最新4-18-求解线性非齐次高阶方程的特解-常数变易法汇总
非齐次方程的求解问题
经济领域中的应用
经济增长模型
非齐次方程在经济学中用于构建经济增长模型，分析各种 经济因素对经济增长的影响。
01
金融数学
在金融数学中，非齐次方程用于描述金 融市场的动态变化，如股票价格、利率 等的预测和风险评估。
02
03
计量经济学
非齐次方程在计量经济学中用于分析 经济数据的统计特性，如回归分析、 时间序列分析等。
高阶非齐次线性方程的求解
高阶非齐次线性方程的形式
$y^{(n)} + p_1(x)y^{(n-1)} + cdots + p_n(x)y = f(x)$，其中$p_i(x)$和$f(x)$是已知函数。
求解方法
类似于一阶和二阶非齐次线性方程，需要找到一个特解$y_p$，然后将其与齐次方程的通解相加得到 非齐次方程的通解。
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二阶非齐次线性方程的求解
二阶非齐次线性方程的形式
$y''$，其中$p(x)$、$q(x)$和$f(x)$是已 知函数。
求解方法
与一阶非齐次线性方程类似，需要找到一个特解$y_p$，然后将其 与齐次方程的通解相加得到非齐次方程的通解。
特解的求法
可以使用待定系数法、比较系数法等来求解特解。
误差估计
03
可以通过重复抽样和计算置信区间来估计蒙特卡罗方
法的误差。
06
非齐次方程的应用领域及 前景展望
物理领域中的应用
振动问题
非齐次方程在描述物理振动现象 中起到重要作用，如弹簧振子、 单摆等系统的运动方程。
波动问题
在波动现象中，如电磁波、声波 等，非齐次方程用于描述波的传 播和干涉。
热传导和扩散
高数高阶线性微分方程
数) 是该方程的通解. (自证) 有特解 例如, 方程 y2 故方程的通解为 y1 = tan x 常数,
推论.
且
是 n 阶齐次方程
的 n 个线性无关解, 则方程的通解为
y = C1 y1 + + Cn yn (Ck 为任意常数)
三、线性非齐次方程解的结构
定理 3. 设 y * ( x) 是二阶非齐次方程 ① 的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则 y = Y ( x) + y * ( x) ②
+ P( x) y2 + Q( x) y2 ] = 0 + C2 [ y2
证毕
说明: y = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) 不一定是所给二阶方程的通解.
例如, 是某二阶齐次方程的解, 则
也是齐次方程的解 但是
并不是通解
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与
线性无关概念.
复习: 一阶线性方程 y + P( x) y = Q( x) - P ( x) d x P ( x) d x - P ( x) d x +e dx 通解: y = C e Q( x) e
齐次方程通解Y
非齐次方程特解 y
二、线性齐次方程解的结构
定理1. 若函数 y1 ( x), y2 ( x) 是二阶线性齐次方程 y + P( x) y + Q( x) y = 0 的两个解, 则 y = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x)
解: y2 - y1 与 y3 - y1 是对应齐次方程的解, 且 y2 - y1 e x - x = 2x 常数 y3 - y1 e - x 因而线性无关, 故原方程通解为
常系数非齐次线性微分方程特解的另一种求法
常系数非齐次线性微分方程特解的另一种求法
【 ， ｌ 一一 Ｐ Ｙ 一 ，ｌ ｚ … 一 Ｐ Ｙ Ｙ １ ｒＹ 一 ｌ
由于 函数 （ 是 方 程 （ ）满 足初 始 条 件 （ ）的 ） ３ ４
特解 ， 即
７ ６ （） Ｏ
Ｙ（ ） Ｏ
高 等数 学 研 究
Ｙ （） １Ｏ
２１ ０ ０年 ７ 月
Ｙ （） ２Ｏ
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
１
● ● ● ● ● ● ●
・・ ・
● ● ● ● ● ● ● ●
０
● ● ● ● ● ● ● ● ●
０
● ●
是 方程 （ ）满足初 始 条件 ： １
（ ）一 （ ）一 … 一 Ｙ Ｎ （ ）一 ０ Ｏ Ｏ ‘ 一 Ｏ
一
０
一
，
（ Ｏ ｙ（ ）＝ ０ ）
Ｙ 。 （ ） ‘ ０
Ｙ‘ ’ Ｏ） （
， １ 广
（ ） Ｏ
Ｙ（ ） ０
则 向 量 函 数
，
的特解 为 ：
ｒ
”
『
（ ）一 （ ） ｚ ｚ Ｉ
Ｊ０
（） ￡ｄ — ￡Ｆ（） ｔ
ｉ
。（ ∞（ ２ ） １ ）
０
０ ２
… 。 ～
Ｏ
１ — Ａ
的特解 ．
１ 一
证 明 设 ｎ维 列 向量 函数 ：
Ｙｌ
Ｙ２
是 × 矩 阵 ． 次 方 程 （ ）＂ 转 化 为 非 齐 次 线 性 方 齐 ３ － ３以
程组 （ ）所对 应 的齐 次线 性 方程 组 ６
，
Ｙ Ｙ
∞‘ 一 。 。 ’
‘ ”（）
非齐次二阶微分方程的特解
非齐次二阶微分方程的特解引言微分方程是数学中的一个重要分支，通过研究微分方程可以解决许多实际问题。
其中，非齐次二阶微分方程是较为常见且具有一定难度的类型之一。
本文将探讨非齐次二阶微分方程的特解，包括其概念、求解方法以及相关应用。
