天津市海河中学2021届高三上学期第一次月考数学试卷 Word版含答案

海河中学2020-2021学年度第一学期高三年级第一次月考
数学试卷
一、选择题(每题5分)
1．已知集合A＝，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B等于（）
A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，2，3}D．{0，1，2，3} 2．设命题p：2x＜2，命题q：x2＜1，则p是q成立的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知向量＝（λ+1，1），＝（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ＝（）
A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1
4．已知函数f（x）＝ln（﹣x2﹣2x+3），则f（x）的增区间为（）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣3，﹣1）C．[﹣1，+∞]D．[﹣1，1]
5．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝（）
A．B．C．D．
6．函数的图像大致为（）
A．B．C．
D．
7．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，，且，则c（）A．B．4C．D．5
8．已知函数f（x）＝2|x|﹣log|x|，且a＝f（ln），b＝f（log2），c＝f（2﹣1），则a，b，c的大小关系为（）
A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．b＜a＜c
9．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数f（x+）是偶函数，下列判断正确的是（）
A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于点（，0）对称C．函数f（x）的图象关于直线x＝﹣对称D．函数f（x）在[，π]上单调递增
10．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝|f（x）|﹣x+m恰有三个零点，则实数m的取值范围是（）
A．B．
C．D．
二、填空题(每题5分)
11．是虚数单位，若是纯虚数，则实数的值为．
12．不等式的解集为．(用区间表示)
13．在的展开式中，项的系数为．（用数字作答）．
14.已知平面向量,满足，，，则．
15.已知函数，则函数的极大值为．
16．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若为奇函数，则的最小值为．
17.已知函数的图像关于对称，且函数在上单调递减，若时，不等式恒成立，则实数的取值范围是．
18.如图，在中，已知AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，D为边BC的中点．若CE⊥AD，垂足为E，则的值为．
三、解答题(每题15分)
19．已知函数f（x）＝2cosωx cos（ωx+）+2sin2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值和函数f（x）的单调增区间；
（2）求函数f（x）在区间上的取值范围．
20．设函数f（x）＝﹣x3+ax2+bx+c的导数f'（x）满足f'（﹣1）＝0，f'（2）＝9．（1）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求c的值．
（2）若函数f（x）的图象与x轴有三个交点，求c的范围．
21．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且﹣2sin2C+2cos C+3＝0．（1）求角C的大小；
（2）若b＝a，△ABC的面积为sin A sin B，求sin A及c的值．
22．已知函数f（x）＝lnx+ax，在点（t，f（t））处的切线方程为y＝3x﹣1．
（1）求a的值；
（2）已知k≤2，当x＞1时，f（x）＞k（1﹣）+2x﹣1恒成立，求实数k的取值范围；（3）对于在（0，1）中的任意一个常数b，是否存在正数x0，使得，请说明理由．
参考答案
一、选择题(每题5分)
ABBBCBBCDA
二、填空题(每题5分)
11.12.13.14.15.16. 17.18.
