第四章 抽样分布

t分布的密度函数曲线的特点：
(1) t分布受自由度df的制约，每一个自 由度对应一条密度函数曲线；
（2）关于t 0对称；
（3）形状同标准正态曲线类似。与标准正态曲线相比， t分布曲线的顶部略低，两尾部稍高而平。df越小，这种 趋势越明显。n 时，t分布与标准正态分布完全一致。
(4) t分布的平均数和标准差为t 0, t df /(df 2)
s12 / 12 s / s 是一个随机变量，在研究它的分布前，一般先标准化 2 2 , s2 / 2
2 1 2 2
它服从自由度分别为n1 1和n2 1的分布，记为Fn1 1,n2 1
定理：
2 s1 / 12 ~ Fn1 1, n2 1 2 2 s2 / 2
F分布的取值范围是（0, ） .

卡方分布的单侧、双侧临界值

2
2 附表6给出了卡方分布的的上侧临界值 :
的下侧临界值，记为 ，只要查出 1 的上侧临界值即可。
2 1－

12－
2 的双侧临界值记为 / 2和12 / 2， －
按单侧临界值的求法求。
/2
12 / 2
2 / 2
y
(2) 该抽样分布的方差与母总体方差间存在如下关系：
2 y 2 n 相应地， y n
其中n为样本容量。抽样分布的标准差又称为
标准误，它可以度量抽样分布的变异。

假定用一个很小的总体 N=3，其观察值为2、
2 （n1 1 s12 (n2 1) s 2 ） (n1 1) (n2 1)
1 1 n n 2 1
~ t n1 n2 2
~ t 2n2
当n1 n2 n时，简化为
y 1 y 2 ( 1 2 ) s s n
2 1 2 2
解：（a）记男子的体重为Y
P (100 Y 165 ) P( 100 Y 165





)
100 172 165 172 P( U ) 29 29 P ( 2.48 U 0.24 ) 0.4052 0.0066 0.3986
1
df 1 2
, 其中( p )


0
y p 1e y dy,
t的取值范围是（ , ）；df n 1为自由度。
自由度（degree of freedom）

独立观测值的个数或者计算某一统计量时，取值不
受限制的变量的个数。

任何统计量的自由度都是n减去限制条件的个数。


3、以n为除数的样本方差 s 偏估计值。
2 不是σ2的无 0

4、s不是σ的无偏估计值。 再以样本容量n=4，n=8从上述总体中抽样，
并将抽出的全部样本列表

同样，可算得n=4时：

_
y
f y 324 4 f 81
_
2
_

y
8 f (y _ ) 2 54 2 3 y 81 3 4 n f
y1、y2、 、ym 等。

如果将抽样所得到的所有可能的样本平均数 集合起来便构成一个新的总体，平均数就成 为这个新总体的变量。

由于每次随机抽样所得的平均数可能会存在
差异，所以由平均数构成的新总体也应该有
其分布，由平均数构成的新总体的分布，称
为平均数的抽样分布。
新总体与母总体在特征参数上存在函数关系。以平均 数抽样分布为例，这种关系可表示为以下两个方面。 (1) 该抽样分布的平均数 y 与母总体平均数相等。

t分布的单侧、双侧临界值
求法与标准正态分布类似，只是多了个参数df：
附表4a给出了t分布的上侧临界值 t :
下侧临界值： t 双侧临界值：t (双侧)＝t / 2

t
例二，求df=15时，α =0.05的上侧临界值，下侧临界值和双 侧临界值。
解：查表4a得到，上侧临界值t0.05 1.753； 下侧临界值 t0.05 1.753; 双侧临界值t0.05 (双侧) t0.05 / 2 t0.025 2.131
查表
二、样本方差的分布
从方差为 2的正态总体中，随机抽取含量为n的样本，样本方差 s 2是一个随机变量，其数值随样本的不同而不同。
样本方差的分布：
2 先标准化样本方差得到一个无单位的纯数，记为 n 1，即
＝
2 n 1
(n 1) s 2

2
，
它服从自由度为n 1的 2 分布（读作：卡方分布）。
2 假定有两个正态总体，分别是N ( 1 , 12 )和N ( 2 , 2 )。从第一个
总体随机抽取容量为n1的样本，并独立地从第二个总体中抽取
2 容量为n2的样本。y1 , y 2 分别代表两个样本的平均数，s12 和s 2 分别
代表两个样本的标准差。
定理：y1 y 2是一个随机变量，它的分布是一个正态分布，即
卡方分布的密度函数曲线为： f (y ) K (y )
2 2 df / 2 1
e
y2 / 2
, y 2 0。

卡方分布的密度函数曲线的特点：
(1) 2分布受自由度的约束， 每一个自由度对应一条密度曲线；
（2）不对称。但随着自由度的增大， 曲线由偏斜渐趋于对称；
（3）df 30时，卡方分布密度曲线的形状 非常接近于正态分布曲线。
6
6
总 和
6
6
12
72
6
36
0
12
0
24
0.0000
11.3136

从表中我们可以算出样本平均数 y 的平均数：

_
y
Nn
_
y
36 4 9

以自由度为除数的样本方差的平均数：
s
2
s2 Nn

24 8 2 9 3

以样本容量为除数的样本方差的平均数：
s
2 0
2 s0
2
n
)
因此，在已知的情况下，y的概率分布是N ( ,
2
n
)。
y 换句话说，标准化后， U 服从标准正态分布。 / n
例一，假设男子的体重服从正态分布，其平均值＝172 磅，标准差
＝29磅。
（a）如果随机选择一名男子，求该男子体重在 磅到165磅之间的概率； 100 （b）如果81名男子被随机抽取组成样本，求样本平均值在 磅到165磅 100 之间的概率。
y 1 y 2 ~ N ( 1 2 ,
将y1 y 2 标准化：
12
n1