二阶微分方程的定义与分类二阶微分方程是指包含未知函数的二阶导数、一阶导数和常数项的方程。
一般形式可以表示为：d2y dx2+P(x)dydx+Q(x)y=f(x)其中，P(x)和Q(x)是已知函数，f(x)是已知的非零函数。
根据齐次与非齐次的区别，二阶微分方程可以分为齐次二阶微分方程和非齐次二阶微分方程两类。
在本文中，我们主要关注非齐次二阶微分方程的特解求解方法。
非齐次二阶微分方程的特解求解方法方法一：常数变易法常数变易法是求解非齐次二阶线性微分方程的一种有效方法。
其基本思想是将未知函数的系数设为待定常数，通过逐步变化常数的值，求得方程的特解。
具体步骤如下： 1. 将非齐次二阶微分方程写成标准形式，并求解对应的齐次方程，得到其通解。
2. 假设非齐次方程的特解为y∗，设其导数为y∗(1)，二阶导数为y∗(2)。
3. 将y∗代入非齐次方程，整理得到一个等式。
4. 将等式两边的常数项相等，得到常数的表达式。
5. 将常数代入y∗，得到非齐次方程的特解。
方法二：待定系数法待定系数法是求解非齐次二阶线性微分方程的另一种常用方法。
其基本思想是假设特解的形式，并通过代入方程，确定待定系数的值。
具体步骤如下： 1. 将非齐次二阶微分方程写成标准形式，并求解对应的齐次方程，得到其通解。
2. 根据非齐次方程的右侧函数形式，假设特解的形式。
常见的形式包括多项式、指数函数、三角函数等。
3. 将假设的特解代入非齐次方程，得到一个等式。
4. 比较等式两边各项的系数，确定待定系数的值。
5. 将待定系数的值代入假设的特解，得到非齐次方程的特解。
非齐次二阶微分方程的实际应用非齐次二阶微分方程在物理、工程等领域中有着广泛的应用。
二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法
黑龙江工业学院学报JOURNAL OF HEILONGJIANG UNIVERSITY OF TECHNOLOGYVol. 20 No. 12Dec. 2020第20卷第12期2020年12月文章编号：2096 - 3874(2020)12 - 0141 -04二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法蔺琳(大连财经学院，辽宁大连116622)摘要：为剖析二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法，拓宽非齐次线性微分方程的应用领域。
分析对比了迭代法、升阶法、降阶法、算子法、积分求法、Laplace 变换法、变量变换法 和化为方程组法等方法的优缺点和适用条件。
关键词:常微分方程;非齐次;特殊解法;分析;利弊中图分类号:0175 文献标识码:A常微分方程是数学分析与微分方程运算中不可或缺的一个组成部分⑴。
例如,在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存 在满足常微分方程关系式的数学模型，需要通过求解微分方程来了解未知函数的性质⑵。
因此, 常微分方程是解决实际问题的重要工具。
其中， 形如y" +py' +qy =/(%)(其中p,g 为常数)的方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程⑶。
众所周知，待定系数法和常数变易法是二阶常系数非齐 次线性微分方程的普遍解法，但这两种方法都有不足之处，例如求解过程较为繁琐，计算量较 大“T o 本文综述了积分法、算子法、降阶法、升阶法、拉普拉斯变换法、化为方程组法和迭代法求解 方程的原理与应用。
同时,分析了各个二阶常系数非齐次线性微分方程特殊解法的利弊,为微分 方程在不同的条件下快捷使用相应的求解方法研 究奠定基础。
1二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法1」积分法求解方程设卩(％)是齐次方程y" +py +qy =0的一个解，且卩(0) =0,卩'(0)工0,则 y" +py' +qy =f(x) 的特解为 y* (%) =cp (:x - t) dt 。
高阶常微分方程的求解
高阶常微分方程的求解在数学领域中，微分方程是研究变量之间关系的重要工具。
高阶常微分方程是其中一种类型的微分方程，它包含有高于一阶的导数。
本文将探讨解决高阶常微分方程的方法和技巧。
一、常系数齐次线性微分方程的求解常系数齐次线性微分方程具有以下形式：\[a_ny^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + ... + a_1y' + a_0y = 0\]其中，\(y^{(n)}\)表示关于自变量的n阶导数，\(a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0\)为常数。
解决这类高阶微分方程的方法是通过假设解具有指数形式的特征方程。
通过求解特征方程的根，我们可以得到一组基本解。
若特征方程有重根，则基本解中需要包含多项式型的解。
二、常系数非齐次线性微分方程的求解常系数非齐次线性微分方程可以写成如下形式：\[a_ny^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + ... + a_1y' + a_0y = g(x)\]其中，\(g(x)\)为已知的函数。
