公式法与根的判别式
21.2.2 公式法第2课 根的判别式-九年级数学上册课件(人教版)
解得 m≥ 且 m≠1.
3
不解方程，判断关于 x 的方程 x 2 2 2kx k 2
解： Δ ＝( 2 2 k )2 − 4×1×k2 = 4k2.
∵ k2≥0，
∴ 4k2≥0，
即 Δ≥0.
∴ 原方程有两个实数根．
0 根的情况.
在等腰△ABC 中，三边长分别为 a，b，c，其中 a = 5，若关于 x 的方程
（2）方程化为 4x2 − 12x + 9 = 0，a = 4，b = −12，c = 9，
∴ Δ = b2 − 4ac = (−12)2 − 4×4×9 = 0.
∴ 方程有两个相等的实数根．
（3）方程化为 5y2 −7y + 5 = 0，a = 5，b = −7，c = 5，
∴ Δ = b2－4ac = (−7)2－4×5×5 = −51＜0.
课堂练习
1.已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( B )
A. 该方程有两个相等的实数根
B. 该方程有两个不相等的实数根
C. 该方程无实数根
D. 该方程根的情况不确定
2.若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范
围是（ D ）
A．m≥1
B．m≤1
C．m＞1
则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( B )
课堂小结
根的情况
判别式的情况
Δ= b2 − 4ac > 0
两个不相等的实数根
Δ= b2 − 4ac = 0
两个相等的实数根
Δ = b2 − 4ac< 0
没有实数根
两个实数根
Δ= b2 − 4ac≥0
注意：1.一元二次方程化为一般式
公式法与根的判别式
公式法与根的判别式公式法和根的判别式是解二次方程的两种方法。
解二次方程是高中数学中的一个重要内容，掌握好这两种方法可以帮助我们更好地理解和求解二次方程。
一、公式法公式法是通过二次方程的求根公式来求解的。
对于一般形式的二次方程ax²+bx+c=0，其求根公式为：x=[-b±√(b²-4ac)]/2a1.根的个数与判别式根的个数与判别式有关，判别式的值决定了二次方程的根的情况。
判别式（D）= b²-4ac当判别式D>0时，二次方程有两个不相等的实根；当判别式D=0时，二次方程有两个相等的实根；当判别式D<0时，二次方程没有实根，但有两个虚根。
2.求解步骤(1) 求出判别式D=b²-4ac的值；(2)根据判别式D的值来判断二次方程的根的情况；(3)如果二次方程有根，根据求根公式计算根的值。
根的判别式又称判别式法。
它通过判别式的符号来确定二次方程的根的情况。
对于一般形式的二次方程ax²+bx+c=0，根的判别式如下：判别式（D）= b²-4ac1.根的个数与判别式判别式的符号决定了二次方程的根的情况。
当D>0时，二次方程有两个不相等的实根；当D=0时，二次方程有两个相等的实根；当D<0时，二次方程没有实根。
2.求解步骤(1) 求出判别式D=b²-4ac的值；(2)根据判别式D的符号来判断二次方程的根的情况。
公式法通过使用求根公式来解二次方程，公式中的判别式决定了二次方程的根的情况。
在使用公式法时，我们需要先计算判别式的值，然后根据判别式的值来判断二次方程的根的情况，最后再根据求根公式计算出根的值。
根的判别式法则是通过判别式的符号来判定二次方程的根的情况。
判别式的值决定了二次方程的根的性质，因此根的判别式也可以用来计算判别式的值，进而判断二次方程的根的情况。
由此可见，根的判别式是公式法的基础，根的判别式提供了公式法所需要的判别二次方程根的信息。
第二十一章21.2.2公式法
栏目索引
易错点二 对形如ax2+bx+c=0的方程有实数根的问题理解错误 例2 (2018河南新乡辉县二模)关于x的方程ax2-2x-1=0有实数根,则a的 取值范围是 ( ) A.a≥-1 B.a>-1 C.a≥-1且a≠0 D.a>-1且a≠0 解析 当a≠0时,∵原方程有实数根, ∴Δ=4+4a≥0,∴a≥-1; 当a=0时,-2x-1=0有实数根.故选A.
根的判别 式的应用
(1)不解方程直接判断一元二次方程根的情况; (2)已知一元二次方程根的情况,用根的判别式求方程中未知字母的值或取值范围
21.2.2 公式法
栏目索引
例1 (2017上海中考)下列方程中,没有实数根的是 ( ) A.x2-2x=0 B.x2-2x-1=0 C.x2-2x+1=0 D.x2-2x+2=0 解析 A选项,Δ=(-2)2-4×1×0=4>0,∴有两个不相等的实数根; B选项,Δ=(-2)2-4×1×(-1)=8>0,∴有两个不相等的实数根; C选项,Δ=(-2)2-4×1×1=0,∴有两个相等的实数根; D选项,Δ=(-2)2-4×1×2=-4<0,∴D选项中的方程没有实数根,故选D. 答案 D 点拨 不解方程可通过计算Δ的值来判断根的情况.特殊的方程可不必 计算Δ的值,如:当a与c异号,或b≠0且c=0时,方程有两个不相等的实数 根.
