【精品奥数】三年级上册数学思维训练讲义-第7讲 植树问题 人教版(含答案)

第七讲 植树问题
第一部分：趣味数学
小朋友们，数学是门有意思的学科，生活中也有着很多的数学知识。

爸爸给晶晶出了一道题：“小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔3米植一棵，已经植了9棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？”晶晶一看，随口答题：“27米。

”同学们，晶晶答对了吗？
这一类应用题我们通常称为“植树问题”。

解答这类问题的关键是要弄清总距离、间隔长和棵数三者之间的关系。

解答植树问题先要考虑植树的方式，一般在不封闭的线路上植树，棵数＝总距离÷间隔长＋1；在封闭的线路上植树，棵数＝总距离÷间隔长。

另外，生活中还有一些问题，可以用植树问题的方法来解答。

比如锯木头、爬楼梯问题等等，这时解题的关键是要将题目中的条件和问题与植树问题中的“总距离”、“间隔长”、“棵数”对应起来。

间隔长指的就是两棵树之间的长度。

第二部分：奥数小练
【例题1】小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔3米植一棵，已经植了
9棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？
要得出正确的结果，我们可以画出如下的示意图：
根据“已经植了9棵”，从图中可以看出，第一棵树和第九棵树之间的间隔是9-1=8（个），每个间隔是3米，所以第一棵和第九棵相距3×8=24（米），具体列式如下：
3×（9-1） =3×8=24（米）
答：第一棵和第九棵树相距24米。

解这种题的关键在于弄清这属于两端都植的情况，总结规律是：间隔数=棵树-1。

练习1：
（1） 在路的一侧插彩旗，每隔5米插一面，从起点到终点共插了20面，这条道路有多 03米6米9米12米15米18米21米24米9棵
8棵7棵6棵5棵4棵3棵2棵1棵
长？
（2）在学校的走廊一边，每隔4米放一盆菊花，从起点到终点一共放了17盆，这条走廊长多少米？
【例题2】在一条长42米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了14棵，已知相邻
两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多少米？
【思路导航】根据“在路的两侧共栽了14棵树”这个条件，我们可以先求出每一侧栽了14÷2=7（棵）树，那么从第1棵树到第7棵树之间的间隔数是7-1=6（个）。

42米长的大路平均分成6段，每段是42÷6=7（米）。

解这类题的关键在于注意“两侧”这个条件。

列式如下：
42÷（14÷2-1）=42÷（7-1）=42÷6 =7（米）
答：相邻两棵树之间的距离是7米。

练习2：（1）在公园一条长25米的路的两侧放椅子，从起点到终点共放了12把椅子，相邻两把椅子距离相等。

相邻两把椅子之间的距离是多少？
（2）植树节到了，同学们在一条长54米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了20棵，已知相邻两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多少米？
【例题3】把一根钢管锯成小段，一共花了28分钟，已知每锯开一段需要4分钟，这
根钢管被锯成了多少段？
【思路导航】我们先求出钢管被锯开了28÷4=7（处），因而被锯开的段数有7+1=8（段）。

列式如下：
28÷4+1 =7+1 =8（段）
答：这根钢管被锯成了8段。

练习3：
（1）一根圆木锯成4米长的小段，一共花了12分钟。

已知每锯下一段要3分钟，这根圆木长多少米？
（2）王叔叔用了30分钟将一根木头锯成了6段。

那么当他把这根木料锯成4段时，需要多长时间？
【例题4】甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到4楼时，乙恰好跑到3楼，照这样计算，甲跑到16楼时，乙跑到了多少楼？
【思路导航】解答爬楼梯问题时，不能以楼层进行计算，而要用楼梯段数进行计算，因为第一层楼是不用爬的，“楼层数-1”才是要走的“楼梯段数”，根据题意“甲跑到4楼时，乙恰好跑到3楼”，实际上是说“甲跑3段楼梯与乙跑2段楼梯所用的时间相同。

”照这样计算，甲跑到16楼，也就是跑了15段楼梯，应是甲跑3段楼梯所用的时间的5倍，在同一时间里，乙跑的楼梯段数也是他跑2段楼梯的5倍，也就是这时乙跑了10段楼梯，即他跑到了第10+1=11（楼）。

