第10章 正弦稳态电路的功率
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二、作业
10-9,10-17,10-12,10-19, 10-26,10-29
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电路分析基础
10.1 二端网络的功率
一、瞬时功率
设端口电压、电流如图。且
u(t) Um cos(t u )V
i(t) I m cos(t i ) A
i
+
u
二端
网络 UI
-
则网络吸收的瞬时功率：
p(t) u(t)i(t) U m Im cos(t u ) cos(t i )
一、有功功率 P UI cos(u i ) UI cos z
I 2 Z cosz I 2 Re[Z] I 2R
若无源网络的等效导纳为Y，则有
P U 2 Re [Y ] U 2G
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电路分析基础
P UI cos(u i ) UI cosz
P U 2Re[Y ] U 2G
I 2 Z cosz I 2 Re[Z] I 2R
例：某发电机，额定视在功率 S 10000VA
1、若为电阻性负载， cos(u i ) 1 输出功率 10000W
为充分利用设备 能源，应尽量提 高功率因数。
2、若非阻性负载，且 cos(u i ) 0.8 输出功率 8000W
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电路分析基础
四、视在功率
P UI cos(u i ) Q UI sin(u i )
I2
1-/j84F
P US I1 cos(u i )
101.24cos(0o (29.7o )) 10.8W
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电路分析u s 基础
返节目录
电路分析基础
例2 电路如图所示，已知 IS 1000 A
分别求三条支路的有功功率和无功功率。
解：设网孔电流
I3
I1 IS 10
j5I1 (6 j4 j5)I2 7I3
辅助方程 I3 I2 解得 I3 25 j25 A
+ IS
U
I1
-
+
6
－7I3 I2
j4
-j5
U (6 j4)I3 50 j250V
（1）电阻元件， z＝0 P UI cos z UI （2）电容或电感元件，z 90o P 0
I 2R
U2 R
（3）若网络不含受控源，则
P 网络内所有电阻（或电导）消耗的功率之和。且 P 0
（4）若网络含有受控源，等效阻抗的电阻分量有可能为负值。此时。
P 0
（提供功返率节）。目录
电路分析基础
i
u i 同相,
u
吸收电能; u i 反相, u i 同相, u i 反相, 储存磁能; 送出能量; 吸收电能; 送出能量;
p >0 释放磁能; 储存磁能; 释放磁能;
p<0
p >0
p<0
结论
电感元件上只有 ωt 能量交换而不耗
能，为储能元件
p为正弦波，频率为ui 的2 倍；在一个周期内，L吸 收的电能等于它释放的磁 场能。
电工技术中以U、I的乘积来评定电力设备供电能力的大小，即设备容量。
定义 S UI 伏安（VA）
若 Q 0 u i 0 P UI cos(u i ) UI S 利用率最高 定义 P 功率因数 衡量利用率大小的参量
S
显然 cos(u i ) 功率因数角：u i
有功功率、无功功率、视在功率的关系：
S~1 UI1* (50 j250 ) 10 500 j2500 VA
~ S2
U(I1
I2 )*
(50
j250 )(15
j25)
7000
j2500 VA
S~3 UI2* (50 j250)(25 j25) 7500 j5000VA
P1 500W
P2 7000W
Q1 2500 var Q2 2500 var
无功功率反映了电感、电容元件与电源之间能量
交换的规模。
问题与讨论
能从字面上把无功功率理 解为无用之功吗？
不能！
返ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ目录
电路分析u s 基础
例3 电路如图，已知us (t) 10 2 cos2tV
，求电源提供的有功功率。
电源提供的功率=无源二端网络 消耗的功率（网络等效阻抗电阻 分量消耗的功率）=网络内各电 阻元件消耗的功率。
有能量交换也有 能量的消耗（或 产生）
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电路分析基础
p(t) UI cos(2t u i ) UI cos(u i )
二、有功功率（平均功率）
定义
P1
T
p(t)dt
T0
有
p(t)
UI
P UI cos(u i ) 瓦（W）
UI cos(u i )
t
二端网络的有 功功率
P 0 则网络消耗功率；反之，则产生功率。
由公式 cos cos 1 [cos( ) cos( )]
有
2
p(t)
1 2
U
m
I
m[c
os
(2t
u
i )
cos(u
i
)]
UI cos(2t u i ) UI cos(u i )
正弦分量
恒定分量
p(t) 吸收功率
p(t) 0
UI cos(u i )
t
p(t) 0 释放功率