答案 A 点拨 首先根据一次函数的定义确定字母的取值范围,然后由字母的取 值范围得出判别式的取值范围,最后得出根的情况.
21.2.2 公式法
栏目索引
题型三 根的判别式与三角形的综合应用
例3 已知a,b,c分别为△ABC中∠A,∠B,∠C的对边,若关于x的一元二次方
公式法及根的判别式
八 年级 数学 学科 总计 20 课时 第 5 课时 课题 求根公式与根的判别式 教学目标：1、熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程.2、通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想.3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度.4、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况.5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力. 教学重点：1、求根公式的推导和用公式法解一元二次方程.2、会用判别式判定一元二次方程根的情况. 教学难点：1、正确理解“当240b ac -<时，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实数根.2、运用判别式求出符合题意的字母的取值X 围. 一、学习新知，推导公式我们以前学过的一元一次方程0=+b ax 〔其中a 、b 是数，且a ≠0〕的根唯一存在，它的根可以用数a 、b 表示为ab x -=，那么对于一元二次方程02=++c bx ax 〔其中a 、b 、c 是数，且a ≠0〕，它的根情况怎样？能不能用数a 、b 、c 来表示呢？我们用配方法推导一元二次方程的求根公式.用配方法解一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax解： c bx ax -=+2移常数项a cx a b x -=+2 方程两边同除以二次项系数〔由于a ≠0，因此不需要分类讨论〕 222)2()2(aba c ab x a b x +-=++ 两边配上一次项系数一半的平方22244)2(aac b a b x -=+ 转化为n m x =+2)(的形式 注：在我们以前学过的一元二次方程中，会碰到有的方程没有实数解。
因此对上面这个方程要进展讨论 因为2040a a ≠>所以〔1〕当240b ac -≥时，22404b aca-≥。
利用开平方法，得2b x a += 那么2b x a =-所以x =，〔2〕当240b ac -<时，22404b aca -<。
21.2.2公式法一元二次方程根的判别式(教案)
（3）Δ<0，方程没有实数根。
本节课将结合教材内容，引导学生理解并掌握一元二次方程根的判别式的计算与应用，为解决实际问题奠定基础。
二、核心素养目标
《21.2.2公式法一元二次方程根的判别式》：本节课核心素养目标如下：
1.培养学生逻辑推理能力：通过判别式的推导与应用，使学生理解一元二次方程根的性质，提高逻辑推理能力；
c.应用判别式解决实际问题，培养学生的实际应用能力。
2.教学难点
本节课的难点内容பைடு நூலகம்下：
a.判别式的推导过程：学生需要理解判别式的来源，掌握推导过程；
-突破方法：采用图示、动画等辅助教学手段，让学生直观地理解判别式的推导过程。
b.判别式的计算方法：学生在计算过程中容易出错，特别是符号、平方等运算；
-突破方法：通过典型例题，强调计算过程中的注意事项，培养学生细心、严谨的运算习惯。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一元二次方程的一般形式和判别式的计算方法这两个重点。对于难点部分，如判别式的推导和与方程根的关系，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程根的判别式相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过计算不同判别式值对应的方程根，演示判别式的基本原理。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程根的判别式的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对判别式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
第五讲 公式法解一元二次方程和根的判别1
第五讲公式法解一元二次方程和根的判别式一、求根公式法：1.一般地，对于一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)，当时，它有两个实数根为这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。
2.利用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）先把方程化为一般形式，即a+bx+c=0(a≠0)的形式；（2）正确地确定方程各项的系数a,b,c的值（注意正负号）；（3）当-4ac<0时，方程没有实数根，就不需要解了（负数开方没有意义）；（4）当-4ac≥0时，将a,b,c的值代入求根公式，求出方程的两个根。
二、一元二次方程的几种解法的联系及其特点：1.直接开平方法：适用于解形如=m(p≠0,m≥0)的方程，是配方法的基础。
2.配方法：是解一元二次方程通用的方法，是公式法法基础，没有配方法就没有公式法。
3.公式法：是解一元二次方程通用的方法，是解一元二次方程重要的方法。
4.因式分解法：是解一元二次方程比较简单的方法，但只适用于左边易因式分解而右边为0的一元二次方程。
（各种方法各有各的特点，具体选择解法根据方程特征）三、一元二次方程根的判别式：1.-4ac叫做一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用符合“△”来表示，即△=2.一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)的根的情况与△的关系：△>0 <＝>△=0 <＝>△<0 <＝>△≥0 <＝>例1.用公式法解方程：变式1：用公式法解方程：3+5x-2=0变式2：解关于x的方程：-m(3x-2m+n)-=0例2.选择适当的方法解下列方程：（1）7(=28 (2)-2y-399=0(3)2+1=2x (4)+3(2x+1)+2=0变式1：解方程：-y=-例3.不解方程，判断下列方程根的情况:(1)2+3x-4=0 (2)3+2=2x (3)+1= (4)a+bx=0(a≠0) （5）a+c=0(a≠0)变式1：关于X的方程+m（x+1）+x=0一定有实数根吗？为什么？例4．已知关于X的方程k-4kx+k-5=0有两个相等的实数根，求K的值并解这个方程。
根的判别式
∴k＞-1 又∵k≠0 ∴ k＞-1且k≠0
要点、考点聚焦
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程无实数根. 2.根据根的情况，也可以逆推出Δ的情况，这方面 的知识主要用来求取值范围等问题.
