优选常用的经济函数介绍
大学经济函数的概念
大学经济函数的概念大学经济函数是指在经济学中描述经济现象的数学模型。
它可以用来分析和预测经济变量之间的关系，帮助经济学家解释经济现象和制定经济政策。
经济函数通常由自变量和因变量组成。
自变量是影响经济现象的因素，如价格、收入、人口等，而因变量是由自变量决定的经济变量，如需求量、供给量、就业率等。
经济函数用数学公式表示自变量和因变量之间的关系，通常以函数的形式表示，如Y = f(X)。
在大学经济学中，最经典的经济函数是需求函数和供给函数。
需求函数描述了消费者购买某种商品或服务数量与价格之间的关系。
通常，需求量与价格呈负相关，即价格上涨时需求量下降，价格下跌时需求量增加。
需求函数的一般形式可以表示为Qd = f(P)，其中Qd是需求量，P是价格。
需求函数可以用来分析价格变动对消费者购买行为的影响，预测消费者购买行为在不同价格下的反应。
供给函数描述了生产者提供某种商品或服务数量与价格之间的关系。
通常，供给量与价格呈正相关，即价格上涨时供给量增加，价格下跌时供给量减少。
供给函数的一般形式可以表示为Qs = f(P)，其中Qs是供给量，P是价格。
供给函数可以用来分析价格变动对生产者供给行为的影响，预测生产者供给行为在不同价格下的反应。
除了需求函数和供给函数，大学经济学中还有许多其他类型的经济函数。
例如，收入与消费之间的关系可以用消费函数来描述，投资与利率之间的关系可以用投资函数来描述，货币供应量与物价水平之间的关系可以用货币供应函数来描述，劳动市场上的就业与失业之间的关系可以用就业函数和失业函数来描述等等。
经济函数的建立和应用可以通过数据分析和经验研究来实现。
经济学家可以利用历史数据和统计工具来估计经济函数的参数，并根据估计结果进行经济分析和预测。
此外，经济函数还可以用来评估经济政策的效果。
例如，经济学家可以利用需求函数和供给函数来评估某项政策对市场价格和数量的影响，从而指导政策制定和调整。
然而，需要注意的是，经济函数只是对经济现象的一种数学抽象，它往往是基于假设和简化的前提条件下建立的。
经济函数
一、常用的经济函数1、总成本函数、总收入函数、总利润函数总成本函数是指在一定时期内，生产产品时所消耗的生产费用之总和。
常用C 表示，可以看作是产量x 的函数，记作()C C x =总成本包括固定成本和可变成本两部分，其中固定成本F 指在一定时期内不随产量变动而支出的费用，如厂房、设备的固定费用和管理费用等；可变成本V 是指随产品产量变动而变动的支出费用，如税收、原材料、电力燃料等。
固定成本和可变成本是相对于某一过程而言的。
在短期生产中，固定成本是不变的，可变成本是产量x 的函数，所以()()C x F V x =+，在长期生产中，支出都是可变成本，此时0F =。
实际应用中，产量x 为正数，所以总成本函数是产量x 的单调增加函数，常用以下初等函数来表示：（1）线性函数 C a bx =+, 其中0b >为常数.（2）二次函数 2C a bx cx =++,其中0,0c b ><为常数.（3）指数函数 ax C be =, 其中,0a b >为常数.平均成本：每个单位产品的成本，即 ()C x C x=. 总收益函数是指生产者出售一定产品数量（x ）所得到的全部收入，常用R 表示，即 ()R R x =其中x 为销售量. 显然，0(0)0Q R R ===，即未出售商品时，总收益为０.若已知需求函数()Q Q p =，则总收益的为1()()R R Q P Q Q p Q -==⋅=⋅ 平均收益：()R x R x=，若单位产品的销售价格为p ，则R p x =⋅，且R p =. 总利润函数是指生产中获得的纯收入，为总收益与总成本之差，常用L 表示，即 ()()()L x R x C x =-例 某工厂生产某产品，每日最多生产100个单位。
日固定成本为130元，生产每一个单位产品的可变成本为6元，求该厂每日的总成本函数及平均单位成本函数.解 设每日的总成本函数为C 及平均单位成本函数为C ，因为总成本为固定成本与可变成本之和，据题意有()1306(0100)130()6(0100)C C x xx C C x x x ==+≤≤==+<≤例 设某商店以每件a 元的价格出售商品，若顾客一次购买50件以上，则超出部分每件优惠10%，试将一次成交的销售收入R 表示为销售量x 的函数。
常见的经济函数
Q 14 1.5P, Q 5 4 P
求该商品均衡价格。 解：由供需均衡条件，有
14 1.5P 5 4P
由此，得均衡价格 P 19 3.45 0
5.5
二、成本、收益、利润 1. 成本函数
成本是生产一定数量产品所需要的各种生产要素 投入的价格或费用总额, 常用C(x)或C(Q)表示。 成本由固定成本和可变成本组成。固定成本是指 支付固定生产要素的费用, 包括厂房、设备折旧以 及管理人员工资等, 常用C(0)表示；可变成本是指 支付可变生产要素的费用，包括原材料、燃料的
f x c c cx
2
这里 c > 0 为容量参数。
3.规模报酬问题：
当投入增加一倍时，产出是否也增加一倍？
例7：设投入 x 与产出g ( x )的关系为
g x cx
a
由于 g 2 x 2a cx a ，可见， 当 1时，规模报酬不变；当
1时，如果投入
这样，利润函数为
Q2 L R Q C Q 8Q 50 5 1 2 Q 20 30 5
因此， Q 20 时，最大利润为30。
三、其他函数
1. 库存函数
设某企业在计划期 T 内，对某种物品的总需求量为
Q ，由于库存费用及资金占用等因素。显然一次进
例5. 已知某产品价格为 P ，需求函数为 Q 50 5 P, 成本函数为C (Q) 50 2 Q，求产量 Q 为多少时利润 L 最大？最大利润是多少？
Q 解：由需求函数 Q 50 5 P ，可得 P 10 5 Q2 于是，收益函数为 R P Q 10Q 5
且能够向市场提供的商品量也就越多。因此一般 的供给函数都是单调增加的。 人们根据统计数据，常使用下面简单的供给函数 线性函数： Q aP b ，其中 幂函数： Q kP a ，其中
