第二章矩阵及其运算测试题

一、选择题

1.下列关于矩阵乘法交换性的结论中错误的是（）。 (A)若A 是可逆阵，则1A -与1A -可交换； (B)可逆矩阵必与初等矩阵可交换；

(C)任一n 阶矩阵与n cE 的乘法可交换，这里c 是常数； (D)初等矩阵与初等矩阵的乘法未必可交换。 2.设n (2n ≥)阶矩阵A 与B 等价，则必有（）

(A) 当A a =（0a ≠）时，B a =； (B)当A a =（0a ≠）时，B a =-； (C) 当0A ≠时，0B =； (D)当0A =时，0B =。 3.设A 、B 为方阵，分块对角阵00A C B ??=

???

，则*

C =( )。 (A) **00

A B ??

??? (B) **||00

||A A B B ?? ??? (C) **||00||B A A B ?? ??? (D) **||||0

0||||A B A A B B ?? ??

? 4.设A 、B 是n (2n ≥)阶方阵，则必有（）。 (A)A B A B +=+ (B)kA k A = (C)

A B B

=- (D) AB A B = 5.设4阶方阵 44(),()||,ij A a f x xE A ?==-其中E 是4阶单位矩阵，则()f x 中3

x 的系数为（）。

(A)11223344()a a a a -+++ (B)112233112244223344113344a a a a a a a a a a a a +++ (C) 11223344a a a a (D)11223344a a a a +++

6.设A 、B 、A B +、11A B --+均为n 阶可逆矩阵，则1()A B -+为( )。 (A) 11A B --+ (B) A B + (C) 111()A B ---+ (D)11111()B A B A -----+

7.若12312,,,,αααββ都是4维列向量，且4阶行列式

()()12311223,,,,,,,m n αααβααβα==

则4阶行列式()32112,,,(

)αααββ+=。

(A)m n + (B)mn (C)n m - (D)m n -

8.设A 、B 、C 均为可逆矩阵，且ABC E =，则必有( )。 (A)BCA E = (B)CBA E = (C)BAC E = (D)ACB E =

9.设A 是n 阶可逆方阵，将A 的第1列加到第2列得到的矩阵记为B ，*A 、*B 分别为A 、B 的伴随矩阵，则( )。 (A)将*A 的第1列加到第2列得到*B ； (B)将*A 的第1行加到第2行得到*B ；

(C)将*A 的第2列乘以（-1）加到第1列得到*B ； (D)将*A 的第2行乘以（-1）加到第1行得到*B 。

10.设A 是n 阶方阵，E 是n 阶单位矩阵，且A E +可逆。下列各式中，哪一个不正确的（）。

(A)22()()()()A E A E A E A E +-=-+ (B)()()()()T T A E A E A E A E +-=-+ (C)11()()()()A E A E A E A E --+-=-+ (D)**()()()()A E A E A E A E +-=-+

二、填空：

1.设矩阵A 、B ，若AB 有意义，则A 、B 的行数和列数需满

足；[]21123????-??????= ，431512325701????

????-????????????

= 。 2.矩阵120132A ??

?-??

的转置矩阵是。 3.设矩阵4321A ??=?

???，B 1123B -??=????1123-????

,则2T

AB A B -= ，

2T B A E -= 。

4.设矩阵A 是n 阶方阵，0,A a =≠则*A = 。

5.方阵A=111221

22a a a a ??

???

的伴随矩阵为*A = ，已知det()A A =,det(2)A = 。 6.设1225A ??

=????

，则1A -= ，5

2002

10000120

11B ??????=??

-????

，则1B -= 。 7.设矩阵A 、B 均可逆，O A X B O ??

，则1X -= 。 8.设100220345A -??

??=??

????，则*1()A -= 。 9.设300140003A ??

??=??

????

，则1(2)A E --= 。 10.A 是3阶方阵，1

A =，则1*(3)2A A --= 。

三、计算题

1.已知11

(1,2,3),(1,,),,23

T A αβαβ===求n A 。

2.设100101010A ??

??=??

????

，证明当3n ≥时，恒有22n n A A A E -=+-，并求100A 。 3.1

P AP -=Λ，其中1411P --??=????，1002-??

Λ=??

，求11A 。 4.设210120001A ??

??=??

????

