定弦定角

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线段最值系列之（一）——定弦定角，定最值

线段最值系列之（一）——定弦定角，定最值一条线段的两个端点和该线段外一动点构成的角（动点是角的顶点），不随点的运动而变化，即该动角的度数恒定不变，称为“定弦定角”问题。

该线段称“定弦”，该运动的定值角称“定角”。

先复习两个基础知识点知识点1、如下图，（1）以AB为直径的⊙O上有一动点，则∠APB恒为90°，反之，当∠APB=90°时，点P一定在以AB为直径的圆上。

（2）如下图，在⊙O外有一点C，则点C到⊙O上点的最小距离和最大距离的确定：过点C与圆心O的线与圆的两个交点，如图，即CP长为最小值，CE长为最大值。

知识点2、如下图，（1）在⊙O中，弦CD一定时，则该弦所对劣弧（或优弧）上的圆周角∠CTD就一定；反之，当∠CTD为一定值时，点T一定在以CD为弦的圆上。

（2）如下图，在⊙O外有一点A，射线AO与圆的交点分别为点T和点E，则点A到圆的最小距离是AT的长，最大距离是AE的长。

下面，以两道典型例题来说明定弦定角在解一类线段最值题目中的应用。

例1：如图，在Rt△ABC ,∠ABC=90° ，AB=4, BC=6 ,P是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC , 则线段CP的长度的最小值是 .(您的点赞，就是给予作者一份信心，别忘了，给作者一个鼓励，点个赞哦！)下面还有，继续……变式练习：如图，在Rt△ABC ,∠ABC=90° ，AB=4,BC=6, P是△ABC所在平面上的一个动点，且满足∠APB=90° , 则线段CP长度的取值范围是 .例2：如图，已知点E , F为等边△ABC边AB 、AC上的两动点，且AF=BE ,:连接CE , BF交于点T, 若等边△ABC的边长为6 ，则AT的长度的最小值是 .。

定弦定角口诀

定弦定角口诀定弦定角口诀是一种用于解决三角形问题的方法，它可以帮助我们在不知道三角形内部角度和边长的情况下，通过已知的一些条件来推导出其他未知条件。

下面我将详细介绍定弦定角口诀的原理和应用。

定弦定角口诀的原理是基于正弦定理和余弦定理。

正弦定理指出，在任意三角形 ABC 中，有以下公式成立：a/sinA = b/sinB = c/sinC。

其中，a、b、c 分别表示三角形 ABC 中各边的长度，A、B、C 分别表示对应的内部夹角。

余弦定理则是指，在任意三角形 ABC 中，有以下公式成立：a²=b²+c²-2bc*cosA；b²=a²+c²-2ac*cosB；c²=a²+b²-2ab*cosC。

根据这两个公式，我们可以得到以下推论：如果我们已知三角形 ABC 中两条边 a 和 b 的长度以及它们之间夹角 A 的大小，那么我们就可以通过余弦定理求出第三条边 c 的长度，并且通过正弦定理求出另外两个内部夹角 B 和 C 的大小。

具体来说，假设我们已知三角形 ABC 中两条边 a 和 b 的长度分别为 3 和 4，它们之间的夹角 A 的大小为 60 度。

那么我们可以通过余弦定理求出第三条边 c 的长度：c²=3²+4²-2×3×4×cos60=7，因此 c 的长度为√7。

接着，我们可以通过正弦定理求出另外两个内部夹角 B 和C 的大小：sinB=sin(180-60-θ)=sin(θ-120)，其中θ 表示角 BAC 的大小，因此B=arcsin(√3/2×√7/2)=arcsin(√21/4)≈58.1 度；同理，C=arcsin(√3/2×√7/2)=arcsin(√21/4)≈58.1 度。

在实际应用中，定弦定角口诀可以帮助我们解决各种三角形问题。

中考数学几何模型重点突破讲练专题28 圆中的定弦定角和最大张角模型(学生版)

为2．
（1）求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦 CD 的长；
（2）已知点 E 是“蛋圆”上的一点（不与点在“蛋
圆”上，求点 E 坐标；
（3）点 P 是“蛋圆”外一点，满足 BPC 60 ，当 BP 最大时，直接写出点 P 的坐标．
【例 2】数学概念
若点 P 在 ABC 的内部，且 APB 、BPC 和 CPA 中有两个角相等，则称 P 是 ABC 的“等角点”，特别地，
若这三个角都相等，则称 P 是 ABC 的“强等角点”.
理解概念
（1）若点 P 是 ABC 的等角点，且 APB 100 ，则 BPC 的度数是
H ，连接 BH ，点 C 在移动的过程中， BH 的最小值是______．
6．如图，已知 C 、 D 在以 AB 为直径的 O 上，若 CAB 30 ，则 D 的度数是_________．
7．如图，直线 l 与⊙O 相交于点 B、D，点 A、C 是直线 l 两侧的圆弧上的动点，若⊙O 的半径为 1，∠A＝
o
.
（2）已知点 D 在 ABC 的外部，且与点 A 在 BC 的异侧，并满足 BDC BAC 180 ，作 BCD 的外接圆
O ，连接 AD ，交圆 O 于点 P .当 BCD 的边满足下面的条件时，求证： P 是 ABC 的等角点.（要求：只选
择其中一道题进行证明！
）
①如图①， DB DC
④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；
⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有
.
（填序号）
一、单选题
1．如图，C，D 是 O 上直径 AB 两侧的两点，若 ABC 20 ，则 ∠BDC 的度数是（

定弦定角解题技巧

定弦定角解题技巧定弦定角问题在数学中是一个常见的问题类型，它涉及到在给定条件下找出满足特定条件的弦和角。

这类问题通常需要运用几何和代数知识来解决。

解决定弦定角问题的基本步骤如下：1. 理解问题：首先，要明确题目给出的条件和要求，理解弦和角之间的关系。

2. 作图：根据题目的描述，画出相应的几何图形。

作图要准确，标出必要的角度和长度。

3. 应用定理：根据题目要求，选择适当的定理或公式来解决问题。

可能用到的定理包括弦长公式、角度和差公式、余弦定理等。

4. 计算：进行必要的代数运算，求解方程或不等式。

5. 验证答案：最后，要验证所得答案是否符合题目的条件和要求，确保解题过程无误。

下面是一个具体的例子：题目：在$\bigtriangleup ABC$中，$AB = 2, AC = 4, \angle BAC =120^{\circ}$，点D是边BC上的一个动点，求$\frac{S_{\bigtriangleup ABD}}{S_{\bigtriangleup ACD}$的最大值。

解法：1. 作图：在$\bigtriangleup ABC$中，作$AD$垂直于$BC$于点D。

2. 应用定理：由于$\angle BAC = 120^{\circ}$，根据余弦定理有$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(120^{\circ})$。

解得$BC = 2\sqrt{7}$。

3. 计算面积比：由于$\frac{S_{\bigtriangleup ABD}}{S_{\bigtriangleup ACD}} = \frac{1}{2} \times AB \times AD \times \sin(B) / (1/2 \times AC \times AD \times \sin(C))$，化简得$\frac{S_{\bigtriangleup ABD}}{S_{\bigtriangleup ACD}} = \frac{AB}{AC} \times \frac{\sinB}{\sin C} = \frac{1}{2} \times \frac{\sin B}{\sin C}$。

定弦定角专题

定弦定角最值问题类型一、定弦定角【基本原理】如图1\⊙O中，A、B为定点，则AB为定弦，点C为优弧上任一点，在C点运动过程中则∠ACB 的度数不变⇒逆运用⇒如图2、点A、B为定点，点C为线段AB外一点，且∠ACB=θ（θ为固定值）⇒点C在以AB为弦的圆上运动（不与A、B重合）图1 图2例、如图，AB为定长，点C为线段AB外一点，且满足∠ACB=60度，请在图中画出点C的运动轨迹，简要说明作图步骤步骤1、___________________________________________________步骤2、___________________________________________________练习、1、如图，AB为定长，点C为线段AB外一点，且满足∠ACB=90度，请在图中画出点C的运动轨迹.2、如图，AB为定长，点C为线段AB外一点，且满足∠ACB=120度，请在图中画出点C的运动轨迹,3、思考：AB为定长，点C为线段AB外一点，且满足∠ACB=30°，45°，60°，90°，120°，135°，150°，时如何画出点C的运动轨迹。