为了求解上述方程，可以首先求解相应的齐次线性微分方程\(a_ny^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + ... + a_1y' + a_0y = 0\)。
假设其解为\(y_c\)。
然后，通过常数变易法，我们可以得到非齐次方程的一个特解\(y_p\)。
最终的通解可表示为\(y = y_c + y_p\)。
三、变系数高阶线性微分方程的求解变系数高阶线性微分方程具有如下形式：\[y^{(n)} + P_{n-1}(x)y^{(n-1)} + ... + P_1(x)y' + P_0(x)y = Q(x)\]其中，\(P_{n-1}(x), ..., P_1(x), P_0(x), Q(x)\)是已知的函数。
对于这一类方程的求解通常需要特殊的技巧。
常见的方法包括用幂级数、Frobenius方法和变量分离等。
n阶非齐次线性微分方程的常数变易法
在方 程 （ １ ） 中， 若 ｔ ）兰 ０， ｔ∈ ［ ａ， ｂ ］， 则 方 程（ １ ） 变为 ：
１ 预 备 知 识
为 了给 出一 般形 式 下 的 ｎ阶 非 齐 次线 性 微 分
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ５一 ｏ ７一ｌ Ｏ
基金项 目： 贵州省科技基金资助项 目（ 黔科合 Ｊ 字Ｌ Ｋ Ｓ ［ ２ ０ １ ２ ］ １ ３号 ） 作者简介 ： 于亚峰 （ １ ９ ８ ０一） ， 男， 副教授 ， 研究方 向： 李代数 ， Ｅ—ｍ ａ ｉ ｌ ： ｙ ｙ ｆ ｅ ｎ ｇ ＠ｇ ｚ ｎ ｕ ． ｅ ｄ ｕ ． ｅ ｎ
方程 的常数 变易 法 以及 常 数变 易公 式 ， 下 面先 介绍
０ 引言
常数变 易 法是 求 解 ｎ阶 非 齐 次 线 性微 分 方 程
的一种 有效 方法 ， 很 多学 者也 对该 方法 做 了一些 有
一
些 相关 概念 以及 标 准 形 式 下 的 ｎ阶 非 齐 次线 性
定 义 １ 形 如
（ １ ）
的常数 变易 法 ， 从 而 推导 出相 应 的常数 变 易公式 是
很 有必要 的 。
的微 分方 程 称 为 ｎ阶非 齐 次 线 性 微 分 方 程 ， 其 中
ａ （ ｔ ） （ ｉ ＝１ ， ２ ， …， ｎ ） 及－ 厂 （ ｔ ） 在［ ａ ， ｂ ］ 上都是连续
阶常微分方程解法总结
阶常微分方程解法总结根据方程的形式和特点，我们可以将解法总结为如下几种情况：1.可分离变量方程（可分离变量定理）：若方程可化为dy/dx = g(x)h(y)，则可以将方程两边同时乘以dx和1/h(y)，然后将式子两边分别积分得到∫1/h(y)dy = ∫g(x)dx。
最后解出y的表达式。
2.齐次方程（齐次方程定理）：若方程可化为dy/dx = F(y/x)，则可以令v = y/x，进而可得到dy/dx = (dv/dx)x + v。
再将方程化为可分离变量的形式进行求解。
3.线性方程（线性方程定理）：若方程可化为dy/dx + P(x)y = Q(x)，则可以根据线性方程的定理解得通解。
通解的形式为y = (1/μ(x))(∫μ(x)Q(x)dx + C)，其中μ(x)为方程的积分因子，通过求解微分方程dμ(x)/dx = P(x)μ(x)得到。
4.变量可分离的齐次方程（变量可分离的齐次方程定理）：若方程可化为dy/dx = f(y/x)，则可以通过变量代换v = y/x，将方程化为dx/x = f(v)dv的形式进行求解。
最后再将v恢复为y/x得到该方程的通解。
5. Bernoulli方程（Bernoulli方程定理）：若方程可化为dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n，其中n不为0或1，则可以通过假设v = y^(1-n)进行变量代换，将方程化为线性方程进行求解。
6.可降阶的高阶微分方程（常微分方程降阶）：若方程为高阶微分方程dy^n/dx^n = f(x)，我们可以通过逐步降阶来求解。
首先令v = dy/dx，然后对方程两边求导得到dv/dx =d^2y/dx^2、通过重复这个过程，我们最终可以得到一个只涉及一阶导数的方程，然后再用前面的方法进行求解。
7.常数变易法：当我们求解线性非齐次方程时，可以使用常数变易法。
首先求解对应的齐次方程，得到齐次解y0。
然后令y=y0v，将这个v代入非齐次方程中得到v的方程。
如何求微分方程的特解
如何求微分方程的特解
微分方程是数学中一个很重要的概念，它描述了一些变量的变化规律。
其中，特解是一个特殊的解，它可以满足一些特定的条件。
那么，如何求微分方程的特解呢？
一般来说，求微分方程的特解有以下几种方法：
1. 常数变易法：通过变换常数的值，得到不同的特解。
这种方法适用于一些特殊的微分方程，比如齐次线性微分方程等。
2. 变量分离法：将微分方程中的变量分离出来，得到一个可分离变量的方程，然后对其进行求解。
这种方法适用于一些特定的微分方程，比如一阶线性微分方程等。
3. 未定系数法：通过猜测特解的形式，确定方程中的未知系数，然后代入微分方程，解出未知系数。
这种方法适用于一些特殊的微分方程，比如常系数线性齐次微分方程等。
4. 常数变异法：通过变换微分方程的形式，使其具有特定的解形式，然后求出特解。
这种方法适用于一些特殊的微分方程，比如欧拉微分方程等。
需要注意的是，求微分方程的特解是一个比较复杂的过程，需要对微分方程的结构、性质等进行深入的分析和理解。