一元二次方程根的 判别式
• • • • • • • •
用公式法解下列方程： ⑴ x2＋x－1 = 0 ⑵ x2－2x＋1 = 0 ⑶ 2x2－2x＋1 = 0 由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的 根的情况可由 b2－4ac 来判定： 当 b2－4ac＞0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 b2－4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 b2－4ac ＜ 0 时，方程没有实数根。 我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0） 的根的判别式。用符号“ ”表示，即
要点、考点聚焦
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程无实数根. 2.根据根的情况，也可以逆推出Δ的情况，这方面 的知识主要用来求取值范围等问题.
1.求判别式时，应该先将方程化为一般形式. 2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为 “方程是一元二次方程”，即二次项系数不为0.
）
问题一：不解方程，判断下列方程是否有解？
2 （1） 2 x 5x 7 0 ；
2 （2） 3 x x 0 ；
2 （3） x 4kx 2k 3 。
提示：步骤：第一步：写出判别式△；第二步根据△的正负写 结论。
公式法解一元二次方程(根的判别式).
2
ax bx c 0(a 0)中
2
例3.K为何值时，关于X的 方程X2-4X+K+1=0 有两个实数根？
解：△=（-4）2-4（k+1) =16-4k-4 = 12-4k ∵原方程有两个实数根 ∴△≥0 即：12-4k≥0 ∴k≤3时，原方程有两个实数根。
课时训练
4.关于 x 的方程 k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则 k的范围 k≤1/4 是__________. 5. 若关于 x 的一元二次方程 mx2-2x+1=0 有实数根，则 m 的取值范围是 (D ) A.m＜1 B. m＜1且m≠0 C.m≤1 D. m≤1且m≠0 6.已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有实数根，则k 的取值范围是 (A ) A.k≤1 B.k≥1 C.k<1 D.k>1
2 2
m 2且m 1
试一试：
1.已知关于X的一元二次方程
2
kx (2k 1) x k 0
当K取什么值时,方程有两个不相等的实数根? 2.已知关于X的方程 kx2 (2k 1) x k 0 当K取什么值时,方程有实数根?
课时x+4=0的根的情况 是 ( D ) A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 2.方程x2-3x+1=0的根的情况是( A ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D.只有一个实数根 3.下列一元二次方程中，有实数根的是 ( C ) A.x2-x+1=0 C.x2+x-1=0 B.x2-2x+3=0 D.x2+4=0
22.3 公式法——一元二次方程根的判别式 公开课精品课件
c a
＋
b 2a
2
,
即
x
b 2a
2
＝b2
4ac
a2
.
知1－讲
因为a≠0，所以4a2＞0. 式子b2－4ac的值有以下 三种情况:
(1) b2 4ac 0 (2) b2 4ac 0 (3) b2 4ac 0
归纳
知1－讲
一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ” 表示它，即Δ＝b2－4ac.
(1) 1 x2 x 1; (2) x2 2x 1
4
3
导引：根的判别式是在一般形式下确定的，因此应
先将方程化成一般形式，然后算出判别式的
值．
解：(1)原方程化为:
1 x2 x 1 0, 12 41 1 0,
4
4
∴方程有两个相等的实数根
(2)原方程化为:
知3－讲
解：∵方程kx2－12x＋9＝0是关于x的一元二次方程， ∴k≠0.方程根的判别式 Δ＝(－12)2－4k×9＝144－36k. 由144－36k>0，求得k<4，又 k≠0， ∴当k<4且k≠0时，方程有两个不相等的实数根．
归纳
知2－讲
方程有两个不相等的实数根，说明两点： 一是该方程是一元二次方程，即二次项系
这就是我们这节课要学习的内容.
知识点 1 一元二次方程根的判别式
知1－讲
我们可以用配方法解一元二次方程 a x2＋b x＋c＝0 (a≠0)．
移项，得 ax2 bx c.
