两角和差的三角函数(教案)
第3课时 两角和与差的三角函数教案
第3课时 两角和与差的三角函数基础过关题1．两角和的余弦公式的推导方法：2．基本公式sin(α±β)＝sinα cosβ±cosα sinβcos(α±β)＝ ;tan(α±β)＝ .3．公式的变式tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan α tan β)1－tan α tan β＝)tan(tan tan βαβα++ 4．常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝2βα+＋2βα- α＝(α＋β)－β ＝(α－β)＋β2βα+＝(α－2β)－(2α－β)； )4()4(x x ++-ππ＝2π典型例题例1．求［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］· 80sin 22的值.解：原式=︒⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒+⨯︒+︒80sin 210cos 10sin 3110sin 50sin 2 =︒⋅︒︒+︒⨯︒+︒80sin 2)10cos 10sin 310cos 10sin 50sin 2( =︒⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡︒︒+︒⨯︒+︒10cos 210cos 10sin 2310cos 2110sin 250sin 2 =︒⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒︒+︒10cos 210cos 40sin 10sin 250sin 2 =︒=︒⋅︒︒60sin 2210cos 210cos 60sin 2 =.62322=⨯变式训练1：(1)已知α∈(2π,π)，sin α=53,则tan(4πα+)等于（ ） A.71 B.7 C.－ 71 D.－7 (2) sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 （ ）A.－21 B.21 C.－23 D.23 解：(1)A (2)B 例2. 已知α∈(4π，43π)，β∈(0，4π),cos (α－4π)＝53，sin(43π＋β)＝135，求sin(α＋β)的值． 解：∵α－4π＋43π＋β＝α＋β＋2π α∈(43,4ππ) β∈(0,1sin 311≤-≤-x )∴α－4π∈(0,2π) β＋43π∈(43π,π) ∴sin(α－4π)＝54 cos(βπ+43)＝－1312 ∴sin(α＋β)＝－cos[2π＋(α＋β)] ＝－cos[(α－4π)＋(βπ+43)]＝6556 变式训练2：设cos （α－2β）=－91，sin （2α－β）=32，且2π＜α＜π，0＜β＜2π， 求cos （α+β）.解：∵2π＜α＜π，0＜β＜2π，∴4π＜α－2β＜π，－4π＜2α－β＜2π. 故由cos （α－2β）=－91，得sin （α－2β）=954. 由sin （2α－β）=32，得cos （2α－β）=35.∴cos 2βα+=cos ［（α－2β）－（2α－β）］=cos ()cos()sin ()sin()2222βαβααβαβ--+--=152459339-⨯+⨯ 7527=∴cos （α+β）=2cos 22βα+－1=275227⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭-1=－729239. 例3. 若sinA=55,sinB=1010,且A,B 均为钝角,求A+B 的值. 解 ∵A 、B 均为钝角且sinA=55,sinB=1010，∴cosA=-A 2sin 1-=-52=-552， cosB=-B 2sin 1-=-103=-10103， ∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-552×⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10103-55×1010=22 ① 又∵2π＜A ＜π, 2π＜B ＜π, ∴π＜A+B ＜2π②由①②知，A+B=47π. 变式训练3：在△ABC 中，角A 、B 、C 满足4sin 22C A +-cos2B=27,求角B 的度数. 解 在△ABC 中，A+B+C=180°,由4sin 22C A +-cos2B=27, 得4·2)cos(1C A +--2cos 2B+1=27, 所以4cos 2B-4cosB+1=0.于是cosB=21,B=60°.例4．化简sin 2α·sin 2β+cos 2αcos 2β-21cos2α·cos2β. 解 方法一 （复角→单角，从“角”入手）原式=sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β-21·(2cos 2α-1)·(2cos 2β-1) =sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β-21(4cos 2α·cos 2β-2cos 2α-2cos 2β+1) =sin 2α·sin 2β-cos 2α·cos 2β+cos 2α+cos 2β-21 =sin 2α·sin 2β+cos 2α·sin 2β+cos 2β-21 =sin 2β+cos 2β-21=1-21=21. 方法二 （从“名”入手，异名化同名）原式=sin 2α·sin 2β+(1-sin 2α)·cos 2β-21cos2α·cos2β =cos 2β-sin 2α (cos 2β-sin 2β)-21cos2α·cos2β=cos 2β-sin 2α·cos2β-21cos2α·cos2β =cos 2β-cos2β·⎪⎭⎫ ⎝⎛+αα2cos 21sin 2 =22cos 1β+-cos2β·⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+)sin 21(21sin 22αα =22cos 1β+-21cos2β=21. 方法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次）原式=22cos 1α-·22cos 1β-+22cos 1α+·22cos 1β+-21cos2α·cos2β =41(1+cos2α·cos2β-cos2α-cos2β)+41(1+cos2α·cos2β+cos2α+cos2β)-21·cos2α·cos2β=21. 方法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）原式=(sin α·sin β-cos α·cos β)2+2sin α·sin β·cos α·cos β-21cos2α·cos2β =cos 2(α+β)+21sin2α·sin2β-21cos2α·cos2β =cos 2(α+β)-21·cos(2α+2β) =cos 2(α+β)- 21·［2cos 2(α+β)-1］=21. 变式训练4：化简：（1）2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π+6cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π;(2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--απαπα4sin 4tan 21cos 222. 解 （1）原式=22⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 4cos 234sin 21ππ =22⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 4cos 6cos 4sin 6sin ππππ =22cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x 46ππ=22cos(x-12π).（2）原式=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-απααα22cos 1tan 1tan 12cos =)2sin 1(2sin 12cos 2cos αααα++=1.。
三角函数的定义及应用教学教案(优秀4篇)