2 2
n2
)
y 1 y 2 ( 1 2 )

2 1
n1


2 2
~ N (0,1)
n2
2.总体标准差 σi未知但相等时，两个样本平 均数的和与差的分布
1和 2未知时，考虑以样本标准差s1和s2代替：
2 总体标准差σ未知时的平均数的分布
当已知时，y ~ N ( , 2 / n), 即 y
/ n
~ N (0,1)。
如果未知，以样本标准差s替代，得到新的统计量 y s/ n 记为t。
t y s/ n
f (t )
,
不再服从正态分布，而是服从t分布 ，它的密度函数为
[( df 1) / 2] (1 t 2 / df ) ( df / 2) df
注意：总体标准差 σi未知且不相等时，两 但自由度的计算较为复杂。具体请参考
有关统计学书籍。
个样本平均数的和与差的分布仍为t分布，
3. 两个样本方差比的分布－F分布
2 从N ( 1 , 12 )和N ( 2 , 2 )两个正态总体中，抽出含量为n1和n2的样本， 2 分别求它们的方差s12和s2。

F分布的密度函数曲线的特点：
体，那么可以得到
无限多个随机样本。
随机样本1 2 3
……
无穷个样本
图4.1 总体和样本的关系示意图

如果从容量为N的有限总体抽样，若每次抽取容量
为n的样本，那么一共可以得到Nn 个样本(所有可
能的样本个数)。

抽样所得到的每一个样本可以计算一个平均数， 全部可能的样本都被抽取后可以得到许多平均数， 如
2
_

当n=8时：

_
y
f y f

_ 2
_
26244 4 6561
2
_
y
8 f (y _ ) 2187 1 3 2 y 6561 3 8 n f
抽样误差的概念： 抽样误差的度量：
y
2 y
2
n


n
y 称为标准误（standarderror， ）。 SE
4、6以样本容量n=2从中进行抽样。

首先计算出总体参数：μ=(2+4+6)/3=4
σ2=〔(2-4)2+(4-4)2+(6-4)2〕/3=8/3

所有可能的样本数=Nn=32=9
总体N=3，样本容量n=2时所有样本的总和数、平均数和方差表
第一个 观察值 2 第二个 观察值 2 2 样本 2 ∑(y) 4
y的概率分布
定理： （该定理也称中心极限定理）
（ ）如果原总体是正态总体N ( , 2 )，那么样本平均数y的概率 1 分布也是正态分布，且有 y , y y ~ N ( ,

n
，即
2
n
)
（2）如果原总体服从平均数是，方差是 2的分布（不必是 正态分布），则样本平均数y的概率分布在样本容量n相当大 时（n 30）非常逼近正态分布，即有 y ~ N ( ,
第四章 抽样分布

第一节 从一个正态总体中抽取的样本统计量的分布
第二节 从两个正态总体中抽取的样本统计量的分布

一、样本平均数的分布
1 总体标准差σ已知时的平均数的分布 2 总体标准差σ未知时的平均数的分布

二、样本方差的分布

1、总体标准差σ已知时的平均数分布
总体
如图4.1从一个 总体进行随机抽样 可以得到许多样本， 如果总体是无限总

2 0.975
查表
6.262
第二节 从两个正态总体中抽取的样 本统计量的分布
1. 总体标准差 σi已知时，两个样本平均数的和与差的分布 2. 总体标准差 σi未知但相等时，两个样本平均数的和与差 的分布
3. 两个样本方差比的分布－F分布
1.总体标准差 σi已知时，两个样本平均数的和 与差的分布
/2
例三，求卡方分布在df 15， 0.05时的上侧临界值、来自百度文库下侧临界值和双侧临界值。
查表
解：上侧临界值
2 0.05
24.996；
下侧临界值：
2 10.05

2 0.95
查表
7.261；
双侧临界值：

2 0.05 / 2

2 0.025
查表
27.488,
2 1 0.05 / 2
（b）记81名男子的平均体重为y, 根据y的概率分布得
y 172 ,
y

n

29 81
3 .2
y ~ N (172 , 3.2 2 )
P (100 y 165 ) P( 100 y
y

y y
y

165 y
y
)
100 172 165 172 P( U ) 3 .2 3 .2 P ( 22 .5 U 2.19 ) 0.0143 0.00001 0.0143
y1 y 2 ( 1 2 )
2 2 1 2 2
y1 y 2 ( 1 2 ) 1 1 n1 n2
2
12
n1

2 2
n2
定理：

2 2 以s1 和s2的加权平均 替代未知的 2
y1 y 2 ( 1 2 )
Nn
12 4 2 9 3

样本标准差s的平均数：
s 11.3136 1.257 s n 9 N
在统计上，如果所有可能样本的某一统计数等于
总体的相应参数，则称该统计数为总体相应参数
的无偏估计值(unbiased estimate)
_
1、y 是μ的无偏估计值。
2、s2是σ2的无偏估计值。
_
y
2
s s
22 00
2 s0s2
s 0.0000
0
0
2
2 4 4 4 6 6
4
6 2 4 6 2 4
2
2 4 4 4 6 6
4
6 2 4 6 2 4
6
8 6 8 10 8 10
3
4 3 4 5 4 5
1
4 1 0 1 4 1
2
8 2 0 2 8 2
1.4142
2.8284 1.4142 0.0000 1.4142 2.8284 1.4142