二次项系数化为1，得
x2 b x c . aa
浙教版数学八年级下册《公式法及根的判别式》教案1
浙教版数学八年级下册《公式法及根的判别式》教案1一. 教材分析《公式法及根的判别式》是浙教版数学八年级下册的教学内容，本节课主要介绍了求一元二次方程的解的方法——公式法，以及判断一元二次方程根的情况的判别式。
这部分内容是整个初中数学中非常重要的一部分，是学生解决一元二次方程问题的重要工具。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习过一元二次方程的定义、性质等基础知识，对解一元二次方程有一定的了解。
但公式法求解一元二次方程是一种新的方法，学生需要理解和掌握。
同时，根的判别式是判断一元二次方程根的情况的重要工具，学生需要理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：理解公式法的原理，掌握公式法求解一元二次方程的步骤；理解根的判别式的意义，掌握根的判别式的计算方法。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生的探究能力和合作能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自信心和克服困难的勇气。
四. 教学重难点1.重点：公式法求解一元二次方程的步骤；根的判别式的计算方法。
2.难点：理解公式法的原理；根的判别式的意义。
五. 教学方法采用自主学习、合作交流的教学方法。
教师引导学生通过自主学习，理解公式法的原理和步骤；通过合作交流，共同探讨根的判别式的意义和计算方法。
六. 教学准备1.教师准备：教材、课件、黑板、粉笔。
2.学生准备：笔记本、笔。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过一个实际问题引出一元二次方程，并提出解决问题的方法——公式法。
呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，展示公式法求解一元二次方程的步骤和根的判别式的定义。
操练（15分钟）教师引导学生分组进行练习，运用公式法求解一元二次方程，并判断根的情况。
巩固（10分钟）教师通过一些典型的问题，帮助学生巩固公式法求解一元二次方程的步骤和根的判别式的计算方法。
拓展（10分钟）教师引导学生思考：还有没有其他方法可以判断一元二次方程的根的情况？激发学生的探究欲望。
浙教版数学八年级下册《公式法及根的判别式》说课稿2
浙教版数学八年级下册《公式法及根的判别式》说课稿2一. 教材分析浙教版数学八年级下册《公式法及根的判别式》是初中数学的重要内容，主要介绍了求一元二次方程的解的方法——公式法，以及判断一元二次方程根的情况的判别式。
本节课的内容是学生进一步深入学习一元二次方程的解法，理解并掌握公式法的运用，以及了解根的判别式的意义和应用。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了一元二次方程的基本概念，初步了解了一元二次方程的解法，具备了一定的数学思维能力。
但学生在运用公式法解方程时，可能对公式的记忆和使用还不够熟练，对根的判别式的理解和运用也还不够深入。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握公式法解一元二次方程的基本步骤，能够熟练运用公式法解方程；使学生理解根的判别式的意义，能够运用根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，使学生体验到数学在生活中的应用，增强学生对数学学科的信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：公式法解一元二次方程的基本步骤，根的判别式的意义及其应用。
2.教学难点：公式法解方程时的灵活运用，根的判别式的理解和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等，引导学生自主探究，合作交流。
2.教学手段：利用多媒体课件辅助教学，通过动画演示、例题解析等方式，帮助学生直观理解公式法和根的判别式。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习一元二次方程的基本概念，引导学生回顾已学过的解法，为新课的学习做好铺垫。
2.自主学习：让学生自主探究公式法解一元二次方程的基本步骤，引导学生发现并总结解题规律。
3.案例分析：通过多媒体课件展示典型例题，引导学生运用公式法解方程，并解释根的判别式的意义。
4.合作交流：学生进行小组讨论，让学生分享自己的解题心得，互相学习，共同进步。
2.3用公式法求解一元二次方程-一元二次方程的根的判别式(教案)
在今天的教学中，我发现学生们对一元二次方程的根的判别式的理解程度各有不同。有的学生能够迅速掌握判别式的计算和应用，而有的学生在理解判别式与方程根的关系上存在一些困难。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加关注学生的个别差异，采取更为灵活多样的教学方法。
在讲授新课的过程中，我尽量用简单的语言解释判别式的概念，并通过具体的案例进行分析，让学生能够直观地感受到判别式在实际问题中的应用。然而，我也注意到，对于一些学生来说，理论知识的掌握仍然需要更多的实际操作和练习。因此，在实践活动中，我安排了分组讨论和实验操作，让学生亲自动手解决问题，以提高他们的实际操作能力。
针对实际问题的应用，教师应设计不同难度层次的例题和练习，如求解几何图形的面积、物体的运动轨迹等，引导学生将判别式应用于实际问题中，培养学生将数学知识应用于解决实际问题的能力。
注意：由于字数限制，上述内容并未达到2000字，但已尽量详细列出教学难点与重点的每个细节。在实际教案撰写中，可以根据需要进一步拓展和深化每个部分的讲解和举例。
2.提高学生的逻辑推理能力，通过推导一元二次方程求根公式，理解判别式的意义及其在求解过程中的作用。
3.培养学生的数学运算能力，使其能够运用判别式快速判断一元二次方程的根的性质，并进行有效求解。
4.增强学生的数据分析观念，通过分析判别式的值对不同根的情况进行分类讨论，培养学生对数学问题深入探究的精神。
2.教学难点
-理解判别式Δ与方程根之间的数量关系。
-掌握在不同Δ值情况下，方程根的性质和求解方法。
-解决实际问题时，能够正确应用判别式进行分析。
举例：难点在于帮助学生理解判别式Δ与方程根的对应关系。教师需要通过图示、表格或动画等教学辅助手段，直观展示Δ值的增减如何影响方程根的数量和性质。例如，当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ < 0时，方程没有实数根。通过对比不同Δ值下的解题过程，让学生深刻理解判别式在解题中的作用。
八年级数学下一元二次方程根的判别式
A．7x2-x-1=0 B．x2+7x+15=0 C．x2+2x-3=0 D．x2-2x+1=0
3、若关于x方程x2-2x+m=0有两个 不相等的实数根，则m的取值范围 是.