【实战应用】一、90°应用例1、如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（） A ．213- B ．213+C ．5D ．9162、如图，已知在RT △ABC 中,∠ACB=90°，AC=2，BC=5，点D 是BC 边上的动点，连结AD ，以CD 为直径的圆交AD 于点E ，则BE 的最小值为。

3、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°．P 是BC 边上一动点，以PC 为直径作⊙O ，连结AP 交⊙O 于点Q ，连结BQ ，点P 从点B 出发，沿BC 方向运动，当点P 到达点C 时，点P 停止运动．在整个运动过程中，线段BQ 的大小变化情况是（） A. 一直增大 B. 一直减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大4、如图，在Rt ⊿ABC 中，∠BAC=90º，AB=AC ，BC=42，点D 是AC 边上一动点，连接BD ，以AD 为直径的圆交BD 于E ，连接CE ，则线段CE 长的最小值为 .例5、如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________6、如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________7、如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ．连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是__________第2题图第3题图第6题图第5题图第4题图第7题图8、如图，△ABC 是边长为2的等边三角形，D 是边BC 上的动点，BE ⊥AD 于E ，则CE 的最小值为___________9、如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC ，则线段CP 长的最小值为_________二、60°、30°应用例1、如图，边长为3的等边△ABC ，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，且BD ＝CE ，AD 、BE 交于P 点，则CP 的最小值为_________2、如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（） A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+3、如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（）A ．21B ．22C ．23D ．434、如图，在⊙O 中，弦AD 等于半径，B 为优弧AD 上的一动点，等腰△ABC 的底边BC 所在直线经过点D ，若⊙O 的半径为1，则OC 的长不可能为（） A. 2－3 B.3－1 C.2 D. 3＋1第9题图第8题图第2题图第1题图第3题图三、45°应用例1、如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．2D ．2441-2、如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．2D ．324-3、如图，已知以BC 为直径的⊙O ，A 为BC 中点，P 为AC 上任意一点，AD ⊥AP 交BP 于D ，连CD ．若BC ＝8，则CD 的最小值为___________4、如图,边长为2的正方形ABCD 中,F 为CD 上一动点,E 为AF 上一点,且BE=BA, ∠CBE 的角平分线交AF 的延长线于点G ,则G 到CD 距离的最大值为 .5、如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有22DE =AB ，则点C 到AB 的距离的最大值是_________ .AC例1、如图，∠XOY = 45°，一把直角三角尺ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，其中AB = 10，那么点O到顶点A的距离最大值为_______点O到AB的距离的最大值为______【分析】：题意中AB为定长线段在角的两边滑动，O为定点，滑动中C为动点，AB两点位置发生变化，点O到AB距离的最大值的确定有难度，若改变思路，借助物理中运动的相对性可知，若将△ABC固定，将∠XOY的两边绕AB滑动，与原题中运动效果等价，题目中数量关系不会发生改变。

定弦定角定理证明

定弦定角定理证明哎呀，定弦定角定理啊，这个数学玩意儿听起来就挺让人头疼的，对吧？不过别担心，咱们今天就用大白话聊聊这事儿，不整那些高深莫测的，就说说这定理怎么证明的，还有我自己的一点小体验。

首先，这定理是说，如果你有一个圆，然后从圆上任意一点引一条弦，再从这点引一条切线，那么这条切线和这条弦的夹角，是固定的，不会变的。

听起来是不是有点绕？别急，我慢慢跟你说。

记得我上高中那会儿，数学老师在黑板上画了一个圆，然后随手一画，就画出了这么一条弦和一条切线。

我当时就心想，这有啥了不起的，不就是两条线嘛。

然后老师就开始讲这个定理，说这个角度是固定的。

我当时就懵了，心想这怎么可能呢？角度还能固定？老师看我一脸疑惑，就让我上去试试。

我上去随便画了一条弦，然后又画了一条切线。

嘿，你别说，这角度还真的没变。

我当时就震惊了，这玩意儿怎么这么神奇？后来，老师就给我们讲了证明过程。

他说，你看，这个圆心到弦的垂线，会平分弦，对吧？然后，这个垂线和切线是垂直的，这也是个基本的几何知识。

所以，你只要证明这个垂线和弦的夹角，等于弦和切线的夹角，就行了。

我当时就想，这怎么证明啊？老师就说，你看，这个垂线和弦的夹角，其实就是圆心角的一半，对吧？因为垂线平分弦嘛。

然后，这个圆心角，又等于弧所对的圆周角，这也是个基本的几何知识。

所以，这个圆周角，也就是弦和切线的夹角，不就固定了吗？我当时就觉得，哇，这数学真是太神奇了，就这么几条线，几个角，就能证明出这么个定理来。

而且，这个定理在实际生活中也有用，比如在测量的时候，就可以用这个定理来确定角度。

所以，你看，这个定弦定角定理，虽然听起来挺复杂的，但其实只要你理解了它的证明过程，就会发现它其实挺简单的。

而且，这个定理也告诉我们，有时候，看似复杂的东西，其实背后都有简单的规律。

好了，说了这么多，咱们今天就聊到这儿吧。

下次再有什么数学问题，咱们再一起聊聊。

别忘了，数学其实也挺有趣的，只要你用心去发现。

定弦定角初中数学教案

定弦定角初中数学教案1. 理解定弦定角的概念，掌握定弦定角的基本性质和运用。

2. 学会运用定弦定角解决实际问题，提高解决问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生对几何图形的观察和分析能力。

二、教学内容1. 定弦定角的定义和性质2. 定弦定角在实际问题中的应用3. 定弦定角的证明和推导三、教学过程1. 导入：通过复习相关基础知识，如圆的性质、圆周角定理等，为学生学习定弦定角奠定基础。

2. 新课讲解：（1）介绍定弦定角的定义：一条线段的两个端点和该线段外一动点构成的角（动点是动角的顶点），不随点的运动而变化，即该动角的度数恒定不变，称为定弦定角。

（2）讲解定弦定角的基本性质：定弦定角的度数恒定不变，与动点的位置无关。

（3）演示定弦定角的运用：通过实例讲解定弦定角在解决实际问题中的应用，如求最短距离和最长距离等。

3. 练习与讨论：（1）让学生独立完成一些定弦定角的练习题，巩固所学知识。

（2）分组讨论，让学生相互交流解题方法，培养学生的合作意识。

4. 拓展与应用：（1）引导学生运用定弦定角解决实际问题，提高学生解决问题的能力。

（2）引导学生思考定弦定角在其他几何问题中的应用，拓宽学生的知识视野。

5. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，强调定弦定角的定义、性质和应用，鼓励学生在日常生活中发现和运用定弦定角。

四、教学评价1. 课堂讲解：关注学生的学习状态，观察学生对定弦定角的掌握程度。

2. 练习题：通过学生的练习成果，评估学生对定弦定角的运用能力。

3. 课后反馈：收集学生对定弦定角的学习意见和建议，为下一步教学提供参考。

五、教学资源1. 教材：初中数学教材，相关章节。

2. 课件：定弦定角的教学课件。

3. 练习题：定弦定角的相关练习题。

4. 几何画板：用于展示几何图形和动态变化。

六、教学建议1. 注重基础知识的学习，为学生学习定弦定角奠定基础。

2. 加强课堂互动，引导学生积极参与讨论，提高学生的学习兴趣。

1_定弦定角

一、模型引入（特殊情况）符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹。

虽然初中数学中没有系统学习轨迹知识，但我们在学习圆的知识过程中，常碰到这样一个基本图形：即已知AB为定线段，C为动点，且∠ACB=90°，根据“直径所对的圆周角为直角”，我们能推出：动点C的运动轨迹为以AB为直径的圆上的任意一点（除点A和点B）。

