。
群论群论基础课件
式中 y 称为 x 在B 上的象，而 x 称为 y 在 A 上的原象。
对应规则：与函数的比较
群论-群论基础-集合与运算
满射 单射 一一映射 逆映射： f -1 恒等映射：e
变换： 体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换 若f 是一一映射，则称为对称变换 一一变换有性质：
物理学中的群论
—— 群论基础
主讲 翦知渐
群论
教材与参考书
教材： 自编
参考书：群论及其在固体物理中的应用 （徐婉棠）
物理学中的群论 （马中骐）
物理学中的群论基础 （约什）
群论
物理学中的群论
第一章 群论基础 第二章 晶体对称群 第三章 群表示理论 第四章 三维转动群 第五章 群论在量子力学中的应用
群论-群论基础
二元运算一般也称为“乘法”—— 数值加法 数值乘法 对称操作……
集合的所有代数性质都由其乘法结果决定
群论-群论基础-集合与运算
乘法表：有限集
A
l
m
O
D3
e
a
b
B
k
l
k
m
C
ee
a
b
k
l
m
aa
b
e
m
k
l
bb
e
a
l
m
k
kk
l
m
e
a
b
ll
m
k
b
e
a
mm
k
l
a
b
e
4 同态与同构
群论-群论基础-集合与运算
设 A 和 B 是两个不同集合，其中分别定义了乘法 ·和 ×； 若有满射 f ，使得对于 yi = f ( xi ), yj = f ( xj )来说有
物理学中的群论基础第一章
平面上所有平移的集合 平面上所有平移的集合 √ 平面上以一个定点为中心的所有旋转的集合 平面上以一个定点为中心的所有旋转的集合 平面上所有轴反射的集合 平面上所有轴反射的集合
√
a1 a2
×
1.1.2正方形的对称性群 正方形的对称性群 (1)平面上正方形 )平面上正方形ABCD的对称变换群 的对称变换群
B
A
A
B
6 :
C B D A D D C A
7:
C B D A C B B C
8 :
C D A D
(2)S(K)中的运算举例 ) 中的运算举例
2 1 = 2
B A B A A D
2π π
C D
1
C
2π π
D
2
B
——
π 2
C
2 5 = 7
B A C D D A
5
C D B A
2
C
B
(3)S(K)中的幺元 ) 中的幺元
生成一个群, 例:由元素A生成一个群,只要求 n=E,n是满足此关系式的最 由元素 生成一个群 只要求A , 是满足此关系式的最 小正整数. 小正整数. 由于A是群中的一个元素,所有它的整数幂必定也在这个群中. 由于 是群中的一个元素,所有它的整数幂必定也在这个群中. 是群中的一个元素 故可以生成群的新元素, , 故可以生成群的新元素,A2,A3,…,直到 n=E,更高次幂不能 ,直到A , 给出新元素,因为A 所求得群, 给出新元素,因为 n+k= Ak.所求得群,故所求得群阶为 所求得群 故所求得群阶为n. 生成一个群, 例:由两元素A和B生成一个群,只要求 2=B3=(AB)2=E. 由两元素 和 生成一个群 只要求A 由于A 由于 2=E和B3=E,此群必包含元素 ,A,B,B2. 它一定也包 和 ,此群必包含元素E, , , 含所有A,B和B2的乘积. 因此得到两个新元素AB和BA. A和B不 含所有 , 和 的乘积 因此得到两个新元素 和 和 不 对易,否则由(AB)2=E将得到 对易,否则由 将得到 E=ABAB=A2B2=B2. ABAB= AB 和BA是不同的元素. 由此生成6个元素E, A, B, B2, AB, BA. BA是不同的元素 由此生成6个元素E 是不同的元素. AB, 可以证明,这个集合是一个群,即它对乘法是封闭的. 可以证明,这个集合是一个群,即它对乘法是封闭的.
群的基本概念
3、 (AB)-1 = B-1 A-1 证明: ∵ (AB)-1 = (AB)-1E = (AB)-1AA-1 E = (AB)-1 AEA-1 = (AB)-1A （BB-1）A-1
3, 单位元（不变元素）E,
EA = AE = A
4, 逆元A-1, A A-1 = A-1 A = E
二、 群的性质:
1、 E-1 = E ,
单位元 E 的逆元仍为E,
证：（1）E-1 E= E E-1 = E （令：A=E， 由A-1 A = A A-1 =E ） （2）E E-1 = E-1 E = E-1 （令：A= E-1 ， 由EA = A E= A ） 由（1）和（2） E = E-1
年迈的泊松感到难于理解
• 由于论文中出现了“置换群”等崭新的数 学概念和方法，泊松感到难于理解。几个 月后，他将论文退还给伽罗瓦；嘱咐写一 份详尽的阐述送来，可是，伽罗瓦已经没 有时间了。
• 在大学里，伽罗瓦由于积极参加资产阶级 革命活动，被学校开除了。
伽罗瓦预感到死亡即将来临
• 1831年5月和7月，他又因参加游行示威活动两次被 捕入狱，遭受路易--菲利浦王朝的迫害，直到1832 年4月29日，由于监狱里流行传染病，伽罗瓦才得 以出狱。
他盯上了著名的世界数学难题
• 不久，伽罗瓦的眼睛盯上了：高次方程的求根公 式问题。
• 16世纪时，意大利数学家塔塔利亚和卡当等人， 发现了三次方程的求根公式。这个公式公布后没 两年，卡当的学生费拉里就找到了四次方程的求 根公式。当时，数学家们非常乐观，以为马上就 可以写出五次方程、六次方程，甚至更高次方程 的求根公式了。然而，时光流逝了几百年，谁也 找不出一个这样的求根公式。
群的基本知识