高等数学在经济学中应用及习题
P 0Q 供需平衡点Ck初始期发展期饱和期解：2,();29R Q Q R =-=5. 某工厂对棉花的需求函数由4.1PQ =0.11给出,（1）求其总收益函数R;（2）P(12),R(10), R(12),R(15),P(15),P(20)。
解：0.40.11,(15)0.0025,(12)0.0034,(20)0.0017,(10)0.044,R Q P P P R -=====(12)0.041,(15)0.037;R R ==6. 若工厂生产某种商品，固定成本200,000元，每生产一单位产品，成本增加1000元，求总成本函数。
解：()2000001000;C C Q Q ==+专题二连续复利问题注：若有一笔收益流的收入率为f(t) , 假设连续收益流以连续复利率r 计息, 从而总现值y=dte tf rtT-⎰0)(（*）。
2. 一对夫妇准备为孩子存款积攒学费, 目前银行的存款的年利率为5% , 以连续复利计算, 若他们打算10年后攒够5万元, 计算这对夫妇每年应等额地为其孩子存入多少钱?解：设这对夫妇每年应等额地为其孩子存入A元(即存款流为f( t) = A ), 使得10年后存款总额的将来值达到5万元, 由公式（*）得50000)10(02.010=-⎰dte A t，C x（Total Cost Function）1. 总成本函数()在经营活动中的总成本（用字母C表示）与产品的产量（用字母x表示）密切相关，经过抽象简化，可以看成仅是产量的函数，即()C C x =在不考虑产品积压，假设供求平衡的条件下，x 为产品的产量=x 为产品的销售量。
()()01C x C C x =+其中：0C 表示固定成本，如设备维修费、企业管理费等等，()1C x 表示可变成本，如购买原材料、动力费等等。
平均成本：()()()10C x C x C C x x x x==+ 2. 总收入（或称总收益）函数()R x （用字母R 表示）（Total Receipt Function ）()R R x =当产品的单价（price ）为p ，x 为销售量时()()()()R p R p x R , x x x x x=⋅==即平均收益函数3. 总利润函数()L x （用字母L 表示）（Total Gain Function ）()()() L L x R x C x tx ==--t x 为国家征税率， 为产量。
大学经济函数的概念
大学经济函数的概念大学经济函数是经济学中的一个重要概念，用于描述经济变量之间的关系。
经济函数可以是线性的、非线性的、单变量的或多变量的，它们可以用数学方程或图形来表示。
经济函数的研究对于理解经济现象、预测经济走势以及制定经济政策都具有重要意义。
经济函数的基本形式是Y = f(X)，其中Y表示因变量（dependent variable），X表示自变量（independent variable），f表示函数关系。
经济函数描述了自变量对因变量的影响，即经济变量之间的因果关系。
经济函数可以是线性的，即Y = aX + b，其中a和b是常数。
线性函数的特点是自变量和因变量之间的关系是直线的，自变量的变化对因变量的影响是恒定的。
例如，收入与消费之间的关系可以用线性函数来描述，即消费=边际消费倾向×收入。
经济函数也可以是非线性的，即Y = f(X)，其中f表示非线性函数。
非线性函数的特点是自变量和因变量之间的关系是曲线的，自变量的变化对因变量的影响是不恒定的。
例如，边际效用递减原理可以用非线性函数来描述，即边际效用=∂总效用/∂数量。
经济函数可以是单变量的，即只有一个自变量和一个因变量。
例如，需求函数可以用单变量函数来描述，即需求量=需求函数(价格)。
需求量是因变量，价格是自变量，需求函数描述了价格对需求量的影响。
经济函数也可以是多变量的，即有多个自变量和一个因变量。
例如，生产函数可以用多变量函数来描述，即产出=生产函数(劳动力，资本)。
产出是因变量，劳动力和资本是自变量，生产函数描述了劳动力和资本对产出的影响。
经济函数的研究可以通过数学方程或图形来进行。
数学方程可以用来求解函数的具体数值，而图形可以用来直观地表示函数之间的关系。
例如，通过绘制需求曲线和供给曲线的图形，可以分析市场均衡的价格和数量。
经济函数的研究对于理解经济现象具有重要意义。
通过分析经济函数，可以揭示经济变量之间的关系，帮助我们理解经济现象的本质。
03第三节常用经济函数
03 第三节常用经济函数常用经济函数是经济学中用来描述经济变量之间关系的数学模型。
这些函数可以用来分析经济发展、预测经济趋势、制定经济政策等。
下面介绍几种常用的经济函数及其含义。
一、消费函数消费函数是指消费者在某一时期内消费的商品或服务的数量与收入之间的函数关系。
通常表示为C=f(Y)，其中C表示消费，Y表示收入。
消费函数曲线是一条向右上方倾斜的曲线，表示随着收入的增加，消费也会增加。
但在达到一定收入后，消费增长速度会逐渐减缓，甚至出现零增长或负增长。
二、投资函数投资函数是指企业在某一时期内进行的投资数量与资本存量之间的函数关系。
通常表示为I=f(K)，其中I表示投资，K表示资本存量。
投资函数曲线是一条向右上方倾斜的曲线，表示随着资本存量的增加，投资也会增加。
但在达到一定资本存量后，投资增长速度会逐渐减缓，甚至出现零增长或负增长。
三、总供给函数总供给函数是指某一时期内，企业愿意且有能力提供的商品和服务的总量与价格水平之间的函数关系。
通常表示为Y=f(P)，其中Y表示总供给，P表示价格水平。
总供给函数曲线是一条向右下方倾斜的曲线，表示随着价格水平的提高，总供给会减少。
但在达到一定价格水平后，总供给增长速度会逐渐减缓，甚至出现零增长或负增长。
四、总需求函数总需求函数是指某一时期内，消费者愿意且有能力购买的商品和服务的总量与价格水平之间的函数关系。
通常表示为Y=f(P)，其中Y表示总需求，P表示价格水平。
总需求函数曲线是一条向右下方倾斜的曲线，表示随着价格水平的提高，总需求会减少。
但在达到一定价格水平后，总需求增长速度会逐渐减缓，甚至出现零增长或负增长。
