测地曲率和测地线

&( s) × & k g = n ⋅ (r r&(s ))
（8 ）
= n ⋅ [α (s ) × (kβ ( s))] = kn ⋅ γ ( s)
~ = k cosθ ，
其中 θ 是曲线的次法向量与曲面的法向量之间的夹角。另外， （5 ）的第二式还能写成
~
kβ ( s ) = k g e2 ( s) + k n n ，
数，由定义式（ 5）可知，
kg =
de1 & (s ), & &( s)) ， ⋅ e2 = ( n, r r ds de2 &( s))⋅ ⋅ n ⋅ n = (n × r ds
（6 ）
称为曲面 S 上的曲线 C 的测地曲率。另外，
τg =
（7 ）
&, r &) ， = ( n, n
称为曲面 S 上的曲线 C 的测地挠率。 ５．１．２ 测地曲的计算 下面我们来求测地曲率和测地挠率的表达式，并且讨论它们的一些性质。首先从（6 ） 式得到
第五章 测地曲率和测地线
在这一章我们要研究曲面上更多的内蕴性质，特别是研究曲面上的曲线的测地曲率以 及测地线等概念，它们也是在曲面的保长变换下不变的。 §５．１ 测地曲率和测地挠率 ５．１．１ 测地曲率和测地挠率的定义 设曲面 S 的方程是 r = r (u , u ) ，C 是 S 上的一条曲线，其方程是 u = u ( s) ，其中 s
=C 作为曲面 S 上的曲线的法曲率 kn = S 上与 C 相切的法截线 C 的法曲率 = C 作为平面π上的曲线的相对曲率， 上面的最后一个等式是由于第四章§ 2 定理 1。 现在我们要讨论测地曲率的另一个性质，它是法曲率所不具有的。 定理 ２ 证明 曲面上任意一条曲线的测地曲率在曲面作保长变换时是不变的。 由于曲线 S 上的曲线 C 的参数方程是
因此
du 2 du 2 r1 ⋅ (n × r2 ) = − | r1 × r2 | ， ds ds du1 du 1 | r1 × r2 | ， r2 ⋅ ( n × r1 ) = ds ds
kg =| r1 × r2 | ⋅{ −
α β du1 d 2 u 2 2 du du + Γ } αβ 2 ds ds ds ds
所以
2 2 k 2 = kg + kn
（9 ）
实际上，在第四章§ 2 我们已经知道
kn = k cosθ ，
（10）
其中θ 是曲线的主法向量与曲面的法向量之间的夹角。 利用法曲率的几何解释可以容易地导 出测地曲率的几何解释。 定理 １ 设 C 是落在曲面 S 上的一条曲线，则曲线 C 在点 P 的测地曲率等于曲线 C 在 S 于点 P 的切平面上的投影曲线在该点的相对曲率，其中切平面的正向是由曲面 S 在点 P 的单位法向量 n 给出的。 证明 一种证法是写出 C 的投影曲线的方程，然后通过直接计算得到所要的结论。在 此，我们采用另一种证法，它以法曲率的几何解释（第四章§ 2 定理 1）为基础。 设曲面 S 在点 P 的切平面是π，从 C 上各点向π作垂直的投影线，这些投影线构成一 个柱面，记为 S ，那么曲线 C 是曲面 S 和 S 的交线， S 在点 P 的法向量 n 是曲面 S 的切向 所以 C 的切向量 e1 也是 S 的切向量， 于是 e2 = n × e1 就 量。 然而 C 是 S ，S 的公有的曲线， 成为 S 的法向量了。 设 C 是曲面 S 与平面π的交线，它正是曲线 C 在平面π上的投影曲线。由于 e2 是曲面
（17）
kg 2 = −
这样，公式（ 12 ）可以改写为
kg =
§５．２ 测地线
dθ + k g 1 cosθ + k g 2 sin θ ds
（18）
由于曲面上的法曲率和测地挠率等概念都是由曲面在 E3 中的形状决定的，因此渐近线
和曲率线等概念都不 是曲面上内蕴几何的概念，但是测地曲率是曲面在保长变换下的不变 量，所以测地曲率 kg =0 的曲线是内蕴几何的概念。 ５．２．１ 测地线的存在性 定义 曲面上测地曲率恒等于零的曲线称为测地线。
kg =