第一章 群的基本知识二十一世纪以来，特别是爱因斯坦（Einstein ）发现相对论之后,对称性的研究在物理学中越来越重要.对称性帮助人们求得物理问题的解，也帮助人们寻求新的运动规律。
物理学家不仅研究了空间和时间的对称性，而且找到了许多内部对称性,如强作用的SU （2)同位旋对称，SU （3)色和味的对称，弱电统一的SU(2)XU （1)的对称，偶偶核的U （6）动力学对称等等.从七十年代起，又开展了超对称性的研究。
群论是研究对称性问题的数学基础,因此，它越来越受到物理学工作者的重视。
1.1 群定义 1.1 设G 是一些元素的集合，}{},,{g g G == .在G 中定义了乘法运算。
如果G 对这种运算满足下面四个条件：（1） 封闭性。
即对任意G g f ∈,，若h fg =,必有G h ∈。
（2） 结合律.对任意G h g f ∈,,，都有())(gh f h fg =.（3） 有唯一的单位元素。
有G e ∈,对任意G f ∈，都有f fe ef ==（4） 有逆元素。
对任意G f ∈，有唯一的G f∈-1，使e ff f f ==--11 则称G 为一个群。
e 称为群G 的单位元素,1-f称为f 的逆元素. 例1 空间反演群。
设E 和I 对三维实空间3R 中向量→r 的作用为 →→→→-==r r I r r E ,即E 是保持→r 不变的恒等变换，I 是使→r 反演的反演变换，定义群的乘法为从右到左连续对→r 作用。
集合{}I E ,构成反演群，其乘法表见表1.1。
例2 n 阶置换群n S ，又称n 阶对称群。
将n 个元素的集合},,2,1{n X =映为自身的置换为 ,2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n m n m m P 其中n m m m ,,,21 是n ,,2,1 的任意排列,P 表示把1映为1m ，2映为2m ，n 映为n m 的映射。
显然置换只与每列的相对符号有关，与第一行符号的顺序无关,如⎝⎛2421 ⎪⎪⎭⎫3143= ⎝⎛2324 ⎪⎪⎭⎫4113。
群论 第一章
第一章第一章 抽象群概论§1 什么是群什么是群？？群公理不同元素的集合不同元素的集合，，赋予一定的合成规则赋予一定的合成规则（（称为群称为群““乘法乘法””—— 加、乘、对易子等对易子等）。
）。
满足下列满足下列条件条件（（群公理群公理））： （1）封闭性 i g 和G g j ∈，则G g g g k j i ∈=⋅； （2）结合律 )()(k j i k j i g g g g g g ⋅⋅=⋅⋅；（3）存在唯一的单位元素e （或E ）G ∈ ，对任一元素j g 有j j j e g g e g ⋅=⋅=； （4）对每一元素有逆元对每一元素有逆元，，对i g 有 1−i g ，使e g g ii =⋅−1。
阶 —— 群元的个数群元的个数：：阶有限为有限群阶有限为有限群；；阶无穷为无限群阶无穷为无限群。
无限群又分无限离散和无限连续无限群又分无限离散和无限连续。
注：1. 乘法不可对易乘法不可对易，，即i j j i g g g g ⋅≠⋅。
若可对易若可对易，，则称为阿贝尔称为阿贝尔（（Abel ）群。
2. 若G c b a ∈,,，则G 中包含p l k c b a ,,（其中p l k ,,为整数为整数））。
例1．复数1，i ，-1，-i 组成四阶群组成四阶群。
四阶循环群 —— 由一个元素由一个元素，，i （或-i ）出发出发，，由它及其幂由它及其幂次次生成整个群G ，称为循环群称为循环群。
循环群必是阿贝尔群环群必是阿贝尔群。
n 阶循环群可表为{23,,...n a a a a e =}。
例2．所有实数组合所有实数组合，，加法运算下成群加法运算下成群。
全体正实数在乘法运算下成连续群全体正实数在乘法运算下成连续群。
例3．定轴转动定轴转动：：Π<Θ≤20，)2(SO 无限连续群无限连续群。
特例 —— 转角为m 倍nπϑ2=构成n 阶群n C ；定点转动定点转动（（三维空间转动三维空间转动））：),,(γβαR ，)3(SO 群。
群论基础-第1章 群的基本知识
其中的元素左乘或右乘仍为该群 G. ( 群中群论无顺序 )
Ak G = G Ak = G
*
五 子群和陪集
P.12
1 子群 (subgroup)
(1) 定义：群 G 中集合 S 在相同的群乘下构成的群，为 G
的子群
( 2) 显然子群：（1）E， （2）G
(3) 子群 S 的条件和检验: （1）不变元素；
σˆv σˆv σˆv σˆ v Ĉ32 Ê Ĉ31 σˆv σˆv σˆ v σˆv Ĉ31 Ĉ32 Ê
P.8 5 列表
群的名称 数群 置换群 矩阵群 对称群
群元
群乘
数 运算(加、乘等)
置换
相继置换
矩阵
矩阵乘法
对称操作 相继操作
举例 例(1) Z3群 d3群 D3群
*
七 不变子群
P.19
1 定义：有子群 N G
若 XNX- 1 = N 或 XN = NX （X 为 G 中的任一元素）
则 N为不变子群
2 性质
(1)不变子群必包括一个或几个完整的类
（即不变子群由完整的类构成）
证明：若 群元 C N ( 注意 群元 C 与类 C 不同)
则 X C X- 1 N （∵ XNX- 1 = N, C N ）
= (YX)A(YX)-1 = ZAZ-1 ( Z = YX G )
故 C 与 A 共轭
(3) 相似矩阵
矩阵群中彼此共轭的元为彼此相似的矩阵
*
2 类: 群 G 中彼此共轭的群元构成类
P.17
对于类 C, 自然有 XCX-1 = C ( X为群 G 中任一群元)
[提问: 为什么?]