五、菲利普斯曲线菲利普斯曲线是指通货膨胀率与失业率之间的函数关系。
通常表示为π=f(u)，其中π表示通货膨胀率，u表示失业率。
菲利普斯曲线是一条向右下方倾斜的曲线，表示随着失业率的降低，通货膨胀率会上升。
但在达到一定失业率后，通货膨胀率增长速度会逐渐减缓，甚至出现零增长或负增长。
常用经济函数模型
一、 需求函数、供给函数与市场均衡
3. 市场均衡 需求量=供给量 Q S 市场均衡价格 记为p0 市场均衡数量 Q0
p0,Q0 称为市场均衡点
当市场价格高于均衡价格时, 将出现供过于求的现象 当市场价格低于均衡价格时,将出现供不应求的现象.
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例3 设某商品的需求函数和供给函数分别为
2 试将每日产品全部销售后获得的总利润L表示为
日产量x的函数.
3试求盈亏平衡点.
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解：（1）平均单位成本为C x C x 1 x 6 100 (x 0)
x9
x
（2）总收入函数R
x
xp
x
x
46
1 3
x
1 3
x2
46x
总成本函数为C x 1 x2 6x 100
一、 需求函数、供给函数与市场均衡
2. 供给函数 S S( p)，其中S表示供给量，p表示价格
供给函数为价格 p 的单调增加函数． •常见的供给函数有以下几种类型：
(1)线性供给函数
S ap b (a 0,b 0)
(2)二次供给函数
S ap2 bp c (a 0,b 0, c 0)
温故知新
直线表达式
• 斜截式： y kx b
• 点斜式： y y1 k x x1
•
y y1 两点式： y2 y1
x x1 x2 x1
•
截距式：
x a
y b
1
• 一般式： Ax By C 0
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一、 需求函数、供给函数与市场均衡
1. 需求函数
Q Q( p) 其中,Q表示需求量, p表示价格.
1.3 常用的经济函数介绍
4、收益函数与利润函数 TR(Q) PQ , AR P , (Q) TR(Q) TC (Q)
QS QS ( P )
称为供给函数.
常见的供给函数： 线性函数： QS aP b , a , b 0 幂函数：
QS kP a , a 0 , k 0
bP Q ae , a0,b0 指数函数： S
在同一个坐标系中作出需求曲线 D和供
给曲线 S ，两条曲线的交点称为供需均衡点， 该点的横坐标称为供需均衡价格 .
将本利和A1再存入, 第2期末的本利和为:
A2 A1 A1r A0 (1 r )2
再把本利和存入银行, 如此反复, 第t期末的本利和为:
At A0 (1 r )t
若按年为期, 年利率为R, 则第n年末的本利和为:
An A0 (1 R)n
二、需求函数与供给函数
1、需求函数
需求的含义：消费者在某一特定的时期内， 在一定的价格条件下对某种商品具有购买力 的需要． 如果价格是决定需求量的最主要因素， 可以认为 需求量QD 是 价格P的函数。记作
QD QD ( P )
称为需求函数.
常见的需求函数：
线性函数： QD aP b 幂函数： QD kP a 指数函数： QD ae bp ( 其中 a,b,k > 0 ) 需求函数QD=QD(P)的反函数，称为价格函 数，记为 P=P(QD）
TR(Q) PQ , AR P
例 4 设某商品的需求关系是 3Q+4P=100, 求总收 益和平均收益．
100 3Q P , 解 价格函数为 4
100Q 3Q 所以总收益为TR(Q ) P Q , 4 平均收益为 AR(Q ) P (Q ) 100 3Q . 4
常用经济函数模型
常用经济函数模型经济函数模型是用来描述经济变量之间关系的数学模型。
在经济学中，一些常用的经济函数模型包括：1.消费函数模型：描述消费支出与收入之间的关系。
一般形式为C=α+βY，其中C表示消费支出，Y表示收入，α和β是参数。
这个模型表明消费支出与收入之间存在正相关关系，即收入越高，消费支出也越高。
2.投资函数模型：描述投资支出与利率之间的关系。
一般形式为I=I0(r)，其中I表示投资支出，r表示利率，I0是利率为零时的投资支出。
这个模型表明投资支出与利率之间存在负相关关系，即利率越高，投资支出越少。
3.生产函数模型：描述一定时期内生产过程中各要素的投入与产出之间的关系。
一般形式为Y=F(X1,X2,Xn)，其中Y表示总产出，X1,X2,Xn表示各种生产要素的投入量，F是生产函数。
这个模型表明在一定时期内，生产要素的投入量与产出量之间存在一定的函数关系。
4.成本函数模型：描述一定时期内生产成本与产量之间的关系。
一般形式为C=C(Y)，其中C表示总成本，Y表示总产量。
这个模型表明在一定时期内，随着产量的变化，生产成本也会发生变化。
5.收益函数模型：描述一定时期内销售收入与销售量之间的关系。
一般形式为R=R(Q)，其中R表示总收入，Q表示销售量。
这个模型表明在一定时期内，随着销售量的变化，销售收入也会发生变化。
6.利润函数模型：描述一定时期内企业利润与产量之间的关系。
一般形式为π=π(Y)，其中π表示总利润，Y表示总产量。
这个模型表明在一定时期内，随着产量的变化，企业利润也会发生变化。
这些经济函数模型在经济学的各个领域中都有广泛的应用。
例如，在宏观经济分析中，可以通过消费函数模型和投资函数模型来预测经济增长；在微观经济分析中，可以通过生产函数模型和成本函数模型来制定企业生产计划和进行成本控制；在市场营销中，可以通过收益函数模型和利润函数模型来制定销售策略和进行利润管理。
需要注意的是，这些经济函数模型都只是对现实经济现象的近似描述，并不完全准确。
常用经济函数
当 L R C 0 时, 生产者亏损;
当 L R C 0 时, 生产者盈亏平衡;
使 L( x) 0的点 x0称为盈亏平衡点(又称为
盈亏转折点、保本点).