4、当k 时，关于x的方程 x2-2(k+1)x+k2-2=0 无实数根.
（5） x2 2 2kx k 2 0
（6） m 2 x 2 mx 1 0
例2、分别求m的取何范围，使关于 x的方程x2-2x+m=0, ①有两个不相等的实数根？ ②有两个相等的实数根？ ③没有实数根？
变化：
改为“方程有实数根，求m的取值范围”
例3：
已知关于x的一元二次方程方程 (k+1)x2-2x-1=0,有两个不相等的实 数根,求k的取值范围.
温故而知新
一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0 , b2 4ac 0)
的求根公式是
b b2 4ac x
2a
复 习：
用公式法求下列方程的根:
用公式法 解一元二 次方程的 一般步骤:
(1) x2+x=1 (2) x2+1= x (3) x2 2x 1
2
1)把方程化为一般形式
2)确定 a, b, c 的值
△=b2–4ac＞0 方程有两个不相等的实数根
△=b2–4ac=0 方程有两个相等的实数根
△=b2–4ac＜0
说明： △=b2-4ac≥0
方程没有实数根 方程有实数根
例1、不解方程,判别下列方程的根的情况
(1) 2x2-3x-4=0 (2) 4y2+9=12y (3) 5(m2+1)=7m（4） 2 x2 4 3 x源自 2 25、若关于x的方程
公式法(1)根的判别式
反之，
当 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 0 时，方程没有实数根.
当方程有两个相等的实数根时， 0 ； 当方程没有实数根时， 0 .
让我们一起学习例题
例1 不解方程，判别方程 的根的情况.
4 y 1 4 y
2
一般步骤： 1、化为一般式，确定 、 、 的值.
ab c
2 2
2 2
2
4k 0，即 0, ∵ k 0,
方程有两个实数根.
2+1+1
为又好又快且独立完成的 同学点赞！
不解方程，判别关于 的方程 x
的根的情况 . 0 a x ax 1 0 a
2 2
【流程】独立完成→展示→评价 【展示规则】最先完成的优先展示。
【合作学习】(2+1+1)
练习 不解方程，判别下列方程的根的情况：
1 2 (1) x 3 x 8； 4
(2)5 t 1 7t 0.
2
例2：不解方程，判别关于 x的方程
2 的根的情况 x 2 2kx k 0. 2
解： 2 2k 4 1 k
2
2
8k 4k 4k
作业
• 习题21.2第4题
2
b 4ac 0;
b 4ac 0.
我们把b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0
”来表示, 的根的判别式，用符号“
2 ax 即一元二次方程 bx c 0 a 0 ，
当 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当方程有两个不相等的实数根时， 0 ；
【学习流程】 独立完成—核对答案—反馈更正
《公式法—— 一元二次方程根的判别式》PPT课件
整合方法
14．【中考·衡阳】关于x的一元二次方程x2－3x＋k ＝0有实数根． (1)求k的取值范围；
解：根据题意得(－3)2－4k≥0，
解得
9 k≤4.
整合方法
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m －1)x2＋x＋m－3＝0与方程x2－3x＋k＝0有一个相 同的根，求此时m的值．
1. 你真让人感动，老师喜欢你的敢想、敢说、敢问和敢辩，希望你继续保持下去。 2. 这么难的题你能回答得很完整，真是了不起！你是我们班的小爱因斯坦。 3. 你预习的可真全面，自主学习的能力很强，课下把你的学习方法介绍给同学们，好不好？ 4. 哎呀. 通过你的发言，老师觉得你不仅认真听，而且积极动脑思考了，加油哇！ 四、提醒类
【答案】A
夯实基础
※12.【中考·新疆】若关于 x 的一元二次方程(k－1)x2＋x
＋1＝0 有两个实数根，则 k 的取值范围是( D )
A．k≤54 C．k<54且 k≠1
B．k>54 D．k≤54且 k≠1
【点拨】本题忽视一元二次方程二次项系数不为 0
这一条件，而直接由根的判别式求得
5 k≤4.
