动力吸振器PQ定点理论研究
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10.16638/j.cnki.1671-7988.2018.09.021
动力吸振器 PQ 定点理论研究
张多
（陕西航空职业技术学院，陕西 汉中 723000）
摘 要：传统的被动式动力吸振器对窄频激励的减振有很好的效果，但是对于宽频激励的减振并不理想。针对这种 情况，人们对主系统无阻尼时动力吸振器进行研究，得出了 PQ 定点理论。前人的研究中并没有讨论动力吸振器质 量和固有频率对 P、Q 振幅倍率的影响。文章中推导了吸振器的质量比、固有频率比对定点 PQ 两点振幅倍率的影 响。 关键词：动力吸振器；PQ 定点理论；振幅倍率 中图分类号：U461.2 献标识码：B 文章编号：1671-7988(2018)09-72-03
幅与阻尼无关，所以两曲线相交时有以下关系式： （1）
当 F 为简谐激励时， 代入（1）式可以得出
，系统的响应可以表示为： （2）
可得：
（3）
整理后可推出：
（5） （6）
式中，质量比 ；主系统固有频率
，
；
动力吸振器固有频率
，
；吸振器阻尼比
；主系统静变形为
；强迫振动比 ；
假设上式的根为 λP 和 λQ，可得出下列等式： 通过和式（7）对比，可得
（7） （8）
固有频率比
。
由 Hahnkamm 的 PQ 定点理论可知[4]，当主系统参数和
动力吸振器的质量和固有频率一定后，无论吸振器阻尼比如
何变化，主系统的振幅倍率曲线总有两个共同的交点 P、Q，
即两点的振幅倍率不受阻尼比的影响，当主系统质量 m1=1， 刚度为 k1=1 时，做出主系统在不同吸振器阻尼比下的振幅倍 率曲线，如图 2 所示。
前言
的结论，对动力吸振器的设计和半主动控制具有一定的应用 价值。
动力吸振器是工程实际中一种常用的振动控制技术。动 力吸振器从发明到现在已历经一个多世纪[1]。因其结构相对 简单，并且能够有效的减小频率变化不大的机构和设备的振 动，所以已经成为工程领域中对振动进行控制的重要手段。 当主系统无阻尼时具有 PQ 定点现象，通过该现象可对吸振 器参数进行优化[2]。
（9）
通过上式与公式（7）联立可求得
；由于 λP 小于 λQ，
设
，
；则可得 P、Q 在频率轴上的位
置为：
将其带入公式（3）即可求出在不同质量比和固有频率比 下，定点 P、Q 的振幅倍率的大小。
3 吸振器质量比和固有频率比对主系统减振效果 的影响
图 2 不同阻尼比情况下的主系统振幅倍率曲线（μ=0.25，γ=0.7）
72
张多：动力吸振器 PQ 定点理论研究
发生变化时，P、Q 两点的振幅倍率大小就会发生变化。现
推导吸振器质量比和固有频率比对 P、Q 两点振幅倍率的影
响。
当和
这两种情况主系统振幅倍率可表示为：
图 1 动力吸振器模型
（4）
应用牛顿第二定律，可以建立以下数学模型：
这两条振幅曲线的交点为 PQ 定点，由于这两定点的振
3 为不同质量比 μ 对主系统减振效果的影响。由图可知，当 质量比 μ 越大时，在减振频带内吸振器对主系统的减振效果 越好，此时动力吸振器的有效减振频带也越宽。但是当质量 比 μ 不断变大时，在一阶共振频率对应的峰值振幅倍率会不 断变大，二阶共振频率对应的峰值振幅倍率不断减小。还因 为在实际应用中，既要考虑安装空间位置还要考虑吸振器质 量对结构的整体影响，所以选取吸振器质量时只能在合适的 范围内进行考虑。
传统的 PQ 定点理论是在动力吸振器的质量比和固有频 率一定的情况下进行讨论。在本文中推导了动力吸振器的质 量比和固有频率比对 P、Q 两点振幅倍率的影响。文中分析
作者简介：张多，就职于陕西航空职业技术学院，助教。
1 动力吸振器的基本原理
动力吸振器作为一种减振装置，其减振原理不是靠耗损 能量进行减振，而是通过吸振器质量的动力作用，使吸振器 在主系统上产生一个与强迫振动力相抵消的反作用力，以此 来达到减振的目的[3]。图 1 为主系统无阻尼时动力吸振器模 型，m1、k1 为主系统的质量、刚度；m2、k2、c2 为吸振器的 质量、刚度、阻尼；主系统的位移 x1，动力吸振器的位移为 x2；坐标原点都选择在各自的静平衡位置。
The Research about The PQ Fixed Point Theory of DVA