平均利润L L( x) R( x) C( x) R C
x
x
《高等数学(一)》
辽宁对外经贸学院
解 据 C( x) C固 C变 , 可得每天总成本函数为
C( x) 160 8x, x [0,200] 每天总收益函数 R R( x) 10x, x [0,200]
《高等数学(一)》
辽宁对外经贸学院
每天总利润函数
L( x) R( x) C( x) 10x (160 8x) 2x 160,
即C C ( x) C0 C1 ( x)
x
x
《高等数学(一)》
辽宁对外经贸学院
例7 某工厂生产某产品,每日最多生产200单位.它的 日固定成本为150元, 生产一个单位产品的可变成本 为16元. 求该厂日总成本函数及平均成本函数.
解 据 C( x) C固 C变 , 可得总成本
C( x) 150 16x, x [0,200]
均衡 数量
均衡
Q0
价格
供求平衡点 E
P0
《高等数学(一)》
辽宁对外经贸学院
例6 某种商品的供给函数和需求函数分别为
Qs 25P 10, Qd 200 5P
求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.
解 由均衡条件 Qd Qs 得 200 5P 25P 10
30 p 210
P0 7 Q0 25P0 10 165
平均成本
C
(x)
C(x) x
16
1.5 经济学中的几个常用函数
②市场规律：涨价需求减少,降价需求增加。 故需求函数是价格的单调减函数。
为了和后面的供给函数区别， 需求函数一般记为Qd 一
⑶常见的需求函数与需求曲线 ①线性需求(最常见的)
Qd a bP (a 0, b 0)
Q
a
Qd a bp
o
Q
a为价格为0时的最大需求量。 ②反比需求
Qd A P ( A 0)
故该MP4的线性需求函数为
一
Ｑ＝6000-8P.
5、供给函数Ｑs ＝g (P) (Ｑ:供给量; P:价格)
⑴供给量 一定价格条件下，生产者愿意且有可供出 售的某种商品的数量． 供给量==需求量（共需平衡）
⑵影响供给量的因素很多： ①价格：也是最主要的因素； 故供给量可看成价格的一元函数。 ②市场规律：涨价供给增加,降价供给减少。 故供给量Q s是价格P的单调增函数．
一
⑶常见的供给函数与曲线 线性供给函数(最简单的)
Q s c dp
Q
(c 0, d 0)
Qs c dp
o
c
p
一
例3.已知鸡蛋收购价每公斤5元时，每月能收购5000 公斤。若收购价每公斤提高0.1元，则收购量可增加 500公斤，求鸡蛋的线性供给函数。
解 设鸡蛋的供给为Ｑs＝-c+dp， 其中Ｑs为收购量，p为收购价格， 当p=5.1时, 由题设知： 当p=5时,Ｑd＝5000， Ｑs＝5000+500=5500， 代入Ｑs＝-c+dp，可得
p
Qd A p
缺点：变化太明显。
o
Q
A
Qd Ae
bp
③指数需求
Qd Ae
bP
经济学中常用函数
B
b M
a xC
ynx2a2m (bx),x [0 ,b ]
13
例7 (复利息问题)设银行将数量为 A0 的款贷出, 每 期利率为 r. 若一期结算一次, 则 t 期后连本带利可收回
A0(1 r)t 若每期结算 m 次, 则 t 期后连本带利可收回
A0[(1m r)m]tA0(1m r)mt
Q sg(p)cpd (c、d 均为正常数)
反应供给量与价格关系的曲线,我们称之为供给曲线,
如图.
Q
o
d
p
c
–d
5
显然只有价格不低于 d/c 时, 才有供给量Qs, 因为厂 商都不愿作亏本生意.
例2 某商品当价格为50元时, 有50单位投放市场, 当价格为75元时, 有100单位投放市场, 求供给 Qs 与价 格p的函数.
§1.3 经济学中常用的函数
一. 常用的几个经济函数 二. 建立函数关系举例
1
§1.3 经济学中常用的函数
一.常用的几个经济函数
1.需求函数
(1) 需求函数商品的需求量 Qd,受消费者的偏好收入及 商品价格等等因素的影响. 但最主要的是价格因素; 若
不考其它因素, 把需求量 Qd 只看成价格 p 的函数, 即 Qd f (p)
运用数学来解决实际问题, 首先要把问题中的数量关系 用数学表达式表示出来, 也就是建立数学模型. 为此必须明
确问题中的常量和变量, 变量中的自变量和因变量, 以及 它们之间存在什么关系, 以确定函数关系,根据实际问题 的要求指出定义域.