在实际应用中，还需要根据具体的问题和条件，选择不同的方法进行求解。
- 1 -。
一阶线性非齐次微分方程求解方法归类
一阶线性非齐次微分方程求解方法归类一、常系数法：当$P(x)$为常数时，可以采用常系数法求解。
具体步骤如下：1. 解齐次线性微分方程$\frac{{dy}}{{dx}}+P(x)y=0$，得到解$y_0(x)$；2.利用常数变易法，设非齐次方程的特解为$y(x)=u(x)y_0(x)$；3.将$y(x)=u(x)y_0(x)$代入非齐次方程，解出$u(x)$；4.特解为$y(x)=u(x)y_0(x)$。
二、一阶线性微分方程的常数变易法：对于一般的一阶线性非齐次微分方程$\frac{{dy}}{{dx}}+P(x)y=Q(x)$，可以采用常数变易法求解。
具体步骤如下：1. 解齐次线性微分方程$\frac{{dy}}{{dx}}+P(x)y=0$，得到解$y_0(x)$；2.设非齐次方程的特解为$y(x)=u(x)y_0(x)$；3.将$y(x)=u(x)y_0(x)$代入非齐次方程，解出$u(x)$；4.特解为$y(x)=u(x)y_0(x)$。
三、常数变易法的特殊形式：当非齐次方程的右端项$Q(x)$具有形式$Q(x)=P(x)F(x)$时，可以采用常数变易法的特殊形式求解。
具体步骤如下：1. 解齐次线性微分方程$\frac{{dy}}{{dx}}+P(x)y=0$，得到解$y_0(x)$；2.设非齐次方程的特解为$y(x)=u(x)y_0(x)$；3.将$y(x)=u(x)y_0(x)$代入非齐次方程，解出$u(x)$；4.特解为$y(x)=u(x)y_0(x)$。
四、拉普拉斯变换法：该方法适用于解微分方程初值问题。
通过拉普拉斯变换，将微分方程转化为代数方程，然后根据拉普拉斯变换的性质求解代数方程，最后利用拉普拉斯逆变换得到微分方程的解。
五、解法总结：1.首先判断是否为一阶线性非齐次微分方程；2.如果是常系数非齐次线性微分方程，可以用常系数法求解；3.如果是非常数非齐次线性微分方程，可以用常数变易法求解；4.如果非齐次方程的右端项具有特殊形式，可以用常数变易法的特殊形式求解；5.如果初值问题，可以考虑使用拉普拉斯变换法求解。
高等数学高阶线性微分方程
(k )
(t , c1 ,, cn k )
第三步: 对上式求k次积分,即得原方程的通解
x (t , c1 ,, cn ), 这里c1 ,, cn为任常数
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 15
d 5x 1 d 4x 0的通解. 例1 求方程 5 4 dt t dt d 4x 解 令 y, 则方程化为 4 dt dy 1 y0 dt t 这是一阶方程,其通解为 y ct, 4 d x 即有 ct, 4 dt
南京航空航天大学 理学院 数学系 14
2007年8月
F (t , x( k ) , x( k 1) ,, x( n ) ) 0
解题步骤:
(1)
令x ( k ) y, 则方程化为 第一步:
F (t , y, y ' ,, y ( n k ) ) 0
第二步: 即 求以上方程的通解
y (t , c1 ,, cnk )
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 20
3 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶
(1) 设x x1 0是二阶齐线性方程 d 2x dx p(t ) q(t ) x 0, 2 dt dt
的非零解 令
(3)
x x1 y
则
x x1 y x y
' ' ' 1
x x1 y 2 x y x y
d x k 恰好是将所要解的奇次方程中的 k 换成 dt
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 5
k
特征方程的根
一个单实根 一个k阶重根 一对单复根 i
微分方程通解的对应项
ce x 对应一项
非齐次线性方程通解求法------常数变易法
对应微分方程 y y 0
2)由 四 个 特 解e -x , e x , e2x , e2x可 知
该 微 分 方 程 对 应 的 特 征方 程 有 四 个 根,
r1 1, r2 1, r3 2, r4 2 对应的特征方程为
(r 1)(r 1)(r 2)(r 2) 0 r 4 5r 2 4 0
故所求通解为 y C1ex (C2 C3 x)cos x (C4 C5 x)sin x.
例4：分别求作一最低阶的常系数齐次线性 微分方程使其特解为
1) sin x,cos x 2) ex , e x , e2x , e2x 3) x,4 x
解：1)由 y1 sin x, y2 cos x 知特征根为 i.
两个线性无关的特解
y1 e r1x ,
y2 e r2x ,
得齐次方程的通解为
y
C e r1x 1
C2e r2x ;
2
有两个相等的实根 ( 0)
特征根为
r1
r2
p, 2
一特解为 y1 e r1x ,
设另一特解为 y2 u( x)er1x ,
将 y2 ，y2 ，y2 代入原方程并化简，
u (r1 p)u (r12 pr1 q)u 0,
y C1 y1 C2 y2 Cn yn
例3 求方程y(5) y(4) 2 y(3) 2 y y y 0的通解.
