高中数学必修一：单调性与奇偶性典型例题(教师版)
高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)之欧阳歌谷创编
高中数学必修1欧阳歌谷（2021.02.01）第二章 函数单调性和奇偶性专项练习一、函数单调性相关练习题1、（1）函数2)(－＝x x f ， x ｛0，1，2，4｝的最大值为_____.（2）函数123)(－＝x x f 在区间[1，5]上的最大值为_____，最小值为_____.2、利用单调性的定义证明函数21)(x x f ＝在（－∞，0）上是增函数.3、判断函数12)(＋＝x x f 在（－1，＋∞）上的单调性，并给予证明.4、画出函数322丨＋丨＋＝－x x y 的图像，并指出函数的单调区间.5、已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小：(1)f(6)与f(4)； (2)f(2)f(15)与6、已知)(x f y ＝在定义域（－1，1）上是减函数，且)23()1(－＜－a f a f ，求实数a 的取值范围.7、求下列函数的增区间与减区间(1)y ＝|x 2＋2x －3|（4）2012－－＝x x y8、函数f(x)＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2在[1，＋∞]上是增函数，求实数a 的取值范围．9、【例4】判断函数＝≠在区间－，上的单调性．f(x)(a 0)(11)ax x 21- 10、求函数x x x f 4)(＋＝在[1，3]上的最大值和最小值.二、函数奇偶性相关练习题11、判断下列函数是否具有奇偶性.（1）11)1()(－＋－＝x x x x f ；（2）a x f ＝)( （R x ∈）； （3）3232)52()52()(－－＋＝x x x f12、若32)1(2＋＋－＝mx x m y 是偶函数，则m ＝_________． 13、已知函数c bx ax x f ＋＋＝2)( （0≠a ）是偶函数，那么cx bx ax x g ＋＋＝23)(是 （ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数14、已知函数b a bx ax x f ＋＋＋＝3)(2是偶函数，且其定义域为[1－a ,a 2]，则 （ ）A ．31=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b＝0 D ．a ＝3，b ＝015、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2－＝，则)(x f 在R 上的表达式是 （ ）A ．y ＝x （x －2）B ．y ＝x （｜x ｜－1）C ．y ＝｜x ｜（x －2） D ．y ＝x （｜x ｜－2）16、函数1111)(22+++-++=x x x x x f 是（ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数17、若)(x ϕ，)(x g 都是奇函数，2)()()(＋＋＝x bg x a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5，则)(x f 在（－∞，0）上有（ ）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－318、函数2122)(x x x f ---=的奇偶性为________（填奇函数或偶函数） ．19、判断函数＝)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧0130132323＜，－＋＞，＋－x x x x x x 的奇偶性.20、f （x ）是定义在（－∞，－5］ ［5，＋∞）上的奇函数，且f （x ）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f （x ）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．21、已知)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则)(x f 的解析式为_______，)(x g 的解析式为_______.22、已知函数f （x ）满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2f （x ）·f （y ）（x ∈R ，y ∈R ），且f （0）≠0.试证f （x ）是偶函数．23、设函数y ＝f （x ）（x ∈R 且x ≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2）.求证f （x ）是偶函数．高中数学必修1第二章 函数单调性和奇偶性专项练习答案1、【答案】（1）2 （2）3，312、略3、【答案】减函数，证明略.4、【答案】分为0 x 和0＜x 两种情况，分段画图.单调增区间是（－∞，－1）和[0，1]； 单调减区间是[－1，0)和（1，＋∞）5、【答案】（1）f(6)＜f(4) ； （2）∴＞，即＞．f(15)f(4)f(15)f(2)6、【答案】实数a 的取值范围是（31，43）7、【答案】（1）递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)； 递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]（2）增区间是(－∞，0)和(0，1)； 减区间是[1，2)和(2，＋∞)（3）∴函数的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．（4）函数的增区间是（－∞，－4）和（－4，21）；减区间是[21，5)和（5，＋∞） 8、【答案】a 的取值范围是0≤a ≤1．9、【答案】当a ＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数；当a ＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数．10、【答案】先判断函数在[1，2]上是减函数，在（2，3]上是增函数，可得)2(f ＝4是最小值，)1(f ＝5是最大值.二、函数奇偶性相关练习题11、【答案】（1）定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数；（2）0＝a ，)(x f 既是奇函数又是偶函数；0≠a ，)(x f 是偶函数；（3）)(x f 是奇函数.12、【答案】 013、【答案】选A14、【答案】选B15、【答案】选D16、【答案】选B17、【答案】 选C18【答案】 奇函数19、【答案】 奇函数【提示】分x ＞0和x ＜0两种情况，分别证明)()(x f x f ＝－－即可.20、【答案】解析：任取x 1＜x 2≤－5，则－x 1＞－x 2≥－5． 因f （x ）在［5，＋∞］上单调递减，所以f （－x 1）＜f （－x 2）⇒f （x 1）＜－f （x 2）⇒f （x 1）＞f（x 2），即单调减函数．21、【答案】11)(2-=x x f ，1)(2－＝x x x g22、证明：令x ＝y ＝0，有f （0）＋f （0）＝2f （0）·f （0），又f （0）≠0，∴可证f （0）＝1．令x ＝0，∴f （y ）＋f （－y ）＝2f （0）·f （y ）⇒f （－y ）＝f （y ），故f （x ）为偶函数．23、证明：由x 1，x 2∈R 且不为0的任意性，令x 1＝x 2＝1代入可证， f （1）＝2f （1），∴f （1）＝0．又令x 1＝x 2＝－1，∴f ［－1×（－1）］＝2f （1）＝0，∴f （－1）＝0．又令x 1＝－1，x 2＝x ，∴f （－x ）＝f （－1）＋f （x ）＝0＋f （x ）＝f （x ），即f （x ）为偶函数．。
苏教版数学必修一集合函数的奇偶性单调性精选题
苏教版数学必修一集合函数的奇偶性单调性精选题教学部专用知胜教育个性化教学专用教案学生姓名：备课时间：年月日授课时间：年月日至科目：数学讲次：第讲高一年级授课教师：周老师上课后，学生签字：年月日教学类型：■强化基础型□引导思路型■错题讲析型□督导训练型□效率提升型□单元测评型□综合测评型□应试指导型□专题总结型□其它：教学目标：集合，函数的奇偶性，单调性总结。
集合1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的对象的全体。
2、集合的中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。
3、集合的表示：（1）用大写字母表示集合：A,B（2）集合的表示方法：a、列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c}b、描述法：集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合，某R某23c、维恩图：用一条封闭曲线的内部表示.4、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合5、元素与集合的关系：aA；aA注意：常用数集及其记法：非负整数集：（即自然数集）N正整数集:N某或N+整数集:Z有理数集:Q实数集:R6、集合间的基本关系（1）“包含”关系—子集定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。
记作：AB（或BＡ）注意：AB有两种可能（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合。
B或BA反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A（2）“包含”关系—真子集如果集合AB，但存在元素某B且某A，则集合A是集合B的真子集，记作AB(或B（3“相等”关系：A=B“元素相同则两集合相等”，如果AB同时BA那么A=B规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
（4）集合的性质①任何一个集合是它本身的子集，AA②如果AB,BC,那么AC１A)教学部专用③如果AB且BC，那么AC④有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集7、集合的运算运算类型交集并集定义由所有属于A且属于B的元由所有属于集合A或属于集素所组成的集合,叫做A,B合B的元素所组成的集合，的交集．记作AB（读作‘A叫做A,B的并集．记作：AB交B’）（读作‘A并B’）补集全集：一般，若一个集合含问题中的所有元素，我们就全集，记作：U设S是一个集合，A是S的S中所有不属于A的元素组做S中子集A的补集（或余CS韦恩图示ABABSACU(CUA)A图1图2性质A∩A=AA∩Φ=ΦA∩B=BAA∩BAA∩BBAUA=AAUΦ=AAUB=BUAAUBＡAUBBAU(CuA)=UA∩(CuA)=Φ．二函数1.函数的概念：记法y=f(某)，某∈A．2.函数的三要素：定义域、值域、对应法则3.函数的表示方法：（1）解析法：（2）图象法：（3）列表法：4.函数的基本性质a、函数解析式子的求法（1）代入法：（2）待定系数法：（3）换元法：（4)拼凑法：b、定义域：能使函数式有意义的实数某的集合称为函数的定义域。
人教A版高中数学必修第一册课后习题 第3章 函数的概念与性质 习题课 单调性与奇偶性的综合应用
第三章习题课单调性与奇偶性的综合应用A级必备知识基础练1.(多选题)已知定义在区间[-7,7]上的一个偶函数,它在[0,7]上的图象如图,则下列说法正确的是( )A.这个函数有2个单调递增区间B.这个函数有3个单调递减区间C.这个函数在其定义域内有最大值7D.这个函数在其定义域内有最小值-72.下列函数是奇函数,且在(0,+∞)上为增函数的是( )A.y=x2B.y=x-1xC.y=x+1x D.y=x-1x3.偶函数y=f(x)在区间[0,4]上单调递减,则有( )A.f(-1)>f(2)>f(-3)B.f(2)>f(-1)>f(-3)C.f(-3)>f(-1)>f(2)D.f(-1)>f(-3)>f(2)4.若奇函数f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,则函数f(x)在区间[1,2]上( )A.单调递增,且有最小值为f(1)B.单调递增,且有最大值为f(1)C.单调递减,且有最小值为f(2)D.单调递减,且有最大值为f(2)5.若函数f(x+3是R上的偶函数,则f(-1),f(-√2),f(√3)的大小关系为( )A.f(√3)>f(-√2)>f(-1)B.f(√3)<f(-√2)<f(-1)C.f(-√2)<f(√3)<f(-1)D.f(-1)<f(√3)<f(-√2)6.f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且f(3)>f(1),则下列各式一定成立的是( )A.f(0)<f(6)B.f(3)>f(2)C.f(-1)<f(3)D.f(2)>f(0)7.[安徽宿州高一月考]已知奇函数f(x)在定义域R上是增函数,则不等式f(4x-3x2)+f(7)>0的解集是.8.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件:①f(x)为奇函数;②f(x)在定义域上是减函数.若f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范围.B级关键能力提升练9.(多选题)关于函数y=f(x),y=g(x),下述结论正确的是( )A.若y=f(x)是奇函数,则f(0)=0B.若y=f(x)是偶函数,则y=|f(x)|也是偶函数C.若y=f(x)(x∈R)满足f(1)<f(2),则f(x)在区间[1,2]上单调递增D.若y=f(x),y=g(x)均为R上的增函数,则y=f(x)+g(x)也是R上的增函数10.设f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,且f(x)在[0,1)上单调递减,f-12 =1,则f(x)<1的解集为.11.[江苏扬州高一月考]已知函数f(x)=x|x|,则满足f(x)+f(3x-2)≥0的x的取值范围是.(用区间表示)参考答案习题课 单调性与奇偶性的综合应用1.BC 根据偶函数的图象关于y 轴对称,可得它在定义域[-7,7]上的图象,如图所示,因此这个函数有3个单调递增区间,3个单调递减区间,在其定义域内有最大值7,最小值不能确定,故选BC.2.D y=x 2为偶函数,不符合条件;y=f(x)=x -1x=1-1x为非奇非偶函数,不符合题意;y=x+1x 为奇函数,但在(0,1)上单调递减,(1,+∞)上单调递增,不符合题意;y=x-1x 为奇函数,而y=x-1x 在(0,+∞)上单调递增,故选D.3.A 由y=f(x)为偶函数,则f(-1)=f(1),f(-3)=f(3),又因为函数y=f(x)在区间[0,4]上单调递减,所以f(1)>f(2)>f(3),即f(-1)>f(2)>f(-3),故选A.4.C 根据奇函数的图象关于原点对称,所以其在y 轴两侧单调性相同,因为f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上有最大值f(1),最小值f(2),故选C.5.B ∵函数f(x+3是R 上的偶函数,∴f(--1)=0,即f(x)=-x 2+3.