如下图示：（图1）二、模型拓展（一般情况）若AB为一定线段，点C为动点，且∠ACB大小为一固定值，则A、B、C三点是否一定共圆？或称为点C一定在以AB为弦的某一个圆上，且这个圆是固定的，圆心在线段AB的垂直平分线上？（图2）（图3）三、定弦定角模型之”前世今生”（模型证明）同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆。

线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。

称其为定弦定角问题。

（图4）（图5）四、定弦定角模型总结（1）定弦定角问题的三个条件：①平面内有定线段BC；②BC 所对的角是定角；③定角的顶点A 时动点。

（2）辅助线做法做△ABC 的外接圆并作其关于BC 的对称圆。

（如图6）（图6）（3）弦长计算（4）弧长计算（0（五、模型应用及解题步骤：（1）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧摩天轮最值面积最值周长最值线段最值角度最值尺规作图模型应用（2）解题步骤：a、寻找不变张角（一般找出张角补角，这个补角一般为特殊角）；b、找张角所对的定弦；（可以确定轨迹圆）c、确定半径和圆心；d、求得圆心到所求线段定点的距离；e、计算最值。

六、例题展示例1、（尺规作图）如图，已知线段AB.（1）请在图1中画出使得︒=∠90APB 的所有点P；（2）请在图1中画出使得︒=∠60APB 的所有点P；（3）请在图1中画出使得︒=∠45APB 的所有点P；已知△ABC 外接圆圆o 半径为r ，∠A 为定角，BC 为定线段。

中考补充专题19.定弦定角

专题19.定弦定角一．知识点:1.利用定弦定角构造辅助圆：已知定弦定角，可以构造辅助圆解决几何最值。

结论1：如图所示，在△ABP中，A,B均为定点，点P为平面内一动点，且∠APB=a为定值，则点p 在弦AB所对的圆弧上运动。

结论2：如图所示，在△ABP中，A,B均为定点，点P为平面内一动点，且∠APB=90°，则点p在以AB为直径的圆上运动。

结论3：如图所示，在△ABP中，A,B均为定点，点P为平面内一动点，且∠APB=a°，0°<a<90°,则点p在以AB为弦，圆心和点P在AB同侧，2a°为圆心角的圆上运动。

结论4：如图所示，在△ABP中，A,B均为定点，点P为平面内一动点，且∠APB=a°，90°<a<180°,则点p在以AB为弦，，圆心和点P在两侧，360°-2a为圆心角的圆上运动。

特殊情况：1.如图所示，在△ABP中，A,B均为定点，点P为平面内一动点，且∠APB=30°（或∠APB=150°），则点p在以AB为边构造的等边△ABC的顶点C为圆心的圆上运动。

2.如图所示，在△ABP中，A,B均为定点，点P为平面内一动点，且∠APB=45°（或∠APB=135°），则点p在以AB为底，以22AB为腰构造的等腰直角△ABC的顶点C为圆心的圆上运动。

3.如图所示，在△ABP中，A,B均为定点，点P为平面内一动点，且∠APB=60°（或∠APB=120°），则点p在以AB为底，3为腰构造的等腰直角△ABC的顶点C为圆心的圆上运动。

二．典型例题1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE 的最小值为（）A ．B．2﹣2B．C．2﹣2D．42．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），B（3，0），C（3，4），点P为任意一点，已知PA⊥PB，则线段PC的最大值为（）A．3 B．5C．8 D．103．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝10，BC＝12，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB ＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A．7B．8C ．D ．【自我修炼- -绝世武功】4．如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠ACB＝30°，D是△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，⊙O交直线BD于点P，交边BC于点E ，若＝，则AD的最小值为（）A．1B．2C．2﹣6D ．﹣3【分析】根据＝得∠ACB＝∠CDP．再由∠ACB＝30°可得到∠BDC＝150°，于是点D在以BC为弦，∠BDC＝150°的圆弧上运动，再由∠BMC＝60°可证明∠ACM＝90°，从而算出AM＝2，再由当A、D、M三点共线时，AD 最小，求出此时AD的长即可．【解答】解：∵＝，∴∠ACB＝∠CDP．∵∠ACB＝30°，∴∠CDP＝30°，∴∠BDC＝180°﹣30°＝150°，∴点D在以BC为弦，∠BDC＝150°的圆弧上运动，如图，设D点运动的圆弧圆心为M，取优弧BC 上一点N，连接MB，MC，NB，NC，AM，MD，则∠BNC＝180°﹣∠BDC＝30°，∴∠BMC＝60°，∵BM＝CM，∴△BMC为等边三角形，∴∠MCB＝60°，MC＝BC＝6，∵∠ACB＝30°，∴∠ACM＝90°，∴AM ＝＝＝2，∴当A、D、M三点共线时，AD最小，此时，AD＝AM﹣MD＝2﹣6．故选：C．【点评】此题主要考查了圆周角定理、等边三角形的性质、勾股定理、三角形三边关系，解决此题的关键是证明出∠BDC＝150°，分析出D在以BC为弦，∠BDC＝150°的圆弧上运动．三．变式练习1.如图，四边形ABCD是正方形，点E,F分别是边AD,CD上的动点，且AE=DF,AF和BE相交于点H，若正方形的边长为4，那么HD的最小值是_____________________.2．在直角坐标系xOy中，点O（0，0），动点A（t，t）在第一象限，动点B（0，m）在y轴上．当AB＝4时，△OAB面积的最大值为（）A．8B ．C ．D ．3．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，D 点是△ABC所在平面上的一个动点，且∠BDC ＝60°，则△DBC面积的最大值是（）A．3B．3C ．D．24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，P为△ABC内一个动点，∠PAB＝∠PBC，则CP 的最小值为．5.在△ABC中，若AB=6，∠ACB=45°，则△ABC的面积的最大值为__________.6．如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB 边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为．。

定弦定角原理证明

定弦定角原理证明
嘿，朋友们！今天咱们要来聊聊超有趣的定弦定角原理啦！
你们想想看，一根弦被固定在两点之间，那角度是不是就被限定住啦？比如说，就像你的滑板被放在特定的位置，你只能在那个范围内活动一样。

定弦定角原理说的就是这么回事！
咱来具体说说哈，当一个动点在一个定圆上运动，而这个动点与圆上某个固定点的连线所形成的角度是一定的，嘿嘿，这不就很神奇嘛！这就好像你每天上学都走同一条路，路线基本是固定的。

那怎么证明呢？我们可以通过一些巧妙的方法呀！比如说，我们可以通过圆心角和圆周角的关系来证明呀！就像在玩拼图游戏，找到关键的那块，整个画面就清晰啦！比如在一个圆里，有个动点总是和圆心形成一个固定的角度，那我们不就能确定它的运动轨迹了嘛，是不是超级酷呀！
哇塞，你们不觉得这个原理超有意思吗？简直让人惊叹不已呀！大家赶紧自己去感受感受吧，相信你们一定会被它深深吸引的！。