三角函数的定义及应用教学教案（优秀4篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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两角和与差的正弦、余弦公式教学设计(第一课))
两角和与差的正弦、余弦公式的教学设计（第一课时）1 内容分析1.1课标要求《普通高中数学课程标准》(2017年版)“内容要求”部分对两角和与差的正弦、余弦和正切公式要求是经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。
1.2教材分析本节是人教A版(2019年)高中数学必修第一册第五章第五节第一部分的内容，主要是两角和与差的正弦、余弦和正切公式。
此前已学习了诱导公式，利用它们对三角函数式进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的。
1.3学情分析学生已经学习了诱导公式，可以对三角函数式进行恒等变形，但这只是针对特殊角，但是由于学生对这部分内容接收起来比较困难，所以要争取对已学过的内容循序渐进，比较自然地得到所要研究的新知识。
通过类比让学生进行模仿，引导利用单位圆，推导出两角差的余弦公式。
1.4核心素养及蕴含的数学思想方法数学抽象：主要是两角差的余弦公式的推导。
逻辑推理：两角差的余弦公式与两角和的余弦公式之间的联系。
数学运算：在推导出公式之后，运用公式进行解题。
1.5教学目标(1)了解两角差的余弦公式的推导过程．(2)掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式．(3)熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．(4)通过正切函数图像与性质的探究，培养学生数形结合和类比的思想方法。
1.6教学重点与难点教学重点：掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式 教学难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用。
2.教学过程重合．根据圆的旋转对称性可知， (或说明AOP ∆≌11OP A ∆)。
两角和与差的三角函数教案
两角和与差的三角函数教案教案标题：两角和与差的三角函数教案教案目标：1. 了解两角和与差的三角函数公式；2. 掌握两角和与差的三角函数的计算方法；3. 能够应用两角和与差的三角函数解决实际问题。
教案步骤：引入：1. 引入两角和与差的概念，与学生一起回顾正弦、余弦、正切的定义；2. 引导学生思考如何计算两个角的和与差。
探究：1. 将两角和与差的三角函数公式列出，并解释每个公式的含义；2. 通过示例演示如何使用公式计算两角和与差的值；3. 让学生自主尝试计算其他两角和与差的值，并与同学分享解题思路。
拓展：1. 引导学生思考如何应用两角和与差的三角函数解决实际问题；2. 提供相关实际问题，让学生运用所学知识解决；3. 学生之间互相交流解题思路和答案。
巩固：1. 提供练习题，让学生巩固两角和与差的三角函数的计算方法；2. 检查学生的练习题答案并进行讲解。
总结：1. 总结两角和与差的三角函数的计算方法；2. 强调学生在实际问题中应用两角和与差的三角函数的能力。
教案评估：1. 在课堂上观察学生的参与度和理解程度；2. 检查学生在练习题中的答案；3. 收集学生的反馈和问题，以便调整教学方法。
教案扩展：1. 引入倍角与半角的概念，与学生一起探究其计算方法；2. 提供更复杂的实际问题，让学生进一步应用两角和与差的三角函数解决。
教案注意事项：1. 确保学生已经掌握正弦、余弦、正切的定义和计算方法；2. 通过图形或实物等形象化的方式辅助教学，提高学生的理解能力；3. 鼓励学生互相合作，共同解决问题，促进学生的交流与合作能力。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)教学设计
两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)教案教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+.β)等2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.二、三维目标1．知识与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2．过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3．情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.三、重点难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.四、课时安排2课时五、教学设想（一）导入新课思路1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯.教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解.这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用.思路2.(问题导入)教师可打出幻灯，出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答.1.化简下列各式(1)cos （α＋β）cos β＋sin （α＋β）sin β; (2)cos sin 1tan cos sin cos sin sin 22---+--x x x x x x x ; (3).tan tan cos sin )sin()sin(2222αββαβαβα+-+ 2.证明下列各式 (1);tan tan 1tan tan )cos()sin(βαβαβαβα++=-+ (2)tan （α＋β）tan （α-β）（1-tan 2tan 2β）＝tan 2α-tan 2β; (3).sin sin )cos(2sin )2sin(αββααβα=+-+ 答案:1.(1)cos α;(2)0;(3)1.2.证明略.。
《两角和与差的三角函数公式》第2课时示范教学方案北师大新课标
第四章三角恒等变换4.2两角和与差的三角函数公式第2课时两角和与差的正弦、正切公式及其应用1．能利用Cαβ±公式，诱导公式等推导两角和与差的正弦、正切公式．2．掌握两角和与差的正弦和正切公式，并能利用公式化简，求值等．3．通过本节课的学习，提升逻辑推理、数学运算的核心素养．教学重点：两角和差的正弦、正切公式的推导及其应用．教学难点：两角和差的正弦、正切公式的灵活运用．PPT课件﹒一、导入新课问题1：变脸是川剧艺术中塑造人物的一种特技，演员在熟练的动作之间，奇妙地变换着不同的脸谱，用以表现剧中人物的情绪、心理状态的突然变化，达到“相随心变”的艺术效果，那么在三角函数中，两角和与差的正弦、正切之间又有怎样的变换呢？这就是本节要学习的内容．设计意图：借助情景引入新课—两角和差的正弦、正切公式及其应用（版书）．二、新知探究1．两角和差的正弦公式问题1：由公式Cα－β或Cα＋β可求sin75︒的值吗？师生活动：学生独立思考，举手回答﹒预设答案：可以，因为sin 75cos15cos(4530)︒=︒=︒-︒﹒设计意图：通过正余弦之间的转化，为探究sin()αβ+的公式作铺垫． 问题2：由公式C (α±β)可以得到sin(α＋β)的公式吗？ 师生活动：学生独立思考，推导公式．预设答案：可以，sin(α＋β)＝cos[π2−(α+β)]＝cos 错误!＝sin αcos β＋cos αsin β﹒追问1：如何由sin(α＋β)的公式推出sin(α－β)的公式？ 师生活动：学生独立思考，推导公式﹒预设答案：以－β代替sin(α＋β)中的β，即可得sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β．★资源名称：【知识点解析】两角和与差的正弦、余弦、正切公式．★使用说明：本资源为《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》的知识解析，通过知识梳理、探究思考等环节帮助学生体会知识的形成过程，并会简单应用．注：此图片为“微课”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用． 知识点1：两角和差的正弦公式(1)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β（S α＋β）， (2)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β（S α－β）． 