∴f(x)在(-∞,0)上单调递增,∴f(-1)>f(-√2)>f(-√3)=f(√3).即f(√3)<f(-√2)<f(-1),故选B. 6.C ∵f(x)是偶函数,∴f(1)=f(-1), 又f(3)>f(1),故f(3)>f(-1).故选C.7.{x |-1<x <73} ∵f(4x-3x 2)+f(7)>0,∴f(4x-3x 2)>-f(7).又f(x)为定义域R 上的奇函数, ∴f(4x-3x 2)>f(-7).∵f(x)在定义域R 上是增函数,∴4x-3x 2>-7,解得-1<x<73,故原不等式的解集为{x |-1<x <73}.8.解∵f(x)为奇函数,∴f(1-a 2)=-f(a 2-1), ∴f(1-a)+f(1-a 2)<0,则f(1-a)<-f(1-a 2),即f(1-a)<f(a 2-1). ∵f(x)在定义域(-1,1)上是减函数, ∴{1-a >a 2-1,-1<1-a <1,-1<a 2-1<1,解得0<a<1, 故实数a 的取值范围为(0,1).9.BD 若y=f(x)是奇函数,当定义域不包含0时不成立,故A 错误;若y=f(x)是偶函数,f(x)=f(-x),故|f(x)|=|f(-x)|,y=|f(x)|也是偶函数,B 正确;举反例:f(x)=x-432满足f(1)<f(2),在[1,2]上不单调递增,故C 错误;设x 1<x 2,则[f(x 2)+g(x 2)]-[f(x 1)+g(x 1)]=[f(x 2)-f(x 1)]+[g(x 2)-g(x 1)]>0,故y=f(x)+g(x)也是R 上的增函数,故D 正确. 10.-1,-12∪12,1 ∵f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,∴f12=f -12=1,则不等式f(x)<1为f(x)<f 12,则f(|x|)<f12.∵f(x)在[0,1)上单调递减,∴|x|>12,解得x<-12或x>12.又定义域为(-1,1),故不等式的解集为-1,-12∪12,1.11.12,+∞ 由题意f(x)=x|x|,其定义域为R,关于原点对称,f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),所以函数f(x)是奇函数. 又f(x)=x|x|={x 2,x ≥0,-x 2,x <0,所以函数f(x)在R 上单调递增,则f(x)+f(3x-2)≥0,即f(x)≥-f(3x-2)=f(-3x+2),又函数单调递增,所以x≥-3x+2,解得x≥12.。
【同步练习】人教A版2018年 高中数学 必修1 函数单调性与奇偶性 知识点+例题+同步练习(含答案)
函数的基本性质函数的单调性与最大(小值) 第1课时 函数的单调性知识点1 增函数与减函数 设函数f x 的定义域为I ，D ⊆I ，对任意x 1，x 2∈D【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知f(x)=1x，因为f(-1)<f(2)，所以函数f(x)是增函数．( )(2)增减函数定义中的“任意两个自变量的值x 1，x 2”可以改为“存在两个自变量的值x 1，x 2”．( ) (3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．( )知识点2 函数的单调区间如果函数y=f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间． 【预习评价】(1)函数f(x)=x 2＋2x-3的单调减区间是________． (2)函数y=|x|在区间[-2，-1]上( ) A ．递减 B ．递增 C ．先减后增 D ．先增后减题型一 求函数的单调区间【例1】(1)如图所示的是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象，则函数的单调递减区间是________、________，在区间________、________上是增函数．(2)画出函数y=-x 2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．规律方法根据函数的图象求函数单调区间的方法：(1)作出函数图象；(2)把函数图象向x轴作正投影；(3)图象上升对应增区间，图象下降对应减区间．【训练1】函数y=1x－1的单调减区间是________．题型二证明函数的单调性【例2】证明函数f(x)=x＋4x在区间(2，＋∞)上是增函数．规律方法利用定义证明函数单调性的步骤【训练2】证明函数f(x)=1x2在(-∞，0)上是增函数．题型三用单调性解不等式【例3】已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数，且f(1-a)<f(2a-1)，求实数a的取值范围．【训练3】已知函数f(x)为定义在区间[-1,1]上的增函数，则满足f(x)<f(0.5)的实数x 的取值范围是________．题型四 根据函数的单调性求参数的取值范围【探究1】若函数y=ax ＋5是(-∞，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是________．【探究2】已知函数y=x 2＋2ax ＋3在区间(-∞，1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．【探究3】分别作出函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤1，－2x ＋3，x>1和g(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤1，－2x ＋7，x>1的图象，并根据其图象的变化趋势判断它们在(-∞，＋∞)上的单调性．【探究4】已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤1，－2x ＋a ，x>1是减函数，求实数a 的取值范围．【探究5】若函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋3，x ≤1，ax ＋1，x>1是减函数，求实数a 的取值范围．规律方法：已知函数的单调性求参数的关注点(1)视参数为已知数，依据基本初等函数的单调性、函数的图象或函数的单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知的单调区间比较求参数；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的函数值的大小关系．课堂达标1．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )A ．y=2x ＋1B ．y=x 2＋1C ．y=3-xD ．y=x 2＋2x ＋12．函数f(x)=-x 2＋2x ＋3的单调减区间是( ) A ．(-∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(-∞，2) D ．(2，＋∞)3．若f(x)=(2k-3)x ＋2是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________．4．若函数f(x)是R 上的减函数，且f(a-1)>f(2a)，则a 的取值范围是________．5．证明f(x)=x 2＋x 在(0，＋∞)上是增函数．函数的奇偶性知识点 函数的奇偶性(1)对于函数y=f(x)，若存在x ，使f(-x)=-f(x)，则函数y=f(x)一定是奇函数．( ) (2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( )(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数．( )题型一 函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=2-|x|； (2)f(x)=x 2－1＋1－x 2； (3)f(x)=x x －1； (4)f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x>0，－x ＋1，x<0.规律方法：判断函数奇偶性的两种方法： (1)定义法：(2)图象法：【训练1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=x 3＋x 5； (2)f(x)=|x ＋1|＋|x-1|； (3)f(x)=2x 2＋2xx ＋1.题型二 奇、偶函数的图象问题【例2】已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[-5,0]上的图象． (2)写出使f(x)<0的x 的取值集合．规律方法：1.巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性．(2)作出函数在[0，＋∞)(或(-∞，0])上对应的图象．(3)根据奇(偶)函数关于原点(y 轴)对称得出在(-∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象． 2．奇偶函数图象的应用类型及处理策略(1)类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题． (2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察．【训练2】已知偶函数f(x)的一部分图象如图，试画出该函数在y 轴另一侧的图象，并比较f(2)，f(4)的大小．题型三 函数奇偶性的应用 方向1 利用奇偶性求函数值：【例3-1】已知f(x)=x 5＋ax 3＋bx-8，若f(-3)=10，则f(3)=( ) A ．26 B ．18 C ．10 D ．-26方向2 利用奇偶性求参数值 【例3-2】若函数f(x)=xx x )1)(1(-+为奇函数，则a=________.方向3利用奇偶性求函数的解析式【例3-3】已知函数f(x)(x ∈R )是奇函数，且当x ＞0时，f(x)=2x-1，求函数f(x)的解析式．规律方法：1.利用函数的奇偶性求函数值或参数值的方法：利用函数的奇偶性的定义f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)可求函数值，比较f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)的系数可求参数值． 2．利用函数奇偶性求函数解析式的步骤(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x 就应在哪个区间上设； (2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x)，从而解出f(x)．课堂达标1．下列函数是偶函数的是( )A ．y=xB ．y=2x 2-3C ．y=xD ．y=x 2，x ∈(-1,1]2．若函数f(x)=(m-1)x 2＋(m-2)x ＋(m 2-7m ＋12)为偶函数，则m 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=-x 2＋1x-1，则f(-2)=________.4．如图，已知偶函数f(x)的定义域为{x|x ≠0，x ∈R }，且f(3)=0，则不等式f(x)<0的解集为________．5．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)=x ＋1，求f(x)的解析式．参考答案第1课时 函数的单调性【预习评价】提示：(1)×，由函数单调性的定义可知，要证明一个函数是增函数，需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大，函数值也越大，而不是个别的自变量． (2)×，不能改为“存在两个自变量的值x 1、x 2”．(3)×，反例：f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈1，2]，x －4，x ∈2，3.知识点2 函数的单调区间【预习评价】解析：(1)二次函数f(x)的图象开口向上，对称轴为x=-1，故其单调减区间是(-∞，-1)． (2)函数y=|x|的单减区间是(-∞，0)，又[-2，-1]⊆(-∞，0)，所以函数y=|x|在区间[-2，-1]上递减． 答案：(1)(-∞，-1) (2)A【例1】(1)解析：观察图象可知，y=f(x)的单调区间有[-5，-2]，[-2,1]，[1,3]，[3,5]．其中y=f(x)在区间[-5，-2]，[1,3]上是增函数，在区间[-2,1]，[3,5]上是减函数． 答案 [-2,1] [3,5] [-5，-2] [1,3](2)解 y=⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x<0，即y=⎩⎪⎨⎪⎧－x －12＋2，x ≥0，－x ＋12＋2，x<0.函数的大致图象如图所示，单调增区间为(-∞，-1]，[0,1]，单调减区间为[-1,0]，[1，＋∞)．【训练1】解析：y=1x －1的图象可由函数y=1x的图象向右平移一个单位得到，如图所示，其单调递减区间是(-∞，1)和(1，＋∞)．答案 (-∞，1)，(1，＋∞)【例2】证明：任取x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1<x 2，则f(x 1)-f(x 2)=x 1＋4x 1-x 2-4x 2=(x 1-x 2)＋4x 2－x 1x 1x 2=(x 1-x 2)x 1x 2－4x 1x 2.因为2<x 1<x 2，所以x 1-x 2<0，x 1x 2>4，x 1x 2-4>0，所以f(x 1)-f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)．所以函数f(x)=x ＋4x在(2，＋∞)上是增函数．【训练2】证明：设x 1，x 2是区间(-∞，0)上任意两个实数，且x 1<x 2，则f(x 1)-f(x 2)=1x 21-1x 22=x 22－x 21x 21x 22=x 2－x 1x 2＋x 1x 21x 22. 因为x 1<x 2<0，所以x 2-x 1>0，x 1＋x 2<0，x 21x 22>0，所以f(x 1)-f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，所以函数f(x)=1x2在(-∞，0)上是增函数．【例3】解：由题知⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a<1，－1<2a －1<1，1－a>2a －1，解得0<a<23，即所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.【训练3】解析:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x<12，解得-1≤x<12.答案 [-1,0.5).【探究1】答案 (-∞，0)【探究2】解析:函数y=x 2＋2ax ＋3的图象开口向上，对称轴为x=-a ，要使其在区间(-∞，1]上是减函数，则-a ≥1，即a ≤-1.答案 (-∞，-1]【探究3】解：函数f(x)的图象如图(1)所示，由其图象可知f(x)在(-∞，＋∞)上是减函数；函数g(x)的图象如图(2)所示，由其图象可知g(x)在(-∞，＋∞)上既不是增函数，也不是减函数．