数理方程(期中)
数理方程 习题答案
数理方程习题答案数理方程习题答案数理方程是数学中一门重要的学科，它研究的是各种各样的方程。
在学习数理方程的过程中，习题是不可或缺的一部分。
通过解习题，我们可以加深对数理方程的理解，掌握解题的方法和技巧。
在这篇文章中，我将为大家提供一些数理方程习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 求解方程：2x + 5 = 17。
解：将方程化简，得到2x = 17 - 5，即2x = 12。
再将等式两边同时除以2，得到x = 6。
所以方程的解为x = 6。
2. 求解方程组：2x + y = 73x - 2y = 4解：可以使用消元法来求解这个方程组。
首先，将第一个方程乘以2，得到4x + 2y = 14。
然后将第二个方程与这个结果相加，得到7x = 18。
再将等式两边同时除以7，得到x = 18/7。
将x的值代入第一个方程，可以求得y的值为y = 7 - 2x = 7 - 2(18/7) = 7 - 36/7 = 7/7 - 36/7 = -29/7。
所以方程组的解为x = 18/7，y = -29/7。
3. 求解二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0。
解：可以使用因式分解法来求解这个二次方程。
首先，将方程化简，得到(x - 2)(x - 3) = 0。
根据乘积为零的性质，可以得到x - 2 = 0或者x - 3 = 0。
解这两个方程，可以得到x = 2或者x = 3。
所以方程的解为x = 2或者x = 3。
4. 求解三次方程：x^3 - 3x^2 + 2x - 4 = 0。
解：可以使用综合除法来求解这个三次方程。
首先，将方程按照降幂排列，得到x^3 - 3x^2 + 2x - 4 = 0。
然后，尝试将方程的第一项x^3除以x的最高次数x^3，得到商为1。
将这个商乘以方程的所有项，得到x^3 - 3x^2 + 2x - 4 - (x^3 - 3x^2 + 2x - 4) = 0。
化简这个等式，可以得到0 = 0。
数理方程第二次作业参考答案
第二次作业1.化下列方程为标准形式：0=+yy xx yu u解：根据题意可得y c b a ===,0,1，则有y ac b -=-=∆2。
（1）当0=y 时，0=∆，方程为抛物型方程，标准形式为0=xx u ；（2）当0>y 时，0<∆，方程为椭圆型方程，对应的特征方程为022=+ydx dy解得两条特征线为C ix y =±2 选取变换x y ==ηξ,2，带入原方程可得01=-+ξηηξξξu u u （3）当0<y 时，0>∆，方程为双曲型方程，对应的特征方程为022=+ydx dy解得两条特征线为C x y =±--2 选取变换y x y x -+=--=2,2ηξ，带入原方程可得()()ηξξηηξu u u ---=21 2.确定下列方程的通解：023=+-yy xy xx u u u解：根据题意可得2,23,1=-==c b a ，0412>=-=∆ac b ，方程为双曲型方程，对应的特征方程为 02322=++dx dxdy dy解得两条特征线为212C x y C x y =+=+选取变换x y x y 2,+=+=ηξ，可把原方程化简为0=ξηu此方程的通解是()()ηξg f u +=其中是g f ,关于ηξ,的任意二次可微的连续函数，所以原方程的通解为()()y x g y x f u +++=2作业中出现的问题：第一题：1.有的同学以为特征线就是通解，这也太荒谬了。
2.有的同学没有讨论0=y 时候的情况。
3.作变量代换的时候有的同学设的变量很复杂，不可取。
另外化简的时候没有化到最简，方程中还包含y x ,。
此外有的同学认为书上最简形式的椭圆、双曲方程就是本题的结果，这是完全错误的。
还有计算问题也出现了很多。
第二题：1.到0=ξηu 这一步都没有什么大问题，主要是后面求这个积分出现了问题，一方面有的同学最后结果中后面还带着积分号，另一方面有很多同学都没有讨论g f ,和性质。
数理方程试题及解答二
数理方程试题二一、填空：（10×2分=20分）1.边界条件2.初始状态3.定解条件.4.边值问题5.拉普拉斯方程的连续解6.狄利克莱问题7.牛曼问题8.()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΓΩ⋅-∂∂=∇dV gradv gradu dS n vudV v u 2 9.()()()0001114M M M M u M u m u M dS n r r n πΓ⎡⎤⎛⎫∂∂=--⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰10.()()()()01!21220≥++Γ-=++∞=∑n m n m x x J m n mn mm n二、选择题：（5×4分,共20分）1．A; 2. B; 3. C; 4. C; . 5. D ．