，矩阵B 满足**2ABA BA E =+，求B 。四、证明题

1.设矩阵A 、B 都是对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充要条件是AB BA =。

2.设0k A =（k 为正整数），证明：121()...k E A E A A A ---=++++。

3.设方阵A 满足，220A A E --=，证明：A 及A+2E 都可逆，并求1A -及1(2)A E -+。

(完整版)第二章矩阵及其运算作业及答案

第二部分　矩阵及其运算作业（一）选择题(15分) １．设，均为n 阶矩阵，且，则必有（）A B 22 ()()A B A B A B +-=-(A) (B) (C) (D) A B =A E =AB BA =B E =２．设，均为n 阶矩阵，且，则和（） A B AB O =A B (A)至多一个等于零 (B)都不等于零 (C) 只有一个等于零 (D) 都等于零３．设，均为n 阶对称矩阵，仍为对称矩阵的充分必要条件是（） A B AB (A) 可逆 (B)可逆 (C) (D) A B 0AB ≠AB BA =４．设为n 阶矩阵，是的伴随矩阵，则＝（） A A *A A *(A) (B) (C) (D) 1n A -2n A -n A A ５．设，均为n 阶可逆矩阵，则下列公式成立的是（） A B (A) (B) ()T T T AB A B =()T T T A B A B +=+(C) (D) 111()AB A B ---=111 ()A B A B ---+=+（二）填空题(15分) １．设，均为3阶矩阵，且，则= 。 A B 1 ,32A B ==2T B A 2．设矩阵，，则＝。 1123A -?? = ???232B A A E =-+1B -３．设为４阶矩阵，是的伴随矩阵，若，则＝。 A A *A 2A =-A *４．设，均为n 阶矩阵，，则＝。 A B 2,3A B ==-12A B *-５．设，为整数，则＝。 101020101A ? ? ?= ? ??? 2n ≥12n n A A --（三）计算题(５０分) 1．设,,且，求矩阵。 010111101A ?? ?=- ? ?--??112053B -? ? ? = ? ??? X AX B =+X

第二章--矩阵及其运算-试题

第二章--矩阵及其运算-试题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第二章矩阵及其运算目标测试题一、填空题： 1. 设A 为三阶方阵，且||3=A ，则 2-A *1-= T A = 2. 设? ??? ??-=3121A ，12B 01-??= ???，则32A B -= ，AB = 1 A B -= 3. 已知1211A ??= ? -?? ，1111B ??= ?-??，则det()BA = *A =________()1 *A -= 4.设矩阵A 的逆矩阵11234A -?? = ???，则矩阵A = ，矩阵A （是或不是）奇异矩阵 5.设()diag 21,3,=-A ，2 A =________，1A -=_________A = 6. ()=????? ??--021*******,1E ()=??? ?? ??--）（ 21021110321E 7.设??? ? ? ??=300041003A ，则1(2)A E --= 8.设A 是43?阶矩阵，若将A 的第3行2倍，再将所得矩阵第1列的2-倍加到第4列得到矩阵??? ? ? ??---=204244013101B ，则=A 9.设?? ? ?? ?? ? ?-=110021000012 00 25A ，则=-1A A = 10. 已知A 为3阶方阵，且2 1 = A ，则=-*-A A 2)3(1

11.矩阵 ? ??? ? ??--201000002310的秩是；已知21 0323 1040000000A -?? ? ? = ? ??? 则 R （A ）= 12.若矩阵??? ? ? ??-a 21330321的秩为2，则=a 13.矩阵????? ??----174034301320 1212 c c r r ?+ 14.??? ? ? ??--0211231-11化为行最简形矩阵为 15.设矩阵? ? ??? ???? ???=k k k k A 111111111 111，(1)若3)(=A R ，则=k (2)若1)(=A R ，则=k 二、选择题 1.设n 阶矩阵A,B,C 满足ABC=E ，则正确的是（） A ． =AC B E B ． =CBA E C ． =BAC E D ． =BCA E 2. 设A 是34?矩阵，B 是35?矩阵，如果T AC B 有意义，则C 是（）矩阵 A ． 34? B ．35? C ．53? D ．54? 3. 设A ，B ，C 均为n 阶矩阵，则下列矩阵的运算中不成立．．．的是（） A.()T T T A B A B +=+ B. =AB B A C. ()+=+A B C BA CA D. ()T T T AB B A = 4. 设A 是方阵，若AC AB =，则必有（） A.0≠A 时C B = B.C B ≠时0=A C.C B =时0≠A D.0≠A 时C B = 5. 设A,B 为n 阶矩阵，λ为实数，下列命题不正确的是（） A.111()AB B A ---= B.()T T T AB B A = C.AB BA = D.A A λλ= 6.矩阵?? ? ?? ? ? ? ?000010005100 3011 是（） A ．行阶梯矩阵 B ．行最简形矩阵 C ．标准形矩阵 D ．上三角矩阵 7.矩阵A 在（）时，其秩将被改变。

第二章矩阵及其运算测试题

第二章矩阵及其运算测试题一、选择题 1.下列关于矩阵乘法交换性的结论中错误的是（）。 (A)若A 是可逆阵，则1A -与1A -可交换； (B)可逆矩阵必与初等矩阵可交换； (C)任一n 阶矩阵与n cE 的乘法可交换，这里c 是常数； (D)初等矩阵与初等矩阵的乘法未必可交换。 2.设n (2n ≥)阶矩阵A 与B 等价，则必有（） (A) 当A a =（0a ≠）时，B a =； (B)当A a =（0a ≠）时，B a =-； (C) 当0A ≠时，0B =； (D)当0A =时，0B =。 3.设A 、B 为方阵，分块对角阵00A C B ??= ??? ，则* C =( )。 (A) **00 A B ?? ??? (B) **||00 ||A A B B ?? ??? (C) **||00||B A A B ?? ??? (D) **||||0 0||||A B A A B B ?? ??? 4.设A 、B 是n (2n ≥)阶方阵，则必有（）。 (A)A B A B +=+ (B)kA k A = (C) A A B B =-g (D) AB A B = 5.设4阶方阵 44(),()||,ij A a f x xE A ?==-其中E 是4阶单位矩阵，则()f x 中3 x 的系数为（）。 (A)11223344()a a a a -+++ (B)112233112244223344113344a a a a a a a a a a a a +++ (C) 11223344a a a a (D)11223344a a a a +++ 6.设A 、B 、A B +、11A B --+均为n 阶可逆矩阵，则1()A B -+为( )。 (A) 11A B --+ (B) A B + (C) 111()A B ---+ (D)11111 ()B A B A -----+