3 类的性质
(1) 单位元自成一类 （XEX-1= E）
物理学中的群论第一章线性代数
物理学中的群论第⼀章线性代数物理学中的群论第⼀章线性代数声明：这是我根据黄飞⽼师上课内容记的笔记（易懂）。
教材：马中骐的物理学中的群论书（不好懂，所以我没看）。
希望对学群论的⼈有所帮助。
这两章线性代数考试不会考，但⾮常重要，后⾯都在⽤。
1.1节线性空间和⽮量基1.⽮量基有加法和数乘、⼀组线性⽆关的客体2.⽮量3.m维线性空间：就是定义了加法和数乘m个基⽮量对应m维简单来说，线性空间就是⽮量空间，线性空间中只有加法和数乘（即只有两个⽮量相加、数乘），但是没有⽮量乘法，也没有长度这样的概念。
如果在线性空间中引⼊点乘，长度、垂直的概念，此时称为内积空间。
线性空间性质：4.实线性空间：5.⽮量、基⽮量的矩阵表⽰⽮量矩阵表⽰：列矩阵基⽮量矩阵表⽰：、、按基⽮量展开，其第个分量为基⽮量矩阵表⽰是只有⼀个分量为1，其他分量为零的列矩阵。
6.线性空间的维数1）线性相关、线性⽆关2）线性空间的维数线性空间的维数：线性空间中线性⽆关的⽮量的最⼤个数。
m 维线性空间中，线性⽆关的⽮量数⽬不能⼤于m 。
⽮量基是线性⽆关的，m 维线性空间中任何 m 个线性⽆关的⽮量都可以作为⼀组⽮量基。
7.线性空间的⼦空间⼦空间就是在m 维线性空间中，有⽐m 维数⼩的个数的线性⽆关⽮量的所有的线性组合，构成⼀个n 维线性空间。
⽐如三维空间中，两个基⽮量的所有线性组合构成x-y 平⾯，是⼆维线性空间，是⼦空间。
我们通常说的⼦空间是⾮平庸的⼦空间，不包括零空间和全空间。
8.两个⼦空间的和两个⼦空间的和：两个⼦空间和的所有⽮量及这些⽮量的线性组合的集合， 记作；注意并⾮和的所有⽮量的集合，因为除了将这些⽮量放在⼀块以外，还需要将它们线性组合。
例如，构成的⼦空间和构成的⼦空间的和是整个三维空间。
9.两个⼦空间的交两个⼦空间的交：，例如，构成的⼆维⼦空间和构成的⼀维⼦空间的交是零空间（零⽮量构成的空间）。
10.两个⼦空间的直和两个⼦空间的直和：若是、的和（即），且下⾯三个等价的条件中任意⼀条成⽴：则称为两个⼦空间和的直和，记作 ，此时与称为中互补的⼦空间。
群论
循环群:所有的元素可以由某一个元素的幂次来产生
n阶 同构：G G
C n {E , R , R , , R
2 n 1
},
R
n
E, R
1
R
n 1
Isomorphism
两个群的所有元素间都按某种规则存在一一对应关系， 它们的乘积也按同一规则一一对应。
乘法表(群表)
元素的阶
R
n
R j H Rk H R j Rk H H (R j Rk ) H H Rj H Rj H H Rj H Rj H Rj H Rj Rj H H H
1 1
例：
§3. 共轭元素、类
共轭： 对群
G 中两元素 R 和 S ， 如存在 R~ S T G, 使得 R T S T
C 3 {e , d , f }
2 3 ; 4 3 ;
ad c , ad da
da b
乘法表(群表)
所有正负整数(包括零)；普通加法。 所有的实数(除去零)；普通乘法。 {1, -1}; 乘法。 {1, i, -1, -i} ; 乘法。 {1}; 乘法。 矩阵群 所有的 n 行 n 列方矩阵；矩阵的乘法？ 所有行列式不为零的 ； 所有行列式为 1 的 ； 所有行列式为 1 的 幺正矩阵； SU ( n ) 所有行列式为 1 的 实正交矩阵； SO ( n ) 六个矩阵：
1 E 0 1 A 0 0 , 1 0 , 1 11 D 2 3 1 1 B 2 3 3 , 1
Special Unitary Orthogonal
1 1 F 2 3 1 1 C 2 3 3 , 1 3 . 1
群论-1 群论基础
一般记为c = a· b，或c = ab 。
二元运算一般也称为“乘法”—— 数值加法 数值乘法 对称操作…… 集合的所有代数性质都由其乘法结果决定
群论-群论基础-集合与运算
A
乘法表：有限集
l m O
D3 e a b k
B
k
C
e
e a b k
a
a b e l
b
b e a m
k
k m l e
l
l k m a
群论-群论基础-集合与运算
3 一些基本概念
1) 阿贝尔群：交换群
2) 有限群：可给出群表
3) 无限群：离散群，连续群
4) 群元素的阶： gn = e 群阶：|G| 5) 生成元：通过乘法产生群G的最小子集
6) 循环群：一个生成元
群论-群论基础-集合与运算
4 一些基本性质 设G = {gi } 是一个群 ∀ gi , gj ∈ G, 方程 gi x = gj ， x gi = gj 有唯一解 ( gi -1 ) -1 = gi ( gi gj ) -1 = gj -1 gi -1
群论-群论基础
第一章 群论基础
群的基本概念和基本性质
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 集合与运算 群的定义和基本性质 子群及其陪集 群的共轭元素类
§1.5
§1.6 §1.7 §1.8
正规子群和商群
直积和半直积 对称群 置换群
群论-群论基础-集合与运算
§0 绪论
群论的发展历史
群论在数学中的作用
物理学中的群论
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主讲 翦知渐
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教材与参考书
教材： 自编 参考书：群论及其在固体物理中的应用 （徐婉棠） 物理学中的群论 （马中骐） 物理学中的群论基础 （约什）
群论讲课提纲
群论讲课提纲第一章 抽象群理论1.1 群的基本概念1、群的定义 实例分析； 群的定义。
2、基本概念有限群与无限群（群的阶）； 连续群与分立群； 阿贝群（交换群），例题；对称群，例题（234444{,,,,,,,}x y C E C C C m m νμνσσ=）；循环群（生成元）1.2 有限群的基本性质 1、群的乘法表（群乘表） 群乘表构造方法（SL2群，4C ν群） 群乘表的性质（重排定理及推论） 2、元素的阶 例题分析定义（元素的阶）几点结论 3、元素的共轭 定义（共轭元素）共轭的性质（自反、对称、传递） 4、共轭类等价关系与集合的划分 共轭类的定义关于类的几个结论（7条，例题）类的积（i j ijk k kC C a C =∑，例题）1.3 子群与商群1、子群的概念 定义、判别条件、平凡子群2、陪集（旁系） 定义 例题与分析 陪集的性质① 子群与它的任何一个陪集没有共同元素, 即&,X G X H XH H HX H Φ∀∈∉⋂=⋂=② 子群的任何两个左（右）陪集要么完全相同，要么完全不同。
即,:XH YH or XH YH Φ=⋂=③ 子群与它的所有相异左（右）陪集定义群的一个划分*。