例3 某型号手机价格为每只1000元时能卖出15只, 当价
格为每只800元时, 能卖出20只. 已知手机的价格高低与
解 设批量为 x台, 库存费与生产准备费之和为p(x) , 则 全年的生产准备费为 (a/x) ∙ b, 库存费为 (x/2) ∙ c, 故
简单的经济函数
L(x) ≥0
Lx Rx Cx 25x 20x 3000
例2：某产品日产量为x件，每天生产不超过150件， 且全部售出. 当日产量不超过90件时，每件 售价为50元；当日产量超过90件时，每增加 一件销售价格下降0.5元. 试写出日销售收入 R与日销售量x的函数关系式.
西南财经大学天府学院
• 解：
因为，一种商品的市场供给量Q s 与其价格p的关系为：
p↑
Qs↑
Qs
p↓ Qs↓
Q所s 以，fs (供p给) 函数c为 d：p
o c/d
p
Df = [0 ，+∞] 单调增加
[c、d >0常数，c/d = min p (此时Qs=0)]
西南财经大学天府学院
• 供给量Q s 是价格 P的单调增加函数。 常见的供给函数：
1）、线性函数型： QS b aP a 0,b 0
2）、二次函数型： Qs a bP cP2 a 0,b 0,c 0
3）、指数函数型 Qs AekP B A 0, B 0, k 0
在市场上，当供给量小于需求量时，出现供不应求， 引起价格上涨；当供给量大于需求量时，出现供过于求 这样又引起价格下跌，当供给量等于需求量时市场处于 均衡状态，此时的价格P称为市场均衡价格 P
P是方程 f P P 0 的根 西南财经大学天府学院
例 : 鸡蛋收购价为3.5元/kg, 每月能收购5000kg, 若收购价每公斤提高0.2元, 则收购量可增加 500kg, 求鸡蛋的线性供给函数。
解：设线性供给函数为 Qs c dp 由p=3.5, Qs=5000 ; p=3.7, Qs=5500 , 得
Qd ↓
当 p < pe QS ↓；
Qd ↑
经济中的常用函数
因 a 1 0, 故二次函数有最大值.5当Q Nhomakorabea b 2a
80 2 ( 1)
200
时,
R 取得最大值：
5
4ac b2 802
Rmax
4a
8000.
4 ( 1)
5
某产品的销售价格为 P，其销售量 Q 是价格 P
的函数：Q 20 P, （1）试写出收入函数 R(Q) ； （2）当销售量 Q =10时,试求其收入与平均收入； （3）试问销售量是多少时,收入取得最大值? 解：
成本：企业为生产和销售产品所支出费用的总和. 固定成本： 不受产量变化影响的成本. 变动成本： 随产量变化而变化的成本.
Q
产量
C
成本
C0
固定成本
C1
变动成本
变动成本 C1 是产量 Q 的函数,记作 C1(Q).
成本 C 是产量 Q 的函数,记作 CQ.
函数 C(Q)叫做成本函数. 在一定产量 Q 时,单位产品的成本,叫做平均成本.
把 x =25, y =210代入上式得 210 k 25 b, ②
解由①、 ②组成的方程组得 k 30, b 960,
所以销售量
y 30x 960.
（2） 因为成本函数 C 16 y 16 (30x 960),
收入函数 R x y x (30x 960).
所以,利润函数 L R C x (30x 960) 16 (30x 960)
5
（2）L(Q) 8Q Q2 50 是关于 Q 的二次函数,
5
因为 a 1 0 ,二次函数有最大值.
5
当 Q b 8 20 时,最大值为
2a 2 ( 1) 5
Lmax
L(20)
财务中经常用到的函数
财务中经常用到的函数
1.SUM：求和函数，用于计算一组数字的总和。
2.AVERAGE：平均数函数，用于计算一组数字的平均值。
3.MAX：最大值函数，用于计算一组数字中的最大值。
4.MIN：最小值函数，用于计算一组数字中的最小值。
5.COUNT：计数函数，用于计算一组数字中非空单元格的数量。
6.IF：条件函数，在满足指定条件时返回一个值，否则返回另一个值。
7.VLOOKUP：垂直查找函数，用于在一个表格中查找指定数值对应的值。
8.HLOOKUP：水平查找函数，用于在一个表格中查找指定数值对应的值。
9.NPV：现值函数，用于计算一个投资项目的净现值。
10.IRR：内部收益率函数，用于计算一个投资项目的内部收益率。
经济数学1.6经济学中常用的函数
经济数学 1.需求函数与供给函数 • 例1 当鸡蛋收购价为每千克4.5元时，某收购站 每月能收购5000kg.若收购价每千克提高0.1元， 则收购量可增加400kg，求鸡蛋的线性供给函数. 解： 设鸡蛋的线性供给函数为 由题意得
5 0 0 0 c 4 .5 d 5 4 0 0 c 4 .6 d
经济数学
工厂生产某种产品, 生产准备费1000元, 可变资本4元，单位售价8元。 • 求
(1) 总成本函数;
练习
(2) 单位成本函数;
(3) 销售收入函数; (4) 利润函数. 解
C ( x ) 4 x 1000
1000 x
C (x)
4
R ( x )
8 x
L( x ) R ( x ) C ( x ) 4 x 1000
经济数学 3. 价格函数、收入函数、利润函数 (3) 利润函数
总利润 L ( q ) 等于总收入 R ( q ) 与总成本 C ( q ) 的差，所以总利润函数为 ：
L (q ) R (q ) C (q )
：
q
个单位产品时的平均利润为：
L (q ) q R (q ) C (q ) q
L
Q Q ( p)
常见的需求函数有以下几种类型：
线性需求函数 二次需求函数
Q a bp (a 0, b 0)
2
Q a bp cp
(a 0, b 0, c 0)
指数需求函数
Q Ae
bp
( A 0, b 0)