三、（7分）解定解问题()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧==≤≤='=><<=''-''=.0,,0,0;0,,0,;0,0,002t l u t u l x x g u x f x u t l x u c u t t xx tt解：令()()()()()()()2,0X x T t u x t X x T t X x c T t λ''''=≠⇒==-，()()()()20,0T t c T t X x X x λλ''''+=+=由方程()()()()000X x X x X X l λ''+=⎧⎪⎨==⎪⎩解出()()sin 1,2,3,n n n X x B x n l π== 由方程()()20T t c T t λ''+=解出：()()cos sin 1,2,3,.n nn n ct n ctT t C D n l lππ''=+= -----------4分 从而有：()(),cos sin sin 1,2,3,n n n n ct n ct n x u x t C D n l l l πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ 叠加起来：()()11,,cos sin sin ,n n n n n n ct n ct n x u x t u x t C D l l l πππ∞∞==⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑ 代入初始条件确定,n n C D 有：()()002sin 2sin l n l nn C x xdx l ln D x xdx n c l πϕπψπ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⎰⎰ ------------------------------------3分四、（7分）证明: ()[]()x xJ x xJ x01d d= 证明: ()()()()(),!21!32!2221222266244220 +-++-+-=k x x x x x J k k k()()().!1!21!4!32!3!22!22212127755331 ++-++⋅⋅-⋅⋅+⋅-=++k k x x x x x x J k k k---------------------4分将()x J 1乘以x 并求导数，得()[]()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++⋅-=++ !1!21!222d d d d 12223421k k x x x x x xJ x k k k()()+-++-=+221233!212k x x x k k k()()()(),!21!32!222122226624422⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+-= k x x x x x k k k即()[]()x xJ x xJ x01d d=---------------------------------------------------------------3分 五、（7分）由定解问题 ()()⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<-∞='+∞<<-∞=''=''==x x u x x u u a u t t t xx tt ,,;002ψϕ导出达朗贝尔公式。
数理方程课件
数理方程课件数理方程是数学中的重要分支，它研究方程的解和性质。
随着计算机技术的不断发展，数理方程的研究变得越来越重要，其在科学、工程和金融等领域都有着广泛的应用。
本文将介绍数理方程的基本概念、解的求解方法和一些经典方程的应用案例。
一、数理方程的基本概念数理方程是指含有未知数和已知数之间关系的等式。
它通常由代数方程、微分方程和积分方程组成。
在数理方程的研究中，我们需要关注方程的次数、阶数和特殊形式，并通过分析方程的性质来解决相关问题。
在解数理方程时，我们常用的方法包括代数方法、几何方法和数值方法。
其中，代数方法主要通过变换和化简方程，将其转化为更简单的形式进行求解；几何方法通过图形和几何关系来推导方程的解；数值方法则借助计算机的力量，利用数值逼近的方法求解方程。
二、数理方程的解的求解方法1. 代数方程的解的求解方法代数方程是最常见的数理方程形式，其解的求解方法众多。
常见的方法包括因式分解、配方法、二次公式、根号法等。
例如，对于一元二次方程$a x^{2}+b x+c=0$，我们可以使用二次公式来求解：$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$2. 微分方程的解的求解方法微分方程描述了函数与其导数之间的关系，其解的求解方法也有多种。
常见的方法有分离变量法、常数变易法、齐次线性微分方程的解法等。
例如，对于一阶线性微分方程$\frac{d y}{d x}+P(x) y=Q(x)$，我们可以使用常数变易法进行求解。
3. 积分方程的解的求解方法积分方程是利用积分关系表达的方程，其解的求解方法也有多种。
常见的方法有分离变量法、常数变易法、特殊积分方程的解法等。
例如，对于柯西问题（Cauchy problem）中的积分方程$u(x)=f(x)+\int_{a}^{x} K(x, t) u(t) d t$，我们可以使用定积分的性质进行求解。