推论1：群的阶与子群的阶之比为整数，即G nk Hm==；推论2：群阶与元素阶的商为整数。
3、共轭子群定理：以群G 中任何元素为过渡元素对子群1H 作共轭变换得到的集合2H 仍然是G 的子群，称为1H 的共轭子群。
例题4、正规子群（自轭子群、不变子群）例题分析正规子群的两种定义 正规子群的性质 ① 不变子群的任何两个陪集的积仍然是该子群的陪集；② 不变子群与其任何一个陪集的积等于该陪集。
5、商群例题分析定理：由正规子群及其所有相异陪集构成群称为商群。
商群的性质 ① 商群/G H 的幺元是正规子群H ；② 商群的阶数为正规子群的指数/n m ；1.4 群的同构与同态 1、 群的同构 ① 例题分析 ② 同构的定义 ③ 注意事项④ 4C 群所有子群的同构关系2、 群的同态① 例题分析 ② 同态的定义③ 注意事项3、有限群的结构① 1～6阶群的结构分析（思考题） ② 关于高阶群结构分析的注意事项 群的生成集存在性素数阶群的结构③ 生成集定理1.5 置换群① 置换群的基本概念 ② 3S 群及其乘法表 ③ n S 群的性质④ 任何有限群总同构于n S 群的一个子群。
第1章 群论基础
第1章群论基础11.1基本概念..........................................11.1.1群的定义......................................11.1.2群的乘法......................................11.1.3群的生成元....................................21.1.4更多例子......................................31.1.5半群,环和域*...................................41.2群的分拆..........................................41.2.1集合的分拆....................................51.2.2共轭类.......................................51.2.3子群和陪集....................................61.2.4Lagrange 定理...................................71.2.5不变子群和商群..................................71.2.6双陪集*......................................81.3群的分类..........................................81.3.1同态和同构....................................81.3.2同态基本定理...................................91.3.3其它的同态定理*.................................101.4群在集合上的作用.....................................111.4.1置换群.......................................111.4.2置换可表示为轮换的乘积............................131.4.3置换群的共轭类..................................141.4.4置换表示......................................141.4.5轨道........................................161.5群的直积..........................................171.5.1直积........................................171.5.2半直积.......................................171.6有限群的分类定理*....................................181.6.1Abel 群的分类...................................191.6.2非Abel 群的分类..................................191.6.3小阶群表.......... (19)文件生成时间:2007年10月3日试用讲义.请不要在网上传播.您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文§1.1基本概念§1.1.1群的定义定义1(群)设G 是一些元素的集合,G ={g ,h ,···}.在G 中已经定义了二元运算·,如果G 对这种运算满足一下四个条件,•封闭:∀f ,g ∈G ,f ·g ∈G ;•结合率:∀f ,g ,h ∈G ,(f ·g )·h =f ·(g ·h );•存在唯一的单位元素:∃e ∈G ,∀f ∈G ,e f =f e =f ;•有逆:∀f ∈G ,∃唯一的f −1∈G ,f ·f −1=f −1·f =e ,则称代数结构(G ,·)是一个群,二元运算“·”称为群的乘法.二元运算是一种映射,ϕ:G ×G →G ,ϕ(f ,g )=h⇐⇒f ·g =h .在不引起歧义的情况下,我们会省略乘法符号.群G 的元素个数称为群的阶,记为|G |.根据群的元素个数,可以将群分为有限群(元素的数目有限)和无限群(元素的数目无限).在无限群中,连续群可以用一个或多个实参数来标记群的元素.另一种对群的分类方式,是按照群的乘法是否可以交换位置.定义2(Abel 群)G 是群,并且满足∀a ,b ∈G ,ab =ba ,(1.1.1)则称群G 是Abel 群.Abel 群的乘法一般又称为加法.例1实数的集合按数值加法运算(R ,+)构成Abel 群.例2非零实数的数值乘法(R \{0},*)构成Abel 群.例3n -维非奇异复矩阵按矩阵乘法构成非Abel 群GL(n,C ).§1.1.2群的乘法有限群的乘法规则可以用乘法表来表示.一元群{e }的乘法规则为ee =e .对于二元群G ={e ,a },有ee =e ,ea =a ,ae =a .a 2def=aa 有两种可能,•a 2=e ;•a 2=a ,两边同时乘以a −1,得a =e .于是可得乘法表1.1.三元群G ={e ,a ,b }的乘法规则同样可以用定义群的四个条件确定.其中a 2有三种可能,您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文e e a aae表1.1:二元群的乘法表a ab e bbe a表1.2:三元群的乘法表–ab =e b =a −1=a , ;–ab =a b =e , ;–ab =b a =e , .