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电路分析基础
三. 电容
u U m sin t 则 p u • iC Um sin t • ICm cost
iC I Cm cos t
UIC sin 2t
结论：
u
电容元件和电感元
u i 同相,
ωt 件相同，只有能量 交换而不耗能，因
此也是储能元件。
电容充电; u i 反相, u i 同相, u i 反相, 建立电场; 送出能量; 电容充电; 送出能量;
SQ
S2 P 2 Q2
P
功率三角形
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电路分析基础
S UI
P UI cos(u i ) Q UI sin(u i )
五、复功率 为方， 便功率计算，引入复功率。 I
设：U Uu I Ii
+
定义： S~ UI 伏安（VA）
U -
二 端 网 络
其中 I* I(i ) 为I的共轭复数
即 S~ UI(u i ) UI cos(u i ) jUI sin(u i )
S~ P jQ
注意：复功
实部为有功功率，虚部为无功功率 率是一个复数，
没有任何实际
S~ P 2 Q2 S 模为视在功率
~s u－i 辐角为端口电压超前于电流的角度
意义。定义可 以方便功率计
算。
S~ S(u i )
+
UuCc
-
2-.5j4KF
I
P
S
故 PRC UI cos(u i ) 17.16 3.43 cos(129 o 75.96o ) 35mW
S
PS UIS cos(u i ) 17.1610 2 103 cos(129o 0o) 152mW
PD UI D cos(u i ) 17.16 13.73 103 cos(129 0 165 .960） 188 mW
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电路分析基础
p(t) UI cos(2t u i ) UI cos(u i )
p(t) UI cos[(2t 2i ) (u i )] UI cos(u i )
根据三角公式 cos( ) cos cos sin sin 得
p(t) UI cos(2t 2i ) cos(u i ) UI sin(2t 2i )sin(u i ) UI cos(u i )
p >0 电容放电; 建立电场; 电容放电;
p<0
p >0
p<0
p为正弦波，频率为ui 的2 倍；在一个周期内，C充 电吸收的电能等于它放电 发出的电能。
返节目录
电路分析基础
想想 练练
无功功率可衡量电源与元件之间能量交换的规模。
无功功率的概念可理解为只交换不消耗。
QL
ULI
I2XL
U2 XL
QC UCI I 2 X C U 2 X C
功率因数 cos(u i ) cosz 功率因数角 z
通常 90 0 z 90 0
无源二端网络所消耗的功率 （有功功率），就是网络等 效阻抗的电阻分量（或等效 导纳的电导分量）所消耗的 功率
若 z 0 电流滞后于电压（呈感性），称为滞后功率因数
若 z 0 电流超前于电压（呈容性），称为超前功率因数。
z 0 ， Q 0
z 90o
Q UI CU 2 I 2 C
z 90 o
Q
UI
U2
LI 2
L
（4）若二端网络不含受控源，则
Q 网络内各电容和电感元件的无功功率之和。
返节目录
电路分析基础
元件正弦功率曲线演示
一、电阻
i 2 I sin ( t) 则 p u i U m sin t • I m sin t
P2 0
三、无功功率
定义 Q UI sin(u i ) 乏（Var）
衡量能量交换的规模大小
返节目录
电路分析基础
S UI
P UI cos(u i ) Q UI sin(u i )
注意：电力工程中，电气设备标注额定的视在功率，即所能提供
（承受）的最大可能功率值。具体使用时，设备实际提供的功率并 不一定等于视在功率。
作为本章的应用举例，将介绍功率的测量。
返节目录
电路分析基础
本章要求
一、要求
1、能够正确理解正弦交流电路中几种功率的基本概念、物理意义 及分析，理解功率守恒。 2、熟练掌握网络及元件的平均功率（有功功率）、无功功率、 视在功率和复功率的分析计算。 3、牢固掌握正弦稳态最大功率传输定理并能熟练运用于电路的 分析计算。 4、正确理解功率叠加，并能熟练运用于电路功率的分析计算。
u 2 U sin ( t)
UI UI cos 2t
uip
i
p=UI-UIcos2 t
+
u
u
UI
-
i
ωt
－UIcos2 t
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电路分析基础
二. 电感
i +
uL –
i Im sin t
则 p uL i U Lm cost • Im sin t
uL U Lm cos t
U L I sin 2t
二、无功功率
表明无源二端网络的无功功率， 就是网络等效阻抗的电抗分量 （或等效导纳的电纳分量）的 无功功率。
Q UI sin(u i ) UI sinz
I 2 Z sinz I 2Im[Z] I 2 X
+
I 无源
二端
或： Q U 2 I m [Y ] U 2 B
U
网络
-
（1）电阻 （2）电容 （3）电感
UI cos(u i )[1 cos(2t 2i )] UI sin(u i ) sin(2t 2i )