矩阵计算习题及答案

1、选择题 1）下列变量中 A 是合法的。 A. Char_1,i,j *y, C. X\y, a1234 D. end, 1bcd 2）下列 C 是合法的常量。 A. 3e10 B. 1e500 C. D. 10-2 3）x=uint8，则x所占的字节是 D 个。 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4）已知x=0：10，则x有 B 个元素。 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 5）产生对角线元素全为1其余为0的2×3矩阵的命令是 C 。 A. Ones(2,3) B. Ones(3,2) C. Eye(2,3) D. Eye(3,2) 6）a= 123 456 789 ?? ? ? ? ?? ，则a(:,end)是指 C 。 A.所有元素 B. 第一行元素 C. 第三列元素 D. 第三行元素 7） a= 123 456 789 ?? ? ? ? ?? ，则运行a(:,1)=[] 命令后 C 。变成行向量 B. a数组成2行2列 C. a数组成3行2列 D. a数组没有元素 8）a= 123 456 789 ?? ? ? ? ?? ，则运行命令 mean(a)是 B 。 A. 计算a的平均值 B. 计算a每列的平均值 C. 计算a每行的平均值数组增加一列平均值 9）已知x是一个向量，计算 ln(x)的命令是 B 。 A. ln(x) B. log(x) C. Ln(x) D. lg10(x) 10）当a=时，使用取整函数得到3，则该函数名是 C 。 B. round C. ceil D. floor 11）已知a=0：4，b=1：5，下面的运算表达式出错的是 D 。 A. a+b B. a./b C. a'*b D. a*b 12）已知a=4，b=‘4’，下面说法错误的是 C 。 A. 变量a比变量b占用的空间大 B. 变量a、b可以进行加减乘除运算 C. 变量a、b数据类型相同 D. 变量b可以用eval计算 13）已知s=‘显示“hello”’，则s 元素的个数是 A 。 A. 12 B. 9 C. 7 D. 18 14）运行字符串函数strncmp('s1','s2',2)，则结果为 B 。 A. 1 B. 0 C. true D. fales 15）命令day（now）是指 C 。 A. 按日期字符串格式提取当前时间 B. 提取当前时间 C. 提取当前时间的日期 D. 按日期字符串格式提取当前日期

GE矩阵+计算方法+案例(一班三组)

GE矩阵法及其使用方法介绍一、GE矩阵法概述 GE矩阵法又称通用电器公司法、麦肯锡矩阵、九盒矩阵法、行业吸引力矩阵是美国通用电气公司（GE）于70年代开发了新的投资组合分析方法。对企业进行业务选择和定位具有重要的价值和意义。GE矩阵可以用来根据事业单位在市场上的实力和所在市场的吸引力对这些事业单位进行评估，也可以表述一个公司的事业单位组合判断其强项和弱点。在需要对产业吸引力和业务实力作广义而灵活的定义时，可以以GE矩阵为基础进行战略规划。按市场吸引力和业务自身实力两个维度评估现有业务（或事业单位），每个维度分三级，分成九个格以表示两个维度上不同级别的组合。两个维度上可以根据不同情况确定评价指标。二、方格分析计算方法介绍： GE矩阵可以用来根据事业单位在市场上的实力和所在市场的吸引力对这些事业单位进行评估，也可以表述一个公司的事业单位组合判断其强项和弱点。在需要对产业吸引力和业务实力作广义而灵活的定义时，可以以GE矩阵为基础进行战略规划。按市场吸引力和业务自身实力两个维度评估现有业务（或事业单位），

每个维度分三级，分成九个格以表示两个维度上不同级别的组合。两个维度上可以根据不同情况确定评价指标。绘制GE矩阵，需要找出外部（行业吸引力）和内部（企业竞争力）因素，然后对各因素加权，得出衡量内部因素和市场吸引力外部因素的标准。当然，在开始搜集资料前仔细选择哪些有意义的战略事业单位是十分重要的。 1. 定义各因素。选择要评估业务（或产品）的企业竞争实力和市场吸引力所需的重要因素。在GE内部，分别称之为内部因素和外部因素。下面列出的是经常考虑的一些因素（可能需要根据各公司情况作出一些增减）。确定这些因素的方法可以采取头脑风暴法或名义群体法等，关键是不能遗漏重要因素，也不能将微不足道的因素纳人分析中。 2. 估测内部因素和外部因素的影响。从外部因素开始，纵览这张表（使用同一组经理），并根据每一因素的吸引力大小对其评分。若一因素对所有竞争对手的影响相似，则对其影响做总体评估，若一因素对不同竞争者有不同影响，可比较它对自己业务的影响和重要竞争对手的影响。在这里可以采取五级评分标准（1=毫无吸引力，2=没有吸引力，3=中性影响，4=有吸引力，5=极有吸引力）。然后也使用5级标准对内部因素进行类似的评定（1=极度竞争劣势，2=竞争劣势，3=同竞争对手持平，4=竞争优势，5=极度竞争优势），在这一部分，应该选择一个总体上最强的竞争对手做对比的对象。具体的方法是：- 确定内外部影响的因素，并确定其权重- 根据产业状况和企业状况定出产业吸引力因素和企业竞争力因素的级数（五级）- 最后，用权重乘以级数，得出每个因素的加权数，并汇总，得到整个产业吸引力的加权值下面分别用折线图和表格两种形式来表示。