定弦定角

定弦定角整理解题技巧：构造隐圆圆形中一般求一个定点到一动点线段长度的最小值问题的时候一般涉及定弦定角问题。

定弦定角解决问题的步骤：（1）让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹为一段弧（2）找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角），（这个补角一般为60︒、45︒）（3）找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆，确定圆心位置（4）计算隐形圆的半径（5）圆心与所求线段上定点的距离可以求出来（6）最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径例题讲解：例1、（2016深圳二模）如图，在等腰Rt ABC ∆中，90BAC ︒∠=，AB ﹦AC ，42BC =，点D 是AC 边上一动点，连接BD ，以AD 为直径的圆交BD 于点E ，则线段CE 长度的最小值为．例2、（2014洪山区一模）如图，⊙O 的半径为1，弦AB ﹦1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积为．例3、（2013呼和浩特）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA﹦45°，点C的坐标为．例4、（2016黄冈二模）如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，当D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最大值为．巩固练习：1、在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =10，BC =12，点D 为线段BC 上一动点．以CD 为⊙O 直径，作AD 交⊙O 于点E ，连BE ，则BE 的最小值为．2、直线4y x =+分别与x 轴、y 轴相交于点M ，N ，边长为2的正方形OABC 一个顶点O 在坐标系的原点，直线AN 与MC 相交于点P ，若正方形绕着点O 旋转一周，则点P 到点（0，2）长度的最小值是．3、如图，半径为2cm ，圆心角为90°的扇形OAB 的AB 上有一运动的点P ．从点P 向半径OA 引垂线PH 交OA 于点H ．设△OPH 的内心为I ，当点P 在AB 上从点A 运动到点B 时，内心I 所经过的路径长为．4、如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE =DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是．5、如图，以G （0，1）为圆心，半径为2的圆与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，点E 为⊙G 上一动点，CF ⊥AE 于F ．若点E 从在圆周上运动一周，则点F 所经过的路径长为．6、如图，以扇形OAB 的顶点O 为原点，半径OB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，点B 的坐标为（2，0），若抛物线212y x k =+与扇形OAB 的边界总有两个公共点，则实数k 的取值范围是．7、在直角坐标系中，点A 是抛物线2y x =在第二象限上的点，连接OA ，过点O 作OB ⊥OA ，交抛物线于点B ，以OA 、OB 为边构造矩形AOBC ．如图，当点A 的横坐标为12-时，则点B 的坐标为．8、如图，射线OC 的解析式33y x =（x ≥0），在射线OC 上取一点A ，过点A 作AH ⊥x 轴于点H ．设抛物线2y x =（x ＞0）与射线OC 的交点为P ，在y 轴上取点Q ，使得以P ，O ，Q 为顶点的三角形与△AOH 相似，则符合条件的点Q 的坐标是．9、如图，正方形OABC 的边长为2，以O 为圆心，EF 为直径的半圆经过点A ，连接AE ，CF 相交于点P ，将正方形OABC 从OA 与OF 重合的位置开始，绕着点O 逆时针旋转90°，交点P 运动的路径长是．10、如图，已知抛物线212y x mx n =++与x 轴相交于点A 、B 两点，过点B 的直线y x b =-+交抛物线于另一点C （﹣5，6），点D 是线段BC 上的一个动点（点D 与点B 、C 不重合），作DE ∥AC ，交该抛物线于点E ．（1）求m ，n ，b 的值；（2）求tan ∠ACB ；（3）探究在点D 运动过程中，是否存在∠DEA ﹦45°？若存在，则求此时线段AE 的长；若不存在，请说明理由．11、如图①，直线l 1、l 2相交于点O ，长为2的线段AB 在直线l 2上，点P 是直线l 1上一点，且∠APB ﹦30°．（1）请在图①中作出符合条件的点P （不写画法，保留作图痕迹）；（2）若直线l 1、l 2的夹角为60°，线段AB 在直线l 2上左右移动．①当OA 的长为多少时，符合条件的点P 有且只有一个？请说明理由； ②是否存在符合条件的点P 有三个的情况？若存在，求出OA 的长；若不存在，请说明理由．12、（2014陕西）问题探究：（1）如图①，在矩形ABCD中，AB﹦3，BC﹦4．如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个．．等腰△APD，并求出此时BP的长；（2）如图②，在△ABC中，∠ABC﹦60°，BC﹦12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点．当AD﹦6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF﹦90°，求此时BQ的长；问题解决：（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安监控装置，用来监视边AB.现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳.已知∠A﹦∠E﹦∠D﹦90°，AB﹦270m，AE﹦400m，ED﹦285m，CD﹦340m．问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB﹦60°？若存在，请求出符合条件的DM的长；若不存在，请说明理由．图①图②图③13、（2016福建三明）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90︒，点P为射线BD，CE的交点．（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，①当∠EAC=90︒时，求PB的长；②直接写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值．。

5-14-1-定弦定角周长最大值的原理

定弦定角周长最大值的原理1. 你知道定弦定角周长最大值的原理吗？就好比放风筝，线的长度固定，风的方向一定，那风筝能飞多远不就是有个极限嘛！比如在一个三角形里，定了一条边和它所对的角，那周长什么时候最大呢？2. 哎呀呀，定弦定角周长最大值的原理很神奇的哟！就像跑步比赛，跑道固定，速度一定，那怎么跑才能在固定条件下跑出最长距离呢？像给定一个扇形，弧所对的弦和角确定了，那周长啥时候最大呀？3. 嘿，定弦定角周长最大值的原理不难理解呀！好比搭积木，有特定的积木块和搭建规则，那怎么搭能让整个结构最稳固且周长最大呢？比如一个圆形场地里，有一条固定的弦和对应的角，那整个场地的周长要怎么达到最大呢？4. 哇塞，定弦定角周长最大值的原理超有意思的呢！像走迷宫一样，有固定的路线和出口，那怎么找到最长的路径出去呢？比如在一个特定图形里，弦和角定了，那周长的最大值在哪呢？5. 定弦定角周长最大值的原理，你还没搞懂吗？这就如同划船，船的大小固定，水流方向固定，那怎么划能划出最远的距离呢？就像一个四边形，给定一边和它所对的角，那周长何时能最大呀？6. 嘿嘿，定弦定角周长最大值的原理真的很值得探究呢！好比骑自行车，路就那么长，速度有限制，那怎么骑能骑出最长的路程呢？例如给定一个五边形中的一条弦和角，那周长怎么达到最大值？7. 哇哦，定弦定角周长最大值的原理其实不难嘛！就像投篮，篮筐位置固定，你要怎么投才能投进最多呢？比如在一个几何图形中，定了弦和角，那周长最大的情况是怎样的呢？8. 定弦定角周长最大值的原理，是不是很神奇呀？这就好像拼图，有固定的板块和形状，那怎么拼能拼出最大的图形呢？像是在一个特定形状里，弦和角确定了，那周长的最大值怎么找呢？9. 嘿呀，定弦定角周长最大值的原理可别小瞧哦！好比解谜题，有特定的线索和规则，那怎么解能找到最终答案呢？例如给定一个六边形的一条边和对应的角，那周长最大能到多少呢？10. 定弦定角周长最大值的原理，真的超级重要呢！就像一场比赛，赛道和规则定了，怎么才能跑出最好成绩呢？比如在一个复杂图形中，定了弦和角，那周长的最大值到底是多少呀？我的观点结论：定弦定角周长最大值的原理其实并不复杂，通过各种形象的例子可以更好地理解和掌握，只要多思考多探究，就能明白其中的奥秘。

定弦定角有关的知识点总结

定弦定角有关的知识点总结定弦定角是几何学中一个重要的定理，它在解决三角形的相关问题时非常有用。

本文将介绍定弦定角的概念以及与之相关的知识点。

1.定弦定角的定义：定弦定角是指在一个圆上，如果两条弦所对的弧相等，则这两条弦所对的角也相等。

2.弧：弧是指圆上的一段弯曲部分，可以通过两个弦所对的角来确定。

弧是圆的一部分，它的长度可以通过圆的半径和对应的圆心角来计算。

3.弦：弦是圆上连接两点的线段，它的长度可以通过圆的半径和对应的圆心角来计算。

4.定弦定角的应用：定弦定角在解决三角形问题时非常有用。

通过利用定弦定角的性质，可以推导出三角形内角和、外角和等相关的结论。

5.三角形内角和：在一个三角形ABC中，设角A的对边为a，角B的对边为b，角C的对边为c。

根据定弦定角可知，弦a、b所对的角A、B相等，而弧a、b的弧度数也相等。

因此，根据弧度的定义，可以得出： a/b = sinA/sin B 同理可得： b/c = sin B/sin C a/c = sin A/sin C 根据三角恒等式 sin A + sin B + sin C = 4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)，可以得到三角形内角和的结论： A + B + C = π6.三角形外角和：在一个三角形ABC中，设角A的外角为D，角B的外角为E，角C的外角为F。