经济数学 1.需求函数与供应函数 (2) 供应函数
Q c dp
Q a bp cp
(1-1) 经济函数
年订货与库存总成本
年订货与库存总成 本 C(q) 由 年 库 存 成 本与年订货成本组 成，即
q D C (q ) a b 2 q
q D a b 2 q
总 成 本
C (q )
O
q*
订货批量
如图3。其中 q* 为经 济批量。
图3 库存成本、订货成本与总成本曲线
案例2
a 某工厂生产某型号车床， 年产量为 台， 分若 干批进行生产，每批生产准备费为 b 元。设产品 均匀投入市场， 且上一批用完后立即生产下一批， 即平均库存量为批量的一半。设每年每台库存费 为 c 元。显然，生产批量大则库存费高；生产批 量少则批数增多，因此准备费高。为了选择最优 批量，试求出一年中库存费与生产准备费之和与 批量的函数关系。
1 2 R R(Q) 400Q Q , 0 Q 400 2
求利润函数。
解 总成本函数为
C C (Q) 20000 100Q
由会计学知， 未销售的产品进入产成品 仓库，本期核算利润时不予以考虑，则利 润函数为
L L(Q) R(Q) C (Q)
2
Q 300Q 20000, 2
案例1.8
六、库存函数
案例 1 设某公司按年度计划需要某种物资 D 单位，已知该物资每单位每年库存费为 a 元， 每次订货费为 b 元，为了节省总成本，分批 订货，假定公司对这种物资的使用是均匀的， 如何求订货与库存总成本最小的订货批量。
年平均库存量
q
q 2
T1
T2
Tn
年库存成本
设订货批量为 q 单 位，则年平均库存 量为 q/2，因为每单 位该物资每年库存 费为 a 元，则：年 库存成本＝(q/2)×a。 可见，库存成本与 订货批量成正比， 如图1。
经济数学 第三单元 经济分析中常见函数
经济数学基础 第一章 函数第三单元 经济分析中常见函数第一节 需求与供给函数一、学习目标通过本节课的学习，了解经济分析中的需求函数与供给函数．二、内容讲解这一节课的内容是要把学习数学和将来搞经济工作联系起来，我们把经济分析中最最常见的5种函数介绍给大家（这节课只介绍前两个）．同时我们希望通过这一节的学习能够使大家感受到数学工具在经济分析中的应用．定义1.9——需求函数和供给函数．大家可以想象到一个商品在市场上的需求肯定是与它的价格有关系，价格贵，需求量就少，价格便宜，买的人就多．需求和价格之间是有关系的，它们是不是函数关系呢？我们可以把它简化为一种函数关系．我们先不考虑其它因素，简单地认为价格定了需求量就随之确定，这样需求量就是价格的函数．供给，就是厂方能够为市场提供多少产品，当然它也是和价格有关系的，产品价格高，厂方就增加生产，反之供给量就减少．我们也可以把它简化为一种函数关系．需求量与价格之间的函数就称为需求函数，供给量与价格之间的函数就称为供给函数．现在我们讨论一种最简单的情况，认为需求函数和供给函数都是线性函数（一次函数），在这种关系下通过讨论看可以得到什么性质．)0,0(<>+=b a b ap q dd q 表示需求量，p 表示价格，b a ,表示常数．经济数学基础 第一章 函数)0,0(1111><+=b a b p a q ss q 表示供给量，p 表示价格，11,b a 表示常数．我们容易理解需求量应随价格的增加而减少，所以0<a ，当然0>b ．而供给量应随着价格的增加而增加，所以01>a ，01<b ，因为当价格为零时，不会有供给量．从图形上看，需求函数是一条单调下降的直线，供给函数是一条单调上升的直线．我们把这两条曲线放在同一个坐标系中，就会发现有这样的关系，两条直线交于一点，这一点的含义是，在价格为0p 时，产品的需求量与供给量是相同的，即供需达到了平衡．这一点称为供需平衡点．价格超过0p 时，供过于求；价格低于0p 时，供不应求．在经济分析中，供需平衡点所对应的价格，称为市场均衡价格；它所对应的需求量或供给量称为市场均衡数量．思考问题：在需求函数的表达式中，为什么要有b>0？经济数学基础 第一章 函数答案因为表达式中的a 取负值，而在合理的价格范围内，需求量应为正值，所以有b>0．三、例题讲解某种商品的供给函数和需求函数分别为1025-=p q s ，p q d 5200-=，求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量．解：由市场均衡条件s d q q =得到p p 52001025-=- 解出70=p ，1650=q四、课堂练习1.已知某产品的供给函数为q s ＝3p －5，需求函数为q d ＝15－2p ，求该产品的市场均衡价格和市场均衡数量．由市场均衡条件q d ＝q s 可得15－2p ＝3p －5整理得：0205=-p ．得，五、课后作业1.市场中某种商品的需求函数和供给函数分别为p q d -=25，340320-=p q s试求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.20,54 0 = p 7 0 = q经济数学基础 第一章 函数第二节 成本、收入和利润函数一、学习目标通过本节课的学习，了解经济分析中的成本函数、收入函数和利润函数．知道它们之间的关系．二、内容讲解我们再介绍经济分析中常见的三种函数：第一种叫做成本函数，第二种叫做收入函数，第三种叫做利润函数．定义1.10——成本函数．一种产品的成本可以分为两部分：固定成本C 0，比如，生产过程中的设备投资，或使用的工具，不管生产产品与否，这些费用都是要有的，它是不随产量而变化的，这种成本称为固定成本．变动成本C １，比如每一件产品的原材料，这些费用依赖于产品的数量，这种成本称为变动成本．总成本就是固定成本加上变动成本：C =C 0+C １成本应与产品的产量有关，这种函数表示为：C (q )=c 0+C １(q )这就是成本函数．