p1(t) p2 (t) 其中 p1 (t) UI cos(u i )[1 cos(2t 2i )]
讨论：P1 P
p2 (t) UI sin(u i ) sin(2t 2i )
解：画相量模型如图。
Z 3 j4 //(4 j4) 7 j4
8.0629.70
I1
US Z
10 8.0629.7o
1.24 29.7o A
I2
j4 j4 4
j4 I1
jI1 1.2460.3o A
法一 从电源角度考虑
为有源网络，其吸收功率为
I1 3
+ u1s0V －
Z
4 2j4H
返节目录
电路分析基础
想想 记记
有功功率： P UI cos(u i )
无功功率： Q UI sin(u i )
视在功率： S UI 复功率： S~ UI 功率因数 P
S
功率因数角 u i
各功率关系
S~ P 2 Q2 S S~ P jQ
返节目录
电路分析基础
例1 电路如图所示，已知 is (t) 20 cos100tmA 求三条支路的有功功率、视在功率和功率因数。
电路分析基础
第10章 正弦稳态电路的功率
10.1 二端 网络的功 率
10.2 无源二端网 络及元件的功 率 10.3 元件的储 能及电路的 功率守恒
10.5 正弦稳态功 率的叠加
10.4 正弦稳 态最大功 率传输定 理
返章目录
电路分析基础
【内容提要】
本章重点讨论正弦稳态电路的有关功率的分 析和计算，不仅包括我们已经熟知的平均功率 （有功功率），还包括描述正弦功率的其他一 些参数，如无功功率、视在功率和复功率。我 们还将讨论正弦稳态下的功率守恒、功率叠加 及最大功率传输问题。
P3 7500 W
Q3 5000 var
返节目录
电路分析基础
10.2无源二端网络及元件的功率
设无源网络 U Uu ， I Ii
则
Z
UI
U I
(u
i )
I
+
U
无源 二端 网络
设 Z R jX Z z
-
有
Z
U I
， z
u i
Re[Z] R Z cosz ， Im[Z] X Z sinz
解：画相量模型，由节点电压法，有
U
1
U 10 2 UC
3000 j4000 1000 1000
10 2mA IisS
3K
UucC 110000
UC
j4000 3000 j4000
U
得 UC 13.73 165 .96 0V
U 17.16 1290V
I 3.43 75.960 mA
S UI
10-9,10-17,10-12,10-19, 10-26,10-29
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电路分析基础
10.1 二端网络的功率
一、瞬时功率
设端口电压、电流如图。且
u(t) Um cos(t u )V
i(t) I m cos(t i ) A
i
+
u
二端
网络 UI
-
则网络吸收的瞬时功率：
p(t) u(t)i(t) U m Im cos(t u ) cos(t i )
一、有功功率 P UI cos(u i ) UI cos z
I 2 Z cosz I 2 Re[Z] I 2R
若无源网络的等效导纳为Y，则有
P U 2 Re [Y ] U 2G
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电路分析基础
P UI cos(u i ) UI cosz
P U 2Re[Y ] U 2G
I 2 Z cosz I 2 Re[Z] I 2R
例：某发电机，额定视在功率 S 10000VA
1、若为电阻性负载， cos(u i ) 1 输出功率 10000W
为充分利用设备 能源，应尽量提 高功率因数。
2、若非阻性负载，且 cos(u i ) 0.8 输出功率 8000W
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电路分析基础
四、视在功率
P UI cos(u i ) Q UI sin(u i )
I2
1-/j84F
P US I1 cos(u i )
101.24cos(0o (29.7o )) 10.8W
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电路分析u s 基础
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电路分析基础
例2 电路如图所示，已知 IS 1000 A
分别求三条支路的有功功率和无功功率。
解：设网孔电流
I3
I1 IS 10
j5I1 (6 j4 j5)I2 7I3
辅助方程 I3 I2 解得 I3 25 j25 A
+ IS
U
I1
-
+
6
－7I3 I2
j4
-j5
U (6 j4)I3 50 j250V
（1）电阻元件， z＝0 P UI cos z UI （2）电容或电感元件，z 90o P 0
I 2R
U2 R
（3）若网络不含受控源，则
P 网络内所有电阻（或电导）消耗的功率之和。且 P 0
（4）若网络含有受控源，等效阻抗的电阻分量有可能为负值。此时。
P 0
（提供功返率节）。目录
电路分析基础
i
u i 同相,
u
吸收电能; u i 反相, u i 同相, u i 反相, 储存磁能; 送出能量; 吸收电能; 送出能量;
p >0 释放磁能; 储存磁能; 释放磁能;
p<0
p >0
p<0
结论
电感元件上只有 ωt 能量交换而不耗