由于一个内角和其相邻的外角之和等于180°，根据定弦定角的性质可知：弦AD = 弦BE = 弦CF 同理可得：弦BD = 弦CE = 弦AF 弦CD = 弦AE = 弦BF 这些等式表明，三角形的外角所对的弦的长度相等。

7.定弦定角的推广：定弦定角的概念可以推广到其他几何图形上。

例如，在一个正多边形内部，连接多边形的任意两个顶点，所得到的弦所对的角相等。

这个性质在解决正多边形的相关问题时也非常有用。

定弦定角是几何学中一个非常重要的定理，它在解决三角形问题以及其他几何图形问题时都有广泛的应用。

定弦定角问题

定弦定角问题
定弦定角问题是指在数学圆中，半径相等的圆内，长度相等的弦所对应的圆心角相等，与圆心同旁的圆周角相等，与圆心易侧的圆周角相等。

这些问题通常涉及到弦的长度、圆心角的大小、圆周角的大小等方面的计算和比较。

下面是一些相关的例题和解决方法:
- 例 1:在三角形 abc 中，ac=bc=2，角 ac=90o，则角 bc 的度数为多少？
解决方法：根据定弦定角问题，可知弦 ac 的长度是 bc 的一半，即弦 ac=√3/2 bc，又因为角 ac=90o，所以角 bc=45o。

- 例 2:在三角形 abc 中，ac=2bc=4，则角 bc 的度数为多少？
解决方法：同样根据定弦定角问题，可知弦 ac 的长度是 bc 的一半，即弦 ac=√3/2 bc，因为角 ac=90o，所以角 bc=45o。

- 例 3:在圆 o 中，弦 ab 的长度为 2，圆心角 ab 的大小为360o/2=180o,则弦 ab 所对的圆心角为多少？
解决方法：根据定弦定角问题，可知弦 ab 的长度是圆心角 ab 的大小的一半，即弦 ab=√3/2 圆心角 ab，因为圆心角 ab=180o，所以弦 ab 所对的圆心角为 360o/2=180o。

- 例 4:在三角形 abc 中，ac=2bc=4，则角 bc 的度数为多少？
解决方法：同样根据定弦定角问题，可知弦 ac 的长度是 bc 的一半，即弦 ac=√3/2 bc，因为角 ac=90o，所以角 bc=45o。

总之，定弦定角问题是数学圆中比较基础的问题，熟练掌握这些问题的解决方法对于圆的学习和应用都是非常重要的。

圆中的定弦定角和最大张角模型(解析版)--中考数学满分突破

圆中的定弦定角和最大张角模型模型分析【模型1】定弦定角模型如图28-1，在ΔABC中，BC的长为定值a，∠A=α为定角度，(1)确定点A的运动轨迹，有3种情况：①如图28-2，当α<90°时，点A的运动轨迹为优弧BAC(不与B、C点重合)；②如图28-3，当α=90°时，点A的运动轨迹为⊙O(不与点B、C重合)；③如图28-4，当α>90°时，点A的运动轨迹为劣弧BAC(不与B、C点重合)。

(2)构成等腰三角形(AB=AC)时：点A到BC的距离最大，且此时ΔABC的面积最大。

【模型变式1】如图28-5，已知点A、B是∠EPF的边PF上的两个定点，点Q是边PE上一动点，则当点Q在何处时，∠AQB最大。

⇒当ΔAQB的外接圆与边PE相切于点Q时，∠AQB最大。

【证明】如图28-6，作ΔAQB的外接圆⊙O，设点Q 为PE上不同与Q点的任意一点，连接Q A、Q B，Q A与⊙O交于点D，连接BD，∵∠ADB>∠AQ'B,∠AQB=∠ADB∵∠AQB>∠AQ'B∴当ΔAQB的外接圆与边PE相切于点Q时，∠AQB最大。

