专题五平面向量第十三讲平面向量的概念与运算答案

专题五平面向量
第十三讲平面向量的概念与运算
答案部分
1. A 【解析】通解如图所示，
3— 1 —
=—AB — AC ・故选A. 4 4
优解 EB = AB-AE = AB--Ab = AB--x-(AB + AC)
2 2 2
= 1A B-- AC ・故选A ・ 4 4
2. C 【解析】・・・|“一鋼=国+引，・•.(“—站)2=(3“+疔，.•./一&八方+ 9沪=
9a 2+6a b+b 2,又 1“1=1 方 1=1, :.ab = O,.・.“丄〃；反之也成立，故选C.
3. B 【解析】” •(加一〃)=加‘一“=2-(—1) = 3 ,故选B.
4. A 【解析】因为〃人畀为非零向呈:，所以/w • n =1 m II n I cos < mji >< 0的充要条件是
cos <m,n > <0.因为2<0,则由m=An 可知加，〃的方向相反，<m.n >=180 ♦ 所以
COSVMMX O,所以“存在负数/U 使得= An 99可推出“ mn<Q 9f
:而 • /I <0 nJ 推出cos <rnjt ><0 ,但不一立推岀〃人〃的方向相反，从而不一左推得
"存在负数几，使得m = An ",所以“存在负数2,使得加=加”是“加・〃<0” 的充分而不必要条件.
5. B 【解析】由〃丄(tni +n)可得”・(〃”+死)=0,即/加・n + ir = 0,
所豁—沪_
_ ⑷2 w n lw|-|,,lcos<w '/,> Imlxl/ilxi 3
"煤*7故选B.
' • — ' • — I • I ■ • [ — —
B 【解析】设BA = a, B
C = h, :. DE = -AC = -(b^a) 2 2
13 5 3 ^D +DF = --a + -(b-^--a + -b t --------- 5 ——3 -2
5 3 1 /. AF ・BC = — a ・b + i 故选 B.
6. 3 3
亦=二旋=_(—) 2 4
4 4 8 4 8
7. D【解析】由向量的坐标运算得a+方=（4,加-2）,
• ：（a + b）丄b , :. （“ + 方）• b = 12 — 2（〃】一2） = 0 ,
解得/n = 8,故选D・
1 V3 1
— X ---- 1 ------ X— /T
A【解析】由题意得cosZABC= — = 一2一2— =L,
8.
IBAIIBCI 1x1 2
所以ZABC = 30 ,故选A.
9. A【解析】由题意(0-5・(3心+ 2/；) = 3/-％-2/；'=0,
即3|和湘―卩卜°,所以3x(半沪爭如2",
10. B【解析】对于A选项,设向量—b的夹角为⑹cos&W|“ll〃l,
•••A选项正确；对于B选项，•••当向量—方反向时，1“一〃1$11“1一"11, 选项错误：对于C选项，由向虽:的平方等于向量模的平方可知，C选项正确：对于D选项, 根据向量的运算法则，可推导岀(a+b) (a-b) = a2-b2,故D选项正确，综上选B.
11.D【解析】如图由题意，
BC = AC -AB = (2a + b)-2a =b ,故I 厶1= 2 ,故A 错误：12a 1= 21 “ 1= 2 • 所以
1“1=1,又AB AC = 2a -(2a + b) = 4 \ a \2 +2ab = 2x2cos60 = 2 , 所以ab = -\,故B,C错误；设B,C中点为D,则AB + AC = 2AD, 且刁万丄就，所以(4刁+可丄阮，故选D.
12.A【解析】EB + FC =—(BA + BC)--(CA + CB) = -(AB + AC) = AD ・
2 2 2
13.A【解析】由(a+b)2 = 10 ①，(“ 一〃)‘=6 ②，①一②得ab = \.
14.B【解析】由题意得—= cos-= lx3 + ^ ,两边平方化简得6>/3/H =18,
2 6 2x\j9 + m2
解得m =艮经检验符合题意.
15.B【解析】设S =西•开+兀2 •『2 +“ • >3 +兀4 • >‘4，若S的表达式中有o个a b ,
则S = 2〉+2产，记为5，若S的表达式中有2个a-b^S = 2h2 +2h2 +2a-b, 记为S?,若S 的表达式中有4个力巧，则S=4db,记为S3,又\b\=2\a\, 所以§ 一耳=力‘ +方‘ 一4方坊=2(方一厉？ > o,
S] —S Q =ci~ + b~—2i/ • h = (c/—by > 0,
52-S3=(«-^)2>0, .\S3<S2<S1,故S”n=S3=4方易，设方，厶的夹角为&，则S niin=45-J = 8l«l2 cos6> = 4l«卩，即cos& = ],又&已[0,刃，所以& = £.