列式如下：
（3-1）×[（16-1）÷（4-1）]+1 =2×5+1 =11（楼）
答：甲跑到16楼时，乙跑到了11楼。

练习4：小明和小红两人爬楼梯比赛，小明跑到第4层时，小红跑到第5层，照这样计算，当小明跑到第10层时，小红跑到了第几层？
【例题5】一个圆形跑道长300米，沿跑道周围每隔6米插一面红旗，每两面红旗中
间插一面黄旗，跑道周围各插了多少面红旗和黄旗？
【思路导航】在圆周上插旗，插的面数正好等于分成的段数，所以插了红旗300÷6=50（面），由于每两面红旗中间插一面黄旗，所以黄旗的面数就等于红旗的面数，也是50面。

（其他的封闭图形道理一样）
300÷6=50（面）
答：跑道周围插了50面红旗和50面黄旗。

练习5：
（1）有一个正方形水池，周长是200米。

如果沿着水池周围每隔10米装一盏红灯，再在相邻的两盏红灯中间等距离地装4盏黄灯。

问水池周围一共装了几盏红灯？几盏黄灯？
（2）一条公路长480米，在两旁植树，两端都植。

每隔12米植一棵樟树，两棵樟树中间又等距离地栽了3棵柳树。

问樟树和柳树各栽了多少棵？
第三部分：数学史话
“20棵树”的问题
数学史上有一个20棵树的植树问题，源于植树，升华在数学上的图谱学中，图谱构造的智、巧、美又广泛应用于社会的方方面面。

20棵树植树问题，简单地说，就是:有20棵树，若每行四棵，问怎样种植(组排)，才能使行数更多?
20棵树植树问题，早在十六世纪，古希腊、古罗马、古埃及等都先后完成了十六行的排列并将美丽的图谱广泛应用于高雅装饰建筑、华丽工艺美术(图1)。

进入十八世纪，德国数学家高斯猜想20棵树植树问题应能达到十八行，但一直未能见其发表绘制出的十八行图谱。

直到十九世纪，此猜想才被美国的娱乐数学大师山姆.劳埃德完成并绘制出了精美的十八行图谱，而后还制成娱乐棋盛行于欧美，颇受人们喜爱(图1、2)。

进入20世纪，电子计算机的高速发展方兴未艾，电子计算机的普及和应用在数学领域中也大显身手，电子计算机绘制出的数学图谱更是广泛应用于工艺美术、建筑装饰和自然科学领域。

数学上的20棵树植树问题也随之有了更新的进展。

在二十世纪七十年代，两位数学爱好者巧妙地运用电子计算机超越数学大师山姆.劳埃德保持的十八行纪录，成功地绘制出了精湛美丽的二十行图谱，创造了20棵树植树问题新世纪的新纪录并保持至今(图3)。

参考答案：
练习1：
（1）从起点到终点一共插了20面。

这条道路=5×(20-1)=95(米)
答：这条道路长95米。

（2）4×（17-1）=4×16=64（米）
答：这条走廊长64米。

练习2：
（1）先根据小路两侧共放12把，求出每侧放6把，6把椅子共5个空，每个空25÷5=5（米），这就是两把椅子间的距离。

解答：25÷（12÷2-1）=25÷5=5（米）
（2）54÷（20÷2-1）=54÷（10-1）=54÷9=6（米）
答：相邻两棵树之间的距离是多少米？
练习3：
（1）（12÷3+1）×4=5×4=20（米）
答：这根圆木长20米。

（2）30÷（6-1）×（4-1）=30÷5×3=18（分）
答：需要18分钟。

练习4：通过读题可知小明爬（4-1）=3（段）楼梯的时间等于小红爬5-1=4（段）的时间，小明到第10层时，跑了9层梯，此时小红跑了9÷3×4=12（层）梯，即已经到了12 +1=13楼。

解答：（10-1）÷3×4=12（层） 12+1=13（层）
答：小红跑到了第13层。

练习5：
（1）分析：根据周长是200米，一圈每隔10米装一盏红灯，可以求出间隔数，列式为：200÷10=20（个），因为是在封闭图形上安装灯，所以装的盏数=间隔数，因此装了20盏红灯；又由于“相邻的两盏红灯之间等距离地装4盏黄灯”，所以用间隔数乘4就是装黄灯的盏数，据此解答。

解答：红灯：200÷10=20（盏），黄灯：20×4=80（盏）
答：水池周围一共装了20盏红灯，80盏黄灯。

（2）分析：先求共有几个12米：480÷12=40（个）就是40棵樟树，再求公路一侧：顶端多1棵得40+1=41（棵）樟树，再求公路两侧：41×2=82（棵）樟树。

再求柳树：柳树的数量40×3×2=240（棵）
答：樟树82棵，柳树240棵。