【探究4】已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤1，－2x ＋a ，x>1是减函数，求实数a 的取值范围．解：由题意得，要使f(x)是减函数，需-2×1＋5≥-2×1＋a ，即a ≤5.【探究5】解：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥1，a<0，12＋2a ×1＋3≥a ×1＋1，解得-3≤a ≤-1，则实数a 的取值范围是[-3，-1]．课堂达标1．解析:函数y=3-x 在区间(0，＋∞)上是减函数．答案 C2．解析:易知函数f(x)=-x 2＋2x ＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x=1，所以其单调减区间是(1，＋∞)．答案 B3．解析:由题意得2k-3>0，即k>1.5，故k 的取值范围是(1.5,+∞).答案(1.5,+∞). 4．解析:由条件可知a-1<2a ，解得a>-1.答案 (-1，＋∞)5．证明:设x 1>x 2>0，则f(x 1)-f(x 2)=x 21＋x 1-x 22-x 2=(x 1-x 2)(x 1＋x 2)＋(x 1-x 2)=(x 1-x 2)(x 1＋x 2＋1)， 因为x 1>x 2>0，所以x 1-x 2>0，x 1＋x 2＋1>0，所以f(x 1)-f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)，所以f(x)=x 2＋x 在(0，＋∞)上是增函数．函数的奇偶性【预习评价】提示：(1)× 反例：f(x)=x 2，存在x=0，f(-0)=-f(0)=0，但函数f(x)=x 2不是奇函数； (2)×存在f(x)=0，x ∈R 既是奇函数，又是偶函数；(3)×函数f(x)=x 2-2x ，x ∈R 的定义域关于原点对称，但它既不是奇函数，又不是偶函数． 【例1】解：(1)∵函数f(x)的定义域为R ，关于原点对称，又f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x)，∴f(x)为偶函数． (2)∵函数f(x)的定义域为{-1,1}，关于原点对称，且f(x)=0， 又∵f(-x)=-f(x)，f(-x)=f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x ≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数． (4)f(x)的定义域是(-∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x>0时，-x<0，f(-x)=1-(-x)=1＋x=f(x)；当x<0时，-x>0，f(-x)=1＋(-x)=1-x=f(x)．综上可知，对于x ∈(-∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(-x)=f(x)，f(x)为偶函数．【训练1】解：(1)函数的定义域为R .∵f(-x)=(-x)3＋(-x)5=-(x 3＋x 5)=-f(x)，∴f(x)是奇函数． (2)f(x)的定义域是R .∵f(-x)=|-x ＋1|＋|-x-1|=|x-1|＋|x ＋1|=f(x)，∴f(x)是偶函数． (3)函数f(x)的定义域是(-∞，-1)∪(-1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．【例2】解：(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于原点对称．由y=f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[-5,0]上的图象，如图所示．(2)由图象知，使函数值f(x)<0的x 的取值集合为(-2,0)∪(2,5)． 【训练2】解：f(x)为偶函数，其图象关于y 轴对称，如图，由图象知，f(2)<f(4).【例3-1】解析：法一 由f(x)=x 5＋ax 3＋bx-8，得f(x)＋8=x 5＋ax 3＋bx.令G(x)=x 5＋ax 3＋bx=f(x)＋8，∵G(-x)=(-x)5＋a(-x)3＋b(-x)=-(x 5＋ax 3＋bx)=-G(x)，∴G(x)是奇函数，∴G(-3)=-G(3)，即f(-3)＋8=-f(3)-8.又f(-3)=10， ∴f(3)=-f(-3)-16=-10-16=-26.法二 由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧f －3＝－35＋a －33＋b －3－8，①f 3＝35＋a ·33＋b ·3－8，② ①＋②得f(3)＋f(-3)=-16，又f(-3)=10，∴f(3)=-26.答案 D【例3-2】解析：∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，即－x ＋1－x ＋a －x =-x ＋1x ＋ax，显然x ≠0，整理得x 2-(a ＋1)x ＋a=x 2＋(a ＋1)x ＋a ，故a ＋1=0，解得a=-1.答案 -1 【例3-3】解：当x ＜0，-x ＞0，∴f(-x)=2(-x)-1=-2x-1.又∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，∴f(x)=2x ＋1.又f(x)(x ∈R )是奇函数，∴f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.∴所求函数的解析式为f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，0，x ＝0，2x ＋1，x ＜0.课堂达标1．解析：对于A ，f(-x)=-x=-f(x)，是奇函数；对于B ，定义域为R ，满足f(x)=f(-x)，是偶函数；对于C 和D ，定义域不关于原点对称，则不是偶函数，故选B ．答案 B2．解析：f(-x)=(m-1)x 2-(m-2)x ＋(m 2-7m ＋12)，f(x)=(m-1)x 2＋(m-2)x ＋(m 2-7m ＋12)，由f(-x)=f(x)，得m-2=0，即m=2.答案 B3．解析：f(2)=-22＋12-1=-92，又f(x)是奇函数，故f(-2)=-f(2)=92.答案 924．解析：由条件利用偶函数的性质，画出函数f(x)在R 上的简图：数形结合可得不等式f(x)<0的解集为(-3,0)∪(0,3)．答案 (-3,0)∪(0,3)5．解 当x<0时，-x>0，∴f(-x)=-x ＋1，又f(-x)=-f(x)，故f(x)=x-1，又f(0)=0，所以f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x>0，0，x ＝0，x －1，x<0.。
函数的单调性+奇偶性(含答案)
函数的单调性+奇偶性（含解析）一、单选题1．函数1()lg(21)f x x =-的定义域为（ ） A ．1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ B ．12x x ⎧≥⎨⎩且}1x ≠ C ．12x x ⎧⎨⎩且}1x ≠ D ．1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭2．函数()f x = ） A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭3．已知函数，若方程有两个实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(−1,−12] B ．[−12,0) C ．[−1,+∞) D ．[−12,+∞) 4．设函数()1,02,0x x x f x b x +≥⎧=⎨+<⎩是R 上的单调增函数，则实数b 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞ B ．[)0,+∞ C ．(],0-∞ D ．(]1,1- 5．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（）A ．12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．23y x -=C ．1y x x =-D ．()2ln 1y x =+ 6．设 ()212,11,1x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，则()()2f f =( ) A ．－2B ．2C ．5D ．267．集合{|,P x y =={|,Q y y ==U =R ，则()U P Q ⋂是（ ） A ．[)1,+∞B ．∅C ．[)0,1D ．[)1,1- 8．函数x x x f 431)(3-=的单调递减区间是（ ）A ．)2,(--∞B ．)2,2(-C ．),2(∞+D ．),2()2,(+∞⋃--∞9．已知集合214A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∣，集合{B y y ==∣，则A B =（ ） A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[1,1]- C ．[0,1] D ．1[0,]210．若函数()f x 满足()2f x x =+，则()32f x +的解析式是( )A ．()3298f x x +=+B ．()3232f x x +=+C ．()3234f x x +=--D ．()3234f x x +=+11．函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x>0时，f （x ）=x+1，则当x<0时，f （x ）的 表达式为（ ）A ．1)(+-=x x fB ．1)(--=x x fC ．1)(+=x x fD ．1)(-=x x f12．已知函数21,0(),0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩， 则[(2)]f f -的值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5二、多选题13．已知函数()f x 是一次函数，满足()()98ff x x =+，则()f x 的解析式可能为（ ） A ．()32f x x =+B ．()32f x x =-C ．()34f x x =-+D ．()34f x x =-- 14．已知函数2,[1,2)x y x ∈-=，下列说法正确的是（ ）A ．函数是偶函数B ．函数是非奇非偶函数C ．函数有最大值是4D ．函数的单调增区间是为(0，2)15．下列函数中，与y x =是同一个函数的是（ ） A ．3log 3x y = B．3log 3x y = C．y = D ．2y = 16．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合-{}1,1,2,4M =-，{}1,2,4,16N =，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（ ）A ．2y x =B ．2y x =+C ．2x y =D ．2y x三、填空题17．函数()f x =_______．18．偶函数()f x 满足当0x >时，()34f x x =+，则()1f -=_____．19．已知定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()f x 在(,0)-∞上的单调性是________.20．设,0()ln ,0x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩则1()2g g ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦____________.四、解答题21．已知()222f x x x =-+.（1）画出()f x 的图象.（2）根据图象写出()f x 的单调区间和值域.22．用函数的单调性的定义证明函数()4f x x x=+在()2,+∞上是增函数. 23．求解下列函数的定义域（1）（2） 24．求函数1,01(),12x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩的最值25．已知函数1(),f x a x=-其中0a >。
(完整)高一函数单调性奇偶性经典练习.doc
杰中杰教育函数单调性奇偶性函数单调性奇偶性经典练习一、单调性题型高考中函数单调性在高中函数知识模块里面主要作为工具或条件使用，也有很多题会以判断单调性单独出题或有的题会要求先判断函数单调性才能进行下一步骤解答，另有部分以函数单调性质的运用为主.（一）函数单调性的判断 函数单调性判断常用方法：即 f ( x 2 ) 单调增函数f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0 f (x 1)定义法（重点）：在其定义域内有任意 x 1， x 2且x 1x 2即f ( x 2 )单调增函数f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0 f ( x 1)复合函数快速判断： “同增异减 ”f ( x) g( x)增 基本初等函数加减（设 f ( x)为增函数， g(x)为减函数）： f ( x)为减函数g(x)增f ( x)g (x)为增函数f (x)减g ( x) 互为反函数的两个函数具有相同的单调性 .例 1 证明函数 f ( x)2x 3在区间 (4， ) 上为减函数 （定义法）x4解析：用定义法证明函数的单调性，按步骤“一假设、二作差、三判断（与零比较） ”进行 .解：设 x 1， x 2(4， ) 且 x 1x 2 ， f (x 1)2x 1 3 2x 2 3 11(x 2 x 1 )f (x 2 )4x 24 ( x 1 4)( x 2 4)x 1Q x 2 x 14 x 2 x 1 0 ， ( x 1 4) 0 ， (x 2 4) 0f ( x 1 )f (x 2 ) 故函数 f (x) 在区间 (4， ) 上为减函数 .练习 1 证明函数 f ( x)2x 1在区间 ( 3， ) 上为减函数 （定义法）x3练习 2证明函数 f ( x) x 22 3x 在区间 (2， ) 上为增函数 （定义法、快速判断法）3练习 3求函数f ( x)x3定义域，并求函数的单调增区间 (定义法 )x 2练习 4求函数f ( x)x 2 2 x 定义域，并求函数的单调减区间（定义法）（复合函数，基本初等函数相加减问题，反函数问题在本章结束时再练习）（二）函数单调性的应用单独考查单调性：结合单调函数变量与其对应函数值的关系求参数定义域与单调性结合：结合定义域与变量函数值关系求参数值域与单调性结合：利用函数单调性求值域例 1若函数 f ( x)是定义在R上的增函数，且f ( x22x) f (3 a) 恒成立，求实数 a 的范围。
高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)