•a 2=a a =e , .•a 2=b ,ab =e ,ba =e ,b 2=a . 所以三元群只有一种,其乘法表列于表1.2中.很明显,以这种方式来确定乘法表非常不方便.后面讲述的一系列定理将帮助我们有效地研究群的性质.从刚才的乘法表中可以看出,群的各个元素在每一行都出现了一次,在每一列中也出现了一次.这是一个普遍性质,定理1(重排定理)群G 的乘法表的每一行(或列)都含有所有元素,只是排列顺序改变了:a ∈G , aG =G ,Ga =G .(1.1.2)证明G 封闭⇐⇒∀g ∈G ,ag ∈G ⇐⇒aG ⊆G .同样可得a −1∈G ,a −1G ⊆G ,G ⊆aG .故aG =G .重排定理1.1.2对所有的群都成立,包括无限群.连续群的乘法无法列表,例如U (1)def= g (θ)|g (θ)def =e i θ,θ∈[0,2π](1.1.3)其乘法规则为g (θ3)=g (θ1)g (θ2),(1.1.4)θ3=θ1+θ2(1.1.5)其中ϕ(θ1,θ2)=θ1+θ2(1.1.6)称为连续群的结合函数,对应有限群的乘法表.§1.1.3群的生成元先来看一种特殊的有限群.定义3(循环群)C n def={e ,g ,g 2,···,g n −1|g n =1}.(1.1.7)您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文§1.1基本概念·3·其中g k 表示k 个g 相乘.循环群的所有元素都可以由g 自乘得到,所以我们把它称为循环群的生成元,并记成C n = g |g n =e .(1.1.8)一般的群可能有多个生成元,这些生成元的集合称为群的生成元组.例如G = p ,q |p 3=e ,q 2=e ,(qp )2=e(1.1.9)有2个生成元,生成元的乘法满足如下的“对易关系”,(qp )2=q (pq )p =e pq =q −1p −1=qp 2,(1.1.10)于是,生成元的任意乘积可以写成标准的形式q m p n ,从而|G |=6.群的乘法见表1.3.e p p 2q qp qp 2ee p p 2q qp qp 2p p p 2e qp 2q qp p 2p 2e p qp qp 2q q q qp qp 2e p p 2qp qp qp 2q p 2e p qp 2qp 2qqppp 2e表1.3: p ,q 群的乘法表e a b c df e e a b c d f a a e d f b c b b f e d c a c c d f e a b d d c a b f e ffbcaed表1.4:D 3群的乘法表对有限群,必有∀g ∈G ,∃n ,m ∈N ,n >m ,g n =g m .(1.1.11)记k def=n −m ∈N ,那么g k =e ,(1.1.12)称使上式满足的最小自然数k 为元素g 的阶.有限群的生成元的数目是有限的,其中最小的数目称为有限群的秩.§1.1.4更多例子例4(正三角形的对称群)D 3={e ,a ,b ,c ,d ,f },如图1.1所示,乘法规则列于表1.4中.例5(四元群)除了循环群C 4外,还有一个四元群–反演群(Klein 群)V 4,其乘法规则如表1.5所示.其中P 表示空间反射,T 表示时间反演,PT =T P .V 4是Lorentz 群的分立子群.1P T PT 11P T PT P P 1PT T T T PT 1P PTPT T P 1表1.5:反演群的乘法表例6(二维Euclid 群)二维空间的转动及平移变换g (θ,a ,b ) x 1x 2def =cos θsin θ−sin θcos θ x 1x 2 + ab (1.1.13)您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文·4·第1章群论基础e 不动,a 绕1轴转180◦,b 绕2轴转180◦,c 绕3轴转180◦,d 绕z 轴逆时针转120◦,f绕z 轴逆时针转240◦.x图1.1:例7(仿射群)群元素g (α,β)对实数的作用定义为x def=g (α,β)x ≡αx +β,(1.1.14)这是一个2参数的非Abel 群.例8(SL(2,C )){A 2×2|A jk ∈C ,det A =1}.在矩阵乘法下构成群.§1.1.5半群,环和域*定义4(半群)如果一个集合S 上定义了二元运算“·”,且二元运算满足封闭性和结合率,则称代数结构(S ,·)为半群.定义5(环)在集合R 上定义两个二元运算加法“+”和乘法“·”,并且满足•(R ,+)是Abel 群(其单位元记为0);•(R ,·)是半群;•满足分配率,∀a ,b ,c ∈R ,a (b +c )=ab +ac ,(b +c )a =ba +ca ,(1.1.15)则称代数结构(R ,+,·)为环.如果环的乘法满足交换率则称为交换环;如果环的乘法有单位元素则称为含幺环.例9(多项式环)自变量x 的实系数多项式在加法和乘法构成含幺交换环.定义6(体和域)如果含幺环的非零元素都有逆,则称为体.如果含幺交换环的非零元素都有逆,则称为域.例10(四元数体)实四元数a +b i +c j +d k 构成体.例11有理数域Q ,实数域R 和复数域C .§1.2群的分拆研究群的方法和高等数学中的方法不同.一个基本的方法是把群“切开”来研究.您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不文您可以阅读、打印，但不文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印但不可您可以阅读、打印，但不可您可以阅读、打印，但不可您可以阅读、打印，但不可您可以阅读、打印，但不可您可以阅读、打印，但不可您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文§1.2群的分拆·5·§1.2.1集合的分拆群是集合,所以我们回顾一下在集合论中怎样把集合分开.定义7(关系)集合A ×A 的一个子集又称为集合A 上的关系.设在集合A 上定义了关系R ,则a ,b ∈A 有R 关系⇐⇒(a ,b )∈R ⇐⇒a ∼b .(1.2.1)定义8(等价关系)集合A 上满足以下三个条件的关系称为等价关系:∀a ∈A ,a ∼a ;(自反)(1.2.2)a ∼b ⇒b ∼a ;(对称)(1.2.3)a ∼b ,b ∼c ⇒a ∼c .(传递)(1.2.4)例12在人际关系中,“认识”、“朋友”不是等价关系;“同学”、“同民族”是等价关系。
粒子物理中的群论与代数结构
粒子物理中的群论与代数结构粒子物理学是研究基本粒子及其相互作用的科学，其核心目标是揭示宇宙最基本的结构和规律。