追问2：公式S α±β的适用条件是什么？ 师生活动：学生独立思考，举手回答﹒预设答案：公式中的α、β是任意角，可以是具体的角，也可以是表示角的代数式．追问3：公式S α－β，S α＋β，可记为什么？ 师生活动：学生独立思考，小组讨论﹒ 预设答案：“异名相乘，符号同”． 设计意图：帮助学生熟记公式． 2．两角和差的正切公式问题3：前面学习的同角三角函数关系中，tan ,sin ,cos ααα的关系怎样？ 师生活动：学生回忆，举手回答﹒ 预设答案：sin tan cos ααα=﹒ 设计意图：为推导两角和差的正切公式作铺垫﹒追问1：利用该关系及两角和的正、余弦公式，能用tan α和tan β表示tan(α＋β)和tan(α－β)？师生活动：学生思考、推导﹒ 预设答案：①tan(α＋β)＝++sin cos αβαβ()()＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β＝tan α＋tan β1－tan αtan β﹒②tan(α－β)＝()()sin cos αβαβ--＝sin αcos β－cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α－tan β1＋tan αtan β．知识点2：两角和差的正切公式 （1）tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，记作T α＋β．（2）tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β，记作T α－β．追问2：两角和与差的正切公式对任意α，β均成立吗？ 师生活动：学生观察公式，得出结论． 预设答案：不是的．①在两角和的正切公式中，使用条件是：α，β，α＋β≠k π＋π2，(k ∈Z )；②在两角差的正切公式中，使用条件是：α，β，α－β≠k π＋π2，(k ∈Z )．追问3：如何计算1－tan15°1＋tan15°？师生活动：学生思考、计算，举手回答﹒预设答案：原式＝tan45°－tan15°1＋tan45°tan15°＝tan(45°－15°)＝tan30°＝33．设计意图：帮助学生熟记两角和差的正切公式．★资源名称：【例题讲解】利用两角和差的正余弦公式求角．★使用说明：本资源为《利用两角和差的正余弦公式求角》的例题讲解，通过剖析典型例题，达到再次讲解知识点的目的，帮助巩固所学知识，加深学生对于知识的理解和掌握．注：此图片为“微课”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用． 三、巩固练习 例1已知3sin 5α=-，α为第三象限角，求sin(),cos()44παπα-+的值﹒ 师生活动：学生分析解题思路，教师找学生板书解题过程．预设答案：因为3sin 5α=-，α为第三象限角，所以4cos 5α==-，43sin()sincos sin cos()()44455ααπαππ-=-=⨯---=43cos()coscos sin sin ()()44455ααπαππ+=-=---=．追问：本题中sin()cos()44ααππ-=+，这是一种巧合吗？预设答案：不是，因为()()442ππαπα-++=，所以sin()cos()44ααππ-=+﹒方法总结：这类题目要注意角的变换，观察待求角和已知角，把所求角表示为已知两角的和差，然后利用两角和、差公式求解．设计意图：巩固两角差的正弦与两角和的余弦公式的应用．例2已知1tan 2,tan ,3αβ==-其中0<α<π2<β<π﹒求：（1）tan()αβ-的值；（2）α+β﹒ 师生活动：学生分析解题思路，教师补充． 预设答案：（1）12()tan tan 3tan(===711tan tan 12()3αβαβαβ----++⨯-）； （2）因为0<α<π2<β<π，所以3+22παβπ<<， 而12()tan tan 3tan(===111tan tan 12()3αβαβαβ+-++--⨯-）， 故5+4παβ=． 方法总结：灵活选择适当求角的三角函数值方法．①如果角的取值范围是)20(π,，则选正弦函数、余弦函数均可；②如果角的取值范围是)22(ππ,-，则选正弦函数； ③如果角的取值范围是)0(π,，则选余弦函数． 设计意图：巩固两角和差余弦公式的逆用． 例3已知02πβαπ<<<<，且12cos 213βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，4sin 25αβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭﹒求：（1）tan 2βα⎛⎫-⎪⎝⎭的值；（2）cos 2αβ+⎛⎫⎪⎝⎭的值． 师生活动：学生分析解题思路，教师板书解题过程﹒ 预设答案： （1）因为02πβ<<，所以042πβ-<-<，所以42πβαπ<-<，故5sin 213βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，5tan 212βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（2）cos cos 222αββααβ+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ cos cos sin sin 2222βαβααβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭﹒由2παπ<<得，422παπ<<，又2πβ-<-<0，则422παπβ-<-<，则3cos 25αβ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 故1235416cos213513565αβ+⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭． 方法总结：这类问题要注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．设计意图：巩固角的变换以及两角和差正弦、余弦、正切公式的运用． 【板书设计】四、归纳小结问题5：回归本节的学习，你有什么收获？可以从以下几个问题归纳． （1）利用两角和差的正弦、余弦、公式的求值中，要注意什么？ （2）给值求值问题的解题方法是什么？常用的角的变换技巧有哪些？ 师生活动：学生尝试总结，老师适当补充． 预设答案：（1）化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“3”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan π4”，“3＝tan π3”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值． （2）在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角．具体做法是：①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差．②当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生掌握利用两角和差公式解决求值问题的方法技巧．布置作业：教科书第P147练习第6，7，8题；P152习题A 组第4，5，6题． 五、目标检测设计1﹒已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tanαtanβ等于( ) A ．2 B ．1 C ﹒12D ．4设计意图：检查学生对两角和的正切公式掌握情况． 2﹒已知α∈）（ππ,2，)4sin(πα+＝35，则sin α等于( )A ﹒210 B ﹒7210 C ﹒－210或7210 D ﹒－7210设计意图：检查学生对两角和差公式的综合应用的掌握情况． 3﹒设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则cos θ=______；sin()4πθ+=______﹒ 设计意图：检查学生对两角和的余弦及两角和的正切公式的掌握情况．4﹒如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255﹒ (1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．设计意图：检查学生对两角和、差的公式的掌握情况． 【参考答案】1．