16.B【解析】对于A, C, D,都有勺〃冬，所以只有B成立.
17.B【解析】由于\b + ta \2=b2 + 2a4ft+a2r,令八)=b2 +2a^bt+a2t2,
而/是任意实数，所以可得/(f)的最小值为
滋专—⑵历)2 4<i2b2一滋专cos20 4b2 sin20 t
—百=——
即\b\2 sin2<9 = l,则知若8确定,则"I唯一确定.
18.C【解析】丁加一3b = (2«-玄-6),(加—3b)丄c,
所以(加一3〃)・c=2(2k—3) — 6 = 0。

解得k=3,选C
19. C【解析】因为疋・B〃 = lx(-4) + 2x2 = 0,所以疋丄荒，所以四边形的而积
.\AC\-\BD\
为2 =
20. D【解析】由题意，设I而1=4,贝ijl£*l=l,过点C作AB的垂线，垂足为在43上任取一
点P,设HR)=a,则由数量积的几何意义可得，
丙・PC=\PH\\PB\= (IPBI-(« + l))IPBI, =
于是丙• PC^T^B ^C恒成立，相当于(I用i-(a + i))i丙1鼻一。

恒成立，整理得\PB\2一(G +1)I两l+a$0 恒成立，只需△ = (a + l)2—4a = (d — l)2 W0
即可，于是a = \,因此我们得到HB = 2、即H 是AS 的中点，
故'ABC 是等腰三角形，所以AC = BC.
21. A 【解析】 丽= (3,-4),所以I 丽1=5,这样同方向的单位向量是IzAB =
22. A 【解析】AB= (2,1), CD= (5,5),贝“向虽:帀在向量而方向上的射影为
23. C 【解析】建立平而直角坐标系，令向量“/的坐标“=(1,0)0 =(0,1),又设
c = (x,y),代入\c 一“一方| = 1 得 +(y_l)~ = 1,
又|c|的最大值为圆(X —1)2+0 — 1)2 =1上的动点到原点的距离的最大值， 即圆心(1,1)到原点的距离加圆的半径，即V2 + 1.
D 【解析】因为A3；丄AB ；,所以可以A 为原点，分别以AB r
•所在直线 为x 轴，y 轴建立平而直角坐标系•设530), B2(0, b), O(x, y), 则 AP = AB[ + AB. =(a, b),即 P (“，b).
由I OB 】1=1 OQj 1=1,得(x —a)2+y 2=x 1+(y —b)2
= 1.
所以(x —t/)2=l —(y —〃)2=I —F N ) —-
1 1
由\0P\< 得(x-a)2+(y-b)2<-, 2
4 即 0<1-^+1-/<-. 4
所以扌 <疋+护仝，即# V J/ + y2皿 所以I 可啲取值范围是］¥，血］
B 【解析】利用向量加法的三角形法
则，易的①是对的：利用平面向量的基本左理，易
的②是对的；以a 的终点作长度为“的圆，这个圆必须和向虽〃有交点，这个不一立
能满足，③是错的：利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即
必须|肋| + |"|二几+“环小 所以④是假命题•综上，本题选B •平而向量的基本左理考前 还强调过，不懂学生做得如何.
26. C 【解析】•/ a 丄b.：. ad) = 0,.\ —1 + 2cos‘ 0 = 0,/. cos2& = 2cos 2 & 一 1 = 0.正确的是
C.
27・ C 【解析】1“+〃1=1“1一"1亠1“|2+乂历+1方|2=|“|2—2141"1 + "|2,则
24. 25. ,故选D.
"方=一1“ II" IH 0 ,所以“"不垂直，A不正确，同理B也不正确：
ab=-\a\\b\,贝ijcosv“#>=—l,所以“丄共线，故存在实数2,
使得b=Aa. C 正确；若b=a.则A = l,此时1“+方1=21“ 1工0=1“ I —"I,
所以D不正确.
28.B【解析】“ + 初=(1 + 入2),由(a + Ab)//c 9得6 — 4(1 + 刃=0,解得A = -
2 29.D【解析】・・・2«_〃 = (5,2_&),由a (2a-b) = 0,得(2,1)・(5,2-幻=0,
••・10+2—k = 0,解得k = l2.
30.C【解析】三角形的面积S=-\a\\b\sin<a,b>9而
2
—Jl-cos，<a、b > = — \a\\b\ sin <a,b > ・
2 2
31.B【解析】若a与方共线，则有gb=mq — w=0,故A正确；
因为bQa = pn-qm ,而aQb=mq-np ,所以有a0b ^bQa ,
故选项B错误，故选B.
