专题五幻方与数阵图

专题五幻方与数阵图

姓名：徐乾铭时间：2012/7/20

内容精要：

在一个3×3的九宫格里，按一定的要求（任一行、任一列及对角线上数之和相等）填上1～9这九个数，我们称之为三阶幻方，在我国古代又叫九宫图或纵横图。九宫格是最简单的三阶幻方，另外还有四阶幻方、五阶幻方……直至任意阶幻方。一般来说，在n×n(n行n列)的方格内，既不重复又不遗漏地填上n×n个连续自然数，每个数占一格，并使排在每一行、每一列和每条对角线上的n个自然数的和都相等，这个和叫幻方和，n叫阶，这样的数表叫做n阶幻方。

数阵图就是把数按一定的规则填在某一特定图形的规定位置上的一种图形，数阵图一般分为辐射型、封闭型、复合型等。

解答这类问题，常要用到一下知识：

1、等差数列的求和公式：

总和=（首项+末项）×项数÷2

2、计算中的奇偶问题：

奇数（＋或－）奇数=偶数；偶数（＋或－）偶数=偶数；奇数（＋或－）偶数=奇数3、10以内数字有如下关系：

（1）1+9=2+8=3+7=4+6；（2）1+8=2+7=3+6=4+5；（3）2+9=3+8=4+7=5+6

例1：右图的九个方格内已经填入一个数字，请在其余的八个空格内填上其他的数，使得九个方格内是九个连续的自然数，并且横行、竖行及对角线上的三个数的和都相等。那么所填入八个数的和是（）Array

例2：用11、13、15、17、19、21、23、25、27编制成一个三阶幻方。

例3：把1～7这7个数分别填入右图各圆圈内，使在一条直线上的三个数的和相等。

例:4：将1～10这十个自然数分别填入右图中的十个○内，使五边形每条边上的三个数之和都相等，并使和最小与和最大，写出这两种填法。

例5：把1～9填入右图中的圆圈里，使他每条边上的四个数的和都等于20（又知某一角上已经填了8）。

例6：把1～9这九个数填入又图的各圆圈内，使每个角到中心的三个数的和相等，并且使每个正方形四个顶点上的数的和也都相等。

例7：把1～9这九个数填入右图中的九个小三角形中，使得每条边上的五个小三角形内的数字之和都相等。问：这个和的最小值是多少？

练习题：

1、根据下表的8×8方格盘中已经填好的左下角4×4个方格中数字显示的规律，找出方格盘中a与b的数值，并计算其和，得a+b=（）。

b

10 14 19 25

6 9 13 18

3 5 8 12 a

1 2 4 7

2、自然数按规律排成了下图中的三角数阵。2001是第（）行坐起第（）个数。

3、如下左图是一张把自然数按一定顺序排列的数表。用一个五个空格的十字框可以框出五个不同的数字，先框出的五个数字中的四角上的数字和为48，如果框出的五个数字中的四角上的数字和为624时，四个角上的数字分别是（）、（）、（）、（）.

4、将1～9这九个数分别填入下图中的○内，使外三角形边上○内数字之和等于里面三角形边上○内数字之和。

5、在下面由图中的小圆圈内分别填入1～8这八个数，使得图中用线段连起来的两个圆圈内所填的数字之差（大数减小数）恰好是1、2、3、4、5、

6、7这七个数。

6、如图一个边长为3的正三角形，分成边长为1的九个小三角形，把数字1～9分别填入这九个小三角形中，使得图中：

（1）边长为2的正三角形内的四个数字之和相等，并求出这个和的最大值和最小值。（2）大三角形每条边上的五个数字的和相等，且这个和最大。

7、将1～10这十个数填入下图中各○内，使得三个正方形的四个顶点上的数之和都等于21。

8、把5～20这十六个自然数填入图中，使他们的横行、数列及对角线上的四个数的和都相等（提示：先求出横行上四个数的和）。

9、将1～8这八个数字填入图中的空格内，使每一横行、每一竖行所构成的算式都成立。

10、在上面右图中每个“□”内分别填入“＋、－、×、÷”符号，在“○”内填入1、2、3、4、5、7、8和15，使图形四周的算式都正确。

11、将1～8这八个数字填入下左图正方体的八个顶点处的圆圈内，使每个面的四个数字的和都是18.

12、将1～7这七个数填入右上图A、B、C、D、E、F、G这七个部分，使每个圆内的四个数字之和都等于18，并要求G的部分填入奇数。

13、把1～11这十一个数分别填入下左图中○内，使每条虚线上三个○内数的和相等。

14、把1～8分别填入下右图中各○内，使图中箭头连接起来的四个数之和都等于18.

15、已知六个质数的和为20，填入下左图的六个圆圈中，使得图中每个三角形顶点数字之和都相等。求这六个质数的积。

16、请将1、2、3、4、5、6、7这七个数字分别填入上右图中的圆圈内，使图中位于每条直线上的各数字之和均等于11.

17、把1～8这八个数字填入下图中的○内，使每个正方形四个角及每条直线上四个数之和是18.