1 ∂ ln E 1 ∂ ln G dθ − cosθ + sin θ ds 2 G ∂v 2 E ∂u
作为特例，对于 u -曲线有 θ ≡ 0 ，故 u - 曲线的测地曲率是
kg 1 = −
对于 v-曲线有 θ ≡
1 ∂ ln E 2 G ∂v
（16）
π ，故 v-曲线的测地曲率是 2
∂ ln G 2 E ∂u 1
（12）
设 u-曲线、 v-曲线的单位切向量分别记为 α 1 和 α 2 ，于是
α1 =
因此
1 ru ， E
α2 =
1 G
rv
（13）
dr du dv = ru + rv ds ds ds du dv = E α1 + G α 2 ds ds
所以
du dv ， sin θ = G ds ds dr 因为 e2 是由 e1 = 作正向旋转 90°得到的单位切向量，即 e2 = n × e1 ,于是 ds cosθ = E
α β du 2 d 2u1 1 du du + Γ } αβ 2 ds ds ds ds
du1 2 = g11 g 22 − g12 ⋅ ds2 du ds
d 2 u1 1 + Γαβ ds 2 d 2u 2 2 + Γαβ 2 ds
duα ds duα ds
du β ds du β ds
S 的法向量，故π是曲线 S 的法截面，所以从曲面 S 上观察，投影曲线 C 是曲面 S 上与 C
相切的一条法截线，而且法截面π的正向是由 n 给出的，即从 e1 到 e2 的夹角为+90°。 设曲线 C 的方程是 r=r(s) ，则 C 作为曲面 S 上的曲线的测地曲率 kg
=
d 2r ⋅ e2 ds 2
I = Edu 2 + Gdv 2 。设 C：u =u(s) ，v=v(s )是曲面上的一条曲线，其中 s 是弧长参数。假定曲
线 C 与 u-曲线的夹角为θ，则曲线 C 的测地曲率是：
Hale Waihona Puke Baidukg =
证明
dθ 1 ∂ ln E 1 ∂ ln G − cosθ + sin θ ds 2 G ∂v 2 E ∂u
很明显，
1 EG
(ruu ⋅ rv
dv du + ruv ⋅ rv ) ds ds
ruu ⋅ rv = −ru ⋅ ruv = − ruv ⋅ rv =
故得
1 ∂G 2 ∂u
1 ∂E 2 ∂v
dα 1 ⋅α2 = ds =−
即
1 1 ∂E 1 ∂G (− cos θ + sin θ ) 2 G ∂u EG 2 E ∂v 1 ∂ ln E 1 ∂ ln G cos θ + sin θ ， 2 G ∂v 2 E ∂u
很明显，平面曲线的测地曲率就是它的相对曲率，所以平面上的测地线就是直线 。测 地线的概念是平面上的直线的概念在曲面上的推广， 下面我们会从各个方面来说明这种推广 的含义。 定理 １ 曲面上一条曲线是测地线，当且仅当它是直线，或者它的主法向量处处是曲面 的法向量。 证明 在§ 1 已经知道
~ k g = k cos θ
e2 = − sin θα 1 + cosθα 2
但是
（14）
d 2r d = (cosθa1 + sin θα 2 ) ds 2 ds
= ( − sin θα1 + cosθα 2 )
所以
dθ dα dα 2 + cosθ 1 + sin θ ， ds ds ds
kg =
然而
d 2r dθ dα dα ⋅ e2 = + cosθ 1 ⋅ e2 + sin θ 2 ⋅ e2 2 ds ds ds ds
dr ( s) ds = e1 , de 1 = k g e2 + kn e3 ds de 2 = −k g e1 + τ g e3 , ds de3 = −k n e1 − τ g e2 , ds
（5 ）
d 2 r ( s) d 2 r (s ) 其中 kn = ⋅ e3 = ⋅ n 恰好是曲线 S 上的曲线 C 的法曲率， k g , τ g 都是待定的系 ds 2 ds 2
（ 11 ）
