复变函数第六讲

u x2 xy y2
f (i) 1 i
解 v u 2x y v u 2 y x
y x
x y
dv v dx v dy (2 y x)dx (2x y)dy x y
( x, y)
v( x, y) (2 y x)dx (2 x y)dy c (0,0)
x
y
o xdx 0 (2 x y)dy c
函 数, 则
2u x 2
2u y 2
0
即, u 、u 在D内有连续一阶偏导数 y x
且
( u ) ( u )
y y x x
v v
u
u
v
dx dy dx dy
x y
y x
dv( x, y)
( x, y) u
u
v( x, y)
dx dy c ()
y ( x0 , y0 )
x
v u v u 满足C R方程. x y y x
由解析的概念得：
在D内 满 足C
R方 程 :
ux
vy ,uy
v
的
x
两
个
调和函数u, v, v必为u的共轭调和函数.
现在研究反过来的问题：若u, v是任意选取的在
区域D内的两个调和函数,则u iv在D内就不
一 定 解 析.
如 v x y不是u x y的共轭调和函数.
（ f (z) u iv ( x y) i( x y)在z平面上 处处不解析ux 1 v y uy 1 vx )
v 0
其中
2 x 2
2 y 2
u u( x, y)，v v( x, y)是D内的调和函数。
定义 设u( x, y)为D内的调和函数, 称使得u iv 在D内构成解析函数的调和函数v( x, y)为u( x, y) 的 共 轭 调 和 函 数.
上面定理说明：
D内解析函数的虚部是实部的共轭调和函数. 即, f (z) u( x, y) iv( x, y)在D内解析 在D内v( x, y)必为u u( x, y)的共轭调和函数.
2 2
x2 y2 0
即（ 0)
则称 ( x, y)为D内的调和函数.
定理 若f (z) u( x, y) iv( x, y)在区域D内解析 u u( x, y)，v v( x, y)是D内的调和函数。
证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则
由C R方程 u v u v x y y x
从而有
2u x 2
2v yx
2u y 2
2v xy
由解析函数高阶导数定理 u( x, y), v( x, y)
具有任意阶的连续导数.
2v 2v
xy yx
故在D内有
2u x2
2u y 2
0,
同理有
2v 2v x2 y2 0
即u及v 在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程:
u 0,
第六讲 解析函数与调和函数的关系
§3.7 解析函数与调和函数的关系
内容简介
在§3.6我们证明了在D内的解析函数,其导数 仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。本节 利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间 的关系。
定义 若二元实变函数 ( x, y)在D内具有二阶连
续 偏 导 数 且 满 足Laplace方 程 :
u iv在D内解析.
定理 设u( x, y)在单连通D内调和函数, 则()式所确定的v( x, y), 使得 f (z) u iv在D内解析.
公式不用强记！可如下推出：
已知：u( x, y),求其共轭调和函数v( x, y) :
由dv
v x
dx
v y
dy
C R方 程
uydx
uxdy
然后两端积分。
由du
v
dx
v
C R方 程 v dy
dx
v
dy
x y
y x
类似地， 然后两端积分得，
( x, y)
u( x, y) ( x0 , y0 ) v ydx v xdy c ()
调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解 析函数的关系。
例1 由下列条件求解析函数f (z) u iv
2
2
f (z) ( x2 y2 xy) i( 1 x2 2xy 1 y2 c)
2
2
又解 v 2x y v 2xy y2 ( x)
y
2
v
v
2y '(x)
x
2y
x
偏
x
积
'(x) x
(x) x2 c
2
分
法
y2 x2
v( x, y) 2xy c
22
f (z) ( x2 y2 xy) i( 1 x2 2xy 1 y2 c)
要想使u iv在D内解析, u及v还必须满足C R 方程，即v必须是u的共轭调和函数.由此，
已知一个解析 函数的实部u( x, y),利用C R方 (虚部v( x, y))
程可求得它的 虚部v( x, y),从而构成解析 函数
u iv.
(实部u( x, y))
设D一单连通区域, u( x, y)是区域D内的调和
2
2
又解 f '(z) ux ivx ux iuy
(2x y) i(x 2y)
不
2( x iy) i( x iy)
定
(2 i)( x iy)
积
2 iz
分
f (z) 2 i z2 ic
法
2
f (z) ( x2 y2 xy) i( 1 x2 2xy 1 y2 c)
x2 2xy y2 c
2
2
曲线积分法
故 f (z) ( x2 y2 xy) i( 1 x2 2xy 1 y2 c)
2
2
( x iy)2 i ( x iy)2 ic (1 1 i)z2 ic
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
2
f (i) 1 i 代 入 上 式 得(，1 i )i 2 ic 1 i
2
2
第四章 级数
CH4§4.1 复数项级数
1. 复数列的极限 2. 级数的概念
1. 复数列的极限
定义 设复数列：{n }(n 1,2,), 其中n＝an ibn ,
2
c 1 f (z) (1 i )z2 i
2
22
x 1 (z z), y 1 (z z)
2
2i
又解 dv v dx v dy
x y
凑
(2 y x)dx (2x y)dy
全
2 ydx 2xdy xdx ydy
微
x2 y2
分
2dxy d( )
22
法
x2
y2
v( x, y) 2xy c