答案：C ﹒解析：因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝21－tan αtan β＝4，所以tan αtan β＝12﹒2．答案：B ﹒ 解析：由α∈）（ππ,2得，3π4<α＋π4<5π4， 所以)4cos(πα+＝)4(12πα+--sin ＝54)53(12-=--﹒ 所以sin α＝]4)4([ππα-sin +＝)4sin(πα+4cosπ－4s πin )4cos(πα+＝22×)5453(+＝7210﹒ 3．答案：，解析：1tan()tan11442tan tan()4431tan()tan 1444ππθππθθπππθ+--=+-===-+++．由22sin 1tan cos 3sin cos 1θθθθθ⎧==-⎪⎨⎪+=⎩， 结合θ为第二象限角，则cos 0θ<， 可得cos 10θ=-，sin 10θ=﹒ 所以sin()sin )425πθθθ+=+=-﹒ 4．解：由条件得cos α＝210，cos β＝255， ∵α，β为锐角，∴sin α＝7210，sin β＝55，∴tan α＝7，tan β＝12﹒(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3﹒(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan(ɑ＋β)＋tanβ1－tan(ɑ＋β)tan β＝－3＋121－(－3)×12＝－1，∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，故可得α＋2β＝3π4．。
两角和与差的三角函数 解斜三角形 倍角公式的应用 教案
两角和与差的三角函数，解斜三角形·倍角公式的应用·教案北京二十二中学李向东教学目标1．使学生熟练地掌握二倍角公式及其有关变形公式来解题．2．使学生会利用倍角公式解决某些几何问题，初步学会用三角法解几何问题．3．培养学生解决实际问题的能力．教学重点与难点教学重点是灵活运用倍角公式及其变形．教学难点是恰当取角作自变量，用三角法解决几何问题．教学过程设计师：我们上节课学习了倍角公式，请一名同学叙述一下公式内容．生：sin2α=2sinα·cosα；cos2α=cos2α-sin2α=1-2sin2α=2cos2α-1；师：倍角公式不限于二倍角，凡用单角的三角函数来表示的三倍角、四倍角等三角恒等式，都叫倍角公式．请大家想想，我们还学习了哪些倍角公式？生：三倍角的正弦、余弦公式，即sin3θ=3sinθ-4sin3θ；cos3θ=4cos3θ-3cosθ．另外我还推导出三倍角的正切公式，即师：很好．这几个公式不太好记忆，请大家找些规律，能把它们记住是最好的，但切忌死记硬背．另外还要做到会推导这组公式．（教师应该从平时就注意培养学生的记忆能力，教会学生找规律，抓特点，多联想，这样这些公式、定理就不再是枯燥的了．）师：下面请同学们结合所学的知识，完成两道练习．（板书）例1 求值：（1）sin215°；（2）cos36°·cos72°．（给学生一些时间考虑，不要怕耽误时间，而要让学生多参与．）师：刚才我巡视了两行，只有个别同学做出了结果，而对多数同学而言，之所以解题受阻，其主要原因是对“活”理解不够．换句话说，就是只记住了公式的直观形式，而缺乏继续推导其有关变形的能力．我们一起来看，由即（请学生观察公式变形后的特点，然后再进行归纳．）师：通过观察，可以发现C′2α有两个特征．第一，左边是正弦或余弦的二次幂，右边是余弦的一次幂，即从左至右，将正弦或余弦的二次幂化为余弦的一次幂，达到了降幂的作用；第二，左边是单角，右边是二倍角，即从左至右，将单角转化为二倍角，达到了扩角的作用．基于上述原因，我们将C2α的两个变形公式称为降幂扩角公式．由于课本上没有这几个公式，但它们在化简和证明中又起着非常重要的作用，我们不妨称之为“二等公式”，即二倍角公式的推论，大家在做题中可以直接运用，以达到事半功倍的效果．这样，我们来看看刚才的两道题，就不难解决了．请大家再做两道题，以体会这几个“二等公式”的重要作用．练习求值：（给些时间请学生思考．观察题目特点，设想解题思路．）生：右边分成两部分，一部分是单角、二次余弦函数，另一部分是二倍角、一次正弦函数．倘若对sin2x 变形，既会出正弦函数，又会出余弦函数，反而使问题更加复杂，所以我考虑对cos2x变形，从而向sin2x看齐，即：这样变形，将其转化为正弦型三角函数，求最值便迎刃而解．重要，是整个题目求解的关键一步．师：非常好．同学们在学习过程中应切实重视这几个公式的应用．另外作为整个三角函数知识部分的学习，我仍然强调一个重要的字，即“活”，活字当先，想题，做题要善于联想，不拘一格．这部分知识公式多，对同学们而言是件好事，但千万不要受制于这些公式，限制自己的思维．正弦，余弦，正切．师：这是一个涉及平面几何的题目，因而在一些推导步骤中要使用相关的性质．请同学们思考几个问题：第一，等腰三角形中，已知底角锐角，还是钝角，还是两种可能都有；第三，如何利用所学的三角知识求解．生：不妨设等腰三角形顶角为α，底角为β，由三角形内角和等于180°，有α+2β=180°，即α=180°-2β．是锐角．也可以是钝角，而在本题中，因为是等腰三角形，所以底角不能是钝角，只能是锐角，否则破坏了三角形内角和定理．师：同学们说得都很好，说明了平面几何知识是比较扎实的．下面请一名同学叙述如何利用三角知识求解．因为是等腰三角形，所以β只能是锐角．因此由α+2β=180°，得后，能否利用同角三角函数关系式，即sin2α+cos2α=1，求cosα呢？答案应该是肯定的，但如何确定符号呢？（全体学生参与讨论，对今后的学习是大有帮助的．）生：可以利用sin2α+cos2α=1求cosα．师：问题圆满地解决了．从中我们受到哪些启示呢？要一题多解，要学会“自圆其说”，出现问题不怕，要有锲而不舍的精神，充分利用所学的知识，探讨问题的根源，研究解决问题的办法，寻找求解的途径，要学会学习，这对你们的成长与发展是至关重要的．师：作为学生，仅仅利用所学的知识来完成家庭作业，来应付各类考试，从认识上是很片面的．应该学会利用知识来解决实际生活中的问题，提高你的综合素质．例4：把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法才能使横截面的面积为最大？（请学生思考，并在笔记本上画图．）师：我们通过画图，将实际应用问题转为数学中的几何问题．如图2所示，四边形ABCD是圆O的内接矩形，对角线AC=2R．师：你能猜想出结论吗？（引导学生猜想，猜想是发现的开始．）师：错了没有关系，重在参与，失败是成功之母嘛！生：当圆内接矩形是正方形时，横截面面积最大．（不一定叫成绩好的学生，而是胆大者，思维活跃者．）师：听着有道理，很不简单，但口说无凭，怎样才能验证结论呢？（既鼓励大胆猜想，又提出更高要求，使学生仍处于亢奋境地．）师：这道题其实涉及最值问题．我们以前所学的哪些知识可以求最值？（温故而知新，让学生不断地去想．）生：利用二次函数求最值．教师：很好．二次函数是非常重要的一段知识，你能试着解解吗？（及时肯定学生的想法，激发学生的兴趣，对培养学习能力是十分重要的．）生：如图2所示，圆O的内接矩形ABCD的面积S=AB·BC，而AB，BC均在Rt△ABC中，因此只需研究Rt△ABC中的边与边的关系．若以一边AB作为自变量x，则另一边BC可求，从而矩形ABCD的面积可表为x的函数．即：以，矩形面积表示为S2=x2·（4R2-x2）=-x4+4R2x2=-（x2-2R2）2+4R4．S最大值=2R2．时圆内接矩形为内接正方形．师：很好．看来这位同学在二次函数部分所学的知识是很扎实的，解题步骤也很清晰，但作为本题而言略有不足，谁发现了呢？生：这不是一道纯数学味道的有关最值的题目，而是一道应用题，所以应该以答题的形式明确对圆木怎么锯法才能使横截面的面积最大．（这是很容易忽视的一个问题，只把应用问题转化为数学问题固然重要，但也应该将最后的结论还原为应用问题的解答，以培养和训练学生的表达能力．）生：以圆木的直径为对角线，锯成横截面为正方形的木料时，横截面的面积最大．师：这是典型的代数法求最值，以线段作自变量，寻求面积函数关系式后，用配方法求函数最值．此外本题还可以用判别式法（看作x2的二次方程）求最值，请同学们课下做做．将来随着学习的深入，还可以利用平均值不等式求最值．但是不论怎样，求解过程都比较繁琐．结合我们所学的三角部分知识，今天来探讨另一类重要的求最值方法——三角法．（板图，教师讲解．）师：区别于代数法的以边作自变量，三角法顾名思义，就是以角作自变量，寻求面积的函数关系后，进而求最值．BC=2R·sinθ，AB=2R·cosθ．从而S=AB·BC=2R·cosθ·2Rsinθ=4R2sinθ·cosθ=2R2sin2θ．