32.丄【解析】加+方= (4,2),因为c = (l,刃，且c 〃(％+"),
2
所以1 x2 = 42,即2 =-・
2
33.2命【解析】9：\a + 2b\2=\af +4\b\2 +4</^ = 4 + 4x1+ 4x2x1 xcos60 = 12 ,
：.\a + 2b\= 2^3 34・4.2巧【解析】设向量方力的夹角为6L由余弦定理有:
a — b=+2’ -2xlx2xcos& = 丁5-4cos& ,
a +
b = Jl，+2, -2xlx2xcos(龙-&) = j5 + 4cos& , 则：
a +
b + a-b = >/5 + 4cos& + >/5-4cos& ,
令y = j5 + 4cosx + j5-4cosx ,则y1 = 10 + 2V25-16cos20 e [16,20],
据此可得：（p +耳+ p—耳）=质=2点（归+耳+直_印=716=4,
max nun
即a + i )+ a^的最小值是4,最大值是2点・
【解林「】(\/3^| +/^€-)) = >/3<?|~ +\/3/l^| 'C^ ~c { 'e y — Ae~,~ = >/3—A >
I -e 21= J(J5勺一勺)'=q +勺 =2，
I e l + Ae 21= J(g] +加2)，= y]e C +2A€| e 2 +A 2e^ = Jl + 才 ,
・•・ JJ-2 = 2x Jl + 才 xcos60 = J1 +才
OC ・OA = mOA + nOB ・ OA 得[一
一 _ _ 一 2,即 v OC • OB = mOB ・ OA + nOB
两式相加得，>/2(cos a + cos45 ) = (〃? +
n)(l +cos(a + 45 ))
V2X ^ + V2X ^
10 2 _3 t V2 >/2 7 血迈
10 2 10 2
37. —3【解析】由题意得：2JH + n = 9,m — 2/? = —8 i n = 2,n = 5,in — n = —3.
38. 9【解析】因为创丄AB, \OA\=3.
所以 O/U OB = ^(OA + AB)=iOA\1 +OA^OB=\OA\2=32
=9 39・ 1【解析】由题意 f(x) = x ln(x + \Ja + x 2) = /(-x) = —x \n(yJ(i + 7- x), 所以J 宀
x+x= 一，解得a=\.
J a" + x — x
40. 1 2 2V2【解析】由题意可令b = x Q e x + y n e 2 +e 3，其中勺丄e t J = 1,2 ,
Y 5
x* 5 由 b y 、= 2 得兀 +号=2,由 b • e 2 = — fU — + y ()=— > 解得兀=1，凡=2 2 2 2 2
■'•I b 1= yl(e } +2e 1 +e 3)2 = 2>/2 . 41. -2【解析】由la+bl 2=lal 2+lbl 2得“丄b ,则加+ 2 = 0,所以m = -2・
35. 解得:T ・ 如3【解析】由tan“7可得sin-晋
10
[[]OC =m OA +n OB \/2 cos a = m + n cos(cr + 45 ) JT COS 45 =〃?COS (Q + 45 ) + /? 所以"=如空匹竺 l + cos(a + 45 )
42 . 90【解析】由AO = -(AB + AC),得O为BC的中点，故BC为圆O的直径, 2
所以入斤与紀的夹角为90 .
1
43.—
6
得|^B|-|AC|=|,故ZVIBC的面积为^IABIIACIsin^ = |.
44.②④【解析】S有下列三种情况：
一2 — 2 -2 -2 -2
§ = a +a +b +b +b ,
S2= a +“・b + a ・b + b +b ,
V 5,-Sj =52—$3=才+罗一2方坊=(方一厉2=|：一力2二0,
若方丄b,则s min=s3=b2,与Gi无关,②正确：
若亦'；，则5間：=》=石広+产，与Ml有关，③错误；
若\b\>4\a\f则S mn=S3=4\a\-\b\cos0+\bf>-4\a\-\b\ + \b\2>-\b\2 +\b\2=0,
④正确：
若1力=21(；1, S nw =8lJl2,Ri]5nun=S3=4«-S+^=8l«l2 cos(9+4l6/l2=8l5l2
/. cos 0 = — t C.O =—.⑤错误•
2 3 '
45.>/5【解析】Tl“l=l, •••可令“ = (cos&,sin&), V Aa+b = 0,
2
2 cos 8 + 2 = 0
,即几sin& + l =0cos u ———
2 ,解得22=5得121=亦. sin& =——
2
46.—【解析]Va //b, A sin 23 = cos20, .% 2sin ^cos6 = cos20 .
2
V 0 e (0, —), :. tan 0 =—.