高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)高中数学必修1 第二章函数单调性和奇偶性专项练一、函数单调性相关练题1、（1）函数f(x)＝x－2，x∈{1，2，4}的最大值为3.在区间[1，5]上的最大值为9，最小值为-1.2、利用单调性的定义证明函数f(x)＝(2/x)在（-∞，0）上是减函数。
证明：对于x1<x2.由于x1和x2都小于0，所以有x1<x2<0，因此有f(x2)-f(x1)=2/x1-2/x2=2(x2-x1)/x1x2<0.因此，f(x)在（-∞，0）上是减函数.3、函数f(x)＝|x|＋1的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，0]和[0，∞).4、函数y=-x+2的图像是一条斜率为-1的直线，单调区间为(-∞，+∞).5、已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，比较大小：(1)f(6)与f(4)；(2)f(2)与f(15).1) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x>3，f(x)是减函数，对于x<3，f(x)是增函数。
因此，f(6)<f(4).2) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x3，f(x)是增函数。
因此，f(2)>f(15).6、已知y＝f(x)在定义域(-1，1)上是减函数，且f(1-a)<f(3a-2)，求实数a的取值范围.因为f(x)在(-1，1)上是减函数，所以对于0f(3a-2)。
因此，实数a的取值范围为0<a<1.7、求下列函数的增区间与减区间：1) y=|x^2+2x-3|的图像是一条开口向上的抛物线，单调区间为(-∞，-3]和[1，+∞).2) y=1-|x-1|的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，1]和[1，+∞).3) y=-x^2-2x+3的图像是一条开口向下的抛物线，单调区间为(-∞，-1]和[1，+∞).4) y=1/(x^2-x-20)的图像是一条双曲线，单调区间为(-∞，-4]和[-1，1]和[5，+∞).8、函数f(x)=ax^2-(3a-1)x+a^2在[1，+∞)上是增函数，求实数a的取值范围.因为f(x)在[1，+∞)上是增函数，所以对于x>1，有f(x)>f(1)。
函数概念及性质 奇偶性 单调性 周期性 教师版
1 函数的概念与表示法知识网络1．函数的概念；2．函数的表示法：解析法、列表法、图象法；3．分段函数；4．函数值. 基础训练1.下列函数中哪个与函数y x =(0)x ≥是同一个函数的序号①y=(x )2②y=xx 2③y=33x ④y=2x提示：当两个函数的解析式和定义域完全相同时，这两个函数为同一函数．同时满足这两个条件的只有①中的函数．2.函数||)(x xx f =的图象是（ C ）提示：所给函数可化为：1(0)()1(0)x f x x >⎧=⎨-<⎩，故答案为C ．也可以根据函数的的定义域为{|0}x x ≠而作出判断．3.已知)(x f 的图象恒过（1，1）点，则)4(-x f 的图象恒过提示：法一：由)(x f 的图象恒过（1，1）知(1)1f =，即(54)1f -=，故函数)4(-x f 的图像过点（5，1）．法二：)4(-x f 的图象可由)(x f 的图象向右平移4个单位而得到，（1，1）向右平移4个单位后变为（5，1）,答案为（5，1）4.已知2()1f x x x =++，则[f f提示：213f ==2[(3(3115f f =++=+5.函数2)1(+=x y -2的图象可由函数2x y =的图象经过先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到.提示：由“左加右减”，“上加下减”的方法可得．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位；典例精析 例1．（1）已知1)f x =+()f x 及2()f x ； （2）已知12)(3)(+=-+x x f x f ，求)(x f .解：（1）令1t =，则1t ≥1t -，2(1)x t =-，22()(1)2(1)1f t t t t =-+-=-∴ 2()1(1)f x x x =-≥，2224()()11(1)f x x x x =-=-≥．（2）12)(3)(+=-+x x f x f ………………①把①中的x 换成x -得：()3()21f x f x x -+=-+………………② 由①②解得：1()4f x x =-+． 例2．画出下列函数的图象．（1）y ＝x 2－2，x ∈Z 且｜x ｜2≤； （2）y ＝－22x ＋3x ，x ∈（0，2］； （3）y ＝x ｜2－x ｜；（4）3232232x y x x x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≥＜－，＝－－＜－．．解：四个函数的图象如下例3．如图，动点P 从单位正方形ABCD 顶点A 开始，顺次经C 、D 绕边界一周，当x 表示点P 的行程，y 表示PA 之长时，求y 关于x 的解析式，并求f(25)的值． 解：当P 在AB 上运动时， (01)y x x =≤≤； 当P 在BC 上运动时，y=2)1(1-+x (12)x <≤ 当P 在CD 上运动时，y=2)3(1x -+(23)x <≤ 当P 在DA 上运动时，y=4－x (34)x <≤∴y= (01)2)3)4 (34)x x x x x x ≤≤⎧<≤<≤-<≤⎩∴f (25)=25随堂巩固1．与曲线11-=x y 关于原点对称的曲线方程为 提示：用,x y --代替方程11-=x y 中的,x y 得：11y x -=--,即x y +=11．2．已知函数)(x f y =,[,]x a b ∈,那么集合}2|),{(]},[),(|),{(=∈=x y x b a x x f y y x中所含元素的个数是 个提示：垂直于x 轴的直线与函数的图象最多只有一个交点．答案为0或1个 3．下列说法中，正确的序号①函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线x =0对称；②函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线y=0对称； ③函数)(x f y =与函数)(x f y --=的图象关于坐标原点对；④如果函数)(x f y =对于一切,R x ∈都有()f a x +=()f a x -，那么)(x f y =的图象关于直线a x =对称． 提示：①把函数)(x f y =中的x 换成x -，y 保持不变，得到的函数的图象与原函数的图象关于y 轴对称；②把函数)(x f y =中的y 换成y -，x 保持不变，得到的函数的图象与原函数的图象关于x 轴对称；③把函数)(x f y =中的x 换成x -，y 换成y -，得到的函数的图象与原函数的图象关于原点轴对称；④若对于一切,R x ∈都有()f a x +=()f a x -，则()f x 的图象关于直线()()2a x a x x ++-=对称4．设函数10221,0,()()1,0x x f x f x x x -⎧-≤⎪=>⎨⎪>⎩若，则0x 的取值范围是（－∞，－1）∪（1，+∞）5．已知⎩⎨⎧>-<+=0404)(x x x x x f ，则)3([-f f ]的值为－3解析：(3)341,((3))(1)143f f f f -=-+=-==-=-．6．已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，f （－2）＝10，则f （2）＝－26__．提示：f （－2）＝（－2）5＋a （－2）3－2b －8＝10， ∴ 8a ＋2b ＝－50， f （2）＝25＋23a ＋2b －8＝24＋82a b +＝－26．7．已知函数22()1x f x x =＋，那么111(1)(2)()(3)()(4)()234f f f f f f f ++++++＝27 提示：()f x ＝221xx ＋，)1(x f ＝112＋x ，()f x ＋)1(x f ＝1． ∴ 111(1)(2)()(3)()(4)()234f f f f f f f ++++++＝21＋1＋1＋1＝27．8．作出下列函数的图象：(1)⎩⎨⎧---=14)(22x x x f )20()02(≤<≤≤-x x ； (2)322-+=x x y ；01()2(3)||x y x x+=-解：（1）函数图象如下：第（1）题 第（2）题 第（3）题（2）2223(02)23(20)x x x x y x x x ⎧+-≥≤-⎪=⎨----<<⎪⎩或22(1)4(02)(1)2(20)x x x x x ⎧+-≥≤-⎪=⎨-+--<<⎪⎩或 函数的图象如右上． （3）11(0)22y x x x =-<≠-且，图象如右上． 9．设二次函数()f x 满足f (x +2)=f (2-x )，且方程()0f x =的两实根的平方和为10，)(x f 的图象过点(0,3)，求f (x )的解析式.解：设2()(0)f x ax bx c a =++≠∵ f (x +2)=f (2-x )，∴()f x 的图像有对称轴2x =， ∴ 22ba-=,4b a =-． ∵ )(x f 的图象过点(0,3)，∴ 3c =，∴ 2()43(0)f x ax ax a =-+≠设方程2430ax ax -+=的两根为12,x x ，则：121243x x x x a +=⎧⎪⎨=⎪⎩，由221210x x +=，得：21212()210x x x x +-=，∴ 234210a-⋅=，解得：1a =． ∴ 2()43f x x x =-+．10．设2()32f x ax bx c =++，若0,(0)0,(1)0a b c f f ++=>>，求证： （1）0a >且21ba-<<-； （2）方程()0f x =在（0，1）内有两个实根。
人教A版数学必修一函数的单调性和奇偶性.doc
函数的单调性和奇偶性一. 选择题：（5630''⨯=）1. 函数y xx =是（ ）A. 奇函数B. 既是奇函数又是偶函数C. 偶函数D. 既不是奇函数又不是偶函数2. 函数f x x ()=-+321在区间()-∞-，12上是（ ） A. 增函数B.有时是增函数有时是减函数C. 减函数D. 无法判断其单调性3. 是偶函数且又在区间()-∞，0上是增函数的函数是（ ）A. y x =-+()12B. y x =-22C. y x =12D. y x =-21 4. 偶函数f x ()，当x >0时，f x x ()=-23，则当x <0时，f x ()=（ ）A. --23xB. 23x +C. -+23xD. 23x -5. f x ()是奇函数，它在区间[]m n ，（其中m n <）上有最大值f m ()，则它在区间[]--n m ，上（ ）A. 是减函数且有最大值-f m ()B. 是减函数且有最小值-f m ()C. 是增函数且有最大值-f m ()D. 是增函数且有最小值-f m ()6. 有如下4个命题：（1）奇函数的图象必过原点；（2）偶函数的图象必不过原点；（3）定义在R 上的奇函数可以是增函数；（4）定义在R 上的偶函数可以是增函数。
其中正确命题的个数是（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二. 填空题：（5420''⨯=）7. 若函数f x ax bx ()=++37，且f ()53=，则f ()-=5________。
8. 函数f x ()是定义在R 上的奇函数，则f ()0的值是________。
9. 函数f x x ()=+2的单调递减区间是________。
10. 函数f x ()是定义在R 上的奇函数，且它是减函数，若实数a ，b 使得f a f b ()()+>0成立，则a b +________0（填>、=、<）。
新课标高一函数单调性与奇偶性经典例题解析[编辑7页]
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新课标高一函数单调性与奇偶性经典例题解析［例1］已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)=－1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xyyx ++1),试证明： (1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.技巧与方法：对于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；对于(2)，判定21121x x x x --的范围是焦点.证明：(1)由f (x )+f (y )=f (xy yx ++1),令x =y =0,得f (0)=0,令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (21x x x --)=f (0)=0.∴f (x )=－f (－x ).∴f (x )为奇函数.(2)先证f (x )在(0，1)上单调递减.令0<x 1<x 2<1,则f (x 2)－f (x 1)=f (x 2)－f (－x 1)=f (21121x x x x --)∵0<x 1<x 2<1,∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0，∴12121x x x x -->0,又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0 ∴x 2－x 1<1－x 2x 1, ∴0<12121x x x x --<1,由题意知f (21121x x x x --)<0，即f (x 2)<f (x 1).∴f (x )在(0，1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)=0. ∴f (x )在(－1，1)上为减函数. 一、选择题 2.函数f (x )=111122+++-++x x x x 的图象( ) A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称D.关于直线x =1对称解析：f (－x )=－f (x ),f (x )是奇函数，图象关于原点对称. 答案：C 二、填空题3.函数f (x )在R 上为增函数，则y =f (|x +1|)的一个单调递减区间是_________.解析：令t =|x +1|,则t 在(－∞,－1]上递减，又y =f (x )在R 上单调递增，∴y =f (|x +1|)在(－∞,－1]上递减.答案：(－∞,－1]4.若函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 满足f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0 (0<x 1<x 2且在［x 2,+∞)上单调递增，则b 的取值范围是_________.解析：∵f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0,∴f (0)=d =0.f (x )=ax (x －x 1)(x －x 2)=ax 3－a (x 1+x 2)x 2+ax 1x 2x ， ∴b =－a (x 1+x 2),又f (x )在［x 2,+∞)单调递增，故a >0.