3.1行波法3.1第一讲

t 0
( x) ，得
( x ) ，得
f1 ( x ) f 2 ( x ) ( x )
a f1 ( x ) a f 2 ( x ) ( x )
(3.8)
( 3.9)
t 0
在（3.9 ）式两端，对 x 积分一次，得
f1 ( x ) f 2 ( x ) 1 ( )d C a ( 3.10)
代回到（ 3.7）式中去，即得到
2 2u 2 u 方程 a ，在条件 u( x,0) 2 2 t x
和 ut ( x,0)
1 2a
下的解
( 3.11)
u( x, t ) [ ( x at) ( x at)]
1 2

x at
x at
( )d
u
2u 0 或 0
(3.5)
2 2u u 2 a ( 3.1) 2 2 t x
这样的方程，较之（ 3.1 ），要简单得多 ; 且可以通过积分直接求 解。
方程 ( 3.5 ) 可以写成
u ( )0
u u 上式对 求积分，因 与 无关，取 f ( )，再对 求积分，
演绎
无限长细弦自由振动的 达朗贝尔（DAlembert）公式：
u( x, t ) [ ( x a t ) ( x a t )]
1 2
1 2a

x at
x at
( )d
（二）达朗贝尔公式（一维波动方程的解）的物理意义分析： 由于达朗贝尔公式是由通解公式得到的，因此让我们由此开始。
( 3.2)

u u
u u x
x
( 3 .3 )
u u( , )
( x, t ) ( x, t )
2u 2u 2u 2 2 2
同理有
u u u u u a( ) a( ) t t t
由此可见，初位移、初 速率对状态的影响。
为什么这里的积分限会是如此？
且看演绎！
u t 0 ( x ) u t t 0 ( x )
u( x, t ) f1 ( x at) f 2 ( x at)
f1 ( x ) f 2 ( x ) ( x ) a f 1 ' ( x ) a f 2 ' ( x ) ( x )
u( x, t ) f ( ) f 2 ( ) f1 ( x a t ) f 2 ( x a t )
首先，考虑
u2 ( x, t ) f 2 ( x at)
，这样的函数是代表一个沿
u2
x 方向传播的行波。
为了说明这一点，不妨考虑一个特例。
当t 0时， u2 f 2 ( x )
a
0
a
u2
x
1 a 当t 时 ， u2 f 2 ( x ) 2 2

a 2
0
3a 2
x
u2
当t 1时， u2 f 2 ( x a)
0
xa 2
u2 ( x, t ) f 2 ( x at)
当t 0时， u2 f 2 ( x 0)
a
0
u2
a
u2
x
这些图形说明，随着 时间 t 的推移，
积分变换法：
——不受方程类型的限制，主 要用于无界域，但对有界域也
能应用。
（一）达朗贝尔公式（一维波动方程的解）
但事情往往并不是绝对的，在少数情况下不仅可以求出偏微分方程的
通解(指包含有任意函数的解），而且可以由通解求出特解。 本节我们就一维波动方程，首先建立它的通解公式，然后由它得到初值 问题解得表达式。
( 3 .7 )
把这里已经确定了的 f1 ( x ) 和 f 2 ( x )
x C 1 1 f ( x ) ( x ) ( ) d 2 2 a 0 1 2 f ( x ) 1 ( x ) 1 x ( )d C 2 2 2 a 0 2
则得到通解
u( x , t ) f ( )d f 2 ( )
f1 ( ) f 2 ( )
( 3 .6 )
则得到通解
u( x , t ) f ( )d f 2 ( )
f1 ( ) f 2 ( )
x at ，带回原来的变量 x , t , 就得出 利用变换式 x at
x C 1 1 f ( x ) ( x ) ( ) d 2 2 a 0 1 2 f ( x ) 1 ( x ) 1 x ( )d C 2 2 2 a 0 2
这样，我们不仅有了通解
u( x, t ) f1 ( ) f 2 ( ) f1 ( x at) f 2 ( x at)
推导
利用复合函数微分法则得
u u u u u 1 1 x x x u u
2u x 2
2 2u 2 u a ( 3.1) t2 x 2
x at x at
播的行波，称为右行波 。
当t 2时， u2 f 2 ( x 2a )
同样道理，
0
a
x
3a
u1 ( x, t ) f1 ( x at) 相应表示一个以速度为a，沿 x 轴负方向传播的行波，
称为左行波。达朗贝尔公式表明，弦上的任意扰动，总是以行波的形式，同时分别向两个方向 传播出去，其传播速度正好是弦振动方程中的常数 a 。基于上述原因，本节所用的方法，便称 其为行波法。
（3.2）式就被写成了
u
所作代换
2u 0 或 0
(3.5)
,改写成
x a( ) , t
1 x ( ) 2 1 t ( ) 2a
即就是原来所作的代换
x at x at
而且，还有了满足定解条件的特解
u( x, t ) [ ( x at) ( x at)]
1 2
1 2a