夯实基础
6．【中考·湘西州】一元二次方程x2＋2x＋3＝0根 的情况是( C ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断
根的判别式
90 2x40 2x 72% 90 40.
即
解：设金边的宽为 x cm，根据题意 得
x2+65x-350 ＝0.
解这个方程,得 x1 ＝5; x2 ＝-70(不合题意,舍去).
答:金链的宽应是5cm.
练习1、一群猴子分成两队,一队猴子数是猴子总数 1 的 8 的平方,另一队猴子数是12,那么猴子总数是 多少?你能解决这个问题吗? 解:设猴子总数是x只。
解设：增加了X行
(X+8)(X+12)=12×8+69
化简得
X² +20X=69
X1=3
,X =-23（舍）
2
答:增加了3行。
、解含有字母系数的一元二次方程
1、解关于X的方程mx 2 3x 1 0 1 解：当m 0，x 3 当m 0， 9 4m， 9 当9 4m 0，即m 时， 4
当x2 10 10时, 长40 2 x 20 2 10 25不合题意, 舍去. 答 : 鸡场的面积能达到180m 2 , 这时鸡场的宽为 10 10 m.
解这个方程, 得 x1 10 10 ; x2 10 10.
x
. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙( 墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m. 解:(1)设养鸡场的平行与墙的长为xm,根据题意得
E B
K
F H C
G D
2、课本55页问题解决2：
（课本55页1）如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上， 修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草， 要使剩余部分的面积为850m2,道路的宽应为多少？
解：设道路的宽为x米
判别式与求根公式.学生版
定 义示例剖析公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式； ②确定a b c ，，的值；③代入24b ac -中计算其值，判断方程是否有实数根；④若240b ac -≥，代入求根公式求值；否则，原方程无实数根．（先计算24b ac -减少计算量．另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用）解方程：2310x x -+= 解：131a b c ==-=，， ()224341150b ac -=--⨯⨯=>()2354352212b b ac x a --±-±-±===⨯∴12353522x x +-==，知识导航模块一 公式法解一元二次方程知识互联网一元二次方程的 判别式与求根公式【例1】 用公式法解方程：⑴ 2220x x --=； ⑵ 2361x x -=；⑶ 2312x x -=-； ⑷ ()()1122x x x +-=；⑸ 26140x x ++=； ⑹ 2323+2=0x x -⑺ 22+2+1=0x bx b -【例2】 我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请选择你认为适当的方法解这个方程．①x 2－3x +1=0； ②(x －1)2=3；③x 2－3x =0； ④x 2－2x =4．模块二 一元二次方程根的判别式能力提升夯实基础定 义示例剖析设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-，则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b acx a-±-=．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．解方程：2330x x -+= 解：()224341330b ac ∆=-=--⨯⨯=-<， 所以原方程无实数根．【例3】 不解方程，直接判断下列方程的解的情况：⑴ 2710x x --= ⑵ ()29431x x =-⑶ 27150x x ++= ⑷ 22320x x --+=⑸ 22330x x -+= ⑹ ()2102mx m x -++=（m 为常数）夯实基础知识导航【例4】 ⑴已知关于x 的一元二次方程()()2212110k x k x -+++=有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ；⑵若关于x 的方程()21104k x x -+-=有实根，则k 的取值范围为__________.【例5】 ⑴ 已知a b c 、、为ABC △的三边，请判断关于x 的方程()()220a b x cx a b ++++=根的情况．⑵ 已知a b c 、、是ABC △的三边，且方程()()()220x b c x a b c a +-+--=有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．【例6】 已知关于x 的方程()21220x k x k -++-=⑴ 求证：无论k 为何值，方程总有实根；⑵ 若等腰ABC △一边3a =，另两边b c 、恰好是此方程的两根，求ABC △的周长．【例7】 已知：关于x 的方程()22330kx k x k +-+-=⑴求证：方程总有实数根；⑵当k 取哪些整数时，关于x 的方程()22330kx k x k +-+-=的两个实数根均为负整数？真题赏析能力提升知识模块一 公式法解一元二次方程 课后演练【演练1】 用公式法解方程：⑴ 25720x x -+= ⑵ 22330x x +-=【演练2】 选择适当的方法解方程：⑴ ()20x x x +-=； ⑵ 2132x x -=； ⑶ ()()121x x x -=-；知识模块二 一元二次方程根的判别式 课后演练【演练3】 ⑴ 若关于x 的方程220x x m --=有两个相等的实数根，则m=__________；⑵ 若关于x 的方程()211x k +=-无实根，则k 的取值为__________；【演练4】 如果关于x 的一元二次方程()()22121a x bx c x ++=-有两个相等的实根，那么以正数a b c ，，为边长的三角形是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 任意三角形【演练5】 已知关于x 的一元二次方程()213104a x ax --+=有两个相等的实数根，求代数式 2121a a a-++的值．实战演练。