典例分析【例1】如图，在△ABC中，AC=6，BC=83，∠ACB=60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O 为△APC 的外接圆，直线BP 交⊙O 于E 点，则AE 的最小值为．【答案】2【分析】如图，连接CE ．首先证明∠BEC =120°，根据定弦定角，可得点E 在以M 为圆心，MB 为半径的BC 上运动，连接MA 交BC于E ′，此时AE ′的值最小．【解析】解：如图，连接CE ．∵AP ∥BC ，∴∠PAC =∠ACB =60°，∴∠CEP =∠CAP =60°，∴∠BEC =120°，∵BC =83,为定值，则点E 的运动轨迹为一段圆弧如图，点E 在以M 为圆心，MB 为半径的BC上运动，过点M 作MN ⊥BC ∴⊙M 中优弧BC 度数为2∠BEC =240°，则劣弧BC度数为120°∴△BMC 是等腰三角形，∠BMC =120°，∵∠BCM =30°，BC =83，MB =MC∴BN =BM 2-MN 2==3MN =12BC =43∴MB =MC =8，∴连接MA 交BC于E ′，此时AE ′的值最小．∵∠ACB =60°，∠BCO =30°，∴∠ACM =90°，∴MA =MC 2+AC 2=82+62=10，∴AE 的最小值为=10-8=2．故答案为：2【例2】数学概念若点P 在ΔABC 的内部，且∠APB 、∠BPC 和∠CPA 中有两个角相等，则称P 是ΔABC 的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称P 是ΔABC 的“强等角点”.理解概念(1)若点P 是ΔABC 的等角点，且∠APB =100°，则∠BPC 的度数是°.(2)已知点D 在ΔABC 的外部，且与点A 在BC 的异侧，并满足∠BDC +∠BAC <180°，作ΔBCD 的外接圆O ，连接AD ，交圆O 于点P .当ΔBCD 的边满足下面的条件时，求证：P 是ΔABC 的等角点.(要求：只选择其中一道题进行证明！)①如图①，DB =DC②如图②，BC =BD深入思考(3)如图③，在ΔABC 中，∠A 、∠B 、∠C 均小于120°，用直尺和圆规作它的强等角点Q .(不写作法，保留作图痕迹)(4)下列关于“等角点”、“强等角点”的说法：①直角三角形的内心是它的等角点；②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点；③正三角形的中心是它的强等角点；④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有.(填序号)【答案】(1)100、130或160；(2)选择①或②，理由见解析；(3)见解析；(4)③⑤【分析】(1)根据“等角点”的定义，分类讨论即可；(2)①根据在同圆中，弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等即可证明；②弧和弦的关系和圆的内接四边形的性质即可得出结论；(3)根据垂直平分线的性质、等边三角形的性质、弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等作图即可；(4)根据“等角点”和“强等角点”的定义，逐一分析判断即可．【解析】(1)(i )若∠APB =∠BPC 时，∴∠BPC =∠APB =100°(ii )若∠BPC =∠CPA 时，∴∠BPC =∠CPA =12(360°-∠APB )=130°；(iii )若∠APB =∠CPA 时，∠BPC =360°-∠APB -∠CPA =160°，综上所述：∠BPC =100°、130°或160°故答案为：100、130或160．(2)选择①：连接PB ,PC∵DB =DC ∴DB =DC∴∠BPD =∠CPD∵∠APB +∠BPD =180°，∠APC +∠CPD =180°∴∠APB =∠APC∴P 是ΔABC 的等角点．选择②连接PB ,PC∵BC =BD ∴BC =BD∴∠BDC =∠BPD∵四边形PBDC 是圆O 的内接四边形，∴∠BDC +∠BPC =180°∵∠BPD +∠APB =180°∴∠BPC =∠APB∴P 是ΔABC 的等角点(3)作BC 的中垂线MN ，以C 为圆心，BC 的长为半径作弧交MN 与点D ，连接BD ，根据垂直平分线的性质和作图方法可得：BD=CD=BC∴△BCD为等边三角形∴∠BDC=∠BCD=∠DBC=60°作CD的垂直平分线交MN于点O以O为圆心OB为半径作圆，交AD于点Q，圆O即为△BCD的外接圆∴∠BQC=180°-∠BDC=120°∵BD=CD∴∠BQD=∠CQD∴∠BQA=∠CQA=12(360°-∠BQC)=120°∴∠BQA=∠CQA=∠BQC如图③，点Q即为所求．(4)③⑤．①如下图所示，在RtABC中，∠ABC=90°，O为△ABC的内心假设∠BAC=60°，∠ACB=30°∵点O是△ABC的内心∴∠BAO=∠CAO=12∠BAC=30°，∠ABO=∠CBO=12∠ABC=45°，∠ACO=∠BCO=12∠ACB=15°∴∠AOC=180°-∠CAO-∠ACO=135°，∠AOB=180°-∠BAO-∠ABO=105°，∠BOC=180°-∠CBO-∠BCO=120°显然∠AOC≠∠AOB≠∠BOC，故①错误；②对于钝角等腰三角形，它的外心在三角形的外部，不符合等角点的定义，故②错误；③正三角形的每个中心角都为：360°÷3=120°，满足强等角点的定义，所以正三角形的中心是它的强等角点，故③正确；④由(3)可知，点Q为△ABC的强等角，但Q不在BC的中垂线上，故QB≠QC，故④错误；⑤由(3)可知，当ΔABC的三个内角都小于120°时，ΔABC必存在强等角点Q．如图④，在三个内角都小于120°的ΔABC内任取一点Q ，连接Q A、Q B、Q C，将ΔQ AC绕点A逆时针旋转60°到ΔMAD，连接Q M，∵由旋转得Q A=MA，Q C=MD，∠Q AM=60°∴ΔAQ M是等边三角形．∴Q M=Q A∴Q A+Q B+Q C=Q M+Q B+MD∵B、D是定点，∴当B、Q 、M、D四点共线时，Q M+Q B+MD最小，即Q A+Q B+Q C最小．而当Q 为ΔABC的强等角点时，∠AQ B=∠BQ C=∠CQ A=120°=∠AMD，此时便能保证B、Q 、M、D四点共线，进而使Q A+Q B+Q C最小．故答案为：③⑤．模型演练一、单选题1.如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，若∠ABC=20°，则∠BDC的度数是()A.50°B.60°C.80°D.70°【答案】D【分析】由AB是直径可得∠ACB=90°，由∠ABC=20°可知∠CAB=70°，再根据圆周角定理可得∠BDC的度数，即可得出答案．【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=20°，∴∠CAB=70°，∴∠BDC=∠CAB=70°，故选：D．2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD，且AC=BC，∠ADC=130°，则∠ADB的度数为()A.50°B.60°C.70°D.80°【答案】D【分析】利用等边对等角，同弧上的圆周角相等，三角形内角和定理联合解题即可．【解析】∵AC=BC，∴∠CAB=∠CBA，2∠CAB+∠BCA=180°，∵∠ADC=130°，∴∠ADB+∠BDC=130°，∵∠BDC=∠CAB，∠BCA=∠ADB，∴2∠ADB+2∠CAB=260°①，2∠CAB+∠ADB=180°②，①-②，得∠ADB=80°，故选D．3.如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点．设∠ABC=25°，则∠BDC=()A.85°B.75°C.70°D.65°【答案】D【分析】先利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，从而求出∠BAC，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出∠BDC．【解析】解：∵C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=25°，∴∠BAC=90°-25°=65°，∴∠BDC=∠BAC=65°，故选：D．4.如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB=60°，则∠ADC的度数为()A.20°B.30°C.40°D.60°【答案】B【分析】由圆周角定理，得到∠ACB=90°，则∠ABC=30°，即可求出答案．【解析】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=60°，∴∠ABC=30°，∴∠ADC=30°；故选：B．二、填空题5.如图，点D在半圆O上，半径OB=5，AD=4，点C在弧BD上移动，连接AC，作DH⊥AC，垂足为H，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是．【答案】222-2【分析】先确定点H的运动轨迹，再根据点与圆的位置关系可得BH取最小值时，点H的位置，然后利用圆周角定理、线段的和差即可得．【解析】如图，设AD的中点为点E，则EA=ED=12AD=12×4=2由题意得，点H的运动轨迹在以点E为圆心，EA为半径的圆上由点与圆的位置关系得：连接BE，与圆E交于点H，则此时BH取得最小值，EH=2连接BD∵AB为半圆O的直径∴∠ADB=90°∴BD=AB2-AD2=(5+5)2-42=221∴BE=BD2+ED2=(221)2+22=222∴BH=BE-EH=222-2故答案为：222-2．6.如图，已知C、D在以AB为直径的⊙O上，若∠CAB=30°，则∠D的度数是．【答案】60°【分析】由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB=90°，又由∠CAB= 30°，即可求得∠B的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠D的度数．【解析】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=30°，∴∠B=90°-∠CAB=60°，∴∠D=∠B=60°．故答案为：60°．7.如图，直线l与⊙O相交于点B、D，点A、C是直线l两侧的圆弧上的动点，若⊙O的半径为1，∠A =30°，那么四边形ABCD的面积的最大值是．【答案】1【分析】当A点和C点到BD的距离最大时，四边形ABCD的面积最大，此时A点和C点为BD所对弧的中点，则AC⊥BD，利用圆周角定理得到∠BOC=30°，接着计算出BH的长，则可计算出S△ABC=12，从而得到四边形ABCD的面积的最大值．【解析】解：当A点和C点到BD的距离最大时，四边形ABCD的面积最大，此时A点和C点为BD 所对弧的中点，∴AC为⊙O的直径，如图，∴AC ⊥BD ，∵∠BAC =30°，∴∠BOC =30°，在Rt △OBH 中，BH =12OB =12，∴S △ABC =12•BH •AC =12×2×12=12，∴四边形ABCD 的面积=2×12=1，∴四边形ABCD 的面积的最大值为1．故答案为1．8.如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点E ，∠BAC =50°，∠AED =75°，则AD 的度数是°．【答案】50【分析】连接OA ，OD ，首先根据同弧所对圆周角相等可得∠BDC =∠BAC =50°，再根据三角形外角的性质即可求得∠ABD 的度数，再根据圆周角定理可求得∠AOD =50°，由此即可求得答案．【解析】解：如图，连接OA ，OD ，∵∠BDC =∠BAC ，∠BAC =50°，∴∠BDC =∠BAC =50°，又∵∠AED =75°，∴∠ABD =∠AED -∠D =75°-50°=25°，∴∠AOD =2∠ABD =50°，∴AD的度数是50°，故答案为：50．9.如图，∠MAN =45°，B 、C 为AN 上两点，AB =1，BC =3，D 为AM 上的一个动点，过B 、C 、D 三点作⊙O ，当sin ∠BDC 的值最大时，⊙O 的半径为【答案】52-42【分析】由题意知，∠BDC 小于90o ，，当⊙O 与AM 相切时，∠BDC 最大，此时AD 2=AB ·AC ，则AD=2，延长DO 交AN 于点E ，DE =AD =2，设半径为x ，OE =2-x ，过O 点作OH ⊥BC ，垂足为H ，则OH =2(2-x )2，BH =32，在Rt △OHB 中，2x -2 22+322=x 2，最后求得半径x =52-42．