能，为储能元件
p为正弦波，频率为ui 的2 倍；在一个周期内，L吸 收的电能等于它释放的磁 场能。
电工技术中以U、I的乘积来评定电力设备供电能力的大小，即设备容量。
定义 S UI 伏安（VA）
若 Q 0 u i 0 P UI cos(u i ) UI S 利用率最高 定义 P 功率因数 衡量利用率大小的参量
S
显然 cos(u i ) 功率因数角：u i
有功功率、无功功率、视在功率的关系：
S~1 UI1* (50 j250 ) 10 500 j2500 VA
~ S2
U(I1
I2 )*
(50
j250 )(15
j25)
7000
j2500 VA
S~3 UI2* (50 j250)(25 j25) 7500 j5000VA
P1 500W
P2 7000W
Q1 2500 var Q2 2500 var
无功功率反映了电感、电容元件与电源之间能量
交换的规模。
问题与讨论
能从字面上把无功功率理 解为无用之功吗？
不能！
返ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ目录
电路分析u s 基础
例3 电路如图，已知us (t) 10 2 cos2tV
，求电源提供的有功功率。
电源提供的功率=无源二端网络 消耗的功率（网络等效阻抗电阻 分量消耗的功率）=网络内各电 阻元件消耗的功率。
有能量交换也有 能量的消耗（或 产生）
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电路分析基础
p(t) UI cos(2t u i ) UI cos(u i )
二、有功功率（平均功率）
定义
P1
T
p(t)dt
T0
有
p(t)
UI
P UI cos(u i ) 瓦（W）
UI cos(u i )
t
二端网络的有 功功率
P 0 则网络消耗功率；反之，则产生功率。
由公式 cos cos 1 [cos( ) cos( )]
有
2
p(t)
1 2
U
m
I
m[c
os
(2t
u
i )
cos(u
i
)]
UI cos(2t u i ) UI cos(u i )
正弦分量
恒定分量
p(t) 吸收功率
p(t) 0
UI cos(u i )
t
p(t) 0 释放功率
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电路分析基础
三. 电容
u U m sin t 则 p u • iC Um sin t • ICm cost
iC I Cm cos t
UIC sin 2t
结论：
u
电容元件和电感元
u i 同相,
ωt 件相同，只有能量 交换而不耗能，因
此也是储能元件。
电容充电; u i 反相, u i 同相, u i 反相, 建立电场; 送出能量; 电容充电; 送出能量;
SQ
S2 P 2 Q2
P
功率三角形
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电路分析基础
S UI
P UI cos(u i ) Q UI sin(u i )
五、复功率 为方， 便功率计算，引入复功率。 I
设：U Uu I Ii
+
定义： S~ UI 伏安（VA）
U -
二 端 网 络
其中 I* I(i ) 为I的共轭复数
即 S~ UI(u i ) UI cos(u i ) jUI sin(u i )
S~ P jQ
注意：复功
实部为有功功率，虚部为无功功率 率是一个复数，
没有任何实际
S~ P 2 Q2 S 模为视在功率
~s u－i 辐角为端口电压超前于电流的角度
意义。定义可 以方便功率计
算。
S~ S(u i )
+
UuCc
-
2-.5j4KF
I
P
S
故 PRC UI cos(u i ) 17.16 3.43 cos(129 o 75.96o ) 35mW
S
PS UIS cos(u i ) 17.1610 2 103 cos(129o 0o) 152mW
PD UI D cos(u i ) 17.16 13.73 103 cos(129 0 165 .960） 188 mW
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电路分析基础
p(t) UI cos(2t u i ) UI cos(u i )
p(t) UI cos[(2t 2i ) (u i )] UI cos(u i )
根据三角公式 cos( ) cos cos sin sin 得
p(t) UI cos(2t 2i ) cos(u i ) UI sin(2t 2i )sin(u i ) UI cos(u i )
p >0 电容放电; 建立电场; 电容放电;
p<0
p >0
p<0
p为正弦波，频率为ui 的2 倍；在一个周期内，C充 电吸收的电能等于它放电 发出的电能。
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电路分析基础
想想 练练
无功功率可衡量电源与元件之间能量交换的规模。
无功功率的概念可理解为只交换不消耗。
QL
ULI
I2XL
U2 XL
QC UCI I 2 X C U 2 X C
功率因数 cos(u i ) cosz 功率因数角 z
通常 90 0 z 90 0