浙教版数学八年级下册《公式法及根的判别式》教学设计1
浙教版数学八年级下册《公式法及根的判别式》教学设计1一. 教材分析《公式法及根的判别式》是浙教版数学八年级下册的教学内容。
本节课的主要内容是让学生掌握一元二次方程的公式法求解和根的判别式的应用。
教材通过引入一元二次方程的求解，让学生理解公式法的原理，并运用根的判别式来判断方程的根的情况。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了二次函数的图像和性质，对一元二次方程有一定的了解。
但是，对于公式法的应用和根的判别式的理解还需要进一步的引导和讲解。
因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，逐步引导学生理解和掌握公式法和根的判别式的应用。
三. 教学目标1.理解公式法的原理，掌握一元二次方程的公式法求解。
2.理解根的判别式的含义，能够运用根的判别式判断方程的根的情况。
3.能够运用公式法和根的判别式解决实际问题。
四. 教学重难点1.公式法的原理和应用。
2.根的判别式的理解和应用。
五. 教学方法1.讲授法：通过讲解公式法的原理和根的判别式的含义，让学生理解和掌握相关知识。
2.案例分析法：通过分析具体的例子，让学生更好地理解和运用公式法和根的判别式。
3.练习法：通过布置相应的练习题，让学生巩固所学的知识。
六. 教学准备1.PPT课件：制作相关的PPT课件，辅助讲解和展示教学内容。
2.练习题：准备一些相关的练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾一元二次方程的解法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）讲解公式法的原理，引导学生理解一元二次方程的公式法求解过程。
同时，介绍根的判别式的含义和应用。
3.操练（10分钟）让学生通过PPT上的例题，运用公式法和根的判别式进行求解。
教师引导学生注意观察和理解公式法求解的步骤和根的判别式的运用。
4.巩固（10分钟）让学生完成一些相关的练习题，巩固所学的知识。
教师及时给予解答和指导，帮助学生更好地理解和掌握公式法和根的判别式。
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八年级数学学科总计20 课时第5课时课题________教学目标：1熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程2、通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度4、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力教学重点：1求根公式的推导和用公式法解一元二次方程2、会用判别式判定一元二次方程根的情况.教学难点：1正确理解“当b2 -4ac :: 0时，方程ax2 bx弋=0@厂0）无实数根.2、运用判别式求出符合题意的字母的取值范围一、学习新知，推导公式我们以前学过的一元一次方程ax • b = 0 （其中a、b是已知数，且a* 0）的根唯一存一 b 2在，它的根可以用已知数a、b表示为x ,那么对于一元二次方程ax bx 0 （其a中a、b、c是已知数，且a丰0）,它的根情况怎样？能不能用已知数a、b、c来表示呢？我们用配方法推导一元二次方程的求根公式.用配方法解一元二次方程ax2bx ■ c = 0（a严0）解：ax2• bx - -c 移常数项x2二-- 方程两边同除以二次项系数（由于a*0,因此不需要分类讨论）a a2 b b 2 c b 2x x （）（）两边配上一次项系数一半的平方a 2a a 2a2（x •——）2=- 4一转化为（x • m）2二n的形式2a 4a注：在我们以前学过的一元二次方程中，会碰到有的方程没有实数解。
因此对上面这个方程要进行讨论因为a = 0所以4a202a1、如果b 2 -4ac =0，那么方程有两个相等的实数根，即X i2a2、运用求根公式解一元二次方程时先要把方程化成一般式，如果 b 2 -4ac 一 0，那么可代入公式求出方程的根， 如果b 2 -4ac ::: 0，那么方程无实数根, 这种解一元而次方程的方法叫做公式法. 二、根的判别式:…b 二：b 2 - 4ac利用求根公式“一，可以解任何一个一元二次方程2ax bx c = 0(a = 0). 2-b + Jb 2 -4ac(1 )当b -4ac 0时，方程的根是治 ，X2=-b - b 2 -4ac2a2b(2)当b -4ac =0时，方程的根是 旨=x 2 ：b算：：：0。
在实数范围内，x 取任何值都不能使方程 4a 2 (x • —)2 =- 讐 左右两边的值相等，所以原方程没有实数根。