三、常见数理方程的应用案例1. 常微分方程的应用常微分方程在物理学、化学、生物学等领域有着重要的应用。
数理方程
px
+ c2e
px
u( x, t ) = t sin x
1 c1 = c2 = 0 1 + 2 sin x ====== 2 sin x p p
1 L[t] = 2 p
uxx + uyy = 0 y > 0 ∞ < x < +∞ ex3-6 定解问题 u( x,0) = f ( x), u( x,+∞)为有限值 2
3. 对ω取F 1变换
y 1 ω y ∵ F[ ]= e π x 2 + y2 y 1 ∴ u( x , y ) = f ( x ) = 2 2 π x +y
∫
+∞
∞
y dτ f (τ) π ( x τ) 2 + y 2
utt = a2uxx (∞ < x < +∞, t > 0) ex3-8 定解问题 u( x,0) = ( x) u ( x,0) = ψ( x) t
utt = a uxx xω sinωt 0 < x < 1, t > 0 例2 u(0, t ) = ωt, u(1, t ) = sinωt u( x,0) = 0, ut ( x,0) = ω 解 令u( x, t) = v( x, t ) + ωt + x(sinωt ωt ) vtt = a2vxx ∴v(0, t) = v(1 t) = 0 解 v(x, t) = 0 , 得 v(x,0) = v (x,0) = 0 t
u( x , t ) = ( x ) * 1
2
2a πt
e
4a 2t
=
1
2a
∫ πt
数理方程模拟试题1X
200__～200__学年第___学期《数理方程》期末模拟试卷1 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分一、 选择题(每题只有一个正确答案， 每小题4分，共28分）1、34233(,,)v v v xyv g x y z x x y z ∂∂∂+++=∂∂∂∂ 是( )偏微分方程 A 、 一阶 B 、二阶 C 、 三阶 D 、 四阶 2、2(,)tt xx u a u x t ϕ-= (其中0>a ) 属于( )型偏微分方程 A 、 抛物 B 、双曲 C 、 椭圆 D 、 混合 3、在用分离变量法求解定解问题200,0,0|0,|0|()t x x x x xl t u a u x l t u u u x ϕ===⎧=<<>⎪==⎨⎪=⎩时，得到的固有函数系为( )A 、,...2,1,sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π B 、,...2,1,0,cos=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π C 、(21)cos,1,2,...2n x n l π-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭D 、 (21)sin,1,2,...2n x n l π-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭4、下列方程是非线性偏微分方程的是（ ） A 22()()sin u u x x y 抖+=抖 B (,)u u f x y x y抖+=抖 C 22(,)(,)cos u u a x t b x t x x t 抖+=抖 D 3433(,,)v v v g x y z x x y z∂∂∂++=∂∂∂∂ 5、对Laplace 变换的性质下列式子错误的是（ ） A 22[sin ](Re 0)L t p p ww w =>+B []2[][]L f g L f L g p *=?C 0[()]()(Re )p L f t e F p p tt g --=>D 0000[()]()(Re Re )p t L e f t F p p p p g =->+6、在弱相等意义下，对d 函数的说法错误的是（ ） A ()()x x d d =- B ()x x x d = C 1()()(0)||ax x a a d d =? D ()()()()x x a a x a j d j d -=-7、给出未知函数 u 在区域Ω的边界Γ上的值0,),,(|≥Γ∈=Γt M t M u μ 的边界条件，称为第( )类边界条件。
数理方程期末试题B答案
北 京 交 通 大 学2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷（B ）（参考答案）学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____学号_______________ 姓名___________ __一、 计算题（共80分，每题16分）1．求下列定解问题（15分）2222201200,0,0,|,|,|0,|0.x x l t t u ua A x l t t x u M u M u u t ====⎧∂∂=+<<>⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩2．用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分）2,0,0,(,0)0,(,0)0,(0,)(),lim (,)0.tt xx t x u a u x t u x u x u t t u x t φ→+∞⎧=<<+∞>⎪==⎨⎪==⎩ 3． 设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的出示位移如下图所示。