三、解答题(每题15分)
19．解：（1）f（x）＝﹣2sinωx cosωx+1﹣cos2ωx
＝﹣sin2ωx﹣cos2ωx+1
＝﹣2sin（2ωx+）+1
∵函数f（x）的最小正周期为T＝＝π，
∴ω＝1．
∴f（x）＝﹣2sin（2x+）+1．
由2kπ+≤2x+≤2kπ+，
得kπ+≤x≤kπ+，
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．
（2）∵≤x≤π，
∴f（x）在区间[，]单调递增，在区间[，π]单调递减，
f（）＝﹣2sin+1＝0，f（）＝﹣2sin+1＝3，f（π）＝﹣2sin+1＝0，因此f（x）的取值范围为[0，3]．
20．解：（1）函数的导数f′（x）＝﹣3x2+2ax+b，
∵f'（x）满足f'（﹣1）＝0，f'（2）＝9，
∴，得a＝3，b＝9，
∴f（x）＝﹣x3+3x2+9x+c，
f′（x）＝﹣3x2+6x+9＝﹣3（x2﹣2x﹣3），
由f′（x）＞0得﹣3（x2﹣2x﹣3）＞0得x2﹣2x﹣3＜0，得﹣1＜x＜3，
此时函数单调递增，即递增区间为（﹣1，3），
由f′（x）＜0得﹣3（x2﹣2x﹣3）＜0得x2﹣2x﹣3＞0，得x＜﹣1或x＞3，
此时函数单调递减，即递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；
所以当x＝﹣1时，函数取得极小值f（﹣1）＝1+3﹣9+c＝c﹣5，
f（﹣2）＝8+12﹣18+c＝2+c，f（2）＝﹣8+12+18+c＝22+c，
则f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为f（2）＝22+c＝20，则c＝﹣2．
（2）由（I）知当x＝﹣1时，函数取得极小值f（﹣1）＝1+3﹣9+c＝c﹣5，
当x＝3时，函数取得极大值f（3）＝﹣27+27+27+c＝27+c，
若函数f（x）的图象与x轴有三个交点，
则，得，得﹣27＜c＜5，
即c的范围是（﹣27，5）．
21．解：（1）∵﹣2sin2C+2cos C+3＝0，可得：﹣2（1﹣cos2C）+2cos C+3＝0，∴2cos2C+2cos C+1＝0，
∴cos C＝﹣，∵0＜C＜π，
∴C＝．
（2）∵c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝3a2+2a2＝5a2，∴c＝a，
∴sin C＝sin A，
∴sin A＝sin C＝，
∵S△ABC＝ab sin C＝sin A sin B，
∴ab sin C＝sin A sin B，
∴••sin C＝（）2sin C＝，
∴c＝1．
22．解：（1）函数f（x）＝lnx+ax的导数为f′（x）＝+a，
在点（t，f（t））处切线方程为y＝3x﹣1，可得f′（t）＝+a，
∴函数的切线方程为y﹣（lnt+at）＝（+a）（x﹣t），即y＝（+a）x+lnt﹣1，
∴，解得a＝2；
（2）证明：由（1）可得f（x）＝lnx+2x，
∵f（x）＞k（1﹣）+2x﹣1，∴lnx＞k（1﹣）﹣1即为xlnx+x﹣k（x﹣3）＞0，可令g（x）＝xlnx+x﹣k（x﹣3），
g′（x）＝2+lnx﹣k，
由x＞1，可得lnx＞0，2﹣k≥0，即有g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）递增，
可得g（x）＞g（1）＝1+2k≥0，∴﹣≤k≤2
故k的取值范围为[﹣，2]；
（3）对于在（0，1）中的任意一个常数b，
假设存在正数x0，使得：+x02＜1．
由e f（x0+1）﹣3x0﹣2+x02＝e ln（x0+1）﹣x0+x02＝（x0+1）•e﹣x0+x02＜1成立，
从而存在正数x0，使得上式成立，只需上式的最小值小于0即可．
令H（x）＝（x+1）•e﹣x+x2﹣1，H′（x）＝e﹣x﹣（x+1）•e﹣x+bx＝x（b﹣e﹣x），
令H′（x）＞0，解得x＞﹣lnb，令H′（x）＜0，解得0＜x＜﹣lnb，
则x＝﹣lnb为函数H（x）的极小值点，即为最小值点．
故H（x）的最小值为H（﹣lnb）＝（﹣lnb+1）e lnb+ln2b﹣1＝ln2b﹣blnb+b﹣1，再令G（x）＝ln2x﹣xlnx+x﹣1，（0＜x＜1），
G′（x）＝（ln2x+2lnx）﹣（1+lnx）+1＝ln2x＞0，
则G（x）在（0，1）递增，可得G（x）＜G（1）＝0，则H（﹣lnb）＜0．
故存在正数x0＝﹣lnb，使得+x02＜1．。