第二章矩阵及其运算作业及答案

第二部分矩阵及其运算作业（一）选择题(15分) １．设A ，B 均为n 阶矩阵，且22()()A B A B A B +-=-，则必有（） (A) A B = (B) A E = (C) AB BA = (D) B E = ２．设A ，B 均为n 阶矩阵，且AB O =，则A 和B （） (A)至多一个等于零 (B)都不等于零 (C) 只有一个等于零 (D) 都等于零３．设A ，B 均为n 阶对称矩阵，AB 仍为对称矩阵的充分必要条件是（） (A) A 可逆 (B)B 可逆 (C) 0AB ≠ (D) AB BA = ４．设A 为n 阶矩阵，A *是A 的伴随矩阵，则A *＝（） (A) 1n A - (B) 2n A - (C) n A (D) A ５．设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则下列公式成立的是（） (A) ()T T T AB A B = (B) ()T T T A B A B +=+ (C) 111()AB A B ---= (D) 111()A B A B ---+=+ （二）填空题(15分) １．设A ，B 均为3阶矩阵，且1 ,32A B ==，则2T B A = 。 2．设矩阵1123A -??= ??? ， 232B A A E =-+，则1B -＝。３．设A 为４阶矩阵，A *是A 的伴随矩阵，若2A =-，则A *＝。４．设A ，B 均为n 阶矩阵，2,3A B ==-，则12A B *-＝。５．设101020101A ? ? ?= ? ??? ，2n ≥为整数，则12n n A A --＝。（三）计算题(５０分) 1．设010111101A ?? ?=- ? ?--??,112053B -?? ?= ? ??? ,且X AX B =+，求矩阵X 。

线性代数论文设计(矩阵在自己专业中地应用及举例)

矩阵在自己专业中的应用及举例

摘要： I、矩阵是线性代数的基本概念，它在线性代数与数学的许多分支中都有重要的应用，许多实际问题可以用矩阵表达并用相关的理论得到解决。 II、文中介绍了矩阵的概念、基本运算、可逆矩阵、矩阵的秩等容。 III、矩阵在地理信息系统中也有许多的应用，比如文中重点体现的在计算机图形学中应用。关键词：矩阵可逆矩阵图形学图形变换正文：第一部分引言在线性代数中，我们主要学习了关于行列式、矩阵、方程、向量等相关性比较强的容，而这些容在我们专业的其他一些学科中应用也是比较广泛的，是其它一些学科的很好的辅助学科之一。因此，能够将我们所学的东西融会贯通是一件非常有意义的事，而且对我们的学习只会有更好的促进作用。在计算机图形学中矩阵有一些最基本的应有，但是概念已经与线性代数中的有一些不同的意义。在计算机图形学中，矩阵可以是一个新的额坐标系，也可以是对一些测量点的坐标变换，例如：平移、错切等等。在后面的文章中，我通过查询一些相关的资料，对其中一些容作了比较详细的介绍，希望对以后的学习能够有一定的指导作用。在线性代数中，矩阵也占据着一定的重要地位，

与行列式、方程、向量、二次型等容有着密切的联系，在解决一些问题的思想上是相同的。尤其他们在作为处理一些实际问题的工具上的时候。图形变换是计算机图形学领域的主要容之一，为方便用户在图形交互式处理过程中度图形进行各种观察，需要对图形实施一系列的变换，计算机图形学主要有以下几种变换：几何变换、坐标变换和观察变换等。这些变换有着不同的作用，却又紧密联系在一起。第二部分研究问题及成果 1. 矩阵的概念定义：由n m ?个数排列成的m 行n 列的矩阵数表 ????? ???????ann an an n a a a n a a a ΛM ΛM M K Λ212222111211 称为一个n m ?矩阵，其中an 表示位于数表中第i 行第j 列的数，i=1,2,3，…n ，又称为矩阵的元素。A,B 元素都是实数的矩阵称为实矩阵。元素属于复数的矩阵称为复矩阵。下面介绍几种常用的特殊矩阵。（1）行距阵和列矩阵仅有一行的矩阵称为行距阵（也称为行向量），如 A=(a11 a12 .... a1n), 也记为 a=(a11,a12,.....a1n). 仅有一列的矩阵称为列矩阵（也称为列向量），如