所以当sin2θ=1时，S最大值=2R2，即：当2θ=90°，θ=45°时，圆内接矩形面积最大，这时圆内接矩形为正方形．答：以圆木的直径为对角线，锯成横截面为正方形的木料，此时横截面面积最大．（教师不要急于小结本题，而是给学生时间，请他们回味数学的奥妙所在，自己对两种方法作比较．）师：两种方法都是我们求最值的主要手段，就本题而言，显然三角法简便一些．它的关键是适当选取角作自变量，寻找面积函数，探求面积的最值．师：上题中倘若改变一下已知条件，请同学们根据所学的知识作出判断．（1）若把上述问题中的圆木改换成半圆木，要锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法才能使横截面的面积最大？如图4所示．（2）若将上述问题中的圆木换成圆心角为90°的扇形圆木，结论又将如何呢？如图5所示．（我想大多数学生会运用三角法求解，关键是如何选取角作自变量，寻找面积函数，请学生充分讨论后，上黑板书写解题过程．）BC=R·sinθ，AB=2R·cosθ．所以S=AB·BC=2Rcosθ·Rsinθ=R2sin2θ．当矩形长是宽的2倍，即如图4那样截取时，矩形面积最大值为R2．（上题的答题有一定难度，可适当降低对学生的要求．）生：连结OC．设∠BOC=θ（0＜θ＜90°），则BC=R·sinθ，OB=R·cosθ．所以答：以直角扇形的对称轴所在线段作为对角线，锯成横截面为正方形的木料时，横截面的面积最大．师：（小结）这一节课我们在二倍角公式的基础上，又推导出几个重要的“二等公式”，它们常常是我们做题中重要的变形手段，请大家掌握．另外我们也初步探讨了几何量的最值问题，解决这类问题的方法较多，三角法是其中的一种重要方法，它的基本步骤是：（1）寻找与探求结论有关的三角形．（2）适当选取角作自变量，寻求函数关系．（3）适当进行三角恒等变形后，再根据自变量的取值范围来确定函数的最值，从而最终得出结论．作业课本P225习题十六第3题．补充题正切．2：已知：矩形ABCD的长AB=a，宽AD=b．试求：它的外接矩形EFGH面积的最大值和它的对角线长的最大值．课堂教学设计说明这份教案是倍角公式变形及运用一堂课的实录，师生共同参与，以问答的形式，详细地叙述出来．倘若只是为了自己教学，只要记下教学过程即可：1．复习倍角公式并提出新问题．2．结合题目引出降幂扩角公式．3．利用降幂扩角公式求最值．4．应用倍角公式求解三角形中内角的三角函数．5．应用倍角公式解决实际应用问题．6．小结，作业．这节课是在上节倍角公式的基础上，进一步深化，并将其巧妙地应用到解决实际应用问题中．降幂扩角公式作为倍角公式的变形公式，可将三角部分中一些高次问题降为一次，将半角、或单角转化为倍角，它的作用在做题中是很明显的，关键是如何让学生真正理解并适时地应用它．课程中我以先提问题来教导学生仅仅死记公式，而缺乏灵活地应用必然会处处碰壁，进而抛出降幂扩角公式，让学生体会它的作用，以加深对它的认识．我认为这是主动的，有效的接受知识，而不是被动的，机械的记忆．教学的实质是思维过程的教学，“直截了当”则掩盖了“思维过程”，把知识和方法不是作为思维过程展示到学生面前，而是作为结果抛给学生，这种“奉送”的做法势必回避了数学思想的培养．有一句话说得很有哲理“人类失去联想，世界将会怎样．”因此，我们作为教师应当把教会学生如何学习放在首位．这节课的另一个重点是圆内接矩形的那道应用题，主要是想培养学生的解决实际问题的能力．这样的题目实际上是对学生能力的考察．在提倡素质教育的今天，如何将课堂上所学的知识用来解决实际中的问题，以提高学生综合素质，是值得广大教师深思的．教学中首先展示的是学生容易想到的二次函数的方法，是“温故”；运用所学的三角知识简单而迅速的解决问题，是“知新”．二者进行对比，使学生了解到不同方法的优缺点，是“升华”．又针对半圆，四分之一圆的情况进行了研讨，学生对用三角法解题中最难的问题，即选择自变量有了更加深刻的理解，定会将它用到今后的学习中．这样学生对所学知识在实际中的作用有了直观的认识，同时又学到了新的解题方法，教师的教学目的就达到了．。
第28课时____两角和与差的三角函数
215课题：教学目标：掌握两角和与差的三角函数公式，掌握二倍角公式；能运用这些公式进行三角化简，求值等有关运算问题．教学重点：公式的灵活运用．（一） 主要知识：1.两角和与差的三角函数公式；二倍角公式；2.降次公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．（二）主要方法：1.寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，把握式子的变形方向，准确运用公式；2.三角变换主要体现在：函数名称的变换、角的变换、1的变换、和积的变换、幂的变换等方面；3.掌握基本技巧：切割化弦，异名化同名，异角化同角等；4.应注意的几点:()1熟悉公式的正用、逆用，还要熟练掌握公式的变形应用.()2注意拆角、凑角技巧，如()ααββ=+-，()()2ααβαβ=++-等.()3注意倍角的相对性，如3α是23α的倍角.()4要时时注意角的范围的讨论.（三）典例分析：问题1．()1（07江西文）若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于 .A 3- .B 13- .C 3.D 13()2(06重庆)3,,4παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()3sin 5αβ+=-,12sin 413πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭问题2．（07四川）已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，02πβα<<<， (Ⅰ)求α2tan 的值.（Ⅱ）求β.216问题3．求值：()1cot104cos10︒-︒；()2cos 20cos 40cos 60cos80︒︒︒︒ ()3（06江苏）cot 20cos10tan702cos40︒︒︒-︒问题4．已知A 为三角形的内角，求222cos cos ()3y A A π=++的取值范围．问题5．已知1sin sin 4αβ+=，1cos cos 3αβ+=，求值： ()1()cos αβ-； ()2()tan αβ+217（四）巩固练习：1.（05重庆文）=+-)12sin12)(cos12sin12(cosππππ.A 23-.B 21-.C 21.D 232.（05江西文）已知tan32α=，则cos α= .A 54 .B 45-.C 154.D 35-3.已知4cos 5θ=，(),2θππ∈，则sin 2θ= .A .B .C .D4.若α为锐角，且1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则cos α=.A 16.B 16.C 14.D 145.（05江苏）1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ .A 79-.B 13-.C 13.D 796.（07南通九校联考）已知2sin sin 3x y -=-，2cos cos 3x y -=，且,x y 为锐角，则()tan x y -的值是 .A.B.C.D7.（五）课后作业：8.（07届西安地区高三八校联考）设sin15cos15a=︒+︒，sin17cos17b=︒+︒，则下列各式正确的是.A222a ba b+<<.B222a bb a+<<.C222a ba b+<<.D222a bb a+<<9.（六）走向高考：10.（07陕西）已知sinα=，则44sin cosαα-的值为.A15-.B35-.C15.D3511.（07江苏）若1cos()5αβ+=，3cos()5αβ-=，则tan tanαβ=12.（07浙江）已知1sin cos5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos2θ的值是21821913.（06福建）已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+=.A 17.B 7.C 17-.D 7-14. (06湖北)已知2sin 23A =，()0,A π∈，则sin cos A A += .A 3 .B 3- .C 53 .D 53-15.（06重庆文）若,(0,)2παβ∈，cos()2βα-=,1sin()22αβ-=-，则cos()αβ+=.A .B 12- .C 12 .D16.（06陕西）cos 43cos77sin 43cos167︒︒+︒︒=17.在ABC △中，(1cot )(1cot )2A B ++=，则2log sin C =22018.已知sin 2cos 0αα+=，则sin 2cos 2αα+=19.（06安徽文）已知40,sin 25παα<<=求值：()122sin sin 2cos cos 2αααα++；()25tan()4πα-20.（06天津文）已知5tan cot ,(,),242ππααα+=∈求cos 2α和sin(2)4πα+的值。