解 特征方程为 r 5 r 4 2r 3 2r 2 r 1 0, (r 1)(r 2 1)2 0,
特征根为 r1 1, r2 r3 i, r4 r5 i,
dt
o x
x
F ma, m d 2 x cx dx ,
dt 2
常数变易法
dx x 1
y x 1
积分得
即 y C(x 1)2
用常数变易法求特解. 令 y u (x) (x 1)2 , 则
y u (x 1)2 2u (x 1)
代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为
u
2
(x
3
1) 2
C
3
22
例2. 解方程
方法二(公式法解):
把物体降落的铅垂线取作s轴，其指向朝下（朝向地心）。 设物体在时刻t的位置为s＝s(t)。物体受重力 F=mg的作用而自由下落，物体下落运动的加速度
a
d 2s dt 2 .
由牛顿第二定律F=ma，得物体在下落过
程中满足的关系式为
m
d 2s dt 2
mg,
或
d 2s dt 2
g.
4
微分方程的基本概念
b M
,
M max f (x, y) . ( x, y)D
9
§5.2.2 解的存在与唯一性定理
可分离变量方程
dy dx
f1 ( x)
f2 ( y)
M1(x)M 2 ( y) dx N1(x) N2 ( y) dy 0
解分离变量方程 g( y)dy f (x)dx
10
可分离变量的微分方程
y0，
如果 f (x, y) 在矩形区域 D: x x0 a, y y0 b内连续，
而且对于 y适合利普希茨条件
f (x, y1) f (x, y2 ) L y1 y1
则初值问题在区间I [x0 h, x0 h] 上存在唯一解， 其中常数
h
4-18 -求解线性非齐次高阶方程的特解-常数变易法
4.3 非齐次高阶线性方程特解的常数变易方法、叠加原理( Use the method of Variation of Constants to find particular solution tononhomogeneous higher order Linear ODE)[教学内容] 1. 介绍非齐次线性方程特解的常数变易法. 2. 介绍非齐次线性方程特解的叠加原理.3. 介绍一些特殊求解方法（乘积求导法则、特征方程法和刘维尔公式）[教学重难点] 重点是知道常数变易法求解非齐次线性方程的特解； 难点是如何给出未知函数满足的方程.[教学方法] 预习1、2、3；讲授1、2、3 [考核目标]1. 灵活运用常数变易法求解非齐次线性方程的特解.2. 知道非齐次线性方程特解的叠加原理.3. 知道一些特殊求解方法（乘积求导法则、特征方程法和刘维尔公式）1. 常数变易法求解非齐次线性方程的特解（以二阶微分方程为例） (1) 引例(1) 求出方程 x csc y 'y'=+; (2) tln t366x 4tx ''x 't 2=+-的通解. 这里x x x f s i n 1c s c )(==和ttt f ln 36)(=不是多项式函数、不是指数函数、不是可以用形式特解的待定系数法来求解方程的特解.(2) 解法思路：考察f(t)q(t)x dtdxp(t)dt x d 22=++ (**). 为了求出方程（**）的一个特解，先考虑相应的二阶齐次线性方程0q(t)x dtdxp(t)dt x d 22=++(*)，假定已知齐次线性方程的基本解组)(),(21t x t x ，则齐次线性方程的通解为(t)x c (t)x c x (t)2211+=，其中21,c c 为常数. 现假定方程（**）具有形如(t)(t)x c (t)(t)x c (t)x ~2211+=的特解（这就是常数变易法叫法由来！），经计算得到(t)]'(t)x c (t)'(t)x [c (t)](t)x 'c (t)(t)x '[c (t)'x ~22112211+++=，注意到将其代入原方程（**）只得一个等式，而这里有两个未知函数(t)c (t),c 21，因此我们添加一个限制条件 0(t)](t)x 'c (t)(t)x '[c 2211=+；进一步求二阶导数得到(t)]'(t)x 'c (t)'(t)x '[c (t)]''(t)x c (t)''(t)x [c (t)''x ~22112211+++=，将(t)''x ~(t),'x ~(t),x ~代入原方程得到，f(t)'x 'c 'x 'c ]q(t)x 'p(t)x ''(t)[x c ]q(t)x 'p(t)x ''(t)[x c 221122221111=+++++++，注意到(t) x (t),x 21为方程（*）的解，因此上述左端第一项和第二项都为零，即得到如下方程组 ⎩⎨⎧=+=+f(t)'c 'x 'c 'x 0'c x 'c x 22112211，由此运用克莱姆法则得到]x ,W[x f(t)'x 0x 'c ,]x ,W[x 'x f(t)x 0'c 2111221221==，这里'x 'x x x ]x ,W[x 212121=为Wronski 行列式，是不为零的（为什么？）.最后对上面两个等式两边同时关于变量t 积分可得(t)c (t),c 21. 例56 求解 x csc y 'y'=+的一个特解.解：第一步：注意到原方程已是标准形式了，相应的齐次方程为0''=+y y ，其特征方程为012=+λ，特征值为i ±=2,1λ.于是相应的基本解组为sin x y x ,cos y 21==.第二步：假定原方程具有如下特解 2211(x )y c (x )y c (x )y ~+=，于是由常数变易法知，(x )c (x ),c 21满足⎩⎨⎧=+=+f(x)'c 'y 'c 'y 0'c y 'c y 22112211，解得 1cos sin sin cos cos csc sin 0)('1-=-=x x x x x x x x c ，x xxx x x x x x x c sin cos cos sin sin cos csc sin 0cos )('1=--=.于是得到，β|sinx |ln (x )c α,x (x )c 21+=+-=，其中βα,为任意常数. 特别地，取0β 0,α==得到所求特解为sin x |sin x |ln x cos -x (x )y ~⋅+=. 例57. Find a particular solution to the differential equation ln x e y 2y''y'x-=++.Solution (1) The equation has standard form and the associated homogeneous equation is0y 2y''y'=++, whose characteristic equation is 0122=++λλ. Then we get 12,1-=λ andcorresponding fundamental solutions to homogeneous equation are x2x1x ey ,e y --==.