高中数学必修2球的表面积与体积(含答案)

球的表面积与体积
典例1、（2019∙西湖区校级模拟）半径为1的球的表面积等于______________
【解析】ππ442==r S
变式：半径为2的球的表面积等于_____________
【解析】ππ1642==r S
典例2、（2019∙红塔区校级月考）棱长为4的正方体的所有棱与球O 相切，则球的半径为__________ 【解析】22,242=∴=r r
变式：棱长分别为4，3，2的长方体内接一个球O ，则球的表面积为___________
【解析】ππ164,22==∴=r S r
典例3、（2019∙城关区校级期末）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为___________ 【解析】πππ144
1444,214,1412322222=⋅==∴=∴=++=r S r r 变式：棱长为3的正方体的所有顶点都在球O 的球面上，则球O 的体积为___________ 【解析】πππ274
2744,227,2733322222=⋅==∴=∴=++=r S r r 典例4、（2019∙肥城市校级月考）若一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，则这个长方体外接球的体积是_____________
【解析】设长方体的棱长分别为a,b,c,则,321,632⎪⎩⎪⎨⎧===∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧===c b a bc ac ab 261)3()2(21222=++=∴r ， πππ68
6634)26(343=⋅⋅==V 变式：若个长方体共一顶点的三个面的对角线分别是,5,2,3则这个长方体外接球的表面积是_________
【解析】设长方体的棱长分别为a,b,c,则,321,523222222⎪⎩⎪⎨⎧===∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=+=+c b a c b c a b a 261)3()2(21222=++=∴r ， πππ64
64)26(42=⋅⋅==S 典例5、（2019∙南充期末）若两个球的半径之比为1：3，则这两个球的体积之比为__________ 【解析】27
1)3(,3,3:1:31313231211221===∴=∴=R R R R V V R R R R 变式：若两个球的体积之比为27：8，则这两个球的表面积之比为__________ 【解析】23,8273
434213231323121=∴===r r r r r r V V ππ 典例6、（2019∙十堰模拟）若一个实心球对半分成两半后表面积增加了π4，则原来实心球的表面积为_____ 【解析】πππππ8)2(44,2,2,4222===∴=∴=∴=r S r S S 球圆圆
变式：若一个实心球平均分成三份后表面积增加了π12，则原来实心球的体积为_____ 【解析】ππππ33234,2,4,1233==
∴=∴=∴=r V r S S 球圆圆
典例7、一个正方体的棱长为2，可以完全放进一个球，则这个球的体积是___________ 【解析】πππ3
3223434,233=⋅⋅==∴=r V r
变式：棱长分别为1，2，3的长方体内完全放进一个球，则该球的表面积是__________ 【解析】πππ3
413434,133=⋅⋅==∴=r V r 典例8、（2018∙安庆期末）正三棱柱111C B A ABC -中，底面边长AB=3，侧棱长21=AA ，则该棱柱的外接球表面积等于___________
【解析】底面ABC ∆的外接圆半径1)]321(3[32=⋅⋅⋅=r ，,211)2
(222=+=+=h r R ππ842==R S 变式：正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为2，侧棱长为4，则该棱柱的外接球的体积为______
【解析】底面四边形ABCD 的外接圆半径,1222=⋅=r ,541)2
(222=+=+=h r R ππ3520343==R V
典例9、（2019∙增城区月考）三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，且AB=BC=2，AC=1AA =2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为___________
【解析】ABC ABC AC BC AB ∆∴=∠∴=+,90,0
222 外接圆半径1=r ，2112=+=∴R ， ππ842==∴R V
变式：三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，且0120=∠ABC ，2==BC AB ，61=AA ，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为___________
【解析】底面ABC ∆的外接圆半径为2=r ，1332222=+=∴R ，ππ5242==∴R S
典例10、（2019∙广元模拟）若三棱锥P-ABC 的底面边长与侧棱长都是3，则它的外接球的表面积为_______
【解析】正四面体的边长为3，外接球的球心到各顶点的距离都等于半径R ，过一顶点作底面的垂线，垂足就是底面三角形的中心，故3321332=⋅⋅⋅=
r ，63322=-=h ，222)(R h r R -+= 即463,)6(3222=∴-+=R R R ，πππ2
27)463(4422=⋅==∴R S 。

变式：若三棱锥P-ABC 的底面边长与侧棱长都是3，则它的内切球的表面积为_______
【解析】正四面体内切球的半径R 等于其高的四分之一，即4641==h R ，πππ2
3)46(4422=⋅==∴R S 典例11、若三棱锥P-ABC 的底面是边长为2的正三角形，且090=∠=∠=∠CPA BPC APB ，则它的外接
球的体积是______________ 【解析】由题意易知，三棱锥是正方体的一个角，它的外接球即边长为2的正方体的外接球，
πππ6)2
6(3434,262321332===∴==R V R 变式：若三棱锥P-ABC 中，AB 、AP 、AC 两两垂直，且长度分别为2，3，4，则三棱锥的外接球的表面积是_______________
【解析】由题意易知，三棱锥是长方体的一个角，它的外接球即棱长分别为2，3，4的长方体的外接球， πππ29)2
29(44,2294322122222===∴=++=R S R 。