矩阵的运算实例程序

设计一个矩阵相乘的程序假设有 1 5 7 3 3 9 1 4 1 4 A= 3 6 3 9 B= 5 6 7 9 0 3 1 2 8 7 3 2 7 2 5 6 0 3 1 9 9 7 4 7 8 0 3 2 5 4 求出A*B的矩阵程序构思：我们所知的矩阵乘法运算的算式如下： C ij = A ik X B kj的k从1到n 的和，那么可以用一个3层循环来运算此算式： C(1,1)=A(1,1)*B(1,1)+A(1,2)*B(2,1)+A(1,3)*B(3,1)+A(1,4)*B(4,1) =(1*3)+(5*5)+(7*3)+(3*9) =3+25+21+27 =76 同理 C(1,2)=A(1,1)*B(1,2)+A(1,2)*B(2,2)+A(1,3)*B(3,2)+A(1,4)*B(2,2) =(1*9)+(5*6)+(7*2)+(3*7) =9+30+14+21 =74 依此类推，我们可以求得矩阵A与矩阵B的矩阵乘积。 void main(void) { int matrixa[5][4]={1,5,7,3, 3,6,3,9, 1,2,8,7, 0,3,1,9, 3,2,5,4}; int matrixb[4][6]={3,9,1,4,1,4, 5,6,7,9,0,3, 3,2,7,2,5,6, 9,7,4,7,8,0}; int matrixc[5][6]; int i,j,k; for(i=0;i<5;i++) for(j=0;j<6;j++) { matrixc[i][j]=0; for(k=0;k<4;k++) matrixc[i][j]+=matrixa[i][k]*matrixb[k][j];

矩阵练习(带答案)

二、判断题（每小题2分，共12分） 1. 设B A 、均为n 阶方阵，则 k k k B A AB =)(（k 为正整数）。……………（ × ） 2. 设 ,,A B C 为 n 阶方阵，若 ABC I =，则 111 C B A ---=。……………………………（ × ） 3. 设B A 、为n 阶方阵，若AB 不可逆，则,A B 都不可逆。……………………… ( × ) 4. 设B A 、为n 阶方阵，且0AB =，其中0A ≠，则 B =。……………………… ( × ) 5. 设C B A 、、都是n 阶矩阵，且 I CA I AB ==,，则 C B =。……………………（ √ ） 6. 若A 是n 阶对角矩阵，B 为n 阶矩阵，且AC AB =，则B 也是n 阶对角矩阵。…（ × ） 7. 两个矩阵A 与B ，如果秩（A ）等于秩（B ），那么A 与B 等价。 …………（ × ） 8. 矩阵 A 的秩与它的转置矩阵 T A 的秩相等。 ……………………………………( √ )

浅谈矩阵在实际生活中的应用

浅谈矩阵在实际生活中的应用摘要：从数学的发展来看，它来源于生活实际，在科技日新月异的今天，数学越来越多地被应用于我们的生活，可以说数学与生活实际息息相关。我们在学习数学知识的同时，不能忘记把数学知识应用于生活。在学习线性代数的过程中，我们发现代数在生活实践中有着不可或缺的位置。在本文中，我们对代数中的矩阵在成本计算、人口流动、加密解密、计算机图形变换等方面的应用进行了探究。关键词：线性代数矩阵实际应用 Abstract:From the development of mathematics, we can see that it comes from our life. With the development of science and technology, the math is more and more being used in our lives, it can be said that mathematics and real life are closely related. While learning math knowledge we can not forget to apply mathematical knowledge to our life. In the process of learning linear algebra, we found that algebra has an indispensable position in life practice. In this article, we explore the application of the matrix in the costing, population mobility, encryption and decryption, computer graphics transform. Keywords: linear algebra matrix practical application

矩阵及矩阵运算的应用

矩阵及矩阵运算的应用例1 在讨论国民经济的数学问题中也常用到矩阵.例如,假设在某一地区,某一种物资,比如说媒, 有s 个产地A 1,A 2,…,A S 和n 个销地B 1,B 2,…,B n .那么一个调运方案就可以用一个矩阵 ???? ?? ? ? ? sn s s n n a a a a a a a a a 212222111211 来表示.其中a ij 表示由产地A i 运到销地B j 的数量. 则某一种物资若有s 个产地,n 个销地.那么一个调运方案就可表示为一个s ?n 矩阵,矩阵中的元素表示由产地A i 要运到销地B j 的这种物资的数量,比如说吨数.如果从这些产地还有另一种物资要用到这些销地,那么这种物资的调运方案也可表示为s ?n 矩阵,于是从产地到销地的总的运输量也表示为一个矩阵.显然,这个矩阵就等于上面俩个矩阵的和. 例2 在ABO 血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究.如果我们把四种等位基因1A 、2A 、B 、O 区别开，有人报告了如下的相对频率，见下表现在的问题是：一个群体与另外一个群体的接近程度如何？换句话说，就是要找到一个表示基因的“距离”合宜的度量. 解：有人提出一种利用矢量代数的方法.首先，我们用单位矢量，即绝对值为1的矢量，来表示每一个群体.为此目的，我们取每一种频率的平方根，记ki x =.由于对这四种群体的每一种有 4 1 1,ki i f ==∑所以我们得到4 2 1 1.ki i x ==∑.这意味着下列四个矢量（爱斯基摩人）（班图人）（英国人）（朝鲜人）