高二数学 两角和与差的正弦、余弦和正切公式教案
第三章三角恒等变换一、课标要求：本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用.1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.二、编写意图与特色1.本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；2.本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；3.本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；4.本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.三、教学内容及课时安排建议本章教学时间约8课时，具体分配如下：3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式约3课时3.2简单的恒等变换约3课时复习约2课时§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、课标要求：本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用.二、编写意图与特色本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用.三、教学重点与难点1.重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；2.难点：两角差的余弦公式的探索与证明.两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.三、学法与教学用具1. 学法：启发式教学2. 教学用具：多媒体四、教学设想：（一）导入：我们在初中时就知道 2cos 452=，3cos302=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家可以猜想，是不是等于cos 45cos30-呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-=（二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索()cos αβ-与cos α、cos β、sin α、sin β之间的关系，由此得到cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，认识两角差余弦公式的结构.思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？展示多媒体课件比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处. 思考：()cos ?αβ+=，()()cos cos αβαβ+=--⎡⎤⎣⎦，再利用两角差的余弦公式得出()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦（三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值.解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()231cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 3022224=+=-=⨯-=()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 302222=-=+=⨯= 点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活运用.例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===- 所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.（四）小结：α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.（五）作业：15012.P T T -。
《两角和与差的三角函数》导学案
《两角和与差的三角函数》导学案姓名: 班级: 组别: 组名:【学习目标】1﹑公式的正用、逆用.2﹑公式的变形应用.3﹑利用公式化简、求值、证明等综合利用.【重点难点】▲重点：公式的应用.▲难点：公式的逆用与变形应用.【知识链接】()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=【学习过程】类型1:两角和与差基本公式的应用（公式的正用）例1﹑ ①已知3cos ,(,)52πθθπ=-∈，求sin()3πθ+的值？②已知αβ，为锐角，1cos 7α=，11cos 14αβ+=-（），cos β求的值提示：公式的正用包括求值型、凑角型、求角型.问题1﹑在①中，sin sin cos cos sin 333πππθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，要求sin()3πθ+值，需求sin θ与cos θ的值，请尝试解答①.问题2﹑先尝试直接解出第②问.问题3﹑你是否是按这样的思路完成的第②问？由cos()αβ+展开得11cos cos sin sin 14αβαβ-=-，再根据1cos 7α=得到sin α的值，再根据1cos sin 22=+αα得到cos β的值.这个过程很繁琐，我们一般不采纳，你有没有其他的方法呢？（提示：将已知角()αβ-尽量不拆开，尝试一下，利用已知角()αβ-与α配凑出角β，你会有更多的收获哦！）尝试写出本题的完整过程类型2: 两角和与差公式的应用（公式的逆用）例2﹑①求sin 7cos37sin83cos53︒∙︒-︒∙︒的值？②求1cot151tan 75+︒-︒的值。
问题1﹑在①中应尽量的先统一角再观察所求式，请尝试解答本问.问题2﹑第②问考察了正切公式的逆用，要注意特殊角以及“1”的转化，请尝试解答本问.类型3:和差公式的技巧运用例3﹑已知324πβαπ<<<，12cos()13αβ-=，3sin()5αβ+=-求sin 2α的值. 提示：可以用配凑的方法来达成角的统一，尽量将所求角转化为已知角来表示，例如：()()ααββββα=+-=--问题1﹑将cos()αβ-，sin()αβ+直接展开，方便求解吗？尝试一下.问题3﹑要求s i n2α的值需求出sin()αβ-与cos()αβ+的值，根据22sin ()cos ()1αβαβ-+-=可得225sin ()169αβ-=，同理也可得216cos ()25αβ+=，尝试求出sin()αβ-与cos()αβ+的值（注意取正负的问题哦！）？写出本题完整的解答过程例4﹑在三角形ABC 中， tan B+tan C = A.问题1﹑本题可整理为tan tan tan tan )B C B C +-,易得tan A 的值.问题2﹑本题也可使用tan tan tan()(1tan tan )B C B C B C +=+-代入已知式进行求解，尝试一下.【基础达标】A1﹑已知123cos ,(,)132θθππ=-∈，求cos()4πθ+的值.B2﹑已知cos()sin 6παα-+=，求7sin()6πα+的值.C3﹑化简sin(2)2cos()sin αβαβα+-+. 【小结】【当堂检测】B1﹑已知23sin ,(,)32ααππ=-∈，3cos 4β=，3(,2)2βππ∈，求cos()αβ-的值.【课后反思】本节课我最大的收获是我还存在的疑惑是。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 教案
两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案
三维教学目标
1.知识与技能
能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系. 能应用公式解决比较简单的有关应用的问题.