在这个过程中，群论和代数结构发挥了至关重要的作用。
群论用于描述对称性，而对称性在物理现象中起着极其重要的作用。
本文将探讨群论与代数结构在粒子物理中的应用，梳理它们的基础概念，并结合实际案例进行详细分析。
一、群论基础1.1 群及其性质首先，定义一个群（Group）：群是一个集合 G 和一个二元运算*，使得以下条件成立：封闭性：对于任意a, b ∈ G，有a * b ∈ G。
结合性：对于任意a, b, c ∈ G，有 (a * b) * c = a * (b * c)。
单位元：存在一个元素e ∈ G，使得对于任意a ∈ G，有 e * a = a * e = a。
可逆性：对于每个a ∈ G，存在一个元素b ∈ G，使得 a * b = b * a = e。
这种代数结构为我们提供了处理对称性和其他物理现象的数学工具。
1.2 对称性在物理学中，对称性是指某些性质在变化下仍然保持不变。
常见的对称性包括平移、旋转、反射等。
这些对称性的存在使得物理定律更加简洁，并引导我们理解粒子相互作用的本质。
1.3 规范对称性规范对称性是粒子物理中的一个重要概念，特别是在描述基本相互作用时（如电磁力、弱力和强力）。
在这种框架下，自由度通过规范变换所导致的不变性关系被引入，并导致了新的粒子的产生，例如媒介子。
二、群论在粒子物理中的应用2.1 标准模型中的对称群标准模型（Standard Model）是粒子物理中的一套理论，它通过使用对称性描述了电磁力、弱力和强力。
标准模型利用李群（Lie group）表示这些基本相互作用的对称性，其主要包含以下部分：U(1) 对称性：描述电磁相互作用。
SU(2) 对称性：描述弱相互作用。
SU(3) 对称性：描述强相互作用。
这些对称群之间的关系及其对应的破缺将基本粒子的性质及其相互作用联系在一起。
Group1-1
A C1 C2 C5 , Ci C j
元素的共轭是群G上的一种等价关系，因而给出群的一 种划分，划分出的每一子集称为群的一个共轭类 1-16
共轭类的定义、几个结论
定义1.4（元素的共轭类） 设G是群，对于元素AG，将群中所有与A共轭的元素组成 的子集合称为元素A的一个共轭类（或称为群的一个类）， 记作：CA。
由前提条件知：
Al Ak ( Ai Aj )( Aj Ai ) Ai ( Aj Aj ) Ai Ai Ai E
Al Ak
1-7
对称群
2、对称群：由一个系统（物理系统、几何对象）的 所有对称变换（操作）构成的群
例如：三角形的对成群： {C3v , 操作积}
2 3 例6. 正方形的对成群： C4 {E ,C4 ,C4 ,C4 , mx , my ,u ,v }
x j G
f (x j ) j f (ax j ) j
1
n
n
x j G
1
(a G )
1-12
二、元素的阶
二、元素的阶 例10. 正方形对称群
定义1.2（元素的阶）
设G 是n 阶群，对任意AG ，必存在最小正整数m，使得， 2 3 C4 { E, C4 , C4 , C4 , mx , my , , } Am =E 群中各元素有下列幂等关系： 称m为元素A的阶。
1-14
例题
例11. 设G是群，若对 Ak G
2 有 Ak E
则群中每一元素仅与自身共轭。 证明： 由于每一元素自逆，群是阿贝尔群（见例5）。因此对
Am , An G 有：
Am An Am1 Am Am1 An An
E
群论(1)第一章
不变子群
不变子群：若子群H的所有左陪集都与对应的右 陪集相等，则称H为G的不变子群。
1.5 同构与同态
G1:
G2:
同构：若群G1和G2的所 有元素都按某种规则一一 对应，而元素的乘积也按 同一规则一一对应，则称 G1与G2同构，记为 G1≈G2。
R S RS
R’ S’
R’S’
1.两群同构，阶相同 2.两群同构，乘法表相同 3.同构的传递性，若G1≌G2， G2≌G3，则G1≌G3 判断同构时，只需找到一种对应规则即可。
下图为上图对 中间轴做镜像 变换得到。
左
右
具体的例子
变换群G：{E,D,F,A,B,C}
E：保持不变 D：绕O轴逆时针转动120度 F：绕O轴顺时针转动120度 A：绕a轴翻转180度 B：绕b轴翻转180度 C：绕c轴翻转180度
a轴
O c轴 b轴
O轴垂直纸面向上 abc三轴间夹角60度
群论（1）
主讲教师：郝 钢 单 位：中科院研究生院
教师简介
姓名：郝 钢
单位：中国科学院研究生院 联系方式 电 话：88256521 Email: haog@ 办公室：玉泉路园区教学楼429室，313室
课程简介（1）
课程名称：群论（1），Group Theory(1) 课程类型：学科基础课 主要内容：群论在物理中的应用 一，群的基本概念 二，群的表示理论 三，三维转动群 四，点群和空间群
《群论》提纲 第一章 引言：对称性与群
《群论》提纲第一章引言：对称性与群1.1操作，不变，对称1.2物理中的对称性1.2.1经典理论相对性原理伽利略的相对性原理；爱因斯坦的相对性原理；爱因斯坦的广义相对性原理；相互作用的规范理论对称性和守恒律Noether定理；守恒量（运动积分）与动力学方程的求解；一个例子，地球围着太阳转：角动量和Laplace-Runge-Lenz矢量守恒对称性与相互作用由对称性出发确定相互作用1.2.2量子理论Wigner定理；量子理论中新的对称性；对称性与谱结构；量子场理论中的对称性1.3对称性与群用群描述对称性；伽利略相对性原理与伽利略群；爱因斯坦相对性原理与洛伦兹群；Noether定理与群。
地球围着太阳转的问题中的群与守恒量：SO(3)群与角动量，SO(4)群与Laplace-Runge-Lenz矢量；洛伦兹群的表示与物质场方程；规范相互作用的规范群；群与原子、分子的谱；群与基本粒子的分类；晶体的对称群。
第二章群1对称性与群1.1对称操作一个分立几何对称性的例子：正三角形一个连续几何对称性的例子：圆1.2群的定义群的一个基于操作的定义2群，抽象群伽罗华和他的群2.1数学结构2.2群作为一种代数结构：抽象群三个群的例子：正三角形的旋转群，一个矩阵群，一个时钟数构成的群；它们都是群吗？它们同一个群吗？抽象化；抽象群的定义；更精确些的定义；Cayley的乘法表。
2.3群的例子{e}；{1,−1}；{e,σ}；整数、实数和复数的加法群：Z+,R+和C+；非零实数和复数的乘法群：R×和C×；矢量空间V中的所有线性变换构成的群GL(V)(GL(n,K))；置换构成的群：对称群和它的子群置换群；分式线性变换构成的群；运动群；转动群；伽利略群；洛伦兹群；晶体的点阵平移群。
2.4更多的代数结构交换群；半群（semi-group）；有单位元的半群；交换半群；圈（loop）；环（ring）；域（field）2.5群元，生成元有限群的生成元；连续群的生成元。
群的基本概念.
