2019版高考数学一轮复习 专题讲座一课件 文

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实际问题中的最值
在数学应用性问题中经常遇到有关用料最省、成本最低、 利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数的 最值．
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(2015·江苏徐州检测)现有一张长为 80 cm，宽为 60 cm 的长方形铁皮 ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁 皮盒，要求材料利用率为 100%，不考虑焊接处损失，如 图，若从长方形 ABCD 的一个角上剪下一块正方形铁皮， 作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面， 设长方体的底面边长为 x(cm)，高为 y(cm)，体积为 V(cm3)． (1)求出 x 与 y 的关系式； (2)求该铁皮盒体积 V 的最大值．
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[解] (1)由题意得 x2＋4xy＝4 800，
即 y＝4 8040x－x2，0＜x＜60.
(2)铁皮盒体积
V(x)＝x2y＝x2·4
800－x2 4x
＝－14x3＋1 200x，
V′(x)＝－34x2＋1 200.
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令 V′(x)＝0，得 x＝40， 因为 x∈(0，40)时，V′(x)＞0，V(x)是增函数； x∈(40，60)时，V′(x)＜0，V(x)是减函数， 所以 V(x)＝－14x3＋1 200x 在 x＝40 时取得极大值，也是最 大值，且最大值为 32 000 cm3. 所以该铁皮盒体积 V 的最大值是 32 000 cm3.
x (－∞，－3a) －3a (－3a，a) a (a，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
极小 值
↗
极大 值
↘
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专题讲座一 范围与最值问题
专题讲座一 范围与最值问题
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最值、范围问题是历年高考的热点问题，经久不衰．最值 与范围问题多在函数与导数、数列、立体几何、圆锥曲线 中考查．解题的关键是不等关系的建立，其途径很多，诸 如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数性质 法，数形结合法等等．下面介绍一下函数与导数中的最值 与范围问题．
又 f(t)的定义域为[2，＋∞)，故 y 的最小值是 a2－2.
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[规律方法] 第(1)题是将问题转化为分段函数的 最值问题后, 再利用数形结合的方法求解函数最值问题，其关键 是先画出 图形，从而借助图形直观地解决问题．第(2)题首先利用换元 法转化为二次函数，再利用二次函数的性质求最 值，求解中 要特别注意自变量的取值范围．
所以 f(x)＝
其图象如图所示．
|x－2|，x＜12，
由图形，易知当 x＝12时，函数有最小值，所以
f(x)min＝f12＝12＋1＝32.
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(2)y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2. 令 t＝ex＋e－x，则 f(t)＝t2－2at＋2a2－2. 因为 t≥2， 所以 f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2 的定义域为 [2，＋∞)． 因为抛物线 y＝f(t)的对称轴为 t＝a， 所以当 a≤2 且 a≠0 时，ymin＝f(2)＝2(a－1)2； 当 a＞2 时，ymin＝f(a)＝a2－2.
a∈R)． (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)当 a＝1 时，若对任意 x1，x2∈[－3，＋∞)，有 f(x1)－ f(x2)≤m 成立，求实数 m 的最小值．
精品Biblioteka 13[解] f′(x)＝－（x（－xa2＋）3（a2x）＋23a）. 令 f′(x)＝0，解得 x＝a 或 x＝－3a. (1)当 a>0 时，f′(x)，f(x)随着 x 的变化如下表：
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函数的最值
函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问 题最后总是转化为函数(特别是二次函数)的最值问题．求 函数最值的方法有：配方法、均值不等式法、单调性、导 数法、判别式法、有界性、图象法等．
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(1)对 a，b∈R，记 max{a，b}＝ab， ，aa≥ ＜bb， ，函数 f(x) 3
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[规律方法] 本题是求几何体体积的最值，求解思 路是构建目标函数，再利用导数研究函数的最值．
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参数范围的确定
函数的最值多与参数范围结合命题，求最值时，多利用分
类讨论思想，由最值问题求参数可转化为恒成立问题求解． (2015·陕西西安模拟)已知函数 f(x)＝x2x＋＋3aa2(a≠0，
＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是____2____；
(2)已知函数 y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，则函数
y 的最小值是__a_2－__2___．
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[解析] (1)由|x＋1|≥|x－2|，
得(x＋1)2≥(x－2)2，解得 x≥12.
|x＋1|，x≥21，