311121413212224212341323433314244434,,,x x x x x x x x x x x x x x x x αααα???????? ? ? ? ? ? ? ? ?==== ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????? 的每一个都是单位矢量，即在四维空间中，这些矢量的顶端都位于一个半径为1的球面上. 现在用两个矢量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的.如果我们把1α和2α之间的夹角记为θ，那么由于121αα==，再由内积公式，得：cos θ=12.αα 有详细的数值是 120.53980.32160.00000.2943,0.17780.34640.82280.8307αα???? ? ? ? ?== ? ? ? ????? cos θ=12.αα=（0.5398）（0.3216）+…….=0.9187 θ= 23.2。按同样的方式，我们可得到下表：（单位为度）最小的“距离”是班图人和英国人之间的“距离”，而爱斯基摩人和班图人之间的“距离”最大. 例3 人口迁移的动态分析问题对城乡人口流动做年度调查，发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势：每年农村居民的2.5%移居城镇，而城镇居民的1%迁出.现在总人口的60%位于城镇.假如城乡总人口保持不变，并且认可流动的这种趋势继续下去，那么一年以后住在城镇人口所占比例是多少？两年以后呢？十年以后呢？最终呢？解设开始时，令乡村人口为0y ，城镇人口为0z ，一年以后有乡村人口： .1001 1000975100y z y =+ 城镇人口： .100 99 100025100z z y =+ 或写成矩阵形式 .1009910002510011000975 0011??? ? ?????? ??????=???? ??z y z y

第二章矩阵及其运算

第二章矩阵及其运算第一节矩阵及其运算一．数学概念定义1.1由个数排成m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称矩阵，记作二．原理，公式和法则 1．矩阵的加法 (1) 公式 (2) 运算律 2．数乘矩阵 (1) 公式

(2) 运算律 3．矩阵与矩阵相乘 (1) 设, 则其中，且。 (2)运算符(假设运算都是可行的)： (3)方阵的运算注意：①矩阵乘法一般不满足交换律。 ②一般 4.矩阵的转置 (1)公式

这里为A的转置矩阵。 (2)运算律 5.方阵的行列式 (1)公式设A为n阶方阵，为A的行列式。 (2)运算律

6.共轭矩阵 (1)公式设为复矩阵，表示为的共轭复数，则为方阵的共轭矩阵。 (2)运算律(设A,B为复矩阵，为复数，且运算都是可行的)：第二节逆矩阵一.数学概念定义2.1设A为n阶方阵，若存在一个n阶方阵B使，则称矩阵A 是可逆的，并把矩阵称为A的逆矩阵。 1.可逆矩阵又称为非奇异矩阵。 2.不可逆矩阵又称为奇异矩阵。二.原理，公式和法则 1. 定理 2.1方阵A可逆的充分必要条件是,且，其中为A的伴随矩阵。推论若AB＝E(或BA=E)则B＝A-1。性质逆矩阵是唯一的。 2.运算律

①若A可逆，则A-1亦可逆，且。 ②若A可逆，数,则λA可逆，且。 ③若A,B为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆，且 ④若A可逆，则A T亦可逆，且第三节分块矩阵一.数学概念分块矩阵：用若干条横线和竖线将矩阵A分成若干小块，每一小块称为矩阵的子块，以子块为元素的矩阵为分块矩阵。 1.一般分块 2.按行分块

线性代数矩阵的性质及应用举例

华北水利水电学院线性代数解决生活中实际问题课程名称：线性代数专业班级：成员组成：联系方式： 2012年11月7日

关于矩阵逆的判定及求逆矩阵方法的探讨摘要：矩阵的可逆性判定及逆矩阵的求解是高等代数的主要内容之一。本文给出判定矩阵是否可逆及求逆矩阵的几种方法。关键词：逆矩阵伴随矩阵初等矩阵分块矩阵矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。下面通过引入逆矩阵的定义，就矩阵可逆性判定及求逆矩阵的方法进行探讨。定义1 n 级方阵A 称为可逆的，如果n 级方阵B ，使得 AB=BA=E （1）这里E 是n 级单位矩阵。定义2 如果B 适合（1），那么B 就称为A 的逆矩阵，记作1 -A 。定理1 如果A 有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的。逆矩阵的基本性质：性质1 当A 为可逆阵，则A A 1 1 = -. 性质 2 若A 为可逆阵，则k kA A (,1 -为任意一个非零的数)都是可逆阵，且A A =--1 1)( )0(1)(1 1≠= --k A k kA . 性质3 111 ) (---=A B AB ，其中A ，B 均为n 阶可逆阵. 性质4 A ()()'11 '=--A . 由性质3有定理2 若)2(,21≥n A A A n Λ是同阶可逆阵，则n A A A Λ21,是可逆阵，且21(A A 下面给出几种判定方阵的可逆性及求逆矩阵的方法：方法一定义法利用定义1，即找一个矩阵B ，使AB=E ，则A 可逆，并且B A =-1 。方法二伴随矩阵法定义3 设)(ij a A =是n 级方阵，用ij A 表示A 的),(j i 元的代数余子式)1,(n j i Λ=，

矩阵练习(带答案详解)

