圆锥曲线的切线方程的推导

圆锥曲线的切线方程的推导 2 2 1.若点P(x o ,y o )

是椭圆 笃•爲=1上任一点，则椭圆过该点的切线方程为： 一 b x o x y o y 1

a 证明: 1° 当

b 2

2 2 由占"亠 b a

x- -a 时，过点 •••对①式求导：2yy'= 2

y 2二圧(1一笃)……①

a

P 的切线斜率k 一定存在，且k - y' |x 2b 2

x

O ,

a 二 k 二 y ' |x 談- a y o 2 x •••点P(x o ,y

o )在椭圆 — a _b X 。 . b 2x •切线方程为 y_y o =_ — (X_xJ ..... a yo 2 2

故辱1 a 2 b 2 而当x = a 时,

代入②得 y o =

0 X o x _y o y

2 .2 ~ 1

a b

切线方程为x 二- a ，也满足③式 故驴晋可是椭圆过点 P(x 0,y 0)的切线方程. 2.若点P(x o ,y o )是双曲线 2 2 計計1上任一点，则双曲线过该点的切线方程为: x °x y o y

a 2 证明: 1°当 2 = 1。

b 2 2 2

由 b-^-1- b a

x = -a 时，过点P 的切线斜率k 一定存在，且k = y'L 承。 2

b 2(^2 -1) .. ①

a

•对①式求导

•切线方程为

2b 2 2yy'=-^rxo •- k= y'l x’

a b 2x o 2 a y o y _y 。二 警(x -

X 。) a y o

2 2 2 2 ••点 P(x o ,y °)在双曲线 仔-与=1上，故 第逆 =1 a b a b 代入②得 x o x y

o y a 2

b 2 =1…③

而当x 二-a 时，y 。二O ,切线方程为x 二-a ，也满足③式

故迸一逬“是双曲线过点P(x o, y o)的切线方程.

a b

3.若点P(x o,y o)是抛物线y2 =2px上任一点，则抛物线过该点的切线方程是y°y 二p(x x o)

证明：由y2 = 2 px，对x 求导得：2yy' = 2p= k 二y' |x去二—。

_ y o

当y o = o时，切线方程为y-y=卫(x-x o)

y o

2 2

即y o y _ y o = px _ px o，而y o 2px o= y o y = p(x x o) ............ ①

而当y o = o, X o = o时，切线方程为X o = o也满足①式。故抛物线在该点的切线方程是

y o y =p(x x o).

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