又知0＜x 1＜x ,得x 1+x 2>0, ∴b =－a (x 1+x 2)＜0. 答案：(－∞,0） 三、解答题 5.已知函数f (x )=a x +12+-x x (a >1). (1)证明：函数f (x )在(－1，+∞)上为增函数. (2)用反证法证明方程f (x )=0没有负数根.证明：(1）设－1＜x 1＜x 2＜+∞,则x 2－x 1>0, 12x x a ->1且1x a >0, ∴)1(12112-=--x x x x x a a a a >0,又x 1+1>0,x 2+1>0 ∴)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122++-=+++--+-=+--+-x x x x x x x x x x x x x x >0, 于是f (x 2)－f (x 1)=12x x a a -+12121122+--+-x x x x >0 ∴f (x )在(－1，+∞）上为递增函数.(2）证法一：设存在x 0＜0(x 0≠－1)满足f (x 0)=0,则12000+--=x x a x 且由0＜0x a ＜1得0＜－1200+-x x ＜1,即21＜x 0＜2与x 0＜0矛盾，故f (x )=0没有负数根. 证法二：设存在x 0＜0(x 0≠－1)使f (x 0)=0,若－1＜x 0＜0,则1200+-x x ＜－2,0x a ＜1,∴f (x 0)＜－1与f (x 0)=0矛盾，若x 0＜－1,则1200+-x x >0, 0x a >0，∴f (x 0)>0与f (x 0)=0矛盾，故方程f (x )=0没有负数根. 6.求证函数f (x )=223)1(-x x 在区间(1，+∞)上是减函数.证明：∵x ≠0,∴f (x )=22422322)11(1)1(1)1(1x x x x x x x -=-=-, 设1＜x 1＜x 2＜+∞,则01111,11121222122>->-<<x x x x .2211222222112222)11(1)11(1.0)11()11(x x x x x x x x -<-∴>->-∴∴f (x 1)>f (x 2故函数f (x )在(1，+∞）上是减函数.7.设函数f (x )的定义域关于原点对称且满足： (i)f (x 1－x 2)=)()(1)()(1221x f x f x f x f -+⋅；(ii)存在正常数a 使f (a )=1.求证： (1)f (x )是奇函数.(2)f (x )是周期函数，且有一个周期是4a . 证明：(1）不妨令x =x 1－x 2,则f (－x )=f (x 2－x 1)=)()(1)()()()(1)()(12212112x f x f x f x f x f x f x f x f -+-=-+=－f (x 1－x 2)=－f (x ).∴f (x )是奇函数.(2）要证f (x +4a )=f (x ),可先计算f (x +a ),f (x +2a ). ∵f (x +a )=f ［x －(－a )］=)1)((1)(1)()()(1)()()()(1)()(=+-=--+-=---+-a f x f x f x f a f x f a f x f a f x f a f .).(111)(1)(11)(1)(1)(1)(])[()2(x f x f x f x f x f a x f a x f a a x f a x f -=++--+-=++-+=++=+∴ ∴f (x +4a )=f ［(x +2a )+2a ］=)2(1a x f +-=f (x ),故f (x )是以4a 为周期的周期函数.8.已知函数f (x )的定义域为R ，且对m 、n ∈R ,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )－1,且 f (－21)=0,当x >－21时，f (x )>0. (1)求证：f (x )是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证. 证明：设x 1＜x 2,则x 2－x 1－21>－21,由题意f (x 2－x 1－21)>0, ∵f (x 2)－f (x 1)=f ［(x 2－x 1)+x 1］－f (x 1)=f (x 2－x 1)+f (x 1)－1－f (x 1)=f (x 2－x 1)－1=f (x 2－x 1)+f (－21)－1=f ［(x 2－x 1)－21］>0, ∴f (x )是单调递增函数. (2)解：f (x )=2x +1.验证过程略.［例1］已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,设不等式解集为A ，B =A ∪{x |1≤x ≤5},求函数g (x )=－3x 2+3x －4(x ∈B )的最大值.知识依托：主要依据函数的性质去解决问题.错解分析：题目不等式中的“f ”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域.技巧与方法：借助奇偶性脱去“f ”号，转化为x 不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值. 解：由⎩⎨⎧<<-<<⎩⎨⎧<-<-<-<-66603333332x x x x 得且x ≠0,故0<x <6, 又∵f (x )是奇函数，∴f (x －3)<－f (x 2－3)=f (3－x 2),又f (x )在(－3，3)上是减函数， ∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2<x <6,即A ={x |2<x <6}, ∴B =A ∪{x |1≤x ≤5}={x |1≤x <6},又g (x )=－3x 2+3x －4=－3(x －21)2－413知：g (x )在B 上为减函数，∴g (x )max =g (1)=－4.一、选择题1.设f (x )是(－∞,+∞)上的奇函数，f (x +2)=－f (x ),当0≤x ≤1时，f (x )=x ,则f (7.5)等于( ) A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.5解析：f (7.5)=f (5.5+2)=－f (5.5)=－f (3.5+2)=f (3.5)=f (1.5+2)=－f (1.5)=－f (－0.5+2)= f (－0.5)=－f (0.5)=－0.5. 答案：B2.已知定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x )又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2则a 的取值范围是( )A.(22，3)B.(3，10)C.(22，4)D.(－2，3)解析：∵f (x )是定义在(－1，1）上的奇函数又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)＜0. ∴f (a －3)＜f (a 2－9).∴⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-9319113122a a a a ∴a ∈(22,3). 答案：A 二、填空题3.若f (x )为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f (－3)=0,则xf (x )<0的解集为_________.解析：由题意可知：xf (x )＜0⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧><⇔0)(00)(0x f x x f x 或 ⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔3030 )3()(0 )3()(0x x x x f x f x f x f x 或或 ∴x ∈(－3,0)∪(0,3) 答案：(－3，0）∪(0，3）4.如果函数f (x )在R 上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f (x +2)=－f (x ),试比较f (31),f (32),f (1)的大小关系_________.解析：∵f (x )为R 上的奇函数 ∴f (31)=－f (－31),f (32)=－f (－32),f (1)=－f (－1),又f (x )在(－1，0)上是增函数且－31> －32>－1. ∴f (－31)>f (－32)>f (－1),∴f (31)＜f (32)＜f (1). 答案：f (31)＜f (32)＜f (1) 三、解答题5.已知f (x )是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断f (x )在(－∞,0)上的增减性并加以证明. 解：函数f (x )在(－∞,0）上是增函数，设x 1＜x 2＜0,因为f (x )是偶函数，所以 f (－x 1)=f (x 1),f (－x 2)=f (x 2),由假设可知－x 1>－x 2>0,又已知f (x 在(0，+∞)上是减函数，于是有f (－x 1)＜f (－x 2),即f (x 1)＜f (x 2),由此可知，函数f (x )在(－∞,0)上是增函数.6.已知函数y =f (x )=cbx ax ++12 (a ,b ,c ∈R ,a >0,b >0)是奇函数，当x >0时，f (x )有最小值2，其中b ∈N 且f (1)<25. (1)试求函数f (x )的解析式；(2)问函数f (x )图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.解：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )=－f (x ),即c bx c bx cbx ax c bx ax -=+⇒+-+-=++1122 ∴c =0,∵a >0,b >0,x >0,∴f (x )=bxx b a bx ax 112+=+≥22b a，当且仅当x =a1时等号成立，于是22b a =2,∴a =b 2,由f (1)＜25得b a 1+＜25即b b 12+＜25,∴2b 2－5b +2＜0,解得21＜b ＜2，又b ∈N ,∴b =1,∴a =1,∴f (x )=x +x1. (2)设存在一点(x 0,y 0)在y =f (x )的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x 0,－y 0)也在y =f (x )图象上，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-=+0020002021)2(1yxx y x x消去y0得x02－2x0－1=0,x0=1±2.∴y=f(x)图象上存在两点(1+2,22),(1－2,－22)关于(1，0)对称. 3．由于v1v2＞0，v2-v1＞0，并且。
(完整)高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案),推荐文档
24高中数学必修 1第二章 函数单调性和奇偶性专项练习一、函数单调性相关练习题1、（1）函数 f (x )＝x －2 ， x ∈｛0，1，2，4｝的最大值为.3（2） 函数 f (x )＝2x －1在区间[1，5]上的最大值为 ，最小值为.12、利用单调性的定义证明函数 f (x )＝ x 2 在（－∞，0）上是增函数.3、判断函数 f (x )＝x ＋1在（－1，＋∞）上的单调性，并给予证明. 4、画出函数 y ＝－x 2＋2丨x 丨＋3的图像，并指出函数的单调区间.5、已知二次函数 y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为 x ＝3 的抛物线，试比较大小： (1)f(6)与 f(4)； (2)f(2)与f( 15)6、已知 y ＝f (x ) 在定义域（－1，1）上是减函数，且 f (1－a )＜f (3a －2) ，求实数 a 的取值范围.7、求下列函数的增区间与减区间(1)y ＝|x 2＋2x －3|x 2 - 2x(2) y＝1-|x - 1|(3)y ＝ （4） y ＝- x 2 - 2x + 31x 2－x －208、函数 f(x)＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2 在[1，＋∞]上是增函数，求实数 a 的取值范围．ax9、 【例4】 判断函数f(x)＝x 2 - 1(a ≠0)在区间(－1，1)上的单调性．10、求函数 f (x )＝x ＋ x在[1，3]上的最大值和最小值.二、函数奇偶性相关练习题11、判断下列函数是否具有奇偶性.（1） f (x )＝(x －； （2） f (x )＝a（ x ∈ R ）； （3） f (x )＝3 (2x ＋5)2－3 (2x －5)212、若 y ＝(m －1)x 2＋2mx ＋3 是偶函数，则 m ＝．13、 已知函数 f (x )＝ax 2＋bx ＋c （ a ≠ 0 ）是偶函数，那么 g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是 （ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数14、已知函数 f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为[ a －1, 2a ]，则 （）1A ． a = ，b ＝0B ．a ＝－1，b ＝0C ．a ＝1，b ＝0D ．a ＝3，b ＝0315、已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥ 0 时， f (x )＝x 2－2x ，则 f (x ) 在 R 上的表达式是 （ ）A ．y ＝x （x －2）B ．y ＝x （｜x ｜－1）C ．y ＝｜x ｜（x －2）D ．y ＝x （｜x ｜－2）16、函数 f (x ) =）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数17、若(x ) ， g (x ) 都是奇函数， f (x )＝a(x )＋bg (x )＋2 在（0，＋∞）上有最大值 5，则 f (x ) 在（－∞，0）上有（）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－318、函数 f (x ) = 的奇偶性为（填奇函数或偶函数） ．⎪ x 3－3x 2＋1， 19、判断函数 f (x )＝ ⎨⎩ x 3＋3x 2－1， x ＞0x ＜0的奇偶性. 20、f （x ）是定义在（－∞，－5］ ［5，＋∞）上的奇函数，且 f （x ）在［5，＋∞）上单调递减，试判断 f （x ）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．121、已知 f (x ) 是偶函数， g (x ) 是奇函数，若 f (x ) + g (x ) =g (x ) 的解析式为.x -1，则 f (x ) 的解析式为，22、已知函数 f （x ）满足 f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2f （x ）·f （y ）（x ∈R ，y ∈R ），且 f （0）≠0.试证 f （x ）是偶函数．23、设函数 y ＝f （x ）（x ∈R 且x≠0）对任意非零实数 x 1、x 2 满足 f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2）.求证 f （x ）是偶函数．1 + x2 + x -11 + x2 + x +1x - 2 - 21 - x 2高中数学必修 1第二章函数单调性和奇偶性专项练习答案11、【答案】（1）2 （2）3，32、略3、【答案】减函数，证明略.4、【答案】分为x ≥ 0 和x＜0 两种情况，分段画图.单调增区间是（－∞，－1）和[0，1]；单调减区间是[－1，0)和（1，＋∞）5、【答案】（1）f(6)＜f(4) ；（2）∴f( 15)＞f(4)，即f( 15)＞f(2)．1 36、【答案】实数a 的取值范围是（，）3 47、【答案】（1）递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]（2）增区间是(－∞，0)和(0，1)；减区间是[1，2)和(2，＋∞)（3）∴函数的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．1 1（4）函数的增区间是（－∞，－4）和（－4，）；减区间是[ ，5)和（5，＋∞）2 28、【答案】a 的取值范围是0≤a≤1．9、【答案】当a＞0 时，f(x)在(－1，1)上是减函数；当a＜0 时，f(x)在(－1，1)上是增函数．10、【答案】先判断函数在[1，2]上是减函数，在（2，3]上是增函数，可得f (2) ＝4 是最小值，f (1) ＝5 是最大值.二、函数奇偶性相关练习题11、【答案】（1）定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数；（2）a＝0 ，f (x) 既是奇函数又是偶函数；a ≠ 0 ，f (x) 是偶函数；（3）f (x) 是奇函数.12、【答案】013、【答案】选A14、【答案】选B15、【答案】选D16、【答案】选B17、【答案】选C18【答案】奇函数19、【答案】奇函数【提示】分x＞0 和x＜0 两种情况，分别证明f (－x)＝－f (x) 即可.20、【答案】解析：任取x1＜x2≤－5，则－x1＞－x2≥－5．因f（x）在［5，＋∞］上单调递减，所以f（－x1）＜f（－x2）⇒f（x1）＜－f（x2）⇒f（x1）＞f（x2），即单调减函数．21、【答案】 f (x) =1x 2 -1 ，g(x)＝xx 2－122、证明：令x＝y＝0，有f（0）＋f（0）＝2f（0）·f（0），又f（0）≠0，∴可证f（0）＝1．令x＝0，∴f（y）＋f（－y）＝2f（0）·f（y）⇒f（－y）＝f（y），故f（x）为偶函数．23、证明：由x1，x2∈R 且不为 0 的任意性，令x1＝x2＝1 代入可证，f（1）＝2f（1），∴f（1）＝0．又令x1＝x2＝－1，∴f［－1×（－1）］＝2f（1）＝0，∴f（－1）＝0．又令x1＝－1，x2＝x，∴f（－x）＝f（－1）＋f（x）＝0＋f（x）＝f（x），即f（x）为偶函数．“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
奇偶性与单调性及典型例题
奇偶性与单调性及典型例题函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.难点磁场(★★★★)设a>0,f(x)=是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明：f(x)在(0，+∞)上是增函数.案例探究［例1］已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★题目.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.错解分析：本题对思维能力要求较高，如果"赋值"不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.技巧与方法：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定的范围是焦点.证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0<x1<x2<1,则f(x2)－f(x1)=f(x2)－f(－x1)=f()∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴>0,又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0∴x2－x1<1－x2x1,∴0<<1,由题意知f()<0，即f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.∴f(x)在(－1，1)上为减函数.［例2］设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y=()的单调递减区间.命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法.本题属于★★★★★级题目.知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题.错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法.解：设0<x1<x2,则－x2<－x1<0，∵f(x)在区间(－∞,0)内单调递增，∴f(－x2)<f(－x1),∵f(x)为偶函数，∴f(－x2)=f(x2),f(－x1)=f(x1),∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，+∞)内单调递减.由f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1)得：2a2+a+1>3a2－2a+1.解之，得0<a<3.又a2－3a+1=(a－)2－.∴函数y=()的单调减区间是［，+∞］结合0<a<3,得函数y=()的单调递减区间为［，3).锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有：(1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性.若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的"磁场"及"训练"认真体会，用好数与形的统一.复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数.(2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目，下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用.歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)下列函数中的奇函数是( )A.f(x)=(x－1)B.f(x)=C.f(x)=D.f(x)=2.(★★★★★)函数f(x)=的图象( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线x=1对称二、填空题3.(★★★★)函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________.4.(★★★★★)若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0<x1<x2),［x2,+∞上单调递增，则b的取值范围是_________.三、解答题5.(★★★★)已知函数f(x)=ax+ (a>1).(1)证明：函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数.(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.6.(★★★★★)求证函数f(x)=在区间(1，+∞)上是减函数.7.(★★★★)设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x1－x2)=；(ii)存在正常数a使f(a)=1.求证：(1)f(x)是奇函数.(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a.8.(★★★★★)已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－)=0,当x>－时，f(x)>0.(1)求证：f(x)是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.参考答案难点磁场(1)解：依题意，对一切x∈R,有f(x)=f(－x),即+aex.整理，得(a－)(ex－)=0.因此，有a－=0,即a2=1,又a>0,∴a=1(2)证法一：设0＜x1＜x2,则f(x1)－f(x2)=由x1>0,x2>0,x2>x1,∴>0,1－e＜0,∴f(x1)－f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2)∴f(x)在(0,+∞)上是增函数证法二：由f(x)=ex+e－x，得f′(x)=ex－e－x=e－x·(e2x－1).当x∈(0,+∞)时，e－x>0,e2x －1>0.此时f′(x)>0,所以f(x)在［0，+∞)上是增函数.歼灭难点训练一、1.解析：f(－x)= =－f(x)，故f(x)为奇函数.答案：C2.解析：f(－x)=－f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称.答案：C二、3.解析：令t=|x+1|,则t在(－∞,－1上递减，又y=f(x)在R上单调递增，∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1上递减.答案：(－∞,－14.解析：∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x，∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞单调递增，故a>0.又知0＜x1＜x,得x1+x2>0,∴b=－a(x1+x2)＜0.答案：(－∞,0）三、5.证明：(1）设－1＜x1＜x2＜+∞,则x2－x1>0, >1且>0,∴>0,又x1+1>0,x2+1>0∴>0,于是f(x2)－f(x1)=+ >0∴f(x)在(－1，+∞）上为递增函数.(2）证法一：设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)=0,则且由0＜＜1得0＜－＜1,即＜x0＜2与x0＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根.证法二：设存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,若－1＜x0＜0,则＜－2,＜1,∴f(x0)＜－1与f(x0)=0矛盾，若x0＜－1,则>0, >0，∴f(x0)>0与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.6.证明：∵x≠0,∴f(x)=,设1＜x1＜x2＜+∞,则.∴f(x1)>f(x2),f(x)在(1，+∞）上是减函数.(本题也可用求导方法解决）7.证明：(1）不妨令x=x1－x2,则f(－x)=f(x2－x1)==－f(x1－x2)=－f(x).∴f(x)是奇函数.(2）要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a).∵f(x+a)=f［x－(－a)］=.∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］==f(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数.8.(1）证明：设x1＜x2,则x2－x1－>－,由题意f(x2－x1－)>0,∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－)－1=f［(x2－x1)－］>0,∴f(x)是单调递增函数.(2)解：f(x)=2x+1.验证过程略.难点8 奇偶性与单调性(二)函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识.●难点磁场(★★★★★)已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0,解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0.●案例探究［例1］已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,设不等式解集为A，B=A∪{x|1≤x≤},求函数g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目.知识依托：主要依据函数的性质去解决问题.错解分析：题目不等式中的"f"号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域.技巧与方法：借助奇偶性脱去"f"号，转化为xcos不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值.解：由且x≠0,故0<x<,又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2<x<,即A={x|2<x<},∴B=A∪{x|1≤x≤}={x|1≤x<},又g(x)=－3x2+3x－4=－3(x－)2－知：g(x)在B上为减函数，∴g(x)max=g(1)=－4.［例2］已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数m,使f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(0)对所有θ∈［0,］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由.命题意图：本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力，属★★★★★题目.知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法.技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.解：∵f(x)是R上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f(x)是R上的增函数.于是不等式可等价地转化为f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m),即cos2θ－3>2mcosθ－4m,即cos2θ－mcosθ+2m－2>0.设t=cosθ,则问题等价地转化为函数g(t)=t2－mt+2m－2=(t－)2－+2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g(t)在［0，1］上的最小值为正.∴当<0,即m<0时，g(0)=2m－2>0m>1与m<0不符；当0≤≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=－+2m－2>04－2<m<4+2,4－2<m≤2.当>1,即m>2时，g(1)=m－1>0m>1.∴m>2综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－2.●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：(1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力.(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决.特别是：往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)设f(x)是(－∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x)=x,则f(7.5)等于( )A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.52.(★★★★)已知定义域为(－1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)<0,a的取值范围是( )A.(2，3)B.(3，)C.(2，4)D.(－2，3)二、填空题3.(★★★★)若f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,则xf(x)<0的解集为_________.4.(★★★★)如果函数f(x)在R上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f(x+2)=－f(x),试比较f(),f(),f(1)的大小关系_________.三、解答题5.(★★★★★)已知f(x)是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞,0)上的增减性并加以证明.6.(★★★★)已知f(x)= (a∈R)是R上的奇函数，(1)求a的值；(2)求f(x)的反函数f－1(x);(3)对任意给定的k∈R+,解不等式f－1(x)>lg.7.(★★★★)定义在(－∞,4］上的减函数f(x)满足f(m－sinx)≤f(－+cos2x)对任意x∈R 都成立，求实数m的取值范围.8.(★★★★★)已知函数y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)<.(1)试求函数f(x)的解析式；(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.参考答案难点磁场解：∵f(2)=0,∴原不等式可化为f［log2(x2+5x+4)］≥f(2).又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞,0）上为减函数且f(－2)=f(2)=0∴不等式可化为log2(x2+5x+4)≥2 ①或log2(x2+5x+4)≤－2 ②由①得x2+5x+4≥4∴x≤－5或x≥0 ③由②得0＜x2+5x+4≤得≤x＜－4或－1＜x≤④由③④得原不等式的解集为{x|x≤－5或≤x≤－4或－1＜x≤或x≥0}歼灭难点训练一、1.解析：f(7.5)=f(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.答案：B2.解析：∵f(x)是定义在(－1，1）上的奇函数又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)＜0.∴f(a－3)＜f(a2－9).∴∴a∈(2,3).答案：A二、3.解析：由题意可知：xf(x)＜0∴x∈(－3,0)∪(0,3)答案：(－3，0）∪(0，3）4.解析：∵f(x)为R上的奇函数∴f()=－f(－),f()=－f(－),f(1)=－f(－1),又f(x)在(－1，0)上是增函数且－>－>－1.∴f(－)>f(－)>f(－1),∴f()＜f()＜f(1).答案：f()＜f()＜f(1)三、5.解：函数f(x)在(－∞,0）上是增函数，设x1＜x2＜0,因为f(x)是偶函数，所以f(－x1)=f(x1),f(－x2)=f(x2),由假设可知－x1>－x2>0,又已知f(x)(0，+∞)上是减函数，于是有f(－x1)＜f(－x2),即f(x1)＜f(x2),由此可知，函数f(x)在(－∞,0)上是增函数.6.解：(1）a=1.(2)f(x)= (x∈R)f－-1(x)=log2 (－1＜x＜1.(3)由log2>log2log2(1－x)＜log2k,∴当0＜k＜2时，不等式解集为{x|1－k＜x＜1;当k≥2时，不等式解集为{x|－1＜x＜1.7.解：，对x∈R恒成立,∴m∈［,3］∪{}.8.解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x),即∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)=≥2，当且仅当x=时等号成立，于是2=2,∴a=b2,由f(1)＜得＜即＜,∴2b2－5b+2＜0,解得＜b＜2，又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+.(2)设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x0,－y0)也在y=f(x)图象上，则消去y0得x02－2x0－1=0,x0=1±.∴y=f(x)图象上存在两点(1+,2),(1－,－2)关于(1，0)对称.函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识.●难点磁场(★★★★★)已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0,解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0.●案例探究［例1］已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,设不等式解集为A，B=A∪{x|1≤x≤},求函数g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目.知识依托：主要依据函数的性质去解决问题.错解分析：题目不等式中的“f”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域.技巧与方法：借助奇偶性脱去“f”号，转化为xcos不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值.解：由且x≠0,故0<x< ,又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2<x< ,即A={x|2<x< },∴B=A∪{x|1≤x≤}={x|1≤x< },又g(x)=－3x2+3x－4=－3(x－)2－知：g(x)在B上为减函数，∴g(x)max=g(1)=－4.［例2］已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数m,使f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(0)对所有θ∈［0, ］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由.命题意图：本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力，属★★★★★题目.知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法.技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.解：∵f(x)是R上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f(x)是R上的增函数.于是不等式可等价地转化为f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m),即cos2θ－3>2mcosθ－4m,即cos2θ－mcosθ+2m－2>0.设t=cosθ,则问题等价地转化为函数g(t)=t2－mt+2m－2=(t－)2－+2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g(t)在［0，1］上的最小值为正.∴当<0,即m<0时，g(0)=2m－2>0 m>1与m<0不符；当0≤≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=－+2m－2>04－2 <m<4+2 ,4－2 <m≤2.当>1,即m>2时，g(1)=m－1>0 m>1.∴m>2综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－2 .●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：(1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力.(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决.特别是：往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)设f(x)是(－∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x)=x,则f(7.5)等于( )A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.52.(★★★★)已知定义域为(－1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)<0,a的取值范围是( )A.(2 ，3)B.(3，)C.(2 ，4)D.(－2，3)二、填空题3.(★★★★)若f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,则xf(x)<0的解集为_________.4.(★★★★)如果函数f(x)在R上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f(x+2)=－f(x),试比较f( ),f( ),f(1)的大小关系_________.三、解答题5.(★★★★★)已知f(x)是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞,0)上的增减性并加以证明.6.(★★★★)已知f(x)= (a∈R)是R上的奇函数，(1)求a的值；(2)求f(x)的反函数f－1(x);(3)对任意给定的k∈R+,解不等式f－1(x)>lg .7.(★★★★)定义在(－∞,4］上的减函数f(x)满足f(m－sinx)≤f( －+cos2x)对任意x∈R都成立，求实数m的取值范围.8.(★★★★★)已知函数y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)< .(1)试求函数f(x)的解析式；(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.参考答案难点磁场解：∵f(2)=0,∴原不等式可化为f［log2(x2+5x+4)］≥f(2).又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞,0）上为减函数且f(－2)=f(2)=0∴不等式可化为log2(x2+5x+4)≥2 ①或log2(x2+5x+4)≤－2 ②由①得x2+5x+4≥4∴x≤－5或x≥0 ③由②得0＜x2+5x+4≤得≤x＜－4或－1＜x≤④由③④得原不等式的解集为{x|x≤－5或≤x≤－4或－1＜x≤或x≥0}歼灭难点训练一、1.解析：f(7.5)=f(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.答案：B2.解析：∵f(x)是定义在(－1，1）上的奇函数又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)＜0.∴f(a－3)＜f(a2－9).∴∴a∈(2 ,3).答案：A二、3.解析：由题意可知：xf(x)＜0∴x∈(－3,0)∪(0,3)答案：(－3，0）∪(0，3）4.解析：∵f(x)为R上的奇函数∴f( )=－f(－),f( )=－f(－),f(1)=－f(－1),又f(x)在(－1，0)上是增函数且－>－>－1.∴f(－)>f(－)>f(－1),∴f( )＜f( )＜f(1).答案：f( )＜f( )＜f(1)三、5.解：函数f(x)在(－∞,0）上是增函数，设x1＜x2＜0,因为f(x)是偶函数，所以f(－x1)=f(x1),f(－x2)=f(x2),由假设可知－x1>－x2>0,又已知f(x)(0，+∞)上是减函数，于是有f(－x1)＜f(－x2),即f(x1)＜f(x2),由此可知，函数f(x)在(－∞,0)上是增函数.6.解：(1）a=1.(2)f(x)= (x∈R) f－-1(x)=log2 (－1＜x＜1 .(3)由log2 >log2 log2(1－x)＜log2k,∴当0＜k＜2时，不等式解集为{x|1－k＜x＜1 ;当k≥2时，不等式解集为{x|－1＜x＜1 .7.解：，对x∈R恒成立,∴m∈［,3］∪{ }.8.解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x),即∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)= ≥2 ，当且仅当x= 时等号成立，于是2 =2,∴a=b2,由f(1)＜得＜即＜,∴2b2－5b+2＜0,解得＜b＜2，又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+ .(2)设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x0,－y0)也在y=f(x)图象上，则消去y0得x02－2x0－1=0,x0=1±.∴y=f(x)图象上存在两点(1+ ,2 ),(1－,－2 )关于(1，0)对称.。
函数的单调性及奇偶性(含答案)
函数的单调性及奇偶性(含答案)函数的单调性及奇偶性1.已知函数$f(x)=x^2+2x+1$，则$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上是上的增函数，若$x>0$，则下列不一定正确的是()答案：D解题思路：$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上单调递增，所以选项D不一定正确。