Zhang Duo （Shaanxi Aviation Professional Technical Institute, Shaanxi Hanzhong 723000）
Abstract: The passive vibration DVA has a good performance under the narrow band excitation, but under the wide band excitation it has a poor performance. The fundamental of the DVA when primary system is undamped, the PQ fixed point theory and the optimization design of the DVA under the condition of the optimum relative tuning are introduced.The primary system amplification factor’s expression of the DVA when primary system is damped is deduced and the performance of primary system under different mass ratio, natural frequency ratio and damping ratio of DVA is researched. Keywords: dynamic vibration absorber; PQ fixed theory; primary system amplification CLC NO.: U461.2 Document Code: B Article ID: 1671-7988(2018)09-72-03
2 吸振器质量比和固有频率比与 PQ 振幅倍率的 关系
通过上述分析可知，当主系统参数确定，动力吸振器的 质量比和固有频率比一定时，PQ 定点的振幅倍率的大小和 吸振器的阻尼没有关系。但当吸振器的质量比和固有频率比
3wk.baidu.com1 质量比和固有频率对主系统振幅倍率的影响 动力吸振器的质量对主系统减振效果有明显的影响，图
动力吸振器 PQ 定点理论研究
张多
（陕西航空职业技术学院，陕西 汉中 723000）
摘 要：传统的被动式动力吸振器对窄频激励的减振有很好的效果，但是对于宽频激励的减振并不理想。针对这种 情况，人们对主系统无阻尼时动力吸振器进行研究，得出了 PQ 定点理论。前人的研究中并没有讨论动力吸振器质 量和固有频率对 P、Q 振幅倍率的影响。文章中推导了吸振器的质量比、固有频率比对定点 PQ 两点振幅倍率的影 响。 关键词：动力吸振器；PQ 定点理论；振幅倍率 中图分类号：U461.2 献标识码：B 文章编号：1671-7988(2018)09-72-03
幅与阻尼无关，所以两曲线相交时有以下关系式： （1）
当 F 为简谐激励时， 代入（1）式可以得出
，系统的响应可以表示为： （2）
可得：
（3）
整理后可推出：
（5） （6）
式中，质量比 ；主系统固有频率
，
；
动力吸振器固有频率
，
；吸振器阻尼比
；主系统静变形为
；强迫振动比 ；
假设上式的根为 λP 和 λQ，可得出下列等式： 通过和式（7）对比，可得
（7） （8）
固有频率比
。
由 Hahnkamm 的 PQ 定点理论可知[4]，当主系统参数和
动力吸振器的质量和固有频率一定后，无论吸振器阻尼比如
何变化，主系统的振幅倍率曲线总有两个共同的交点 P、Q，
即两点的振幅倍率不受阻尼比的影响，当主系统质量 m1=1， 刚度为 k1=1 时，做出主系统在不同吸振器阻尼比下的振幅倍 率曲线，如图 2 所示。
前言
的结论，对动力吸振器的设计和半主动控制具有一定的应用 价值。
动力吸振器是工程实际中一种常用的振动控制技术。动 力吸振器从发明到现在已历经一个多世纪[1]。因其结构相对 简单，并且能够有效的减小频率变化不大的机构和设备的振 动，所以已经成为工程领域中对振动进行控制的重要手段。 当主系统无阻尼时具有 PQ 定点现象，通过该现象可对吸振 器参数进行优化[2]。
（9）
通过上式与公式（7）联立可求得
；由于 λP 小于 λQ，
设
，