无源二端网络所消耗的功率 （有功功率），就是网络等 效阻抗的电阻分量（或等效 导纳的电导分量）所消耗的 功率
若 z 0 电流滞后于电压（呈感性），称为滞后功率因数
若 z 0 电流超前于电压（呈容性），称为超前功率因数。
z 0 ， Q 0
z 90o
Q UI CU 2 I 2 C
z 90 o
Q
UI
U2
LI 2
L
（4）若二端网络不含受控源，则
Q 网络内各电容和电感元件的无功功率之和。
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电路分析基础
元件正弦功率曲线演示
一、电阻
i 2 I sin ( t) 则 p u i U m sin t • I m sin t
P2 0
三、无功功率
定义 Q UI sin(u i ) 乏（Var）
衡量能量交换的规模大小
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电路分析基础
S UI
P UI cos(u i ) Q UI sin(u i )
注意：电力工程中，电气设备标注额定的视在功率，即所能提供
（承受）的最大可能功率值。具体使用时，设备实际提供的功率并 不一定等于视在功率。
作为本章的应用举例，将介绍功率的测量。
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电路分析基础
本章要求
一、要求
1、能够正确理解正弦交流电路中几种功率的基本概念、物理意义 及分析，理解功率守恒。 2、熟练掌握网络及元件的平均功率（有功功率）、无功功率、 视在功率和复功率的分析计算。 3、牢固掌握正弦稳态最大功率传输定理并能熟练运用于电路的 分析计算。 4、正确理解功率叠加，并能熟练运用于电路功率的分析计算。
u 2 U sin ( t)
UI UI cos 2t
uip
i
p=UI-UIcos2 t
+
u
u
UI
-
i
ωt
－UIcos2 t
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电路分析基础
二. 电感
i +
uL –
i Im sin t
则 p uL i U Lm cost • Im sin t
uL U Lm cos t
U L I sin 2t
二、无功功率
表明无源二端网络的无功功率， 就是网络等效阻抗的电抗分量 （或等效导纳的电纳分量）的 无功功率。
Q UI sin(u i ) UI sinz
I 2 Z sinz I 2Im[Z] I 2 X
+
I 无源
二端
或： Q U 2 I m [Y ] U 2 B
U
网络
-
（1）电阻 （2）电容 （3）电感
UI cos(u i )[1 cos(2t 2i )] UI sin(u i ) sin(2t 2i )
p1(t) p2 (t) 其中 p1 (t) UI cos(u i )[1 cos(2t 2i )]
讨论：P1 P
p2 (t) UI sin(u i ) sin(2t 2i )
解：画相量模型如图。
Z 3 j4 //(4 j4) 7 j4
8.0629.70
I1
US Z
10 8.0629.7o
1.24 29.7o A
I2
j4 j4 4
j4 I1
jI1 1.2460.3o A
法一 从电源角度考虑
为有源网络，其吸收功率为
I1 3
+ u1s0V －
Z
4 2j4H
返节目录
电路分析基础
想想 记记
有功功率： P UI cos(u i )
无功功率： Q UI sin(u i )
视在功率： S UI 复功率： S~ UI 功率因数 P
S
功率因数角 u i
各功率关系
S~ P 2 Q2 S S~ P jQ
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电路分析基础
例1 电路如图所示，已知 is (t) 20 cos100tmA 求三条支路的有功功率、视在功率和功率因数。
电路分析基础
第10章 正弦稳态电路的功率
10.1 二端 网络的功 率
10.2 无源二端网 络及元件的功 率 10.3 元件的储 能及电路的 功率守恒
10.5 正弦稳态功 率的叠加
10.4 正弦稳 态最大功 率传输定 理
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电路分析基础
【内容提要】
本章重点讨论正弦稳态电路的有关功率的分 析和计算，不仅包括我们已经熟知的平均功率 （有功功率），还包括描述正弦功率的其他一 些参数，如无功功率、视在功率和复功率。我 们还将讨论正弦稳态下的功率守恒、功率叠加 及最大功率传输问题。
P3 7500 W
Q3 5000 var
返节目录
电路分析基础
10.2无源二端网络及元件的功率
设无源网络 U Uu ， I Ii
则
Z
UI
U I
(u
i )
I
+
U
无源 二端 网络
设 Z R jX Z z
-
有
Z
U I
， z
u i
Re[Z] R Z cosz ， Im[Z] X Z sinz
解：画相量模型，由节点电压法，有
U
1
U 10 2 UC
3000 j4000 1000 1000
10 2mA IisS
3K
UucC 110000
UC
j4000 3000 j4000
U
得 UC 13.73 165 .96 0V
U 17.16 1290V
I 3.43 75.960 mA
S UI