5.3解线性规划问题的表格法

例1 将5.1节问题1中的线性规划问题化为标准型
约束条件
6x1 2x2 180
4x1 10x2 400
3x1
5x2
210
. x1 0, x2 0
目标函数
max Z 31x1 22 x2
解 分别对前三个约束条件引入松弛变量，得标准型
6x1 2x2 x3 0x4 0x5 180
n
数
( 用和式表示为 max Z c j x j )
j 1
n
满足
j 1
资源系数
aij x j bi , (i 1,2,3, , m)
x j 0, ( j 1,2,3, , n)
.
决策变量
2.线性规划模型化为标准型步骤 ： 第一步：化目标函数
若 min Z c1x1 c2 x2 c3 x3 ... cn xn
约 4x1 10x2 0x3 x4 0x5 400
束 条
3x1
5x2
Βιβλιοθήκη Baidu
0x3
0x4
x5
210
件
x j 0, j 1,2, ,5.
目标函数 max Z 31x1 22 x2
5.3.2表格法
1.标准型中的约束条件方程转换成表格的形式
6x1 2x2 x3 0x4 0x5 180
第五章 线性规划
5.3解线性规划问题的表格法
问题1
对于多于两个决策变量的线性规划问题，可以用什么方法呢？ 求线性规划问题的图解法虽然直观简便， 但对多于两个变量的情况就不能适用了.
这就是我们要学习的用表格法解线性规划问题.
1.线性规划问题的标准形式:
目标函数
max Z c1 x1 c2 x2 c3 x3 目.标..函数c系n xn
31
3X0,B
x1
最优x1解为xZ2
10
128x 30.
5 24
x4
0
x5 bi
1 20 12
i
0 x4
0
22 x5 0
0
5
12
1 1 8
1 13 20
6
0
1 30
4
j
0
0 89 0 35 1280
24
12
用表格法解题的步骤：
第一步：建立初始表格；
第二步：检验所有的 j ≤0，则无最优解；否则
增加1行(叫做检验行)和1列(叫做比值列)
m
检验数计算公式 j c j ci aij ,
i 1
cj
31 22
0
0
0
比值列
cB X B x1 x2
0 x3 6
2
x3 x4 x5 bi i
1 0 0 180 [30]
0 x4
4 10
0
1
0 400 100
0 x5 3
5
0
0
1 210 70
0 j [31] 22 0 0 0
可转化为： max Z ' (c1 x1 c2 x2 c3 x3非负变.量.. cn xn )
第二步：化决策变量
非负变量
(1)若约束条件不等式是“≤”加一个松弛变量 (2)若约束条件不等式是“≥”减一个多余变量
xx (3)若有一个变量 k 可令 xk xl xs
其中 xl≥0， s ≥0.
0
x5
0
(4) 1 2
0
1 210 [30]
j
0 [35] 31
0
3
6
0 930
所以 j ≤ 0 ，当前可行解 x1 20 ， x2 30,
x3 0, x4 0, x5 0 为最优解.
删c j去松弛变量31
22 0
x3 0, x4 0, x5
0
0
0
原线性规划当x1 20,
cxB2
检验数行
选取检验数最大的正数所在列(记作
k列，表中用[ ]表示)然后计算比值i
3.调整初始解组
换入 x1 ，换出 x3
x x 换入
cj
2
，换出
31
225
0
0
0
cB X B x1 x2
x3 x4 x5 bi i
31 x1
1
1 3
1
0
0 180 90
6
0 x4
0 26 2
3
3
1
0 400 420 13
第三步：检验 k >0,且 aik ≤0，则当前有可行解；否则
x x 第四步：确定
k ，将
换入，将松弛变量换出，否则 k
重复第二步，第三步，第四步直到找到最优解.
阅读 教材章节5.3
作
书写 学习与训练 5.3训练题
业
实践 应用表格法解生活中线性规划问题
4x1 10x2 0x3 x4 0x5 400
3x1
5x2
0x3
0x4
x5
210
x j 0, j 1,2, ,5.
x1 x2 x3 x4 x5
bi
6 2 1 0 0 180 4 10 0 1 0 400 3 5 0 0 1 210
表格中的列数为变量个数加1，行数为方程个数加1
2.找初始解组
cj
31 22 0 0 0
cB XB
x1 x2 x3 x4 x5
bi
0 x3 6 2 1 0 0
180
0 x4 4 10 0 1 0
400
0 x5 3 5 0 0 1
210
各约束方程的 系数
当 x1 0 ， x2 0 ，时，x3 180 ，x4 400 ， x5 210
显然这是一组可初行始解解.组我们把它他叫作出初始解组.