2 2
47.2【解析1】c = (m + 4,2m + 2)
【解析】V/15-AC=|A5|-|AC|COS A,・•.由阿•阴cosA = tanA,
51. Lvl a1兀1 1x1 1x1 2【解析】——=
= 1 b 1 Jg +ye 2)2
y/x 2 + y 2 + 丽xy ] x 2 + y 2 +舟xy 5 X 52. 53. 1 -=^= 1 所以巴的最大值为2・
岛 E ,b,
I 【解析】因为eg 的中点，所以略略见丽冷亦丽-抨.
AC = AD + AB.因为 AC BE = 11
所以走略（丽-抨）価+丽刁冷乔+第亦1, 即 1 一丄4炉+丄 A^cos60 =1,所以一^AB 2 +- AB =0 .解得 2 2
4【解析】如图建立坐标系,
则 a = (-l,l)，方= (6,2), c = (_l,3)
一 一 一^ 1 由 c = Act + pb t 可得 a = —2, “ =— 2 -=4
又\b\=2\a\,所以2c a = c-b 即 2[(m + 4) + 2(2m + 2)] = 4( m + 4) + 2(2m + 2) => m = 2
【解析2】由几何意义知：为以ma.乙为邻边的菱形的对角线向量,
又\b\=2\a\,故加=2
AP BC = 0,即XP ・BC = (AAB + AC) (AC-AB) = 0 ,
---- 2 --- - 7 ---- ----- 7 所以 AC^A AB^
・AC = 0出卩 4一9几一3(/1 — 1) = 0・解得兄=一 12
48. 49. 50. 2【解析】b ・c =b•[ta +(1 —/)方]=/“・〃 + (1 —= —/ + 1—/ = 1 ———t =0,解得/ = 2・ 2 2 ■■ ■ ■ ■• I !■ ■ ■■ ■ • ・ • ・• ・ I • ・ I • ■ 2【解析】在正方形中，AE = AD + -DC ・BD = B4 + AD = AD — DC 、 2
所以^ ^ = (^ + -DC)(AD-DC) = AD 2--DC 2 =22--x22
=2 ・ 2 2 2 7 __ _____ __________________ _______
—【解析】向咼丽与入C 的夹角为120°,且I 丽1=3,1疋1=2,所以 12
AB-XC = |AB |-|^C |COS 120° =-^x3x2 = -3.由丽丄就得，
b = 3迈【解析】2方一厶=JT3o(2方一初2 = IOO 4+沪一4bcos45°
= 10 10 10
【解析】(I )由a = (l,0)丄= (1,1),得加+〃二(3,1)•设与加+〃同向的单位向量为
(ID 由a = (l,O),^ = (lJ),得方一引=(—2,1).设向^b-3a 与向量〃的夹角为C
--【解析】2方一厶S3o4〉+产S9 + 4方昉 8
]【解析】如图，向量a 与0在单位圆0内，因lal=l, I0IM1,
6 6 且以向量◎, 0为邻边的平行四边形的而积为片，故以向量a ，0为边的
三角形的面积为f,故0的终点在如图的线段AB 上(a 〃AB, 且圆心O 到AB 的距离为g),因此夹角&的取值范围为
扌【解析】由题意知a b = (e } -2e,)(^] +^2) = O,K[J ke^ +e }e 2 -2ke }e 2 -2e} =0 ,
即“心牛2心年-2“化简可求得T ・
1【解析】向+b 与向a -b 垂直，A (a +b)-(ka ・〃)= 0,
化简得伙—1) •(“・〃 + 1) = 0,易知故k = \ .
60. 仝【解析】设a 与方的夹角为6由题意有@ + ”)・@一〃)= /+“鼻一2戸 3
= -7 + 2cos& = -6，所以cos 0 =-.因此0W&W”，所以0 =—・ 2
3
61. —1【解析】“+” = (1,〃?一1),由(“+“)//c 得lx2-(〃z-l)x(-T) = 0,
所以加=-1. 62.【解析】(1)因为 a =(cosx,sinx) , 〃 = (3, — JJ), a // b 9 所以一>/3cosx = 3sinx ・
・即 c = (x,y),则 10 54. 55. 与2a+b 同向的单位向蚩:的坐标为
“3皿 710^
帀F 则心」"如・一(心)•亿叭2亦
\b-3a\\a\
^5x1
56. 57. 58. 59.
若cos x = 0 ‘ 则sin x = 0 ‘ 与sin2x + cos2 x = 1 矛盾，故cosx 工0 ・于是tanx =
又所以—・
6
(2) f(x)=a-b = (cosx,sin x)-(3, —>/3) = 3cos x->/3sinx = 2>/3cos(x + —).
6
因为xe[0,zr],所以x + — e[~^~]，
6 6 o
从而一1 < cos(x + —) < —•
6 2
于是，当= 即x = 0时，/(X)取到最大值3；
6 6
当x + ^- = n t即x = J时，/(兀)取到最小值一2血・
6 6。