2.过程与方法
通过层层探究体会数学思维的形成特点.
3.情感目标与价值观
通过公式变形体会转化与化归的思想方法.
教学重点:推导两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式,并能区别两角和与差的正弦、余弦、正切公式．
教学难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的理解和灵活运用．
突破措施：学生在前面诱导公式及两角差的余弦公式的基础上，比较自然的推出
两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式．
学情分析：三角函数是高考的重点内容，本节主要是公式的推导和应用，难度不大，要让学生加强记忆，且熟练应用．
教学设计：
=
cos15_____
情景导入
有了两角差的余弦公式，我们能解决一些问题，但范围有
限，因此自然想得到两角差的正弦、正切公式，以及两角和的
72cos 42cos72sin 42
-20cos70sin 20sin 70-；（3）．1tan15
1tan15
+-
练习：求下列各式的值：
72
cos18cos72sin18
tan12tan 33tan12tan 33
++
34sin 26cos34cos 2620cos 40cos 20cos50
-+
)
131cos sin 22
x x - (2)cos x -
板书设计：。
两角和与差的正弦公式教案
两角和与差的正弦公式教案一、动机和引入1.引导学生回顾前面学过的正弦函数的基本性质：周期、最大值、最小值等。
2.提问学生：在求正弦函数的和或差的时候，我们有没有什么公式可以使用？3.引导学生分析：我们可以使用两角和与差的公式，类似于整数相加减，但是存在一些特殊性质。
二、学习公式1.提醒学生：求两角和与差的公式都是从公式角度出发，通过对三角函数的和差关系进行求解。
2. 教师板书公式：sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB3. 解读公式：sin(A±B)等于sinA和sinB的乘积之和或差。
4. 引导学生根据公式推导cos(A±B)的公式：cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB5.提醒学生：在公式推导的过程中，可以根据三角函数的诱导公式进行转换。
如：cos^2A+sin^2A=1三、例题实践1. 例题一：求sin(π/6+π/4)的值。
解法：根据公式sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB：sin(π/6+π/4)=sin(π/6)cos(π/4)+cos(π/6)sin(π/4)=1/2×√2/2+√3/2×√2/2=√2/4+√6/4=(√2+√6)/4答案：(√2+√6)/42. 例题二：求cos(3π/4-π/3)的值。
解法：根据公式cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB：cos(3π/4-π/3)=cos(3π/4)cos(π/3)+sin(3π/4)sin(π/3)=-√2/2×1/2+√2/2×√3/2=-√2/4+√6/4=(√6-√2)/4答案：(√6-√2)/4四、练习与巩固1. 练习题一：求sin(π/3+π/2)的值。
2. 练习题二：求cos(5π/6-π/3)的值。
五、总结与归纳1.引导学生总结：两角和与差的正弦公式和余弦公式都是通过对三角函数的和差关系进行推导得到的。
3.1两角和与差的三角函数
学科：数学主备人：授课人：审核人：课题 3.1两角和与差的三角函数授课时间2课时教学目标1.知识与技能（1）能够推导两角差的余弦公式；（2）能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；（3）能够运用两角和的正、余弦公式进行化简、求值、证明；2.过程与方法通过创设情境：通过向量的手段证明两角差的余弦公式，让学生进一步体会向量作为一种有效手段的同时掌握两角差的余弦函数，然后通过诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；讲解例题，总结方法，巩固练习.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力.教学重点重点：两角和与差的正弦，余弦、正切公式及其推导教学难点难点：灵活运用公式进行求值，化简和证明教学方法课型考纲要求个性备课设计(1)会用向量推导两角差的余弦公式；(2)能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；课前认识由于向量既是代数研究的对象，也是几何研究的对象。
向量是沟通代数与几何的桥梁，为了体现向量在处理三角函数问题中的工具作用，本教材书采用向量数量积的方法，来推导两角差的余弦定理，虽然首先得到的不是两角和的正弦，但这几个公式出现的顺序不会构成学生学习困难和推导体系混乱，这样使得公式的推导过程更简捷，又因为用向量方法推导公式βα-C安排在第三章的第一节，使教科书从第二章平面向量到第三章三角恒等变形的过程更自然，可以使学生感受到知识之间的联系、向量的数学价值，同时从向量的角度，意会公式的几何背景。
引入1．用第二章向量的知识引入本节内容，使学生们认体会知识之间的相互联系，新的知识的学习总能为我们研究其他问题带来更简捷的方法。
激发学生学以至用的学习态度在第二章我们已经学习了向量的知识。
向量的主要作用之一是讨论几何度量问题，例如，长度和角度的问题。
从向量数量积的定义：θcos b a b a=⋅我们知道：任何向量与自身的内积为向量长度的平方；两个单位向量的数量积就等于他们之间夹角的余弦函数值，反映可他们之间夹角的大小。
两角和与差的正弦余弦正切公式教学案
两角和与差的正弦余弦正切公式教学案一、教学目标：1.知识与技能目标：掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。
2.过程与方法目标：鼓励学生积极思考、合作学习，培养学生的逻辑推理能力。
3.情感与态度目标：培养学生的数学兴趣，增强对数学的自信心。
二、教学重、难点：1.教学重点：学习正弦、余弦、正切两角和与差的公式，能够正确地应用到解题中。
2.教学难点：正弦、余弦、正切两角和与差的公式的推导与应用。
三、教学准备：1.教师准备：教案、笔记、教辅资料、教学媒体等。
2.学生准备：学习笔记、作业本。
四、教学步骤：Step 1 引入新课1.教师展示一幅图形，引导学生观察图形中的三角形，并提问：对于一个任意的三角形ABC，如何求角A和角C的两角和与差的正弦、余弦和正切？2.引导学生思考，并提醒学生复习正弦、余弦、正切的定义和性质。
Step 2 探究与讨论1.教师以角A和角C的两角和为例，引导学生分析角A和角C的三角函数之间可能存在的关系，并引导学生探究和讨论。
2.学生合作讨论，提出各自的思考结果并互相交流。
Step 3 运用公式解题1.教师给出两具体的角A和角C的数值，并提问学生如何求其两角和与差的正弦、余弦和正切的值。
2.学生运用公式计算，并与他人交流讨论结果，互相纠正错误。
Step 4 归纳总结1.教师总结学生的讨论结果，整理归纳出正弦、余弦、正切两角和与差的公式。
2.指导学生将这些公式整理成归纳表格或表格。
Step 5 拓展应用1.教师给出一些拓展应用题目，要求学生利用所学知识解答。
2.学生独立完成练习题，并互相交流讨论。
