最优化 5 灵敏度分析

x3 1 0 0
x4 0 1 0 4 6 4
x1 x2 1 x4 5 -3
x2 1 0 0
x3 1 2 -3
x4 0 4 1 14 0 -8
1 2 ' 若 P 1 P 1 , 则 3 1 1 02 cBB P c 2 0 1 150 2 11
xB I
xN B-1N
m 1 m 1 1 P P N B B N
xn+1 0
B1b
m 1 1 b P m 1 B B b
0
0
1
0
cBB-1N-cN
cBB1b
in m st ..
x 1 2x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 4 3x 1 2x 2 6 xi 0,i 1 ,2,3
例：某工厂在计划期内要安排生产两种产品，已知生产 单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗为： 产品1 产品2 8台时 1 2 设备 16kg 0 原材料A 4 12kg 4 原材料B 0 该工厂每生产一件产品1可获利2元，每生产一件产品2 可获利3元，问应如何安排计划，使该工厂获利最多？
m ax 2x x2 1 3 s.t x 1 2x 2 8 4x 1 16 4x2 12 xj 0 j 1,2
' r
2. c2由-2变为3, 此时Δ c2 =3-(-2)=5
x1 x2 x4 1 5 -3 x1 x2 x4 x3 x4 x2 1 0 0 x2 x3 1 2 -3 x3 x4 0 1 0 x4 4 14 -8+20 4 6 4 4 14 -8
m in x 1 2x 2 x 3
1 1 5 0 -3+5 0 1 1 3 -2 0 -2
x3 0 -2 1/2 -3/2
x3 1 x4 4 x5 0 2 x4 x5 1/4 1/2 -1/8 -1/8
0 4 4 1 2 0 0 -14
x* 4, 2 fmax 14
T
若该厂又从别处抽出4台时用于生产产品1和2， 求这时该厂生产产品1和2的最优方案。
1 0 0 4 4 0 1 8 1 B b 2 1 0 2 1 0 2 1 0 8 2 4 0 4 8 4 B1b' B1b B1 b 4 2 2 4 0 20 f cBB1bcBB1 b 14 2 0 3 8 2
2. 若原最优解不满足新增加约束
设原问题最优基为B，则有
in cx m 1 1 st . . x B N x B b B N m 1 m 1 P x P B B N x N x n 1 b m 1 x, xn1 0
xB I xN B-1N xn+1 0 B-1b 1 bm+1
四．增加新的约束
L
in cx m .. A x b st x 0
增加新的约束：Pm1x bm1 Pm1为 1n 阶 向 量
in cx m st x b .. A L' m 1 P x b m 1 x 0 1. 若原最优解满足新增加的约束，则它也是 新问题的最优解。
1 0 2 1 -3+5 0 1 0 0 1 0 0
x* 0, 0, 4, 6 fmin 4
T
问题：c2在什么范围变化时，最优解不变？
二、改变右端向量b 设b→b’,设改变前的最优基为B。
1. B1b' 0 此 时 ， 原 来 的 最 优 基 仍 为 最 优 基 ， 但 基 变 量 的 取 值 、 目 标 函 数 最 优 值 将 发 生 变 化 。 设 b' b b, 则 x B b' B b b B b B b
1 ' 1
所以，最优基、最优解保持不变。
x* 0, 4, 0,14 fmax 8
T
x1 x2 1 x4 5 -3
x2 1 0 0
x3 1 2 -3
x4 0 4 1 14 0 -8
1 2 若 P 1 P 1 , 则 3 1 1 02 1 2 0 cBB P 1 c 13 0 2 1 1 1 02 2 1 y 1 B P 1 2 1 1 3
0 cr cr 0 目 标 函 数 值 cB cB B1b cBB1b cBB1b cBB1b cr b r cr变为cr’ 后，只要把原单纯形表中xr所在的行乘以(cr’-cr)加到 判别数行，并使xr对应的判别数为0，既可用单纯形法继续做下去。
B1b 0 可 行 性
cBB1Ac 0 最 优 性 （ 对 偶 可 行 ）
一、价值系数向量c的变化
L
in cx m .. A x b st x 0
设(L)的最优解为xB=B-1b, xN=0, fmin=cBB-1b
1、非基变量xk的系数ck改变为 c’k
例 ： m in x 1 2x 2 x 3 s.t x 1 x 2 x 3 4 3x 1 2x 2 6 xj 0 j 1,2,3
引入松弛变量x4，得它的最优单纯形表为
x1 x2 x4 1 5 -3 x2 1 0 0 x3 1 2 -3 x4 0 1 0 4 14 -8
1. x2 x4
x* 4, 3 , 2 fmax 17
T
问题：b1在什么范围变化时，最优基不变？
三．改变约束矩阵A
1. 非基列Pj→Pj’，影响yj=B-1Pj及zj-cj
m in x 1 2x 2 x 3 s.t x 1 x 2 x 3 4 3x 6 1 2x 2 xj 0 j 1,2,3