典例12、（2019∙重庆模拟）已知三棱锥A-BCD 的四个顶点都在同一个球的球面上，AB=3，BC=3，AC=32，若三棱锥A-BCD 体积的最大值为
233，则该球的表面积为___________
【解析】,90,0
222=∠∴=+ABC AC BC AB 故AC 是经过球心的最大截面圆的直径，当三棱锥的高最大时，即为球的半径R 时，体积最大，故ππ364,3,2
333321312==∴=∴=⋅⋅⋅⋅R S R R
变式：（2017∙宜宾模拟）已知三棱锥A-BCD 四个顶点都在半径为3的球面上，且BC 过球心，当三棱锥A-BCD 的体积最大时，则三棱锥A-BCD 的表面积为___________
【解析】当三棱锥的体积最大时，即底面积最大，有BC=6，BD=CD=23，底面积923232
1=⋅⋅=∆BCD S 2392632321=⋅⋅=
∆ABD S ，9362
1=⋅⋅=∆ABC S ，3918223999+=⋅++=∴S 典例13、已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心O 的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=3cm ，则球的体积是______________
【解析】ABC ∆的外接圆的半径r 3321332=⋅⋅⋅=，ππ33234,2,3233==∴=∴=R V R R 。

变式：（2015∙绥阳县校级期中）已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心的距离等于半径的一半，AC=BC=6，AB=4，则球的体积是____________
【解析】ABC ∆外接圆中：429,)24(2222=∴=-+r r r ，,2
63,42923=∴=R R ππ627)2
63(343==∴V 。

典例14、（2016∙新课标）已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:2AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为__________
【解析】截面α的半径r=1，ππ35
1444,3536,)32(22222==∴=∴=-+R S R R R R r 。

变式：已知正四棱锥O －ABCD 的体积为
2O 为球心，OA 为半径的球的表面积为__________ 【解析】底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形叫做正四棱锥，2
23,223)3(31
2=∴=⋅⋅h h ， 646)223()26(
2222=+=+=∴h OA ，ππ2442==∴R S 。

典例15、（2015∙新课标2）已知A,B 是球O 的球面上两点，为该球面上动点，C AOB ,90︒=∠若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为__________ 【解析】ππ1444,6,36)21(312
==∴=∴=⋅⋅R S R R R R
变式：等腰直角三角形ABC 腰长为2，BD 为底边上的高，沿BD 将ABD 折起，当三棱锥A-BCD 的体积最大时，该三棱锥外接球体积是__________
【解析】当三棱锥体积最大时，即两平面互相垂直，即以D 为球心，2为半径的球是它的外接球。

ππ3
28)2(343==∴V
典例16、（2019∙天河区二模）三棱锥D-ABC 的体积为2，ABC ∆是等腰直角三角形，斜边AC=2，且三棱锥D-ABC 外接球球心O 恰好是AD 中心，则球O 的体积为______
【解析】取AC 中点E ，连接OE ，有OE//CD ，又AC=2，所以AB=BC=2，121=⋅⋅=
∴∆BC AB S ABC ， 6,213131=∴=⋅⋅=⋅⋅=∆-CD CD CD S V ABC ABC D ，10222=+=∴CD AC AD ，102
1==∴AD R 。

πππ3
1040)10(343433===R V 。

变式：（2018∙潮南区模拟）已知三棱锥A-BCD 中，AB=3，AD=1，BC=4，BD=22，当三棱锥A-BCD 的体积最大时，该三棱锥外接球体积是__________
【解析】ABD AB AD BD ∆∴=+,222 为直角三角形，则2
5,1)22(4)2(222=∴++=R R ππ6
125812534==V 。

典例17、在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直角，二面角B-AC-D ，则四面体ABCD 外接球体积为_________
【解析】由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC 上，且其半径为AC 长度的一半，则ππ6
125)25(343==V 。

变式：（2018∙甘肃校级模拟）矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个030二角角B-AC-D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为____________
【解析】由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC 上，且其半径为AC 长度的一半，则ππ6125)25(343==
V 。

典例18、（2019∙水富市校级期末）已知PAD ∆所在平面与矩形ABCD 所在平面互相垂直，PA=PD=4，AB=8，3
2π=∠APD ，若点P ，A ，B ，C ，D 都在同一球面上，则此球的表面积为_____________ 【解析】过P 作AD 的垂线2po （2o 为PAD ∆外心），过ABCD 的中心1
o 作面ABCD 的垂线l ，
又过2o 作面PAD 的垂线交l 于点O ，再连接OP ，在2POO Rt ∆中，易知
ππ1284,24,4222==∴=∴==R S OP OO PO。