(2) Suppose the original equation has the following particular solution 2211*(x )y c (x )y c y +=, Then we get x ln e f(x) ,f(x)'c y 'c 'y 0'c y 'c y x -22112211=⎩⎨⎧=+=+. By applying Cramer's Rule, we getx ln x e ln xxe -xe e e xeexe e ln x e xe 0'c 2x 2x xx xxxx x x x 1-==---=-----------, ln x xe e e xee ln x e e -0e 'c xx x xxx t--t2=--=------We use integration by parts to determine thatα4x ln x 2x dx 2x ln x 2x x ln x dx -c 2221++-=+-==⎰⎰,βx x ln x dx xxx ln x ln x dx c 2+-=-==⎰⎰. Particularly, we choose 0==βα and get a particular solution to our differential equation isx 2x 2xx 22*e x 43ln x e 2x x )x e (x ln x )e 4x ln x 2x (-y -----=-++=.作业51. Find a particular Solution of the differential equation xe 112y 3y''y'-+=+-.例58. 求方程tln t366x t x'4'x't 2=+-的通解. 解：（1）相应齐次方程为06x t x '4'x 't 2=+-，这是一个欧拉方程. 令 ,e t τ=其特征方程为064λ1)λ(λ=+--，3λ 2,λ21==. 于是相应齐次线性方程的基本解组为332221t e x ,t e x ====ττ.（2）改写原方程为标准形式32t ln t 36x t 6 x't 4'x'=+-，记3tln t36f(t)=. 假定上述方程具有如下特解2211*(t)x c (t)x c (t)x +=，于是有⎩⎨⎧=+=+f(t)'c x 'c 'x 0'c x 'c x 22112211，42322331t 36ln t 3t 2t t t 3t t ln t 36t 0'c -==, 5232322t 36ln t 3t 2t t t t ln t 362t 0t 'c == 运用分部积分法得到，⎰⎰⎰++=-==-=------α4t ln t 12t dt t 12ln t 12t )ln td(t 12dt ln t 36t (t)c 3343341；⎰⎰⎰+-=+===------βt 49ln t -9t dt t 9ln t t 9-)ln td(t 9-dt ln t 36t (t)c 4454452特别地，取0==βα，得到原方程的一个特解)47(3ln t t 1(t)x *+=.因此，原方程的通解为)47(3ln t t 1βt αt x (t)32+++=，其中βα,为任意常数. 作业52. 求解22t 34 t 6x t x ''x 't +=+-的通解.2. 非齐次线性方程的叠加原理 （1）参见教材P131，习题2.例59 求方程sin t 11x 'x '-=+的一个特解. 解：令sin t1(t)f 1,(t)f 21-==.(1) 考察相应齐次线性方程0x 'x '=+，其特征方程01λ2=+的特征根为i λ1,2±=，相应的基本解组为sin t x t,cos x 21==.(2) 考察非齐次线性方程(t)f x 'x '1=+，假定方程具有特解A x ˆ=，代入方程运用待定系数法求得1xˆ=. (3) 考察非齐次线性方程(t)f x 'x '2=+，运用例56的结果知，sin t |sin t |ln t cos -t (t)x ~⋅+=(4) 由非齐次线性方程的叠加原理知，原方程的一个特解sin t |sin t |ln cost t 1x *+-=.作业53. 求方程17sin(2t)4e5x 2x ''x 't+=++-的通解.3. 一类特殊齐次线性微分方程基本解组和特解求法 （1）乘积求导法则：'u(x )v'(x )v(x )u''(u(x )v(x ))+=，'u(x )v'(x )v'2u'(x )v(x )'u'''(u(x )v(x ))++=.例60. 求解方程(1) 02y 4x y''1)y'(x 2=++-; (2) 02y 2x y''y'x 2=+-通解. 解：(1) 令1x u(x )2-=，于是方程的左端为'y(x ))' (u(x )⋅，于是得到βx αu(x )y(x )+=，其中β α,为任意常数.于是得到原方程的通解为1x βx1x αy(x )22-+-=，其中β α,为任意常数. （2）经观察不能直接运用乘积求导法则，令v2(x)'u' ,v(x)x (x)u' ,v(x)x u(x)2=-==，由v x v v x 2xv (x)u'22-=-=，解得3x v(x)=，此时x 1u(x)=，验证可知v2(x)'u'=. 原方程两边同除以v(x)，得到新方程为0')'xy( 0,y x 2y'x 2x 'y'32==+-，解得通解为 x βαxy+=，于是原方程的通解为2 x βαx y +=，其中β α,为任意常数.作业53. 求解方程(1) 06x y y'6x '1)y'(x 23=+++的通解.(2) 考察方程0q(t)x dt dx p(t)dt x d 22=++，假设λte x =代入得到特征方程0q(t)p(t)λλ2=++，若特征方程有实常数根1λ，则原方程具有解t λ1e x =.(直接代入验证知结论成立)例61. 求方程（1）0y x )y'(1'x y'=++-的通解；（2）2x2e x y x )y'(1'x y'=++-一个特解. 解：(1) 改写原方程为标准形式为0y x1y'x x )(1'y'=++-，原方程的特征方程为0x1λx x)(1λ2=++-，可得一实根11=λ，于是原方程存在一个解函数x 1e y =. 由刘维尔公式（教材P132习题6或讲义例42）知，与(x)y 1线性无关的解为1x dx xe e dx e y 1(x)y (x)y x x dx xx12112+==⎰=⎰⎰-+（这里积分只是指的是一个原函数）综上知，原方程的通解为1)(x c e c y 2x1++=，R c ,c 21∈. (2) 运用常数变易法求解.(略）作业54. 求方程（1）0y y'x 'x )y'-(1=-+的通解；（2）2x )-(1y y'x 'x )y'-(1=-+一个特解.。
怎么解非齐次方程得出基础解系
怎么解非齐次方程得出基础解系
解非齐次方程的方法有很多种，其中一种比较常用的方法是通过求出非齐次方程的通解和齐次方程的通解，然后利用它们来得出基础解系。
下面我们就来讲一下这种方法的具体步骤。
1. 求出对应的齐次方程的通解。
这个步骤可以通过代入法或者特征方程法来求解。
我们假设齐次方程的通解为y0.