x at
x at
( )d
请务必注意积分限的对应关系！
右上角第二式对x 积分一次，得 f1 ( x ) f 2 ( x )
1 a

x
0
( )d C
u ( x, t ) f1 ( x at) f 2 ( x at)
下面，我们将利用初始 条件：
u( x,0) ( x) , ut ( x,0) ( x)
( 3 .7 )
来确定（ 3.7 ）式中的任意函数 f1 、 f 2 ,从而得到它的解。
由 u( x, t )
由 u( x , t ) t
齐次波动方程，反映介质一经扰动后，在其所在的区域内不再受到外力的 作用，如果问题的区域是整个空间，由初始扰动所引起的振动，就会一往 无前地传播出去，形成“行（进）波”，简称为“行波”。 有鉴于此，对于无界区域（无界域）的齐次波动方程，可以采用：
先定义并求出通解
然后确定任意常数并找 到特解
第三章 行波法与积分变换法
数学物理方法
第三章
行波(Travling Wave)法 与 积分变换(Integral Transform)法
行波法的基本思路： 是通过自变量的变换，将方程转化为可以
先求通解，再求特解。
适用范围：
无界域齐次波动方程
——“一语道破！”
引子 — —
我们知道，要求一个常微分方程的特解，惯用的方法是： 先求出它的通解，
对于一维波动方程： utt a uxx 0
2
2 2u 2 u 或 a 2 t x2
( 3.1 )
这个变换，也称 之为特征变换。
x at 作变换： x at
( 3.2)
从而得到 u
2u 0 或 0
(3.5)
（推导附后）
2u 2u 2u 2u 2 a 2 2 2 t 2
（ 3.3 ）、（ 3.4 ）代入（ 3.1 ）式，得到

( 3 .4 )
u
2u 0 或 0
(3.5)
方法之二：
2 2u 2 u a 0 t2 x 2
然后，利用初始条件，确定通解中的任意常数，
从而得到特解。
对于偏微分方程，能否采用类似的方法呢 ？一般说来是不行的。 原因之一：在偏微分方程中，相对而言，较难定义通解的概念。 原因之二：即使对某些方程能够定义并求出通解，但此通解中包含有任意 函数，要由定解条件确定出这些任意函数，往往会遇到很大的
困难。
对于偏微分方程，能否采用类似的方法呢 ？一般说来是不行的。
原因之一：在偏微分方程中，相对而言，较难定义通解的概念。 原因之二：即使对某些方程能够定义并求出通解，但此通解中包含有任意
函数，要由定解条件确定出这些任意函数，往往会遇到很大的
困难。
但是，事情往往都不是绝对的。通过分析，我们发现有一种情况例外：
§3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式 弦振动方程的初值问题——无界弦的自由振动
ut ( x,0) ( x )
物理背景：
2 2u 2 u a 2 t x2 u( x,0) ( x )
, x , t 0
柯西问题
“无限长”细弦的自由横振动； “无限长”杆的自由纵振动； 或电阻、电导都为零的“无限长”传输线上的电流、电压的变化。。 这种方程的通解很容易求出，而且根据定解条件挑选特解也比较容易。
(3.1)
推导
上式可以分解为
( a )( a )u 0 t x t x ( 3.2 )
作代换
x a( ) , t
,因为这样一来，
t x a t x t x
t x ( a ) t x t x
( 3 .6 )
u ( x, t ) f1 ( ) f 2 ( ) f1 ( x at) f 2 ( x at)
( 3 .7 )
其中 f1 与 f 2 都是任意连续两次可微 函数。上式就是泛定方 程
ut t a 2uxx 0
的通解。
(3.1)
结论：无界弦自由振动 方程的通解，可以表示 为形如 f1 ( x at ) 与 f 2 ( x at ) 的两个函数之和。
在第二章中，我们较为详细地讨论了分离变量法。它是求解有限域内
定解问题的一个常用方法，只要求解的区域很规则（其边界在某种坐标系 中的，能用若干个只含有一个变量的方程表示），对三种典型的方程——
波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程（空间静电场分布、静磁场分
布、稳定温度场分布）均可运用。
在本章中，我们将介绍另外两个求解定解问题的方法： 行波法： ——只能用于求解无界域内 波动方程的定解问题。
u2 ( x, t ) f 2 ( x a t )
1 a 当t 时， u2 f 2 ( x ) 2 2

a 2
0
3a 2
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱu2
的图形，以速度 a ，向 x
轴的正方向移动。
当t 1时， u2 f 2 ( x a )
0
xa 2
u2
所以，它表示一个以 以速度 a ，向 x 正方向传
（3.8 ）与（3.10 ）联立，解得
x C 1 1 f ( x ) ( x ) ( ) d 2 2 a 0 1 2 f ( x ) 1 ( x ) 1 x ( )d C 2 2 2 a 0 2
u( x, t ) f1 ( x at) f 2 ( x at)