初速度为零，又没有外力作用。
求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。
[ 解 ] 问题的定解条件是1(,)(cos sin )sin n a n a n n n l l l n u x t C t D t x πππ∞==+∑由初始条件可得0, 1,2,...n D n ==222202()sin d ()sin d =sin, 1,2,...c lh n hn n lc l l c l c hl n c lc l c n C x x x x l x x n ππππ--⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦=⎰⎰4．证明在变换, x at x at ξη=-=+下，波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ，并由此求出波动方程的通解。
5．用分离变量法解下列定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂===><<+∂∂=∂∂====0|,0|0|,0|00sin sin 0002222222t t l x x l a l t uu u u t l x t x x u a t u ，，ππ [ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法。
一元二次方程(考题猜想,15种题常考题型)解析版—2024-2025学年九年级数学上学期期中考点串讲
一元二次方程（考题猜想，15种题常考题型）➢直接开平方➢配方法➢因式分解法➢公式法➢用适当的方法解方程➢含绝对值的一元一次方程➢换元法➢判断一元二次方程根的情况➢确定字母的取值或范围➢根与系数关系的综合应用➢与几何图形的综合应用➢储蓄问题➢行程问题➢工程问题➢进制问题一．直接开平方（共3小题）1.（23-24九年级上·吉林长春·期中）方程260x -=的解是（ ）A．12x x ==B．1x =2x =C ．126x x ==D ．16x =，26x =-2.（23-24九年级上·广东韶关·期中）一元二次方程260x -=的根为 .3．（23-24九年级上·江苏常州·期中）解方程：()22910x x --=．二．配方法（共3小题）4.（20-21九年级上·四川成都·期中）一元二次方程2610x x --=配方后可变形为（ ）A ．2(3)8x -=B ． ()2310x -=C ．2(3)8x +=D ．2(3)10x +=【答案】B【分析】本题考查解一元二次方程—配方法．根据配方法可以将题目中的方程写成完全平方的形式．【详解】解：2610x x --=Q ，261x x \-=，26919x x \-+=+，()2310x \-=，故选：B ．5.（22-23九年级上·湖南永州·期中）用配方法解方程2810x x ++=时，则方程需变形为()24x += ．【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，即可得出答案．解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．【详解】解：∵2810++=，x x∴281+=-，x x∴2816116++=．x xx x++=-+，即281615故答案为：156．（23-24九年级上·福建福州·期中）解方程：(1)()224x-=(2)213-=x x三．因式分解法（共3小题）7.（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）若实数x 满足()()222616=0x x x x +-+-，则2x x +的值为（ ）A ．8B ．2-C ．8或2-D ．8-或2【答案】A【分析】本题考查解一元二次方程，把2x x +看成一个整体，利用因式分解法解方程即可．【详解】解：()()2226160x x x x +-+-=，因式分解得，()()22820x x x x +-++=，∴280x x +-=，220x x ++=，∴28x x +=，22x x +=-（满足此式实数不存在，舍去），故选：A ．8.（23-24九年级上·湖北武汉·期中）一元二次方程232x x =的根为 ．9．（22-23九年级上·海南省直辖县级单位·期中）解下列方程(1)2350x x -=(2)2314x x+=四．公式法（共3小题）10．（23-24九年级上·福建厦门·期中）x）A．2x x2310-+=2310x x++=B．2C．22310x x+-=+-=D．22310x x-的值互为相反数，那么x的值为．2x12．（23-24九年级上·广东东莞·期中）解方程．(1)2--=；2510x x2五．用适当的方法解方程（共3小题）13．