一、填空题： 1.若A ，B 为同阶方阵，则22))((B A B A B A -=-+的充分必要条件是 BA AB =。 2. 若n 阶方阵A ，B ，C 满足I ABC =,I 为n 阶单位矩阵，则1 -C ＝ AB 。 3. 设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，若??? ? ??=00A B C ,则1 -C ＝ ??? ? ??--00 11B A 。 4. 设A ＝? ??? ??--1112，则1 -A ＝??? ? ??2111。 5. 设???? ??--=111111A ， ??? ? ??--=432211B .则=+B A 2??? ? ??--731733。 6.设???? ? ??=300020001A ，则1 -A ＝ ??????? ? ? ? 31000210001 7．设矩阵 1 -1 3 2 0,2 0 10 1A B ????== ? ? ???? ，T A 为A 的转置，则B A T =???? ? ??-160222. 8. ??? ? ? ??=110213021A ，B 为秩等于2的三阶方阵，则AB 的秩等于 2 . 二、判断题（每小题2分，共12分） 1. 设B A 、均为n 阶方阵，则 k k k B A AB =)(（k 为正整数）。……………（ × ） 2. 设,,A B C 为n 阶方阵，若ABC I =，则111 C B A ---=。……………………………（ × ） 3. 设B A 、为n 阶方阵，若AB 不可逆，则,A B 都不可逆。……………………… ( × ) 4. 设B A 、为n 阶方阵，且0AB =，其中0A ≠，则0B =。……………………… ( × )

第四章矩阵练习题

矩阵习题判断题 1. 对于任意n 阶矩阵A , B ，有|A B |A |B . 2. 如果A 2 0,则A 0. 3. 如果A A 2 E ，则A 为可逆矩阵. 4. 设代B 都是n 阶非零矩阵，且 AB 0，则A,B 的秩一个等于n ，—个小于n ? 5. A, B,C 为n 阶方阵，若AB AC,则B C. 6. A 为m n 矩阵，若r(A) s,则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q , 7. n 阶矩阵A 可逆，则A*也可逆. 8. 设代B 为n 阶可逆矩阵，则(AB)* B* A* . 选择题 1. 设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵(B T B),则下列矩阵中为反对称 2 矩阵的是()(A) AB BA (B) AB BA (C) (AB) (D) BAB 2. 设A 是任意一个n 阶矩阵，那么()是对称矩阵。 (A) A A (B) A A T (C) A 2 (D) AJ A 3?以下结论不正确的是( )。 (A) 如果A 是上三角矩阵，则 A 2也是上三角矩阵； (B) 如果A 是对称矩阵，则 A 2也是对称矩阵； (C) 如果A 是反对称矩阵，则 A 2也是反对称矩阵； (D) 如果A 是对角阵，则 A 2也是对角阵。使PAQ I s 0 0 0

4. A 是m k 矩阵,B 是k t 矩阵,若B 的第j 列元素全为零，则下列结论正确的是（）（A ） AB 的第j 列元素全等于零；（B ） AB 的第j 列元素全等 7于零；（C ） BA 的第j 列元素全等于零；（D ） BA 的第j 列元素全等于零； 6.下列命题正确的是（对任意方阵A,B ，有（A B ）（A B ） A 2 B 2 阵，已知 Ax 0的基础解系为（1,0, 2,0）T ，则方程组A*x 0的基础解系为 (). ( A ) 1,2,3 . ( B ) 1 2 , 2 3 , 3 1 . (C ) 2 , 3 , 4 . ( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 . (A)当 m n 时, 必有行列式 AB 0 ； (B) 当m n 时，必有行列式 AB (C)当 n m 时，必有行列式 AB 0 ； (D) 当n m 时，必有行列式 AB m 矩阵, 则 ) ； &以下结论正确的是（ ) 7. A 是m n 矩阵，B 是n 5 ?设代B 为n 阶方阵, E 为n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（ (A) (A B)2 A 2 2AB B 2 (B) A 2 B 2 (A B)(A B) 2 2 2 (C) (AB) A B (D) A 2 E 2 (A E)(A E) (A)若 AB AC ，则 B C (B) AB AC ，且 A 0 ,则 B (C)若 AB AC ，且 A 0 ,则 B (D) 若AB AC ，且 B 0,C (A) 如果矩阵A 的行列式, 0,则 A 0； (B) 如果矩阵A 满足A 2 0,则 (C) n 阶数量阵与任何一个 n 阶矩阵都是可交换的; (D) 4 是非零的四维列向量，A 4 ), A* 为A 的伴随矩

