解直角三角形专题复习

2
C
B
4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
几何表示：【在 Rt△ABC 中∵∠ACB=90° ∴ a2 b2 c2 】 5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每
条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。
即：【∵∠ACB=90°CD⊥AB
若 tan AEN 1 , DC CE 10 。
3
（1）求△ANE 的面积；（2）求 sin∠ENB 的值。
图4
12、某船向正东航行，在 A 处望见灯塔 C 在东北方向，前进到 B 处望见灯塔 C 在北偏西 30o, 又航行了半小时到 D 处，望灯塔 C 恰在西北方向，若船速为每小时 20 海里，求 A、D 两点间 的距离。（结果不取近似值）
图形、条件
实际问题
数学问题
抽象转化
单个直角三角形
直接求解
辅助线构造
不是直角三角形
直角三角形
常用数学思想方法：转化、方程、数形结合、分类、应用
【聚焦中考考点】 1、锐角三角函数的定义
方程求解
2、特殊角三角函数值 3、解直角三角形的应用
【解直角三角形】经典测试题 （1——10 题每题 5 分，11——12 每题 10 分，13——16 每题 20 分，共 150 分）
《解直角三角形》专题复习
一、直角三角形的性质
1、直角三角形的两个锐角互余
A
几何表示：【∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°】
2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
几何表示：【∵∠C=90°∠A=30°∴BC= 1 AB】
D
2
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
几何表示：【∵∠ACB=90° D 为 AB 的中点 ∴ CD= 1 AB=BD=AD 】
（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
五、 解直角三角形
在 Rt△中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的
已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
三种基本关系：1、边边关系： a2 b2 c2 2、角角关系：∠A+∠B=90° 3、边角关系：即四种锐角三角函数
类型
两边
一边 一锐 角
解直角三角形的四种基本类型及解法总结：
已知条件
解法
两直角边 a 、 b
c
a2
2
b
，tan A
a
，B 90 A
14、如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离，他先在湖 岸上的凉亭 A 处测得湖心岛上的迎宾槐 C 处位于北偏东 65°方向，然后，他从凉亭 A 处沿湖 岸向东方向走了 100 米到 B 处，测得湖心岛上的迎宾槐 C 处位于北偏东 45°方向（点 A、B、 C 在同一平面上），请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐 C 处与湖岸上的凉亭 A 处之间的距离（结果精确到 1 米）．（参考数据 sin25°≈，cos25°≈，tan25°≈，sin65° ≈，cos65°≈，tan65°≈）
A. 4
B. 1
C． 1
D．0
7
2
3
9、 若一个等腰三角形的两边长分别为 2cm 和 6cm，则底边上的高为__________cm，底角的 余弦值为______。 10、酒店在装修时，在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价 30 元， 主楼梯宽 2 米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要______元。 11、如图 4，ABCD 为正方形，E 为 BC 上一点，将正方形折叠，使 A 点与 E 点重合，折痕为 MN，
A的邻边 斜边
b c
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
cotA
A的邻边 A的对边
b a
锐角 A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数
锐角三角函数的取值范围：0≤sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.
三、锐角三角函数之间的关系
（1）平方关系(同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于 1)
A． 3
B． 2 2
C．3
D． 3 2 2
7、如果∠A 是锐角，且 sin B 3 ，那么（ ）． 4
A． 0 A 30 B． 30 A 45 C． 45 A 60
图3
D． 60 A 90
8、已知 cos 1 ，则 3sin tan 的值等于（ ） 3 4sin 2 tan
1、在△ABC 中，若 cos A 2 ， tan B 3 ，则这个三角形一定是（
）
2
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
2、sin65°与 cos26°之间的关系为（
）
A. sin65°< cos26°
B. sin65°> cos26°
C. sin65°= cos26°
仰角
西
俯角
北 东
（3）坡角（是斜面与水平面的
南
夹角）、坡度（是坡角的正切值）.
七、有关公式
（1）
S
1 2
ab sin C
=
1 2
bc sin
A=
1 2
ac sin
B
（2）Rt△面积公式： S 1 ab 1 ch 22
（3）结论：直角三角形斜边上的高 h ab c
（4）测底部不可到达物体的高度
在 Rt△ABP 中，BP=xcotα
sin 2 A cos2 A 1 （2）倒数关系（互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数）
tanA • tan(90°—A)=1； cotA • cot(90°—A)=1； （3）弦切关系
tanA= sin A cotA= cos A
cos A
sin A
（4）互余关系(互为余角的两个角，它们相反函数名的值相等)
D. sin65°+ cos26°=1
3、如图 1 所示，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为
i=2∶3，顶宽是 3 米，路基高是 4 米，则路基的下底宽是（
）
A. 7 米 B. 9 米 C. 12 米 D. 15 米
4、如图 2，两条宽度都为 1 的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交
角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（
在 Rt△AQB 中，BQ=xcotβ
BQ—BP=a，
即 xcotβ-xcotα=a． x
a
a
cot - cot
八、基本图形（组合型）
i h
α l
i h tan l
翻折
平移
九、解直角三角形的知识的应用问题： (1)测量物体高度． (2)有关航行问题． (3)计算坝体或边路的坡度等问题
十、解题思路与数学思想方法
16、通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互
唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角
之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），如图①，在△ABC
中，AB=AC，顶角 A 的正对记作 sadA，容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯
13、某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅．如图所示，一条幅从楼顶 A 处放下， 在楼前点 C 处拉直固定．小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前 D 处测得楼顶 A 点的仰角 为 31°，再沿 DB 方向前进 16 米到达 E 处，测得点 A 的仰角为 45°．已知点 C 到大厦的距离 BC=7 米，∠ABD=90°．请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数．参考数据：tan31° ≈，sin31°≈，cos31°≈）．
∴ CD2 AD • BD
AC2 AD• AB
BC2 BD• AB 】 6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。（ a •b c • h ） 由上图可得：AB • CD=AC • BC
二、锐角三角函数的概念
如图，在△ABC 中，∠C=90°
sin
A
A的对边 斜边
a c
cos A
一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°=
；
（2）对于 0°＜A＜180°，∠A 的正对值 sadA 的取值范围是
；
（3）如图②，已知 sinA= 3 ，其中∠A 为锐角，试求 sadA 的值。 5
sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)
tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)
四、特殊角的三角函数值
α
sinα cosα tanα cotα
30°
1
2
3
3
3
2
3
45°
2
2
1
1
2
2
60°
3
1
2
2
3 3
3
说明：锐角三角函数的增减性，当角度在 0°~90°之间变化时.
b
直角边 a ，斜边 c
b
c2 a2 ，sin A a ，B 90 A c
直角边 a ，锐角 A B 90 A， b a cot A ， c a sin A
斜边 c ，锐角 A B 90 A，a c sin A，b c cos A
六、对实际问题的处理 （1）俯、仰角. （2）方位角、象限角.
15、今年“五一“假期．某数学活动小组组织一次登山活动．他们从山脚下 A 点出发沿斜坡 AB 到达 B 点．再从 B 点沿斜坡 BC 到达山顶 C 点，路线如图所示．斜坡 AB 的长为 1040 米， 斜坡 BC 的长为 400 米，在 C 点测得 B 点的俯角为 30°．已知 A 点海拔 121 米．C 点海拔 721 米． （1）求 B 点的海拔； （2）求斜坡 AB 的坡度．