论
（Group Theory）
群（Group）的概念开始于19世纪初叶。群论 （Group Theory）的早期发展归功于著名的数学家高斯 （Gauss）、柯西（Cauchy）、阿贝尔（Abel）、哈密 顿（Hamilton）、伽罗瓦（Galois）等。但是直到1925 年出现了量子力学之后，才发现它在物理学中许多应用。 贝特（Bethe）和维格纳（Wigner）等人很快认识到群论 在物理学中的应用，把这一新的工具用于计算原子结构和 光谱。利用群论方法，可以直接对体系的许多性质作出定 性的了解，可以简化复杂的计算，也可以预言物理过程的 发展趋向。目前在物理学和物理化学的许多分支中，群论 已经成为不可缺少的工具。
群元 。 1, 封闭性, 2, 结合律, AB = C （AA=D）
A(BC) = (AB)C
3, 单位元（不变元素）E, EA = AE = A 4, 逆元A-1, A A-1 = A-1 A = E
二、 群的性质:
1、 E-1 = E , 单位元 E 的逆元仍为E,
证：（1）E-1 E= E E-1 = E （令：A=E， 由A-1 A = A A-1 =E ） 由（1）和（2） E = E-1 2、 (A-1)-1 = A, 逆元之逆元为元素本身 证： (A-1)-1 = (A-1)-1 E= (A-1)-1 （A-1 A )=[(A-1)-1 A-1 ]A=EA=A 3、 (AB)-1 = B-1 A-1 证明: ∵ (AB)-1 = (AB)-1E = (AB)-1AA-1 E = (AB)-1 AEA-1 = (AB)-1A （BB-1）A-1 = (AB)-1 (AB) B-1A-1 = EB-1A-1 = B-1A-1
• 小时候，伽罗瓦并末表现出特殊的数学才 能，相反，他12岁进入巴黎的一所公文中 学后，还经常被老师斥为笨蛋。 • 伽罗瓦当然不是笨蛋，他性格偏执，对学 校死板的教育方式很不适应，渐渐地，他 对很多课程都失去了兴趣，学习成绩一直 很一般。
群论基础
群论6.1群论基础1 群的定义设 G是一些元素的集合，G = {g 0, g1 , …, g i , …}. 在 G中定义了乘法运算，如果 G对这种运算满足下面四个条件：(1) 有唯一的单位元 e .e G , 对任意f G , 都有ef = fe = f(2) 封闭性.对任意 f , g G , 若 f g= h, 必有 h G .(3)结合律 . 对任意 f , g, h G , 都有(f g ) h = f (g h )(4) 逆元素.对任意 f G , 有唯一的 f G ，使f f = f f = e ,则称 G为一个群. e 称为群 G 的单位元，f 称为 f的逆元素。
有限群中群元素的数目称为群的阶。
2 群的乘法表二阶群G 2 E AE E AA A E-1-1 -1–1三阶群G 3 EA BE E ABAABEB B E A2 2(i) 若 AA = A = E ->BB = B = E; ->AB = B -> A = E （不合理）(ii) 若 AA = A= B, AB = AA = A = E; BA = E, BB = A.G 3 EAAE EAAAAAE2 2A A EA— 循环群G = { X, X , X , …, X= E}— Abel群 AB = BA.四阶群(i) 四阶循环群2 3 4X = A X = B X = C X = EG4(1)E A BCE E A BCA ABC EB B CE AC C E AB2 23 2 2223 n(ii)G4(2) E A B CE E A B CA A E C BB BC E AC C B A E3 子群在G (2)中，子集：{E, A}; {E, B}; {E, C} 构成较小的群——子群。
4定理：g阶群G的任意子群H, 它的阶h必为g的除数。
即，g =hn, n为整数。
如：G6的子群的阶是：6和1，2，3。
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E G E A A E AA G.
1.1.1 变换群
人们对平面的认识
欧几里德, 笛卡儿, 费马, … y
O
——欧氏空间
距离
x
——内积空间
内积
R ?2 {(x, y) | x, y R} =
=
——线性空间
线性运算
——集合
一个系统的所有对称变换的集合是一个群。
•定义：设由点变换构成的集合G，满足下列两个条件， 称G为变换群：
上式就是Hi和Hj只见的共轭关系，表明如果Hi属于G中的正规子 群H，则与Hi共轭的所有元素也属于H. 这个结论常被说成： 正规子群由较大群的完全类组成。其逆也成立。 定理：若H是群G的正规子群，则在G/H中定义运算为： XHYH＝(X*Y)H，则G/H在运算下为群，称<G/H，>为G对H 的商群。记为K=GH 证明 (1)对任意的aH、bH、cH∈G/H，有 (aHbH)cH＝(a*b)HcH＝((a*b)*c)H ＝(a*(b*c))H＝aH(b*c)H＝aH(bHcH) aHeH＝(a*e)H＝aH＝(e*a)H＝eHaH aHa－1H＝(a*a－1)H＝eH＝(a－1*a)H＝a－1HaH 所以满足结合律，且eH为关于运算的幺元，每个元素aH都有 逆元a－1H。故<G/H，>为群。 若g和h分别为G和H的阶，K的阶等于G中H的指数g/h.
2
C D
2
B
——
2
4
C C
2
D
51 5
B A C D B A
5
C D B A
5
y
O x
C D
fi() = Qi
恒等 f1
1 0 0 1
f2
0 1 1 0
f3
1 0 0 1
f4
0 1 1 0
f5
0 1 1 0
f6
0 1 1 0
f7
1 0 0 1
f8
1 0 0 1
1.4子群 集合H的所有元素都在群G中，且H本身也是在同样合成法 则下的一个群，则H叫做群G的一个子群。 每个群G都有两个平凡子群——单位元和G自身。若H≠G， 即G比H有更多的元素，则子群H叫做G的真子群。 1.4.1循环群 若G是有限群，则必然存在一个有限正整数n使得An=E. 满足上式的最小非零正整数叫做元素A的阶。 前面讨论过的群(A, A2, A3, …, An=E)有这样的性质，其中每 一元素都是某一特定元素的乘幂。这样的群叫做循环群。由单一 元素生成的群就是一个循环群。循环群是Abel群，但其逆未必。 1.4.2陪集(coset) 考察g阶群G的一个h阶子群H=(H1=E, H2,…, Hh)。设X为G中 任意元素，构造所有像XE, XH2等等的乘积并组成集合
–G中任意两个变换的乘积仍是G中的变换，即具有封闭性 –G中的每个变换都有逆变换，而且是G中的一个变换。
•平面上所有平移的集合 √ •平面上以一个定点为中心的所有旋转的集合 •平面上所有轴反射的集合
√
a1 a2
×
1.1.2正方形的对称性群
（1）平面上正方形ABCD的对称变换群
6 ， 4 ， 7 } 8 5 ， S(K) = { ， ， ， 1 2 3 ，
AG
f ( A) f ( AB).