Step 6 小结与反思1.教师对本节课的内容进行小结，并引导学生参与总结。
2.向学生征求反馈意见，以便以后教学改进。
五、教学评价：1.学生通过合作探究和讨论，积极参与课堂活动。
2.学生能够利用正弦、余弦、正切两角和与差的公式解决实际问题。
3.学生对角度与三角函数之间的关系有了更深入的了解。
4.学生对本节课的教学内容和方式进行评价。
北师大版高中高二数学必修4《两角和与差的三角函数》教案及教学反思
北师大版高中高二数学必修4《两角和与差的三角函数》教案及教学反思一、教学目标1.理解两角和与差的三角函数概念2.掌握两角和与差的三角函数的计算公式3.能灵活运用两角和与差的三角函数求解题目二、教学重点1.两角和与差的三角函数概念2.计算公式3.绕过死点三、教学难点1.两角和与差的三角函数的绕过死点方法2.运用两角和与差的三角函数求解问题四、教学过程1. 教学内容的呈现本节课学习的主要内容为两角和与差的三角函数。
在这之前，我们先回顾一下基础的三角函数知识，然后引出两角和与差的概念。
同时，我们需要提出两角和与差公式的作用，以及绕过死点的方法。
2. 新知识的学习首先，我们来回顾一下基础的三角函数知识，包括正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数。
接下来，我们引入两个新的概念：两角和与两角差。
这两个概念是指两个角的函数相加或相减后得到的函数，比如：$$\\sin(a+b) = \\sin a \\cos b + \\cos a \\sin b$$$$\\cos(a+b) = \\cos a \\cos b - \\sin a \\sin b$$$$\\sin(a-b) = \\sin a \\cos b - \\cos a \\sin b$$$$\\cos(a-b) = \\cos a \\cos b + \\sin a \\sin b$$我们需要记住这些公式，因为在进一步的计算中会很常用。
接着，我们来讲一下如何避开死点。
在计算两角和与差的三角函数时，会遇到一些死点，导致计算不能进行下去。
所谓死点，就是使得分母为零的点，这个点被称为死点。
出现死点时，我们需要进行绕过，常用的方法有三种。
1.利用倒数公式：$\\tan(\\pi/2-a)=\\cot(a)$，$\\cot(\\pi/2-a)=\\tan(a)$来进行绕过。
2.利用奇偶性：sin(−x)=−sin(x)，cos(−x)=cos(x)，tan(−x)=−tan(x)，来进行绕过。
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两角和与差的正弦、余弦、和正切公式教案(一)
教学目标
知识与技能：理解利用向量推导两角和差的三角函数公式的过程，进一步体会向量方法的作用，能运用公式进行简单的恒等变换；
过程与方法：通过适当强度的课前学生自学，课堂上学生讲解与教师辅助点拨相结合，逐步培养学生自学，敢于展示、认真聆听、积极交流的能力；
情感态度与价值观：自主展示实现自我价值，合作学习培养团队合作。
一．课前自学 1．问题提出：
利用熟悉的角的三角函数值验证cos()αβ-是否等于cos cos αβ-，其他三个
，
，
的情况又如何
设计意图：通过对简单的易于进入的问题的探讨，在学生心中生成问题，激发求知欲，为课程的展开提供主观动力。
2. 公式推导：
如图1，在以坐标原点为圆心的单位圆O 中，已知角与角的终边为与单位圆的交点分别为A,B, 则____________
根据三角函数的定义：若点A 的坐标为,点B 的坐标为 则
；
则点A 的坐标可以用的三角函数表示为（ ， ） 点B 的坐标可以用的三角函数表示为（ ， ）
则
的坐标（_________________）,
的坐标（_________________）
_________________________________OA OB ⋅=
向量夹角
，
的夹角为
cos()cos ,OA OB αβ-==（ ）
（ ）
=______________________________________
____________________________________________(提示：OA 与OB 的模为)
=_________________________________
提醒学生思考：如果角αβ、改变结果是否会发生改变，进行推到过程的严谨性探究。
设计意图：公式推导部分，将证明过程进行知识模块化拆分、设计渐进的填空形式问题、学生在逐
基
础
知
识
调用一 三角函数定义(
课
本
P ——
页
)
基础知识调用二
向量的坐标与夹角(
课本
P ——
x A B O
αβy
步解决一个个小问题的同时逐步完成证明过程，这样做使证明过程从教师讲解变为学生课前自学成
为可能。
相关知识的看书提醒让基础薄弱的同学也能跟上脚步，提升学习信心。
教师重点指导学生
体会向量方法的作用、证明的严谨性等，课堂上学生自主讲解与教师点拨相结合，注重知识技能的
同时培养学生敢于展示，活跃交流的能力。
例题与练习
1.cos15cos(4530)
=-=____________________________________________________________ ; 同学！除了15你还能求哪些角的余弦值举两个看看！
_____________________________________________________________________________________
2. 计算=( )
A． B． C． D．
真懂了吗自己出个类似的题吧！
_____________________________________________________________________________________
设计意图：简单的小问题，方便学生自查能否初步使用公式解决一些问题，为课堂提升奠定基础。
二．课堂共学
例题3.已知
45
sin,(,),cos,
5213
π
ααπββ
=∈=-是第三象限的角，求
解答题！你的格式在哪里
课后巩固：课本
127
P 2、3、4
自己来出题吧！
______________________________________________________________________________________
变式4.已知
54
cos(),cos,
135
αββαβ
+==、均为锐角，求。
还是格式！
课后巩固：课本
137
P 4
变式5.已知
312
,cos(),
2413
ππ
αβαβ
<<<-=
3
sin()
5
αβ
+=-，求cos2α的值。
课后巩固:金典P77 达标练习
本节结束了，公式你记住了吗不看书，自己写写看！
设计意图:课堂上，例题与练习采取学生展，教师评，点评注意公式的记忆、象限、格式等，同时注意学习方法的指导,变式部分视学生课堂的参与情况选择本节或交给学生课后思考,并布置轮到的任务小组重点解决相应问题（方式不限：小组合作、查阅资料、请教老师等），并与下节课上面向全班展示讲解。
教学后记：
_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ ________________________
三．下节预览
请尝试推导正弦两角和差公式
=____________________________________________________________________
__________________________________________________________
课本P131 练习1、2、3。