多面体与球的切接问题概要

1.（2013 期末理）四面体 ABCD 的四个顶点在同一个球面
上，AB=BC=CD=DA=3，AC= 2 3 ,BD= 6 则该球的表面积为 ()
A.14
B.15
C.16
D.18
变题：
2. (2010·济宁模拟)三棱锥 P-ABC 中，底面 ABC 是边长 为 2 的正三角形，PA⊥底面 ABC ，且 PA=2，则此三棱锥 外接球的表面积为___________
反馈训练2：
2. 某几何体的三视图如图所示，若该几何体各顶点都在一 球面上，则这个球的表面积为___________
2 11
反馈训练2：
3.已知三棱锥 P-ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3 的球面上， 若 PA,PB,PC 两两相互垂直,则球心到截面 ABC 的距离为 ______________
典例2（2013 长春一模）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧 棱垂直底面，已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱
9
柱的体积为 8 ，底面周长为 3，则这个球的体积为___________
反馈训练1：
1.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，一球切
于三棱柱的各侧面，一球过三棱柱的各顶点，则这两个球的 表面积之比为________ 2.（2013 太原一模）球 O 与底面边长为 3 的正三棱柱的各侧
接球球心。（如以上变式1） 法3、可以找两组线面垂直，垂足为三角形的外心，
两个垂线交点即为外接球球心
典例2：（2013 哈九中三模）已知矩形 ABCD 的面积为 8，
当矩形周长最小时，沿对角线 AC 把 ACD折起，则三棱锥
D-ABC 的外接球的表面积等于（ ）
A.4
B.8
C.16
D.24
变题：
法1.补成正方体
A B
A B
O
O
D
C 正四面体外接球的半径
D C
正方体外接球的半径
难点突破：如何求正四面体的外接球半径
法2.勾股定理法
P
P
O
A
C
A
M
D
B
•O MD
E
难点突破：如何求正四面体的外接球半径
法3.射影定理法
P
A
O
•
C l 2 h 2R
H
D
B
M
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 变题：
1. 正四棱锥 S—ABCD 的底面边长和各侧棱 长都为 2，点 S、A、B、C、D 都在同一 个球面上，则该球的体积为________．
面均相切，则球 O 的表面积为________
小结1
如何求直棱柱的外接球半径呢？ （1）先找外接球的球心： 它的球心是连接上下两个多边形的外心的 线段的中点； （2） 再构造直角三角形，勾股定理求 解。
二、棱锥与球
典例1：正四面体ABCD的棱长为a， 求其内切球半径r与外接球半径R.
难点突破：如何求正四面体的外接球半径
则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球 。
一、棱柱与球
典例1： 有三个球,一球切于正方体的各 面,一球切于正方体的各侧棱,一 球过正方体的各顶点,求这三个 球的体积之比.
D A
D1 A1
C
B O
中截面
C1
球的外切正方体的棱长等于球直径。 B1
D A
D1 A1
C
B
中截面
反馈训练2：
4.三棱锥 S-ABC 中，SAB SAC ,AB=AC,SA=SB=2，侧棱 AS 与底面 ABC 所成的角为 60 ，经过 S,A,B,C 四点的球的球心 在三棱锥内，求这个球的体积
【设计意图：巩固棱锥外接球半径的求法】
小结2
求棱锥外接球半径的方法： （1）补形法（适用特殊棱锥） （2）射影定理法（适用于侧棱相等即球心落
典例3：已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球
面上， SA 平面ABC, SA 2 3，AB 1，AC 2，BAC 60， 则球 O 的表面积为（ ）
A.4
B.12
C.16
D.64
变题：
1.（2013 郑州一模）已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点均在 半径为 1 的球面上，且满足 PA,PB,PC 两两垂直，当 PC • AB 取最大值时，三棱锥 O-PAB(O 为球心)的高为（ ）
O
.
C1
B1 正方形的对角线等于球的直径。
D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
对角面 A
A1
C 2R
O
C1
球的内接正方体的对角线等于球直径。
变题：
已知长方体 ABCD A1B1C1D1 的顶点都在半径为 9 的球 O 的球面上,那么长方体 ABCD A1B1C1D1 的表面积的最大 值等于_________。
在高线上的的棱锥） （3）勾股定理法 （通法）
关键是找球心，画出截面图，构造与R有关 的直角三角形。
法1.勾股定理法 法2.射影定理法
变题：
2.在三棱锥 P-ABC 中，PA=PB=PC= 3 侧棱 PA 与底面 ABC
所成的角为60 ，则该三棱锥外接球的体积为( )
A.2
B.
3
C .4
D. 4
3
找三棱锥的外接球的球心
（利用外接球球心到锥体各顶点距离相等的特性） 可选择以下思路 法1、观察法（适用于较简单的情况）（如以上例2） 法2、可以找两条对棱中垂线的交点，即为三棱锥外
A. 3 3
B. 2 2
C .2
D. 2 3
变题：
2. （2013 郑州质检）在三棱锥 A-BCD 中，AB=CD=6， AC=BD=AD=BC=5.则三棱锥的外接球的表面积为________
总结
求棱锥外接球半径常见的补形有： 正四面体常补成正方体； 三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体； 三组对棱分别相等的三棱锥可补成长方体； 侧棱垂直底面的棱锥可补成直棱柱
多面体与球的切接问题
基本知识回顾：
一、 球体的体积与表面积
①
V球
4
3
R3
② S球面4R2
二、球与多面体的接、切
定义外1：接若球一个球多心面体到的各各顶顶点点都在的一距个球离的相球面等上(，R)
则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球 。
定义内2：切若一球个球多面心体到的各各面面都与的一距个球离的相球面等相(切r)，