AG
这里B是有限群G的一个元素，求和遍及所有群元素。 1.2.2有限群的生成元 考虑一些元素的最小集合，这些元素的幂和乘积可以生成群的 所有元素，此集合的元素成为群的生成元。
例：由元素A生成一个群，只要求An=E，n是满足此关系式的最 小正整数。
由于A是群中的一个元素，所有它的整数幂必定也在这个群中。 故可以生成群的新元素，A2，A3，…，直到An=E，更高次幂不能 给出新元素，因为An+k= Ak.所求得群，故所求得群阶为n. 例：由两元素A和B生成一个群，只要求A2=B3=(AB)2=E. 由于A2=E和B3=E，此群必包含元素E，A，B，B2. 它一定也包 含所有A，B和B2的乘积. 因此得到两个新元素AB和BA. A和B不 对易，否则由(AB)2=E将得到 E=ABAB=A2B2=B2. AB 和BA是不同的元素. 由此生成6个元素E, A, B, B2, AB, BA. 可以证明，这个集合是一个群，即它对乘法是封闭的。
（2）S(K)中的运算举例
2 1 2
B A B A A D
2
C D
1
C
2
D
2
B
——
2
C
2 5 7
B A C D D A
5
C D B A
2
C B
（3）S(K)中的幺元
B
1
A B A
1 ：
C
2
D C
2
D
（4）S(K)中的逆元
2
B A A
1
4
D B A
物理学中的群论及其应用
§1.1什么是群？
考察所有整数集合I={,-3,-2,-1,0,1,2,3 }，考察下列四个性质： (a)集合I的任意两个元素之和仍是一整数，从而属于此集合I. (b)此集合包含一个零元素0，具有这样的性质，对任意元素mI， m+0=0+m=m. (c)对于I的任意元素m，存在一个也属于I的唯一n，使得m+n=
H∪XH∪YH=(E, H2,…, Hh, X, XH2,…, XHh, Y, YH2,…, YHh). 如果这些还不是全部G，我们又可以从G的剩余部分再取一 个元素继续上面的步骤。每次都生成h个属于G的新元素。因此G 的阶必定是h的整数倍。整数gh叫做G中子群H的指数。 如果有限群G的一个元素A的阶为n，已知集合(A, A2,…, An=E) 是G的一个子群，故有限群的任意元素的阶必定是此群之积的整 数因子。 1.4.4正规子群和商群(quotient group) 若相对于G中所有元素X，子群H的左陪集和右陪集相同，则H叫 做G的正规子群或不变子群. H是正规子群的条件可写成：XG, XH=HX, 或 X-1HX=H. 这个条件也可改述为要求XH中的每一元素等于HX的某一元素， XHi=HjX. 从而 X-1HjX=Hj.
1.2 乘法表(Cayley表)
f1 f1 f2
f2
f3
f4
f5
f6
f7
f8
f1
f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8
f2
f3 f4 f1
f3
f4 f1 f2
f4
f1 f2 f3
f5
f8
f6
f7
f7
f5
f8
f6
f3
f4
f5
f6 f7 f8
f1 f1 f1 f1
1.2.1重排定理 从乘法表看出，群的每一个元素在每一列中出现一次，且只 出现一次。这就是所谓重排定理。 这个定理的一个重要推论：若f是群元素的任意函数，则
多对一的映射更常遇到。如果群G1的每一元素A对应于另一群G2 的唯一元素(A)使得(AB)=(A)(B) ，就说存在从G1到G2的同态.
定义: 同态映射 : G H
(AB) = (A)(B), A, BG
为满(单)射—— 满(单)同态
G
Ker e
H Im
1.7置换群 定义 设S＝{1，2，…，n}，从集合S到S的一个双射称为S的一个 n阶置换。一般将n阶置换记为
(c)存在逆元
(d)结合律
A G B G A B B A E.
A ( B C ) ( A B) C A，B，C G
群中元素的个数叫做群的阶。有限群包含有限个元素；包含无限多 元素的叫做无限群。
以后，符号“ ”将省去。A B将写作AB。用“合成”替代“乘法” 一般来说，ABBA，若群的所有元素都相互对易，则称此群为 Abel群(交换群)
(1) (2) (n) -1. 为 的反置换 , 记为 1 2 n (1) (2) ，并称 ( n ) 1 2 n 1 2 n 1 2 n
n+m=0；显然n=-m.
(d)若m，n和p是I的任意三个元素，m+(n+p)=(m+n)+p； 这表示加法满足结合律。
考察另一集合：所有n阶幺正矩阵的集合U(n)， n是一个稳定的有限 正整数。此集合有四个性质： (a)若U和V时任意两个n阶幺正矩阵，乘积UV仍是一个n阶幺正 矩阵，从而也属于集合U(n). (b)包含单位矩阵I，具有性质：UU(n)，UI=IU=U. (c)若U是U(n)的一元素，则存在唯一的V，它也在U(n)中， UV=VU=I. (d)若U，V和W是此集合的三个元素，U(VW)=(UV)W.
1.5群的直积 令H=(H1E, H2, H3,…, Hh)是h阶群， K=(K1E, K2, K3,…, Kk) 是k阶群，设(i)H和K除E外无其他公共元素，(ii)H中的每一元素 都与K中每一元素对易. 定义H和K两群之积为阶等于g=hk的群G， 其元素是H的每一元素和K的每一元素的积. 群的直积为 G=HK=(E, EK2, EK3, …, EKk, H2E, H2K2, …, H2Kk, …, HhKk). 显然，H和K都是G的正规子群. 1.6同构和同态 乘法表刻画了群的全部特征，也包含了关于群的解析结构的 全部知识。具有相似乘法表的所有群都有相同的结构—相互同构. 一一对应 定义 同构对应 保持运算
1.4.3 Lagrange定理 若h阶群H为g阶群G的一个子群，则|G|＝|H|· [G:H]。 证明 令H=(E, H2, H3,…, Hh, X, XH2,…, XHh)是G的一个子群. 相 对于一个属于G而不属于H的元素X组成的作陪集XH. 前面已证明， 所有的元素XHi(1≤i≤h)都属于G而不属于H，于是得到G的h个新 元素. 这样就生成G的下列2h个元素: H∪XH=(E, H2, H3,…, Hh, X, XH2,…, XHh). 如果这不是全部G，就在G的剩余部分中取一元素Y(Y属于G但不 属于H和XH)，同样组成左陪集YH. 同理，YH的所有元素必属于 G而不属于H，YH和H不相交. 如果YH中的某元素YHi与XH中的某元素XHi(1≤i, j≤h)相同，则 YHi=XHj, 或 Y=XHjHi-1XHk . 其中1≤k≤h, 这表明Y属于XH，但与假设矛盾。于是又得到G的 h个新元素，总计得到G的3h个元素: