等差数列前n项和(第一课时)教学设计

等差数列前n 项和（第一课时）教学设计

教学目的：

知识目标：1.掌握等差数列前n 项和公式及公式的推导思想.

2.灵活运用等差数列前n 项和公式解决一些简单的实际问题.

能力目标：1.提高学生的推理能力.

2.增强学生的应用意识.

教学重点：等差数列前n 项和公式的推导、理解及应用.

教学难点：灵活应用等差数列前n 项和公式解决一些简单的有关问题.

教学方法：启发引导法，结合所学知识，引导学生在解决实际问题的过程中发现新知识，

从而理解并掌握.

教学过程：

问题情景：

古算书《张邱建算经》中卷有一道题：

今有与人钱，初一人与一钱，次一人与二钱，次一人与三钱，以次与之，转多一钱，共有百人，问共与几钱？

师生共同读题

师：题目当中我们可以得到哪些信息？要解决的问题是什么？

生1：第一人给1钱，第二人给2钱，第三人给3钱，以后每个人都比前一个人多给一钱，

共有100人，问共给了多少钱？

师：很好，问题已经呈现出来了，你能用数学符号语言表示吗？

生2：用n a 表示第n 个人所得的钱数，则由题意得： 1231,2,3,a a a ===…，100100a =

只要求出1+2+3+…+100=？

师：你能求出这个式子的值吗？

生2：（犹豫片刻） 1+100=101，2+99=101，3+98=101…50+51=101，

所求的和为101×1002

=5050 . 师：对于这个算法，著名的数学家高斯10岁时曾很快就想出来了.

高斯的算法是：首项与末项的和：1+100=101，

第2项与倒数第2项的和：2+99=101， 第3项与倒数第3项的和：3+98=101，

……

第50项与倒数第50项的和：50+51=101，

于是所求的和是101×1002

=5050 上面的问题可以看成是求等差数列1，2，3，…，n , …的前100项的和.

在上面解决问题的过程中,我们发现所求的和可用首项、末项及项数n 来表示，且任意的第k 项与倒数第k 项的和都等于首项与末项的和，从中你有何启发？我们如何去求一般等差数列的前n 项和？

设计意图：通过情景引入活动、任务，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行

解释与应用得过程，其作用就在于提升学生的经验，使之连续地向形式的、抽象的数学知识的转变.构筑在学生已有生活经验与生命体验基础之上的数学课程大大激发了学生“做数学”的热情，数学课变得更生动、更活泼，更能引发学生的兴趣.新教材中增添了一些数学史的知识，从课改的一些举措上我感到在数学教学过程中，应适时掀起数学史的教学盖头。向同学们介绍了《张邱建算经》和高斯及他的算法，讲课的过程中适当插入数学史，为数学教学输入了新鲜血液.培养学生的数学文化，营造浓郁的“人文”氛围.

等差数列前n 项和

设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则12n S a a =++…?n a +=

生3：（直接给出公式）由刚才问题的结果可知1()2

n n n a a S += 师：非常好，由具体的推广到一般，这也是研究数学的一种思想方法由特殊到一般，但是这

种方法是猜想、推测，是不完全归纳.数学公式的得出需要严谨的推理过程和相关的理论依据.你能否推导这个公式？

生4：121()()n n n S a a a a -=++++…+？（遇到困惑，最后一组怎样表示？是剩一项还是两

项？）

师：我们再回顾一下刚才解决的问题，共有100项，两两分组正好分为50组，

如果1+2+3+…+101=？n 项时又应如何分组？最后一组应怎样表示？

生4（继续回答）：1+101=102，2+100=102，3+99=102…50+52=102，51=

102(1101)22

+= 共有50组多出第51项 n 分奇偶性讨论，n 为偶数时正好分成

2n 组，n 为奇数时分成12

n -组还多一项 ∴当n 为偶数时，121()()n n n S a a a a -=++++ (1)

22()n n a a +++ =

1()2

n n a a + 当n 为奇数时，121()()n n n S a a a a -=++++ (11121)

222()n n n a a a ---+++++ 121()()n n a a a a -=++++…111222()()2

n n n a a a a --+++++

= 1()2

n n a a + 师：好通过分类讨论我们得出了等差数列{}n a 的前n 项和n S 公式，从所得的结果看无论n

是奇数还是偶数n S 的公式一样.那么我们是否可以避开讨论n 的奇偶性去推导呢？怎样出现首末两项的和？结合所得公式的特征思考.

生5：12n S a a =++…n a +

1n n n S a a -=++…1a +

将上面两式左右两边分别相加得1212()()n n n S a a a a -=++++…1()n a a ++

=1()n n a a + ∴1()2

n n n a a S += 师：此种方法简洁明了，且避开讨论n 的奇偶性，我们将这种方法称为“逆序相加法”，在

以后解决数列问题是也经常运用“逆序相加法”，主要运用了等差数列下标等距性质. （有学生举手）

生6：我用另外一种方法得出的结果不一样

12n S a a =++…112n a a d a d +=++++…1(1)a n d +-

=[1123na ++++…](1)n d -

=1(1)2

n n na d -+