其中总成本C (q )是产量q 的函数，c 0与产量无关，变动成本C １(q )也是产量q 的函数．我们在引入平均成本的概念：q q C C )(总成本除以产量q ，就是产量为q 时的平均成本，用C 来表示．定义1.11——收入函数一种产品销售之后就会有销售收入，销售收入应该是价格乘以产量．但价格与产量之间也有一定的关系，这样就得到R = q p (q )经济数学基础 第一章 函数其中p (q )是价格与产量之间的函数关系．相应地有平均收入函数q q R R )(=现在我们来研究一种最简单的情况，把收入看作产量的线性函数（价格不随产量而变化），也就是R =pq ，它的图形就是下面这样图形说明销售数量越多收入越多，这是一条单调增加的直线．定义1.12——利润函数利润函数大家也容易理解，因为在收入中减去成本得到的就是利润．既然成本是产量q 的函数，收入也是q 的函数，那么利润也是q 的函数．即L (q )=R (q )−C (q )相应地有平均利润函数的概念：q q L L )(=（1）L (q )>0盈利，（2）L (q )<0亏损，（3）L (q )=0盈亏平衡 满足L (q )=0的q 0称为盈亏平衡点（又称保本点）．在假设成本函数和收入函数都是线性函数的情况下来做一些分析： C =c 0+c １qR =pq 它们的图形是经济数学基础 第一章 函数两条直线的交点表示收入与成本相等，q 0就是盈亏平衡点． 如果两条直线出现了下面这种情况此时两条直线没有交点，也就是没有盈亏平衡点．为了找到盈亏平衡点，我们可以采取两种手段，一种是提高价格；另一种是降低变动成本c 1．这两种手段都可以重新找到盈亏平衡点.从几何上看，增加直线R 的斜率或减小直线C 的斜率都可以使两条直线重新相交．从以上分析可以看出数学工具在经济分析中的作用．三、例题讲解例1生产某商品的总成本是q q C 2500)(+=，求生产50件商品时的总成本和平均成本．解：成本q q C 2500)(+=，平均成本25002500)()(+=+==q q q q q C q C600502500)50(=⨯+=C ，12250500)50(=+=C经济数学基础 第一章 函数例2 某商品的成本函数与收入函数分别为q C 521+=，q R 8=，求该商品的盈亏平衡点．解：q q C 521)(+=，q q R 8)(=，)()(q R q C =q q 8521=+，即7=q四、课堂练习练习1 已知生产某种产品的总成本为C (q )＝50＋2q ＋0.1q 2，该产品的需求函数为q ＝40－2p ，试求产量q 为10时的总利润和平均利润．练习2 某企业生产一种产品的固定成本c 0为20万元，变动成本为C 1＝2q （万元），其中q 为该产品的产量（单位：百件），该产品每件的售价为300元．试求该产品的盈亏平衡点，并说明盈亏情况．由于产量q 的单位是百件，每件的售价为300元，因此R (q )＝3q ，成本C (q )为固定成本和变动成本之和，故C (q )＝20＋2q ，由此得到L (q )＝R (q )－C (q )＝3q －(20＋2q )＝q －20五、课后作业1．设某商品的成本函数是线性函数，并已知产量为零时，成本为100元，产量为100时成本为400元，试求：（1）成本函数和固定成本；（2）产量为200时的总成本和平均成本．2．设某商品的需求函数为p q 51000-=，试求该商品的收入函数)(q R ，并求销量为200件时的总收入．经济数学基础 第一章 函数3．设某商品的成本函数和收入函数分别为q C 521+=，q R 8=，试求： （1）该商品的利润函数；（2）销量为4时的总利润及平均利润；（3）销量为10时是盈利还是亏损？。
经济师函数知识点归纳总结
经济师函数知识点归纳总结经济师函数知识点归纳总结引言：经济学中的函数是研究经济现象和经济关系的重要工具。
函数是一种数学工具，可用来描述两个变量之间的关系。
经济师在研究经济问题时，通常会使用各种各样的函数来描述不同的经济关系。
本文将对经济师常用的函数进行归纳总结，希望能为读者提供一个全面而清晰的概览。
一、线性函数线性函数是最简单和最常用的函数之一，在经济学中被广泛应用。
线性函数的表达式为：y = ax + b。
（其中，a和b为常数）线性函数的特点是在平面坐标系中表示为一条直线。
例如，如果我们用y表示消费支出，x表示收入，那么x和y之间的关系可以用线性函数来描述。
二、二次函数二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c都是常数。
二次函数的图形是一个抛物线，通常有一个最高点或最低点。
在经济学中，二次函数常用于描述边际效应和成本曲线。
例如，当我们研究某种产品的成本与产量之间的关系时，二次函数可以帮助我们更好地理解成本的变化情况。
三、指数函数指数函数是形如y = a^x的函数，其中a是一个常数。
指数函数的特点是随着x的增加，y值会以指数形式增长或下降。
指数函数在经济学中常用于描述增长率和复利的概念。
例如，当我们研究人口增长、经济增长或利息计算时，指数函数可以提供更准确的结果和预测。
四、对数函数对数函数是指形如y = loga x的函数，其中a是一个常数。
对数函数与指数函数是互逆的关系，即对数函数和指数函数互为反函数。
对数函数在经济学中也是常用的函数之一。
例如，当我们研究货币的时间价值、价格弹性或投资回报率时，对数函数可以为我们提供更多的信息和洞察。
五、多项式函数多项式函数是指形如y = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n 的函数，其中a0、a1、a2...a和n都是常数。