由于上式只依赖曲面的第一类基本量及其导数，和曲线的曲纹坐标参数方程，所以 k g 在曲 面作保长变换时是不变的。 （ 11 ）式是比较复杂的。当曲面上取正交参数系时，曲面上曲线的测地曲率有比较简单
的表达式，这就 Liouville 公式，它有很多应用。 定理 ３ 设（ u ,v ） 是 曲 面 上 的 正 交 参 数 系， 因 而 曲 面 的 第 一 基 本 形 式 可 以 表 示 为
r (s ) = r (u 1 ( s), u 2 (s )) ，
所以
e1 (s ) = α ( s) =
du a dr = ra ds ds
d 2u a duα du β de1 ( s) d 2 r = 2 = rαβ + ra ds 2 ds ds ds ds
α β duα du β d 2u γ γ du du n r b + = + Γ αβ γ αβ ds2 ds ds ds ds
α β d 2 uγ γ du du kg e2 = + Γ αβ ds 2 rγ ds ds
因此 k g ≡ 0 的充分必要条件是
α β d 2 uγ γ du du + Γ = 0, αβ ds 2 ds ds
γ = 1, 2
（1 ）
这就是测地线所满足的微分方程组。 若引进新的未知函数 v ，则方程组（ 1）便降阶成为一阶常微分方程组：
因此
kg =
de1 (s ) ⋅ e2 ( s) ds
α β d 2u γ γ du du = rγ ⋅ e2 ds 2 + Γαβ ds ds
但是
du1 du 2 r2 ) ， e2 = n × e1 = n × ( r1 + ds ds
故
r1 ⋅ e2 = r2 ⋅ e2 =
e1 (s ) =
dr ( s) = a (s ) ds
（2 ） （3 ）
e3 (s ) = n(s ),
因而
e2 (s ) = e3 (s ) × e1 ( s) = n × a (s )
（4 ）
从直观上看， e2 (s ) 就是将曲线的单位切向量 a( s) = e1 ( s ) 围绕曲面的法向量 n 按正向转过 90 °所得到的向量。与第二章§ 7 在平面曲线上所建立的正交标架场相对照可以发现，我们 现在关于曲面上曲线的这种做法与关于平面上曲线的做法是一致的；换言之， 现在着眼于把 平面上的曲线论推广成曲面上的曲线论。 我们的首要任务是建立标架场 {r ( s); e1 , e2 , e3 } 的运动公式。很明显，我们可以设
1 2 a a
是曲线的弧长参数。C 作为空间 E3 中的曲线的参数方程是
r = r (u1 ( s), u 2 (s )) ，
（1 ）
在第二章我们已经建立了沿曲线 C 定义的 Frenet 标架场 {r ( s); α , β , γ } 。注意到在空间曲线 C 的 Frenet 标架并没有顾及曲线 C 落在曲面 S 上的事实，因此 Frenet 标架的运动公式（即 Frenet 公式）自然不会反映曲线 C 和曲面 S 之间的关系，现在我们要建立沿曲线 C 定义的 正交标架场，使它兼顾曲线 C 和曲面 S 。将这个标架场记作 {r ( s); e1 , e2 , e3 } ，使得
其中 θ 是曲线的次法向量和曲面的法向量的夹角，由此可见 ， k g = 0 的条件是 k = 0 或者
~
~ π ~ ~ cos θ = 0 。若 k ≡ 0 ，则该曲线是直线，若 k ≠ 0 ，则 cosθ ≡ 0 ，于是 θ ≡ ，即曲线的 2
主法向量是曲面的法向量。 现在我们考虑测地线的微分方程。由§1 的（ 5 ）式并且参看定理 2 的证明可知
dα 1 dα 2 ⋅α 1 = ⋅ α2 = 0 ， ds ds dα 1 dα ⋅ α 2 = −α1 ⋅ 2 ， ds ds
因此
kg =
由（ 13 ）式得到
dθ dα 1 + ⋅ α2 ds ds
（15）
1 dv dα 1 d 1 du )ru + ( ruu = ( + ruv ) ds ds ds E ds E dα 1 ⋅α 2 = ds