高中数学必修一：单调性与奇偶性典型例题(教师版)

必修一：函数的单调性与奇偶性总结

一、单调性

1、定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x <时，都有))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。

例1、讨论函数0)(>+=a x

a x x f ，的单调性。 解：由)(x f 为奇函数，令0>x

任取021>>x x ，()()21212121)()(x x a x x x x x f x f --=-，令a x a x >⇒>2 单调递增区间为：()+∞,a ，()a --，∞ 单调递减区间为：(]a ，0，[)

0,-a 小结：（1）要证明函数的单调性，只能用定义的方法，但它也可用来求函数的单调性；（2）使用定义法判断单调性时，要注意格式，设元、作差、变形、定号、下结论，其中最难的一步为变形，需将作差式整理为多项连乘，方便定号；（4）判断a x x -21的符号时，可令x x x ==11，即a x -2；（5）当多个同增或同减区间不在一起时，单调区间之间不能用“或”字连接，只能用“逗号”。当多个同增或同减区间连在一起时，要注意判断其单调区间是否能合并；（6）单调性是研究函数图像在某段区间内的变化情况，在某点处研究单调性无意义，故单调区间端点处一般可开可闭，均正确。但若端点处不在定义域内，则必须为开；（7）对于复杂题型，先通过奇偶性得图像对称性，从而只需讨论一半的范围，会降低解题难度；（8）当已知函数值为正时，还可以通过作商实现比大小；（9）记住两个特殊函数的图像。其中x b ax x g +

=)(与x b ax x h -=)(，0,0>>b a 时，图像轮廓相同。

2、图像特点：在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。（提示：判断函数单调性一般都使用图像法，尤其是分段函数的单调性。）

例2、下列函数中，在(0，2)上为增函数的是( B )

A.13+-=x y

B.2+=x y

C.x

y 4= D.342+-=x x y 小结：熟练掌握常见函数的图像，是研究函数性质的关键。如：2+=x y 、22++=x y 、342+-=x x y 、

342+-=x x y 等，一般先判断奇偶性得图像对称性，从而先画0>x 的图像，再通过对称性得另外一半的图像；

如果函数整体带绝对值，只需将x 轴下方图像翻上。如果是非标准型，先找原点位置即可。

例3、下列函数中，在()+∞,0上为增函数的是( D )

A.342+-=x x y

B.5--x y =

C. 1-32x x y -=

D.x

x x y 342-+= 小结：（1）分式形式的函数，常用“分离常数”的方法化简；（2）一个复杂函数可以分解成多个函数相加得到，而函数的单调性也可以进行加法运算，同减为减，同加为加，但不能进行乘除运算。同时要注意单调区间统一。

例4、若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤->+-+-=1

,21,56)2()(22x x x x a a x a x f 为R 上减函数，则实数a 的取值范围是 21≤≤a 小结：分段函数单调性并不是不能合并，只是需要满足两点（1）各段单调性相同；（2）两段函数图像在联结处也符合相同的单调性，此点用联结处两函数值的大小来反映图像的上下关系。

3．二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ，由开口方向与对称轴同时决定。

例5、已知函数34)(2++=x x x f ，求函数)(x f 在区间[]1,+t t 的最小值)(t g 与最大值)(t h

()[]()⎪⎩⎪⎨⎧+∞-∈++--∈--∞-∈++=,2,342,3 ,13,,86)(22t t t t t t t t g ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-∈++⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-∈++=25,,34,25,86)(22t t t t t t t h 小结：（1）由于给定为动区间，它在抛物线上的位置未定，导致最值无法确定；（2）只需弄清区间与抛物线的对称轴之间相对位置关系，就能通过图像确定最值的位置，故需要讨论三种情况：对成轴在区间左边、右边、中间；

（3）开口向上的抛物线中，有其天然的最小值，即顶点处。故，最大值只能在给定区间的端点处取到。由，抛物线的轴对称性，开口向上的抛物线上的点，到对称轴距离越大，函数值越大。则，只需讨论给定区间的两端点到对称轴的距离的大小，就能确定最大值是左右端点中哪个个取到；（4）开口向下的抛物线、定轴动区间，解法与本题类似。

4．复合函数的单调性：同增异减

例6、函数322-+=x x y 的单调减区间是 （ A ）

A.]3,(--∞

B.),1[+∞-

C.]1,(--∞

D.),1[+∞

解：原函数由u y =与322-+=x x u 所复合，由u y =恒增，故函数322

-+=x x u 的减区间即为原函数的减

区间，1-≤x 。但u y =中，0≥u ，故310322-≤≥⇒≥-+=x x x x u 或，综上，3-≤x 小结：（1）高中阶段，复合函数单调性一般其中一个简单函数单调性恒定，故只需考虑另外一个函数的单调性，但容易漏掉限制条件；（2）我们可以直接记住结论，首先考查定义域，如果单调性恒定的函数为恒增，那么另一个函数的单调性与原函数单调性相同，其单调区间与定义域取交集即可；如果单调性恒定的函数为恒减，那么另一个函数的单调性与原函数单调性相反。

例7：已知函数228)(x x x f -+=，如果)2()(2x f x g -=，那么)(x g （ A ）

A.在区间(-1，0)上是减函数

B.在区间(0， 1)上是减函数

C..在区间(-2，0)上是增函数

D..在区间(0， 2)上是增函数.

解：)(x g 由228)(u u u f y -+==与2

-2x u =所复合。先考虑外层函数)(u f 的单调性，1≥u 时单调递增，1≤u 时为单调递减。由于我们研究x 的范围，故将u 的范围还原成x ，1-22≥=x u 则11-≤≤x 时)(u f 为增，1-22≤=x u 则11-≤≥x x 或时)(u f 为减；再考虑内层函数2-2x u =，0≥x 时为增，0≤x 时为减。

如图：由同增异减，得原函数)(x g ，在1-≤x 为增；01-≤≤x 为减；10≤≤x 为增；1≥x 为减。

小结：（1）本题关键在于弄清)(x g 的构成；（2）一般先讨论外层函数单调性；（3）注意将u 还原成x 。

二、奇偶性

1．定义：

如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f =-，那么函数f(x)就叫偶函数；

如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f -=-，那么函数f(x)就叫奇函数。

例8、判断下列各函数的奇偶性

（1）x x x x f 12)(3+--= （2）1)(23--=x x x x f （3）⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=0,0)(22x x x x x f ， （4）()

1)(2-=x x x f 小结：（1）考察函数奇偶性首先要检查定义域是否关于原点对称；（2）函数的奇偶性可以进行加减乘除运算，可将奇函数看成“负号”，偶函数看成“正号”；（3）分段函数考察奇偶性时，必须每段都考察，奇偶性一致才能得到原函数奇偶性，奇偶性不一致则为非奇非偶。（4）在选填题中，在检查了定义域的前提下，还可以通过图像得到函数的奇偶性。

例9、已知函数),,(1)(2Z c b a c

bx ax x f ∈++=是奇函数，又2)1(=f ，3)2(

又2)1(=f 则b a 21=+，又3)2(

3214<+b a ，故3114<++a a ，即21<<-a ，由Z a ∈故10或=a 若0=a 则Z b ∉=2

1（舍）；当1=a 则Z b ∈=1。综上0,1,1===c b a 小结：由于本题给定了奇偶性，故可以使用特殊值0)0(=f 简化运算。但求或证明奇偶性时，只能用定义，不能用

x