多项式函数在经济学中常用于描述复杂的经济关系和现象。
例如，当我们研究经济增长模型、生产函数或收益递减时，多项式函数可以提供更加灵活的表达和分析工具。
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An A0 (1 R)n
二、需求函数与供给函数
1、需求函数
需求的含义：消费者在某一特定的时期内， 在一定的价格条件下对某种商品具有购买力 的需要．
如果价格是决定需求量的最主要因素， 可以认为 需求量QD 是 价格P的函数。记作
QD QD (P)
4
所以总收益为TR(Q) P Q 100Q 3Q2 , 4
平均收益为 AR(Q) P(Q) 100 3Q . 4
2、利润函数
利润是生产中获得的总收益与投入的总成
本之差。即 (Q) TR(Q) TC(Q)
利润函数的三种情况：
Q TRQ TC Q 0 盈余状态 Q TRQ TC Q 0 亏损状态 Q TRQ TC Q 0 保本状态
所以 (Q) TR(Q) TC(Q)
20 18Q 0.5Q2
(20) 20 18 20 0.5 202
140(万元)
20
(20)
7
令20 18Q 0.5Q2 0
20
解得： Q1 1.15,Q2 34.85
例6 某厂生产一种产品，据调查其需求函数为 Q=-900P+45000，生产该产品的固定成本是 270000元，而单位产品的变动成本为10元，为 获得最大利润，出厂价格应为多少？
(舍去)，
P2 15 Q2 6
三、成本函数与平均成本函数
1、成本函数
成本是生产一定数量产品所需要的各种生
产要素投入的价格或费用总额，它由固定成本 与可变成本两部分组成.
TC(Q) FC VC (Q)
2、平均成本函数
平均成本
总成本 产量
固定成本 可变成本 产量
即AC C(Q) FC VC(Q) QQ Q
总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部 收入. 用 Q 表示出售的产品数量，TR 表示总收 益, AR表示平均收益，则
TR TR(Q) , AR TR(Q) Q
如果产品价格 P 保持不变，则
TR(Q) PQ , AR P
例 4 设某商品的需求关系是 3Q+4P=100,求总收 益和平均收益． 解 价格函数为P 100 3Q ,
称为需求函数.
常见的需求函数：
线性函数：QD aP b
幂函数： QD kP a 指数函数：QD aebp
( 其中 a,b,k > 0 ) 需求函数QD=QD(P)的反函数，称为价格函 数，记为
P=P(QD）
例 1 设某商品的需求函数为
Q aP b (a, b 0)
讨论P=0时的需求量和Q=0时的价格.
优选常用的经济函数介绍
一、单利公式与复利公式
1、单利公式
设现有本金A0, 每期利率为r, 期数为n,每期末结算
第1期末的本利和为:
A1 A0 A0r A0(1 r)
第2期末的本利和为:
A2 A0r A0(1 r) A0(1 2来自)第n期末的本利和为:
An A0(1 nr)
我国银行的定期存款实行的是单利计息的方法.
例 3 已知某种产品的总成本函数为
Q2 TC (Q) 1000 .
8
求当生产 100 个该产品时的总成本和平均成本．
解 由题意，求产量为100时的总成本
1002
TC (100) 1000
2250,
8
平均 成本为AC(100) 2250 22.5 100
四、收益函数与利润函数
1、收益函数
QS QS (P)
称为供给函数.
常见的供给函数： 线性函数： QS aP b , a , b 0 幂函数： QS kPa , a 0 , k 0 指数函数： QS aebP , a 0 , b 0
在同一个坐标系中作出需求曲线 D和供 给曲线 S ，两条曲线的交点称为供需均衡点， 该点的横坐标称为供需均衡价格 .
解 P=0时，Q=b，它表示价格为零时的
需求量为 b ，称为饱和需求量；
Q
0时
P
b a
,
表示价格为
b时 a
,
无人愿意购买此商品.
2、供给函数 供给的含义：在某一时间内，在一定的价格 条件下，生产者愿意并且能够售出的商品．
如果价格是决定供给量的最主要因素， 可以认为 供给量Q 是价格 P 的函数。记作
供需均 衡价格
供需均衡点 (Q*,P*)
均衡数量
例2 某商品的需求量和价格的关系满足
Q2 20Q P 99
供给量与价格的关系满足 3Q2 P 123 试求市场达到供需平衡时的均衡价格和均 衡需求量.
解： 由
Q2 20Q P 99
3Q2 P 123
解得
P1 Q1
120 1
解 成本函数 TC(Q)=270000+10Q 需求函数 Q=-900P+45000 故 TC(P)=-9000P+720000 收益函数 TR(P)=PQ=-900P2+45000P 利润函数 π(Q)=TR(P)-TC(P) =-900(P-30)2+90000 当P=30时，取得最大利润90000 元. 所以该产品的出厂价应定为30元.
2、复利公式
设现有本金A0, 每期利率为r, 期数为t. 每期末结算 第1期末的本利和为:
A1 A0 A0r A0 (1 r ) 将本利和A1再存入, 第2期末的本利和为:
A2 A1 A1r A0 (1 r )2 再把本利和存入银行, 如此反复, 第t期末的本利和为:
At A0 (1 r )t
把满足 Q TRQ TC Q 0 的Q0
称为盈亏平衡点（保本点）.
例 5 设某种商品的总成本为TC(Q) 20 2Q 0.5Q2 , 若每售出一件该商品的收入是 20 万元，求生产 20 件的总利润、平均利润、该经济活动的无盈亏点.
解 由题意知P 2（ 0 万元）,
总收益为TR(Q) P Q 20Q