；则可得 P、Q 在频率轴上的位
置为：
将其带入公式（3）即可求出在不同质量比和固有频率比 下，定点 P、Q 的振幅倍率的大小。
3 吸振器质量比和固有频率比对主系统减振效果 的影响
图 2 不同阻尼比情况下的主系统振幅倍率曲线（μ=0.25，γ=0.7）
72
张多：动力吸振器 PQ 定点理论研究
发生变化时，P、Q 两点的振幅倍率大小就会发生变化。现
推导吸振器质量比和固有频率比对 P、Q 两点振幅倍率的影
响。
当和
这两种情况主系统振幅倍率可表示为：
图 1 动力吸振器模型
（4）
应用牛顿第二定律，可以建立以下数学模型：
这两条振幅曲线的交点为 PQ 定点，由于这两定点的振
3 为不同质量比 μ 对主系统减振效果的影响。由图可知，当 质量比 μ 越大时，在减振频带内吸振器对主系统的减振效果 越好，此时动力吸振器的有效减振频带也越宽。但是当质量 比 μ 不断变大时，在一阶共振频率对应的峰值振幅倍率会不 断变大，二阶共振频率对应的峰值振幅倍率不断减小。还因 为在实际应用中，既要考虑安装空间位置还要考虑吸振器质 量对结构的整体影响，所以选取吸振器质量时只能在合适的 范围内进行考虑。
传统的 PQ 定点理论是在动力吸振器的质量比和固有频 率一定的情况下进行讨论。在本文中推导了动力吸振器的质 量比和固有频率比对 P、Q 两点振幅倍率的影响。文中分析
作者简介：张多，就职于陕西航空职业技术学院，助教。
1 动力吸振器的基本原理
动力吸振器作为一种减振装置，其减振原理不是靠耗损 能量进行减振，而是通过吸振器质量的动力作用，使吸振器 在主系统上产生一个与强迫振动力相抵消的反作用力，以此 来达到减振的目的[3]。图 1 为主系统无阻尼时动力吸振器模 型，m1、k1 为主系统的质量、刚度；m2、k2、c2 为吸振器的 质量、刚度、阻尼；主系统的位移 x1，动力吸振器的位移为 x2；坐标原点都选择在各自的静平衡位置。
The Research about The PQ Fixed Point Theory of DVA
Zhang Duo （Shaanxi Aviation Professional Technical Institute, Shaanxi Hanzhong 723000）
Abstract: The passive vibration DVA has a good performance under the narrow band excitation, but under the wide band excitation it has a poor performance. The fundamental of the DVA when primary system is undamped, the PQ fixed point theory and the optimization design of the DVA under the condition of the optimum relative tuning are introduced.The primary system amplification factor’s expression of the DVA when primary system is damped is deduced and the performance of primary system under different mass ratio, natural frequency ratio and damping ratio of DVA is researched. Keywords: dynamic vibration absorber; PQ fixed theory; primary system amplification CLC NO.: U461.2 Document Code: B Article ID: 1671-7988(2018)09-72-03
2 吸振器质量比和固有频率比与 PQ 振幅倍率的 关系
通过上述分析可知，当主系统参数确定，动力吸振器的 质量比和固有频率比一定时，PQ 定点的振幅倍率的大小和 吸振器的阻尼没有关系。但当吸振器的质量比和固有频率比
3wk.baidu.com1 质量比和固有频率对主系统振幅倍率的影响 动力吸振器的质量对主系统减振效果有明显的影响，图