2. 求出非齐次方程的一个特解y1. 这个步骤可以通过常数变易法或者待定系数法来求解。
如果非齐次方程形如
y''+p(x)y'+q(x)y=f(x),可以先求出对应的齐次方程
y''+p(x)y'+q(x)y=0的通解y0，然后再求出一个特解y1，将它们相加即可得到非齐次方程的通解。
3. 计算y1与y0的线性组合，即y=c1y0+c2y1，其中c1和c2
是任意常数。
4. 对于非齐次方程的任意解y，都可以表示为y=y0+c1y0+c2y1，其中c1和c2是任意常数，所以{y0,y1}就是非齐次方程的基础解系。
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常系数非齐次线性微分方程特解的几种求解方法
n 阶常系数非齐次线性微分方程特解的几种求解方法1引言对形如()()()()()t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n =++⋅⋅⋅++−−−01111（1）的n 阶非齐次线性方程，称()()()()001111=++⋅⋅⋅++−−−x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n （2）为其相关的齐次线性方程。
任给一个满足(1)且不带任何参数的函数x ~称为方程(1)的特解，已有下述求解定理：定理1若x ~为n 阶非齐次线性方程()()()()()t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n =++⋅⋅⋅++−−−01111（1）在区间I 上的任一个特解，设()()()t x t x t x n ,,,21⋅⋅⋅是其相关齐次线性方程()()()()001111=++⋅⋅⋅++−−−x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n （2）的一个基本解组，则在区间I 上方程（1）的通解为：()()()x t x c t x c t x c x n n ~2211++⋅⋅⋅++=，其中()n i c i,,2,1⋅⋅⋅=为任意常数。
由定理1知，非齐次线性方程的通解由两个函数的和组成：()()()x x x t x c t x c t x c x cn n ~~2211+=++⋅⋅⋅++=，其中线性组合()()()t x c t x c t x c x n n +⋅⋅⋅++=2211称为方程（1）余函数。
定理2k x x x ~,,~,~21⋅⋅⋅为n 阶非齐次线性方程（1）在区间I 上对应于k 个不同函数()()()t f t f t f k ,,,21⋅⋅⋅的k 个特解，也就是设i x ~表示对应于方程()()()()()t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a i n n n n n n =++⋅⋅⋅++−−−01111的特解，则kx x x x ~~~~21+⋅⋅⋅++=为()()()()()()()t f t f t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a k n n n n n n +⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++−−−2101111的特解。
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4-18-求解线性非齐次高阶方程的特解-常数变易法4.3 非齐次高阶线性方程特解的常数变易方法、叠加原理( Use the method of Variation of Constants to find particular solution tononhomogeneous higher order Linear ODE)[教学内容] 1. 介绍非齐次线性方程特解的常数变易法. 2. 介绍非齐次线性方程特解的叠加原理.3. 介绍一些特殊求解方法（乘积求导法则、特征方程法和刘维尔公式）[教学重难点] 重点是知道常数变易法求解非齐次线性方程的特解；难点是如何给出未知函数满足的方程.[教学方法] 预习1、2、3；讲授1、2、3[考核目标]1. 灵活运用常数变易法求解非齐次线性方程的特解.2. 知道非齐次线性方程特解的叠加原理.3. 知道一些特殊求解方法（乘积求导法则、特征方程法和刘维尔公式）1.常数变易法求解非齐次线性方程的特解（以二阶微分方程为例）(1)引例(1) 求出方程«Skip Record If...»; (2) «Skip Record If...»的通解. 这里«Skip Record If...»和«Skip Record If...»不是多项式函数、不是指数函数、不是可以用形式特解的待定系数法来求解方程的特解.(2)解法思路：考察«Skip Record If...» (**). 为了求出方程（**）的一个特解，先考虑相应的二阶齐次线性方程«Skip Record If...»(*)，假定已知齐次线性方程的基本解组«Skip Record If...»，则齐次线性方程的通解为«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为常数.现假定方程（**）具有形如«Skip Record If...»的特解（这就是常数变易法叫法由来！），经计算得到«Skip Record If...»，注意到将其代入原方程（**）只得一个等式，而这里有两个未知函数«Skip Record If...»，因此我们添加一个限制条件 «Skip Record If...»；进一步求二阶导数得到«Skip Record If...»，将«Skip Record If...»代入原方程得到，«Skip Record If...»，注意到«Skip Record If...»为方程（*）的解，因此上述左端第一项和第二项都为零，即得到如下方程组 «Skip Record If...»，由此运用克莱姆法则得到«Skip Record If...»，这里«Skip Record If...»为Wronski行列式，是不为零的（为什么？）.最后对上面两个等式两边同时关于变量t积分可得«Skip Record If...».例56求解«Skip Record If...»的一个特解.解：第一步：注意到原方程已是标准形式了，相应的齐次方程为«Skip Record If...»，其特征方程为«Skip Record If...»，特征值为«Skip Record If...».于是相应的基本解组为«Skip Record If...».第二步：假定原方程具有如下特解 «Skip Record If...»，于是由常数变易法知，«Skip Record If...»满足«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»，«Skip Record If...».于是得到，«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为任意常数.