（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）按指定的方法解方程：(1)22410x x -+=（公式法）(2)2926x x -=+（因式分解法）14．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）选择合适的方法解方程：(1)2540x x -+=；(2)2(1)40x +-=．【答案】(1)11x =，24x =(2)11x =，23x =-【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用直接开平方法求解可得．【详解】（1）2540x x -+=，(1)(4)0x x --=，10x \-=或40x -=，解得：11x =，24x =；（2）2(1)40x +-=，2(1)4x +=，12x +=或12x +=-，解得：11x =，23x =-．15.（22-23九年级上·山东济宁·期中）（1）解方程：()24190x --=；（2）解方程：2420x x --=．六．含绝对值的一元二次方程（共2小题）16.（22-23九年级上·湖南永州·期中）阅读下面的材料，并完成相应的任务．材料：解含绝对值的方程：2560x x --=．解：分两种情况：（1）当0x ³时，原方程可化为：2560x x --=，解得16x =，21x =-（舍去）；（2）当0x <时，原方程可化为：2560x x +-=，解得16x =-，21x =（舍去）．综上所述：原方程的解是16x =，26x =-．任务：请参照上述方法解方程：220x x --=．【答案】12x =，22x =-【分析】分两种情况讨论∶ 当0x ³时，当0x <时，即可求解．【详解】解：分两种情况讨论（1）当0x ³时，原方程可化为220x x --=解得：12x =，21x =-（舍去）；（2）当0x <时，原方程可化为220x x +-=解得：12x =-，21x =（舍去）；∴综上所述，原方程的根是12x =，22x =-．【点睛】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，解题的关键是根据题意分两种情况讨论．17．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程：例：解方程22||30x x --=．解：①当0x ³时，原方程为2230x x --=，解得11x =-（与0x ³矛盾，舍去），23x =．②当0x <时，原方程为2230x x +-=，解得11x =（与0x <矛盾，舍去），23x =-．所以原方程的根是13x =，23x =-．在上面的解答过程中，我们对x 进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论．请仿照上述例题的解答过程，解方程：2||10x x --=．七．换元法（共3小题）18.（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）关于x 的方程()20a x m b ++=的解是12x =-，21x =（a ，m ，b 均为常数，0a ¹），则方程()220a x m b +++=的解是（ ）A ．10x =，21x =-B ．10x =，23x =C ．14x =-，21x =-D ．14x =，23x =19.（23-24九年级上·江苏苏州·期中）若()()2222260x y x y +-+-=，则22x y +的值为．【答案】3【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程，将22x y +看成一个整体计算即可．【详解】解：设22z x y =+，原方程为：260z z --=，解得123,2z z ==-，Q 220³+x y ，223x y \+=．故答案为：3．20．（23-24九年级上·辽宁锦州·期中）阅读材料：为了解方程()()22215140x x ---+=，我们可以将21x -看作一个整体，设21x y -=…①，那么原方程可化为2540y y -+=，解得11y =，24y =，当1y =时，211x -=，∴22x =，∴x =当4y =时，214x -=，∴25x =，∴x =，故原方程的解为1x =，2x =3x =4x =以上解题方法叫做换元法，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；请利用以上知识解方程：()()22260x x x x +++-=八．判断一元二次方程根的情况（共3小题）21．（22-23九年级上·重庆綦江·期中）关于x 的一元二次方程2810x x +-=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．不能确定【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的运用，熟练掌握相关方法是解题关键．根据根的判别式即可求出答案．【详解】解：2810x x +-=∵()2248411680b ac --D ==´´-=>，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．22.