【解析】解：当⊙O 与AM 相切时，∠BDC 最大，此时sin ∠BDC 的值最大，∵⊙O 与AM 相切于点D ，AB =1，BC =3，∴AD 2=AB ·AC =AB ∙AB +BC =4，∴AD =2，延长DO 交AN 于点E ，过O 点作OH ⊥BC ，垂足为H ，连接BO ，∴∠ADE =90°，∵∠A =45°，∴△AED 为等腰直角三角形，∴DE =AD =2，设⊙O 半径为x ，则OE =2-x ，∵∠DEA =45°,∠OHE =90°，∴OH =sin45°∙OE =2(2-x )2，BH =12BC =32，在Rt △BOH 中，BO 2=BH 2+OH 2，即2x -2 22+322=x 2，解得：x 1=52-42,x 2=-52-42，∵⊙O 半径大于0，∴x 2=-52-42舍去，∴x =52-42．故答案为：52-42．三、解答题10.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”．如图所示，点A 、B 、C 、D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D 的坐标为0,-3 ，AB 为半圆的直径，半圆圆心M 的坐标为1,0 ，半圆半径为2．(1)求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦CD 的长；(2)已知点E 是“蛋圆”上的一点(不与点A ，点B 重合)，点E 关于x 轴的对称点是点F ，若点F 也在“蛋圆”上，求点E 坐标；(3)点P 是“蛋圆”外一点，满足∠BPC =60°，当BP 最大时，直接写出点P 的坐标．【答案】(1)“蛋圆”抛物线部分的解析式为y =x 2-2x -3，CD 的长3+3；(2)E 1(1+3，1)，E 2(1-3，1)，E 3(1+3，-1)，E 4(1-3，-1)；(3)点P 的坐标为(1，23)．【分析】(1)求出点A ，B 的坐标，运用待定系数法求出函数解析式；将x =0代入抛物线的解析式得y =-3，故此可得到DO 的长，可得到AB 的长，由M 为圆心可得到MC 和OM 的长，然后依据勾股定理可求得OC 的长，最后依据CD =OC +OD 求解即可．(2)假设点E 在x 轴上方的“蛋圆”上，EF 与x 轴交于点H ，连接EM ．由HM 2+EH 2=EM 2，点F 在二次函数y =x 2-2x -3的图象上，可得方程组，以及对称性求解；(3)根据∠BPC =60°保持不变，点P 在一圆弧上运动和直径是最大的弦进行解答即可．【解析】解：(1)∵圆心M 的坐标为1,0 ，半圆半径为2．∴A (-1，0)，B (3，0)设“蛋圆”抛物线部分的解析式为y =ax 2+bx +c把A (-1，0)，B (3，0)，D (0，-3)代入解析式得，a -b +c =09a -3b +c =0c =-3解得，a =1b =-2c =-3∴“蛋圆”抛物线部分的解析式为y =x 2-2x -3连接AC ，BC ，MC ∵点D 的坐标为(0，-3)，∴OD 的长为3．∵A (-1，0)，B (3，0)．∴AO =1，BO =3，AB =4，∵M (1，0)．∴MC =2，OM =1．在Rt △COM 中，OC =CM 2-OM 2=3．∴CD =CO +OD =3+3，即这个“蛋圆”被y 轴截得的线段CD 的长3+3．(2)假设点E 在x 轴上方的“蛋圆”上，设E (m ，n )，则点F 的坐标为(m ，-n )．EF 与x 轴交于点H ，连接EM ．∴HM 2+EH 2=EM 2，∴(m -1)2+n 2=4，⋯①；∵点F 在二次函数y =x 2-2x -3的图象上，∴m 2-2m -3=-n ，⋯②解由①②组成的方程组得：m =1+3n =1 ；m =1-3n =1．(n =0舍去)由对称性可得：m=1+3 n=-1；m=1-3n=-1．∴E1(1+3，1)，E2(1-3，1)，E3(1+3，-1)，E4(1-3，-1)．(3)如图，∵∠BPC=60°保持不变，因此点P在一圆弧上运动．此圆是以K为圆心(K在BC的垂直平分线上，且∠BKC=120°)，BK为半径．当BP为直径时，BP最大．在RtΔOCB中，MO=1,MC=2∴OC=MC2-MO2=3，BC=OC2+OB2=23∴tan∠BCO=OBOC =33=3∴∠BCO=60°∵∠BCP=90°∴∠PCR=30°在RtΔPCB中，∠BPC=60°∴BCPC=tan60°∴PC=BCtan60°=233=2在Rt△PCR中，∠PCR=30°∴PR=12PC=1∴RC=PC2-PR2=3∴OR=OC+CR=3+3=23∴点P的坐标为(1，23)．11.如图，抛物线y=ax2+bx-3交x轴于点A(-1,0)，B(3,0)，D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m(0≤m≤3)，AE⎳PD交直线l：y=12x+2于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q．(1)求抛物线的表达式；(2)设△PDF的面积为S1，△AEF的面积为S2，当S1=S2时，求点P的坐标；(3)连接BQ，点M在抛物线的对称轴上(位于第一象限内)，且∠BMQ=45°，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．【答案】(1)y=x2-2x-3；(2)P52,-74；(3)22≤t≤3+172．【分析】(1)运用待定系数法将A(-1,0)，B(3,0)代入y=ax2+bx-3，即可求得答案；(2)利用配方法可求得抛物线顶点坐标D(1,-4)，由AE⎳PD得△AEF∽△PDF，再根据△PDF与△AEF的面积相等，可得△AEF≌△PDF，故点F分别是AP、ED的中点，设E e,12e+2，P(m, m2-2m-3)，结合中点坐标公式建立方程求解即可；(3)根据题意，分别求出t的最大值和最小值：①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，以OB为斜边在第一象限内作等腰直角△O′OB，以O′为圆心，OO′为半径作⊙O′，交抛物线对称轴于点M(1,t)，过点O′作O′H⊥y轴于点H，运用勾股定理即可求得答案，②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，连接BC，以O为圆心，OB为半径作⊙O交抛物线对称轴于点M，连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，运用勾股定理即可求得答案．【解析】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx-3交x轴于点A(-1，0)，B(3,0)，∴将A、B坐标分别代入抛物线解析式得：a-b-3=0 9a+3b-3=0，解得：a=1 b=-2，∴抛物线的表达式为：y=x2-2x-3；(2)如图，∵D是抛物线的顶点，抛物线的表达式为：y=x2-2x-3=(x-1)2-4，∴D(1,-4)，∵AE⎳PD交直线l：y=12x+2于点E，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m(0≤m≤3)，∴△AEF∽△PDF，设E e,12e+2，P(m,m2-2m-3)，又∵△PDF的面积为S1，△AEF的面积为S2，S1=S2，∴△AEF≌△PDF，∴AF=PF，EF=DF，即点F分别是AP、ED的中点，又∵A(-1，0)，P(m,m2-2m-3)，E e,12e+2，D(1,-4)，∴由中点坐标公式得：m-12=e+12m2-2m-3+02=12e+2-42，解得：m1=0(与“AE⎳PD”不符，应舍去)，m2=5 2，∴e2=12，∴P52,-74，E12,94；(3)①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，以OB为斜边在第一象限内作等腰直角△O′OB，则O′32,32，OO′=O′B=322，以O′为圆心，OO′为半径作⊙O′，交抛物线对称轴于点M(1,t)，过点O′作O′H⊥y轴于点H，则∠O′HM=90°，O′H=12，O′M=OO′=322，∴MH=O M2-O H2=3222-12 2=172，∴t=32+172=3+172，②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，连接BC，以O为圆心，OB为半径作⊙O交抛物线对称轴于点M，∵OB=OC=3，∴⊙O经过点C，连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，则OM=OB=3，OE=1，∵∠MEO=90°，∴ME=OM2-OE2=32-12=22，∴t=22，综上所述，22≤t≤3+172．12.一个角的顶点在圆外，两边都与该圆相交，则称这个角是它所夹的较大的弧所对的圆外角．(1)证明：一条弧所对的圆周角大于它所对的圆外角；(2)应用(1)的结论，解决下面的问题：某市博物馆近日展出当地出土的珍贵文物，该市小学生合唱队计划组织120名队员前去参观，队员身高的频数分布直方图如图1所示．该文物PQ高度为96cm，放置文物的展台QO高度为168cm，如图2所示．为了让参观的队员站在最理想的观看位置，需要使其观看该文物的视角最大(视角：文物最高点P、文物最低点Q、参观者的眼睛A所形成的∠PAQ)，则分隔参观者与展台的围栏应放在距离展台多远的地方？请说明理由．(说明：①参观者眼睛A与地面的距离近似于身高；②通常围栏的摆放位置需考虑参观者的平均身高)【答案】(1)见解析；(2)围栏应摆在距离展台167cm处，见解析【分析】(1)写出“已知”“求证”，设BP交⊙O于点Q，连接AQ，画出图象，用三角形外角大于不相邻的内角即可证明；(2)先计算120名队员平均身高，再根据题意把实际问题“数学化”，画出图形，在QO 上取一点B ，使得BO =152cm ，则BQ =16cm ，过B 作射线l ⊥QO 于B ，过P ，Q 两点作⊙C 切射线l 于M ，由(1)的结论可知队员的眼睛A 与M 重合时，观看该展品的视角最大，此时队员站在MN 处，故求出ON 长度即可．【解析】解：(1)已知：如图所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，点P 在⊙O 外．求证：∠ACB >∠APB ．证明：设BP 交⊙O 于点Q ，连接AQ ，∵∠ACB 与∠AQB 同对AB，∴∠ACB =∠AQB ．∵在△APQ 中，∠AQB =∠APB +∠PAQ ，∴∠AQB >∠APB ，∴∠ACB >∠APB ；(2)解：设合唱队员平均身高为x cm ，则x =142×15+146×18+150×18+154×30+158×3915+18+18+30+39=152．在QO 上取一点B ，使得BO =152cm ，则BQ =16cm ，过B 作射线l ⊥QO 于B ，过P ，Q 两点作⊙C 切射线l 于M ．依题意可知，参观的队员的眼睛A 在射线上．而此时，射线l 上的点只有点M 在⊙C 上，其他的点在⊙C 外．根据(1)的结论，视角∠PMQ 最大，即队员的眼睛A 与M 重合(也即队员站在MN 处)时，观看该展品的视角最大．所以围栏应摆放在N 处．连接CM 并延长交地面OD 于N ，过C 作CH ⊥PQ 于H ，连接CP ，CQ ，从而四边形HBMC 和四边形HONC 均为矩形．∵在⊙C 中，CP =CQ ，CH ⊥PQ ，∴PH =HQ =12PQ =48．∴ CQ =CM =HB =48+16=64．∵在Rt △CHQ 中，∠CHQ =90°，CQ 2=CH 2+HQ 2，∴CH =CQ 2-HQ 2=642-482=167．∴ON =CH =167．即围栏应摆在距离展台167cm 处．13.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，EF 与⊙O 相切于点D ，EF ∥BC 分别交AB ，AC 的延长线于点E 和F ，连接AD 交BC 于点N ，∠ABC 的平分线BM 交AD 于点M ．(1)求证：AD 平分∠BAC ；(2)若AB :BE =5:2，AD =14，求线段DM 的长．【答案】(1)见解析；(2)DM =2【分析】(1)连接OD ，根据切线的性质得OD ⊥EF ，由EF ∥BC 得OD ⊥BC ，由垂径定理得BD =CD ，进而即可得出结论；(2)由平行线分线段定理得DN =2147，再证明△BDN ∽△ADB ，可得BD =2，最后证明∠BMD =∠DBM ,进而即可求解．【解析】(1)证明：连接OD 交BC 于点H .∵EF 与⊙O 相切于点D∴OD ⊥EF ，∴∠ODF =90°，∵BC ∥EF ，∴∠OHC =∠ODF =90°，∴OD ⊥BC ，∴BD =CD ，∴∠BAD =∠CAD 即AD 平分∠BAC ；(2)解：∵BC ∥EF ，∴BE AE =ND AD，∵AB :BE =5:2，AD =14，∴DN=2147，∵∠BAD=∠CAD，∠CAD=∠CBD，∴∠BAD=∠CBD，∵BM平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBM，∴∠BAD+∠ABM=∠CBD+∠CBM，∴∠BMD=∠MBD，∴BD=DM，∵∠NBD=∠BAD，∠BDM=∠ADB，∴△BDN∽△ADB，∴ND BD =DB AD∴BD2=ND⋅AD=2147×14=4，∴BD=2(负值舍去)，∴DM=BD=2。