特别地，取«Skip Record If...»得到所求特解为«Skip Record If...».例57. Find a particular solution to the differential equation «Skip Record If...». Solution (1) The equation has standard form and the associated homogeneous equation is «Skip Record If...», whose characteristic equation is «Skip Record If...». Then we get «Skip Record If...» and corresponding fundamental solutions to homogeneous equation are «Skip Record If...».(2)Suppose the original equation has the following particular solution «Skip Record If...»,Then we get «Skip Record If...». By applying Cramer's Rule, we get«Skip Record If...», «Skip Record If...»We use integration by parts to determine that«Skip Record If...»,«Skip Record If...».Particularly, we choose «Skip Record If...» and get a particular solution to our differential equation is«Skip Record If...».作业51. Find a particular Solution of the differential equation «Skip Record If...». 例58.求方程«Skip Record If...»的通解.解：（1）相应齐次方程为«Skip Record If...»，这是一个欧拉方程. 令«Skip Record If...»其特征方程为«Skip Record If...»，«Skip Record If...». 于是相应齐次线性方程的基本解组为«Skip Record If...».（2）改写原方程为标准形式«Skip Record If...»，记«Skip Record If...».假定上述方程具有如下特解«Skip Record If...»，于是有«Skip Record If...»，«Skip Record If...», «Skip Record If...»运用分部积分法得到，«Skip Record If...»；«Skip Record If...»特别地，取«Skip Record If...»，得到原方程的一个特解«Skip Record If...».因此，原方程的通解为«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为任意常数. 作业52. 求解«Skip Record If...»的通解.2. 非齐次线性方程的叠加原理（1）参见教材P131，习题2.例59求方程«Skip Record If...»的一个特解.解：令«Skip Record If...».(1)考察相应齐次线性方程«Skip Record If...»，其特征方程«Skip Record If...»的特征根为«Skip Record If...»，相应的基本解组为«Skip Record If...».(2)考察非齐次线性方程«Skip Record If...»，假定方程具有特解«Skip Record If...»，代入方程运用待定系数法求得«Skip Record If...».(3)考察非齐次线性方程«Skip Record If...»，运用例56的结果知，«Skip Record If...»(4)由非齐次线性方程的叠加原理知，原方程的一个特解«Skip Record If...».作业53.求方程«Skip Record If...»的通解.3.一类特殊齐次线性微分方程基本解组和特解求法（1）乘积求导法则：«Skip Record If...»，«Skip Record If...».例60.求解方程(1) «Skip Record If...»; (2) «Skip Record If...»通解.解：(1) 令«Skip Record If...»，于是方程的左端为«Skip Record If...»，于是得到«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为任意常数.于是得到原方程的通解为«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为任意常数. （2）经观察不能直接运用乘积求导法则，令«Skip Record If...»，由«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»，此时«Skip Record If...»，验证可知«Skip Record If...».原方程两边同除以«Skip Record If...»，得到新方程为«Skip Record If...»，解得通解为«Skip Record If...»，于是原方程的通解为«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为任意常数.作业53.求解方程(1) «Skip Record If...»的通解.(2) 考察方程«Skip Record If...»，假设«Skip Record If...»代入得到特征方程«Skip Record If...»，若特征方程有实常数根«Skip Record If...»，则原方程具有解«Skip Record If...».(直接代入验证知结论成立)例61. 求方程（1）«Skip Record If...»的通解；（2）«Skip Record If...»一个特解. 解：(1) 改写原方程为标准形式为«Skip Record If...»，原方程的特征方程为«Skip Record If...»，可得一实根«Skip Record If...»，于是原方程存在一个解函数«Skip Record If...». 由刘维尔公式（教材P132习题6或讲义例42）知，与«Skip Record If...»线性无关的解为«Skip Record If...»（这里积分只是指的是一个原函数）综上知，原方程的通解为«Skip Record If...»，«Skip Record If...».(2)运用常数变易法求解.(略）作业54. 求方程（1）«Skip Record If...»的通解；（2）«Skip Record If...»一个特解.。