矩阵的秩与矩阵的运算自测题

第四章自测题一、判断题 1. A ,B 是n 阶方阵，则. （） ))((22B A B A B A ?+=? 2. A ,B 是n 阶方阵，则BA AB =. （） 3. A ,B 是n 阶方阵，则B A B A +=+. （） 4. A ,B 是n 阶可逆方阵，且BA AB =,则. （） 111)(???=B A AB 5. A 是可逆方阵，则1*≤A ，其中是*A A 的伴随矩阵. （） 6. a 是一个数，是n 阶单位矩阵，则n E n n E a aE = . （） 7. 若A 是幂零矩阵（即）则正整数k A k ,0=A ＝0. （） 8. A 是退化方阵，则,(是0*=AA *A A 的伴随矩阵). （） 9. A ,B 是n 阶方阵,若,则0=AB 0=A 或0=B . （）二、填空题 1．设A 是矩阵，n m ×B 是矩阵，则s n ×AB 是_____行_____列矩阵. 2．阶方阵n A 可逆的充分必要条件是A 的行列式A =_____可逆时=_____. 1?A 3．，则?????? ????????=6416412793184211111A A 的秩为_____. 4．A ,B 为可逆方阵，则方阵的逆方阵=_____. ??????? ?=00B A C 1?C 5．设A ,B 是阶方阵，如存在可逆矩阵,使n Q P ,B PAQ =，则A 与B 的秩_____. 6．，，则)2,0,1(=A ???? ????????=345B AB =_____,BA =_____. 7．，则=_____. 12)(2+?=λλλf ???? ??????=211210001A )(A f 8．A 是n 阶方阵，是*A A 的伴随矩阵，则=_____. *AA

矩阵及其运算课后习题答案

第二章矩阵及其运算课后习题答案 1．已知线性变换： ??? ??++=++=++=, 323,53,223213 32123211y y y x y y y x y y y x 求从变量321,,x x x 到变量321,,y y y 的线性变换．解由已知：? ?? ?? ??????? ? ?=????? ??221321323513122y y y x x x 故 ????? ??????? ??=????? ??-3211 221323513122x x x y y y ??? ? ? ??????? ??----=321423736 947y y y ??? ??-+=-+=+--=3213 32123211423736947x x x y x x x y x x x y 2．已知两个线性变换 ??? ??++=++-=+=, 54,232,23213 3212311y y y x y y y x y y x ??? ??+-=+=+-=, 3,2, 3323 312211z z y z z y z z y 求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换．解由已知 ????? ??????? ? ?-=????? ??221321514232102y y y x x x ????? ??????? ??--????? ??-=321310102013514232102z z z ??? ? ? ??????? ??----=32116110 941231 6z z z 所以有 ??? ??+--=+-=++-=3213 32123 2111610941236z z z x z z z x z z z x 3．设????? ??--=111111111A , ,150421321 ??? ?? ??--=B 求.23B A A AB T 及- 解 A AB 23-????? ??--????? ??--=1504213211111111113??? ? ? ??---11111111 12 ????? ??-=0926508503????? ??---1111111112???? ? ? ?----=22942017222132

矩阵矩阵运算练习题(三)

矩阵、矩阵运算练习题（三）一、判断题 1. 设B A,均为n 阶矩阵，则BA AB =. （） 2. 若AC AB =，则C B =. （） 3. 设B A ,均为可逆矩阵，则AB 也可逆且111)(---=B A AB . （） 4. 若B A ,均为n 阶方阵，则必有BA AB =. （） 5. 若B A ,均为n 阶方阵，则必有B A B A +=+. （） 6. 若B A ,均为n 阶方阵，则必有()T T T B A AB =. （） 7. 若B A ,均为n 阶方阵，则必有()2222B AB A B A ++=+ （） 8. 若B A ,均为n 阶方阵，则必有)()(BA AB r r =. （） 9. 若B A ,均为n 阶方阵，则必有若02=A ，则0=A . （） 10. 若B A ,均为n 阶方阵，则必有若0=A A T ，则0=A . （） 11. 设方阵A 满足A AA =，则必有0=A 或E A =. ( ) 12. 设B A ,是不可逆的同阶方阵，则B A =. ( ) 13. 设*A 为n 阶方阵()2≥n A 的伴随矩阵，若A 为满秩方阵，则*A 也是满秩方阵.( ) 14. n 阶矩阵A 可逆的充要条件是：当0≠X 时,0≠AX ,其中.),,,(21T n x x x =X ( ) 15. B A ,均为三阶阵,且0=AB 则00==B A 或. ( ) 16. )()(A A r r ≤*, A A 是*的伴随矩阵. ( ) 二、选择题 1. 设三阶矩阵???? ? ??=a b b b a b b b a A ，已知伴随矩阵*A 的秩为1，则必有( ). (A) 02≠+≠b a b a 且； (B) 02=+≠b a b a 且； (C) 02≠+b a b a 或＝； (D) 02=+=b a b a 或

矩阵在实际生活中的应用

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第二章 矩阵及其运算测试题

(完整版)第二章矩阵及其运算作业及答案

第二章--矩阵及其运算-试题

第二章 矩阵及其运算测试题

矩阵计算习题及答案

GE矩阵+计算方法+案例(一班三组)

第二章矩阵及其运算作业及答案

线性代数论文设计(矩阵在自己专业中地应用及举例)

矩阵的运算实例程序

矩阵练习(带答案)

浅谈矩阵在实际生活中的应用

矩阵及矩阵运算的应用

第二章矩阵及其运算

线性代数矩阵的性质及应用举例

矩阵练习(带答案详解)

第四章矩阵练习题

矩阵的秩与矩阵的运算自测题

矩阵及其运算课后习题答案

矩阵矩阵运算 练习题(三)

矩阵在实际生活中的应用

第二章矩阵及其运算测试题

第二章矩阵及其运算测试题

矩阵矩阵运算练习题(三)