坐标系与参数方程_题型总结学生版-文

坐标系与参数方程

题型一三类方程之间的互相转化

例1（15年陕西）在直角坐标系x y O 中，直线l

的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪

⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原

点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C

的极坐标方程为ρθ=． （I ）写出C 的直角坐标方程；

（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．

例2（15年福建）在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为

13cos (t )23sin x t y

t

为参数.在极

坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极

轴）中，直线l

sin 4q m π⎛

⎫-= ⎪⎝⎭

(Ⅰ)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．

例3(2014新课标I)（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线C ：22

149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.

(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；

（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.

例4(2014新课标II)（本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为

2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

. （Ⅰ）求C 的参数方程；

（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.

练习1（2013年高考新课标1）选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为

45cos 55sin x t

y t

=+⎧⎨

=+⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=.

(Ⅰ)把C 1的参数方程化为极坐标方程;

(Ⅱ)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).

练习2（2014福建）（本小题满分7分）选修4—4：极坐标与参数方程

已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=-=t y t a x 42，（t 为参数），圆C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 4cos 4y x ，（θ为常数）.

（I ）求直线l 和圆C 的普通方程；

（II ）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围.

题型二求轨迹方程

例1（2012·福建高考·Ｔ21）在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为

极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0),

23(

,)

32π

，圆C 的参数方程22cos 32sin x y θ

θ=+⎧⎪⎨

=⎪

⎩(θ为参数)． (Ⅰ) 设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (Ⅱ) 判断直线l 与圆C 的位置关系．

例2（2014辽宁）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；

（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.

例3（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学）选修4—4;坐标系与参数方程

已知动点,P Q 都在曲线2cos :2sin x C y β

β

=⎧⎨

=⎩(β为参数)上,对应参数分别为βα=与)20(2πααβ<<=,M 为PQ 的中点.

(Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程;

(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.

练习1（2012·江苏高考·Ｔ21）在极坐标系中，已知圆C 经过点

(

)

24P

π

，

，圆心为直线

(

)

3

sin 3ρθπ-

=与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．

练习2（2011·新课标全国高考·Ｔ23）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为

2cos 22sin x y α

α=⎧⎨

=+⎩（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程

(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3

π

θ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .

题型三求交点坐标

例1（15年新课标2）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t α

α

=⎧⎨

=⎩（t 为参数，t ≠ 0），

其中0 ≤ α<π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：

ρθ=。

（1）求C 2与C 3交点的直角坐标；

（2）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求||AB 的最大值。