c3由1变为-3时 x1 x2 x3 1 5 -3 1 0 0 1 2 -3
源自文库
x4 0 1 0
m in x 1 2x 2 x 3
4 14 -8
由于z3’-c3’=cBB-1P3- c3’ =z3-c3+(c3- c3’)=-3+(1+3)=1 x1 x2 x4 x3 x4 1 5 -3 1 3 -4 x2 1 0 0 1 -2 -1 x3 1 2 1 1 0 0 x4 0 1 0 0 1 0 4 14 -8 4 6 -12
' xN 0 ' 1 1 1 1 fm c B b ' c B b b c B b c B b in B B B B ' B 1 1 1 1
fmin cBB1 b
二、改变右端向量b 设b→b’,设改变前的最优基为B。
2. B1b' 0 。此 时 ， 原 来 的 最 优 基 对 于 新 问 题 来 说 ， 不 再 是 可 行 的 ， 但 由 于 所 有 的 判 别 数 0 ， 所 以 是 对 偶 可 行 的 ， 此 时 ， 只 要 把 原 问 题 最 优 表 的 右 端 列 B1b' 加 以 修 改 ， 代 之 以 就 可 用 对 偶 单 纯 性 法 求 解 1 ， cBB b' 新 问 题 。
1
x1 x2 -2 x4 -3 3
x2 1 0 0
x3 1 2 -3
x4 0 4 1 14 0 -8
无界！
一般的，当非基列Pj→Pj’， 若zj’-cj≤0，则原最优解也是新问题的最优解。 若zj’-cj >0，则把yj→yj’, zj-cj → zj’-cj 迭代。
2. 基列Pj→Pj’ 重新计算
zj cj cB yj cj c'j 若 j r,有 z'j c'j zj cj 0 cr 0 yj zj cj cr yrj ;
' ' ' zr cr zr cr 0 cr 0 yr cr cr
最优表为： x1 x2 1 x4 5 -3 x2 1 0 0 x3 1 2 -3 x4 0 4 1 14 0 -8
x1 x3 1 x4 3 0
x2 1 -2 3
x3 1 0 0
x4 0 1 0
4 6 4
x* 0, 4, 0,14 fmax 8
T
x1 x3 1 x4 3 0
x2 1 -2 3
第四节 灵敏度分析（优化后分析） 一、参数的可变性 (cj ,bi ,aij) 二、灵敏度分析的内容 1、参数的变化对原最优解有什么影响？原最优解是否 仍为最优解。 2、参数在什么范围变化时，原最优解保持不变？ 3、当原最优解已不再最优时，应如何利用原单纯形表， 以最简捷的方法求得新的最优解。 三、最优性分析
-1b c B B 0
L'
P
m 1 B
P
m 1 N
0
cBB-1N-cN
1 B 0 B 0 1 B' m1 , B' m1 1 1 1 P B P B B 1 1 b B b B 0 xB 1 x B' b' m1 1 b m 1 1 1 n1 m 1 P B B b P B B m1 b ' f ' cB B'1 b' cB 0 B'1 b' cBB1b
在原单纯形表中将zk-ck换成zk’-ck’, 然后在 原表中用单纯性法求新问题的解。
2、基变量xr的系数cr改变为c’r=cr+Δcr
1 z'j c'j c'B B1P c ' c c B P j j B B j c' j 1 ' cBB1P c c B P c c j j B j j j
x* 0, 4, 0,14 fmax 8
T
引入松弛变量x4，得最优表 x1 x2 x3 x4 x2 1 1 1 0 4 x4 5 0 2 1 14 -3 0 -3 0 -8 增加新约束： x 2 1 x 2 2x 3
x* 0, 0, 4, 6 fmin 12
T
问题：c3在什么范围变化时，最优解不变？
一般情况：
令 c cr cr 则 cBB P r c 1 cBB P cr r cr r c r
' r
' r 1
' r
若要保持最优性不变
则 0 r cr 0cr r
考虑检验数：zj-cj=cBB-1Pj-cj
若 j k,有
j为非基变量下标
z'j c'j cBB1P j cj zj cj 0
' ' ' ' zk ck cBB1P c z c c c k k k k k k ' ' 若 zk ck 0 ， 则 B 仍 为 最 优 基 ； ' ' 若 zk ck 0 ， 改 变 后 xk为 进 基 变 量 。
m in 2x x2 1 3 s.t x 1 2x 2 x 3 4x 1 4x2 8 x5 12 x4 16
xj 0 j 1,2,3,4,5
x1
x2 2 0 4 3
x3 1 0 0 0
x4 0 1 0 0
x5 0 0 1 0 8 16 12 0
最优表为： x1 x2 x1 1 x5 0 x2 0 0 0 0 1 0
x1 x1 1 x5 0 x2 0 0 x1 1 x3 0 x2 0 0
x2 0 0 1 0 0 0 1 0
x3
x4
x5
0 1/4 0 4 -4 -2 -2 1/2 1 4 1/2 -1/8 0 -3/2 -1/8 0 -20 0 1/4 0 4 1 -1/4 -1/2 2 3 0 0 1/4 -1/2 -3/4 0 -17