2.已知定义在$(-\infty,+\infty)$上的函数$f(x)$满足：对任意不同的$x_1$，$x_2$，都有$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\leq\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$。
若$f(x)=ax^2+bx+c$，则实数$a$的取值范围是()答案：C解题思路：根据题目中的条件可知$f(x)$是下凸函数，即$a>0$，$b^2-4ac<0$，所以$a$的取值范围是$(0,+\infty)$，选项C正确。
3.已知定义在$(-\infty,+\infty)$上的函数$f(x)$满足：对任意不同的$x_1$，$x_2$，都有$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\leq\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$。
若$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，则实数$a$的取值范围是()答案：B解题思路：根据题目中的条件可知$f(x)$是下凸函数，且在$(0,+\infty)$上单调递增，所以$a>0$，$b^2-4ac<0$，且$b\geq0$，所以$a\leq\frac{1}{4}$，选项B正确。
4.函数$f(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}$的单调递减区间是()答案：A解题思路：求出$f'(x)$，令其小于0，解得$x\in(-\infty,-2)\cup(-1,-\frac{3}{2})$，即$f(x)$在$(-\infty,-2)\cup(-1,-\frac{3}{2})$上单调递减，选项A正确。
【高中】高中数学必修一函数的性质单调性与奇偶性典型精讲精练
【关键字】高中函数单调性证明格式：①取任意两个数属于定义域D，且令（反之亦可）；②作差并因式分解；③判定的正负性，并由此说明函数的增减性；例 1用定义法判定下列函数的增减性：①；②；③；④；⑤；练习：1.判断函数在定义域上的单调性；2.证明函数在R上是增函数；例 2已知函数，求证：函数的单调减区间为，增区间为，并画出图像；练习：证明函数在上是增函数。
3.复合函数的单调性复合函数的单调性判断（同增异减）：构造中间过度函数，按定义比较函数大小并确定函数的单调性；例 3判断函数的单调性：（1）；（2）；（3）；练习：①；②；③；④；4.函数的单调性的等价关系设那么上是增函数；上是减函数。
例 4定义在（a，c）上的函数f(x)，在区间（a，b）及（b，c）上均为增函数，函数f (x)在区间（a，c）上是否为增函数如何？请举例说明。
例 5定义在R上的函数,,当时，且对任意的都有(1)求证：；(2)求证：对任意的恒有；(3)求证：f(x)是R上的增函数；(4)若,求的取值范围相关练习1、设的图像关于原点对称，且在内是增函数，又，则的解集是………………( )A B C D2、若的图像关于y轴对称，且在上是减函数，则的大小关系…( )A >B <C D3、已知函数在上是增的，则……………………( )A B C D4、若函数f(x)关于y轴对称，在时是增的，试解关于a的不等式：f(a-2)+f(a2-4)＜0。
5、已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝－2(1)判断f(x)的单调性;(2)求f(x)在区间[－2,1]上的值域.函数奇偶性图像性质引入：例 1 观察分析以下函数图像所具有的对称性（1）； （2）； （3）； （4）；定义：图像关于y 轴对称的函数叫偶函数，如；图像关于原点对称的函数叫奇函数，如；思考：有没有函数既关于y 轴对称，又关于原点对称？函数奇偶性的判定：偶函数：如果对于定义域内的任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。
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必修一：函数的单调性与奇偶性总结一、单调性1、定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x <时，都有))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。
例1、讨论函数0)(>+=a xa x x f ，的单调性。
解：由)(x f 为奇函数，令0>x任取021>>x x ，()()21212121)()(x x a x x x x x f x f --=-，令a x a x >⇒>2 单调递增区间为：()+∞,a ，()a --，∞ 单调递减区间为：(]a ，0，[)0,-a 小结：（1）要证明函数的单调性，只能用定义的方法，但它也可用来求函数的单调性；（2）使用定义法判断单调性时，要注意格式，设元、作差、变形、定号、下结论，其中最难的一步为变形，需将作差式整理为多项连乘，方便定号；（4）判断a x x -21的符号时，可令x x x ==11，即a x -2；（5）当多个同增或同减区间不在一起时，单调区间之间不能用“或”字连接，只能用“逗号”。
当多个同增或同减区间连在一起时，要注意判断其单调区间是否能合并；（6）单调性是研究函数图像在某段区间内的变化情况，在某点处研究单调性无意义，故单调区间端点处一般可开可闭，均正确。
但若端点处不在定义域内，则必须为开；（7）对于复杂题型，先通过奇偶性得图像对称性，从而只需讨论一半的范围，会降低解题难度；（8）当已知函数值为正时，还可以通过作商实现比大小；（9）记住两个特殊函数的图像。
其中x b ax x g +=)(与x b ax x h -=)(，0,0>>b a 时，图像轮廓相同。
2、图像特点：在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。
（提示：判断函数单调性一般都使用图像法，尤其是分段函数的单调性。
）例2、下列函数中，在(0，2)上为增函数的是( B )A.13+-=x yB.2+=x yC.xy 4= D.342+-=x x y 小结：熟练掌握常见函数的图像，是研究函数性质的关键。
如：2+=x y 、22++=x y 、342+-=x x y 、342+-=x x y 等，一般先判断奇偶性得图像对称性，从而先画0>x 的图像，再通过对称性得另外一半的图像；如果函数整体带绝对值，只需将x 轴下方图像翻上。
如果是非标准型，先找原点位置即可。
例3、下列函数中，在()+∞,0上为增函数的是( D )A.342+-=x x yB.5--x y =C. 1-32x x y -=D.xx x y 342-+= 小结：（1）分式形式的函数，常用“分离常数”的方法化简；（2）一个复杂函数可以分解成多个函数相加得到，而函数的单调性也可以进行加法运算，同减为减，同加为加，但不能进行乘除运算。
同时要注意单调区间统一。
例4、若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤->+-+-=1,21,56)2()(22x x x x a a x a x f 为R 上减函数，则实数a 的取值范围是 21≤≤a 小结：分段函数单调性并不是不能合并，只是需要满足两点（1）各段单调性相同；（2）两段函数图像在联结处也符合相同的单调性，此点用联结处两函数值的大小来反映图像的上下关系。
3．二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ，由开口方向与对称轴同时决定。
例5、已知函数34)(2++=x x x f ，求函数)(x f 在区间[]1,+t t 的最小值)(t g 与最大值)(t h()[]()⎪⎩⎪⎨⎧+∞-∈++--∈--∞-∈++=,2,342,3 ,13,,86)(22t t t t t t t t g ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-∈++⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-∈++=25,,34,25,86)(22t t t t t t t h 小结：（1）由于给定为动区间，它在抛物线上的位置未定，导致最值无法确定；（2）只需弄清区间与抛物线的对称轴之间相对位置关系，就能通过图像确定最值的位置，故需要讨论三种情况：对成轴在区间左边、右边、中间；（3）开口向上的抛物线中，有其天然的最小值，即顶点处。
故，最大值只能在给定区间的端点处取到。
由，抛物线的轴对称性，开口向上的抛物线上的点，到对称轴距离越大，函数值越大。
则，只需讨论给定区间的两端点到对称轴的距离的大小，就能确定最大值是左右端点中哪个个取到；（4）开口向下的抛物线、定轴动区间，解法与本题类似。
4．复合函数的单调性：同增异减例6、函数322-+=x x y 的单调减区间是 （ A ）A.]3,(--∞B.),1[+∞-C.]1,(--∞D.),1[+∞解：原函数由u y =与322-+=x x u 所复合，由u y =恒增，故函数322-+=x x u 的减区间即为原函数的减区间，1-≤x 。
但u y =中，0≥u ，故310322-≤≥⇒≥-+=x x x x u 或，综上，3-≤x 小结：（1）高中阶段，复合函数单调性一般其中一个简单函数单调性恒定，故只需考虑另外一个函数的单调性，但容易漏掉限制条件；（2）我们可以直接记住结论，首先考查定义域，如果单调性恒定的函数为恒增，那么另一个函数的单调性与原函数单调性相同，其单调区间与定义域取交集即可；如果单调性恒定的函数为恒减，那么另一个函数的单调性与原函数单调性相反。
例7：已知函数228)(x x x f -+=，如果)2()(2x f x g -=，那么)(x g （ A ）A.在区间(-1，0)上是减函数B.在区间(0， 1)上是减函数C..在区间(-2，0)上是增函数D..在区间(0， 2)上是增函数.解：)(x g 由228)(u u u f y -+==与2-2x u =所复合。
先考虑外层函数)(u f 的单调性，1≥u 时单调递增，1≤u 时为单调递减。
由于我们研究x 的范围，故将u 的范围还原成x ，1-22≥=x u 则11-≤≤x 时)(u f 为增，1-22≤=x u 则11-≤≥x x 或时)(u f 为减；再考虑内层函数2-2x u =，0≥x 时为增，0≤x 时为减。
如图：由同增异减，得原函数)(x g ，在1-≤x 为增；01-≤≤x 为减；10≤≤x 为增；1≥x 为减。
小结：（1）本题关键在于弄清)(x g 的构成；（2）一般先讨论外层函数单调性；（3）注意将u 还原成x 。
二、奇偶性1．定义：如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f =-，那么函数f(x)就叫偶函数；如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f -=-，那么函数f(x)就叫奇函数。
例8、判断下列各函数的奇偶性（1）x x x x f 12)(3+--= （2）1)(23--=x x x x f （3）⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=0,0)(22x x x x x f ， （4）()1)(2-=x x x f 小结：（1）考察函数奇偶性首先要检查定义域是否关于原点对称；（2）函数的奇偶性可以进行加减乘除运算，可将奇函数看成“负号”，偶函数看成“正号”；（3）分段函数考察奇偶性时，必须每段都考察，奇偶性一致才能得到原函数奇偶性，奇偶性不一致则为非奇非偶。
（4）在选填题中，在检查了定义域的前提下，还可以通过图像得到函数的奇偶性。
例9、已知函数),,(1)(2Z c b a cbx ax x f ∈++=是奇函数，又2)1(=f ，3)2(<f ，求c b a ,,的值。
解：由)(x f 是奇函数，且0=x 在定义域内，则0)0(=f ，即0=c又2)1(=f 则b a 21=+，又3)2(<f 得3214<+b a ，故3114<++a a ，即21<<-a ，由Z a ∈故10或=a 若0=a 则Z b ∉=21（舍）；当1=a 则Z b ∈=1。
综上0,1,1===c b a 小结：由于本题给定了奇偶性，故可以使用特殊值0)0(=f 简化运算。
但求或证明奇偶性时，只能用定义，不能用x特殊值法，即通过)()(x f x f =-恒成立，得)(c bx c bx +-=+-恒成立，即b b -=-且c c -=，故0=c 。
2、奇偶性的性质例10、已知8)(35-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ，那么=)2(f解：108222)2-(35=----=b a f 则1822235=---b a 又268188222)2(35-=--=-++=b a f小结：本题虽然含有参数，但)(x f 可看成bx ax x y ++=35这个奇函数加常数形成，而条件与结论中，自变量2-与2本身关于原点对称，故由奇函数的对称性，可得变量部分bx ax x ++35两函数值之间互为相反数，从而整体代换得到结果。
当然，如果求？=)3(f ，显然无法求解了。
例11、已知)(x f 、)(x g 都是定义在R 上的奇函数，若2)()()(++=x bg x af x F 在区间()+∞,0上的最大值为5，求)(x F 在区间()0,∞-上的最小值。
解：令)()()(x bg x af x h +=，则)(x h 为奇函数且52)()(max max =+=x h x F ，则3)(max =x h由2)()(min min +=x h x F ，又3)()(max min -=-=x h x h ，故1-)(min =x F小结：（1）注意由奇函数图像的对称性，发现在对称的两个区间上，最大值与最小值之间互为相反数；（2）若函数为偶函数则在对称区间上，最值不变。
3、由奇偶性得函数解析式例12、已知)(x f 为定义在11≤≤-x 奇函数当10≤<x 时，x x f -=1)(，则=)(x f 解：令01<≤-x ，则10≤-<x ，故()x x f --=-1)(x +=1，又)(x f 为奇函数，则)()(x f x f -=- 故)(1)(x f x x f -=+=- ，即此时x x f --=1)(，又0)0(=f ，综上⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<≤---=10,10,001,1)(x x x x x x f小结：（1）求哪个范围的解析式，就令x 在哪个范围内；（2）求某个范围内的解析式，就是要得到)(x f ，要将其相关形式如)(x f -转换成)(x f ；（3）要注意检查范围的完备性。
三、单调性、奇偶性综合应用1、定义在[]33-，上的偶函数)(x f 在[]03-，是单调递减，若)2()2-(22a a f a a f -<，则求a 的取值范围 解：由奇偶性与单调性得函数图像类似开口向上的抛物线， 则1032-a -232012241213123313≤≤≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≥≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+<+≤+≤-≤+≤-a a a a a a a a a 或或图(2-3)小结：（1）函数奇偶性、单调性本质上就是研究函数的图像，反过来，通过函数的奇偶性与对称性就能大致复原函数图像的轮廓；（2）注意复合函数问题的定义域考察。