2a 4a儿二次方程ax 2 5x7=03 = 0)，当b 2-4ac 亠0时，它有两个实数根:x 「b '( a=0,b 2-4ac_0)2a这就是一元二次方程ax 2 • bx • c = 0(a = 0)的求根公式.问题：1、在求根公式中，如果 b 2 —4ac = 0时，根的情况如何?2、如何用求根公式求一元二次方程的根?解答:(1 )当 b ?「4ac _ 0 时,b 2「4ac2 0。
4a利用开平方法，得—2ab 2 -4ac则x —卫一2ab 2「4ac 4a 2所以x=—一b 一应2a(2)当 b 2-4ac ::: 0 时,2a(3)当『_4ac ：：：0时，方程没有实数根提问：究竟是什么决定了一元二次方程根的情况？ 1、 定义：我们把 圧—4ac 叫做一元二次方程 ax 2 bx 0(a = 0)的根的判别式，通常用符号“△”表示，记作△ =b 2 -4ac .22、 一兀二次方程 ax bx c =0(a ^0)，当厶=b 2-4ac 0时，方程有两个不相等的实数根；2当厶=b -4ac =0时，方程有两个相等的实数根； 当厶=b 2 -4ac ::: 0时，方程没有实数根. 例题精讲：例1：用公式法解下列方程： (1) 5x 2 6x 1 =0(2) 、2(x 2 -1) = x(x-2) 1注：用公式法解一元二次方程时，应根据方程的一般式确定 a 、b 、c 的值，并且注意a 、b 、c 的符号。
例2、不解方程，判别下列方程的根的情况： (1) 4X 2—5X —3=0 ；(2) 2x 2 4x 3=0 ； (3) 2x 2 3=2,6x .2例3、关于x 的方程x (m -1)x - m =0 (其中m 是实数)一定有实数根吗 ？为什么?元二次方程两根之间的关系： (韦达定理)-b + Jb 2 -4acX 1 , X 2 二2a-b + Jb 2 _4ac 丄 _b - Jb 2 -4acb x 1 x 2 ：2a2aa-b + J b 2 _4ac -b - J b 2 -4ac cx 1 x 2 :2a2aa例4：已知x 1,x 2是一元二次方程 2x 2 - 3x-7 =0的两个根，求x 12 • X 22的值。
四、与根的判别式相关的证明题:-b - b 2 - 4ac2a元二次方程有实数解例5：已知a、b、c是厶ABC的三边长，求证：关于x的方程b2x2 (b2• c2 -a2)x • c2=0 没有实数根。
巩固练习一、填空题：1、运用公式法解一元二次方程时，先把方程化为一般式_________________________ ,接着确定______________的值，然后求出_________________ ，最后代入____________________________ 。
2 22、方程5x 2 =3x 中，b -4ac 二________________ 。
3、若代数式4x2 -2x -5与2x2 1的值互为相反数，则x的值为____________________ 。
4、当x= __________ 时，'•. x2—3x与x 15既是最简根式又是同类二次根式。
5、一元二次方程3x2 -2 6x • 2 = 0的根的判别式的值等于_______________ 。
26、不解方程，判定方程2x -5x二-7是实根的个数为________________ 。
2 27、方程(m -2)x (m 2)x -^0，当m= _____________________ 时，是关于x的一元二次方程，它的根的判别式."■：= _________ 。
28、已知方程mx -mx *2=0有两个相等的实数根，则m的值为 __________________ 。
二、求下列方程中b2 - 4ac的值：1、x2 -6x =53、2x? = 3x - 21 2 1 门5、一x x = 04 227、x q = _ px三、不解方程，判断下列方程根的情况:21、2x -5x 2 =03、x2 -2、2x 3=01 15、x2 x 02 27、x2 5 =0四、用公式法解下列方程：1、X2-2、2X-2=0 2、x2 -8x 16 = 04、、、2x2 = x . 22 “6、x - x 二1& x2 -（ .2 、3）x 、.6 =02 12、3x - x 024、4x2-12x 9 = 06、3x2 - 3x、一3 = 0-2 2 …8、x - x 1 = 042、x2 2x=225、 4x 2 = 4 . 2x 16、 9x 2 — 6、.6x 1 = 0 27、-3x -5x 1 = 08、1 2x 一 5x 1 = 0 229、0.09y -0.21y 0.1 =0 10、 (x 1)(x —1) =2、,2X 11、2x 2 -4x =4、, 212、 4y 2—(、、2 8)y 、,2=0五、解答题：21判断关于x 的方程x • px - q = 0的根的情况。
22、关于x 的方程x -(m 2)x 2m =0 —定有实根吗？为什么 ？23、如果关于x 的一元二次方程kx -8xT6=0有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围。
能力提高2、x 2 - 2 . 2mx 2m 2 = 02 +〔2++34、 x -mx m m 02 22、x 2 px -1 = 0294、(k -1)x 2 -2(k -3)x k = 0(k ,k = -1)1、关于x 的方程mx 2 • (m • 3)x • 3 =0 —定有实数根吗？为什么?2 22、若t 是非负整数，且一元二次方程 (1 -t )x - 2(1 -t)x -1 = 0有两个实数根，求t 的值及对应方程的根。
思维拓展1 求证：关于x 的方程(x-a)(x-a-b) =1的两根中一个大于 a,另一个小于a.2、一、 不解方程，判定下列方程根的情况2 2 21 (m 1)x 2mx m 4=0 3、9x -(p 7)x p -3=0二、 用公式法求关于 x 的方程的解 1、x 2 -4x -k 2 = 0 3、2x 2 -(s-3t)x -s 2 t 2 =0。