定角定弦隐圆

定角定弦隐圆
我们经常会碰到以上这些词，怎么区分呢？
1、“定边定角”(此处特指定边对定角)：
在△ABC中，BC＝m（定长），∠A＝α（定角）。

对△ABC作确定性分析，一个角一个边无法确定三角形，那么如果固定BC，A点是怎么动的就是研究这个三角形的主要课题之一。

2、“定弦定角”：
在圆中，弦长BC＝m（定长），弦BC所对的圆周角∠A＝α（定角）。

对于圆作确定性分析，圆周角确定，则同弧所对的圆心角确定，令圆心为O，则会得到确定的等腰三角形OBC，从而可以求出半径，得到了“定圆”，所以可以研究圆中的所有元素。

3、“定圆定角”：
在圆O中，半径OC＝r（定长），圆周角∠A＝α（定角）。

圆是确定的，圆周角是确定的，所以同弧所对的圆心角是确定的，则会得到确定的等腰三角形OBC，从而可以求出弦BC的长，也可以研究圆中的所有元素。

4、“定圆定弦”
在圆O中，半径OC＝r（定长），弦长BC＝m（定长）。

这个结构更加简单，圆是确定的，一条弦是确定的，所以这条弦和两条半径组成的三角是确定的，则弦所对的圆心角是确定的。

当然可以继续研究这条弦所对的两个圆周角。

从本质上讲，上面四个名词，其实是“正弦定理”的不同表现形式。

综上所述，我们知道了题目中四个名词的基本意思。

下一次，我们将根据这四个名词来讨论不同的命题方向。

定弦定角最值问题含答案(20200522025423)

定弦定角最值问题【定弦定角题型的识别】有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。

【题目类型】图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题【解题原理】同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆，因此动点的轨迹是圆。

（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。

）【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等）③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

【例1】(2016·新观察四调模拟1)如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（）A ．1 B ．2 C ．2D ．2441解：∵∠CDP ＝∠ACB ＝45°∴∠BDC ＝135°（定弦定角最值）如图，当AD 过O ′时，AD 有最小值∵∠BDC ＝135°∴∠BO ′C ＝90°∴△BO ′C 为等腰直角三角形∴∠ACO ′＝45°＋45°＝90°∴AO ′＝5又O ′B ＝O ′C ＝4∴AD ＝5－4＝1【例2】如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（）A ．213B ．213C ．5 D ．916解：连接AE∵AD 为⊙O 的直径∴∠AEB ＝∠AED ＝90°∴E 点在以AB 为直径的圆上运动当CE 过圆心O ′时，CE 有最小值为213【练】(2015·江汉中考模拟1)如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．324解：连接CD∴∠P AC ＝∠PDC ＝∠ACB ＝45°∴∠BDC ＝135°如图，当AD 过圆心O ′时，AD 有最小值∵∠BDC ＝135°∴∠BO ′C ＝90°∴O ′B ＝O ′C ＝4又∠ACO ′＝90°∴AO ′＝5∴AD 的最小值为5－4＝1【例3】(2016·勤学早四调模拟1)如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（）A ．3612B ．336C ．3312D ．346【练】(2014·洪山区中考模拟1)如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（）A ．21B ．22C ．23D ．43【例5】如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________解：连接DM∵D 是弦EF 的中点∴DM ⊥EF∴点D 在以A 为圆心的，OM 为直径的圆上运动当CD 过圆心A 时，CD 有最小值连接CM∵C 为弧AB 的中点∴CM ⊥AB∴CD 的最小值为12【练】如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________解：连接OD∵D 为弦AP 的中点∴OD ⊥AP∴点D 在以AO 为直径的圆上运动当CD 过圆心O ′时，CD 有最小值过点C 作CM ⊥AB 于M∵OB ＝OC ，∠ABC ＝60°∴△OBC 为等边三角形∴OM ＝21，CM ＝23∴O ′C ＝47∴CD 的最小值为2147。