（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）一元二次方程26100x x +=-根的情况是 实数根（填“有”或“没有”）．【答案】没有【分析】此题考查了一元二次方程的根，利用一元二次方程根的判别式24b ac D =-判断方程的根的情况即可，熟练掌握方程的判别式24b ac D =-，当0D >时方程有两个不相等的实数根，当0D =时方程有两个相等的实数根，当0D <时方程无实数根．【详解】解：()2246411040b ac D =-=--´´=-<，∴方程没有实数根，故答案为：没有23.（23-24九年级上·广东河源·期中）证明：无论k 取何值，关于x 的方程()2310k x kx -++=恒有实数根所以方程有两个不相等的实数根，所以不论k 取何值，方程总有实数根九．确定字母的取值或范围（共3小题）24.（22-23九年级上·福建莆田·期中）若关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等实数根，则k 的值是（ ）A ．1-B ．1C ．4-D ．4【答案】D【分析】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程20ax bx c ++=（0a ¹）的根与24b ac -有如下关系：①当240b ac ->时，方程有两个不相等的两个实数根；②当240b ac -=时，方程有两个相等的两个实数根；③当240b ac -<时，方程无实数根．根据关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等的实数根可知240b ac -=，求出k 即可．【详解】解：Q 关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等实数根，\2(4)40k D =--=，解得：4k =．故选：D ．25.（21-22九年级上·天津滨海新·期中）若关于x 的一元二次方程230x x c -+=有两个实数根，则c 的取值范围为 ．26.（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）已知关于x 的方程()221210m x m x +-+=有两个不相等的实数根．求实数m 的取值范围．十．根与系数关系的综合应用（共3小题）27.（23-24九年级上·湖北武汉·期中）已知实数a ，b 满足 23510a a +-=，2530b b --=，且1ab ¹，则ab的值为（ ）A ．53-B ．1-C ．3-D ．13-28.（22-23九年级上·四川内江·期中）如果m n 、是两个不相等的实数，23m m -=，23n n -=，那么代数式2222021n mn m -++ ．【答案】2032【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟练运用一元二次方程根的定义和根与系数的关系，把代数式化成已知式子形式及两根和、积的形式，是解此题的关键．由题意得m ，n 是230x x --=的两个不相等的实数根，则根据根的定义和根与系数的关系可知：2226n n -=，1m n +=，3=-mn ，变形2222021n mn m -++，为222222021n n mn m n --+++，代入求解即可．【详解】mn Q 是两个不相等的实数，且满足2233m m n n -=-=，，mn \是方程230x x --=的两根，2226n n \-=，1m n +=，3=-mn ，2222021n mn m \-++222222021n n mn m n =--+++6322021=+++2032=．故答案为：2032．29.（23-24九年级上·山西临汾·期中）已知关于x 的一元二次方程()2931104kx k x k -+++=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围．(2)是否存在k 的值，使得两根互为相反数．若存在，求出此时k 的值，若不存在，请说明理由．十一．与几何图形的综合应用（共4小题）30.（23-24九年级上·云南昆明·期中）若一个三角形不是等边三角形且边长均满足方程21090-+=，则x x此三角形的周长是()A．11B．19C．20D．11或1931.（20-21九年级上·四川凉山·期中）已知等腰三角形（不是等边三角形）的三边长均满足方程22860x x -+=，则这个等腰三角形的周长为，【答案】7【分析】根据题意由等腰三角形的底和腰是方程22860x x -+=的两根，解此一元二次方程即可求得等腰三角形的腰与底边的长，注意需要分当1是等腰三角形的腰时与当3是等腰三角形的腰时讨论，然后根据三角形周长的求解方法求解即可．【详解】解：22860x x -+=Q ，(1)(3)0,x x \--=解得：1x =或3x =，∵等腰三角形的底和腰是方程22860x x -+=的两根，∴当1是等腰三角形的腰时，113+<，不能组成三角形，舍去；当3是等腰三角形的腰时，133+＞，则这个三角形的周长为1337++=．故答案为：7.【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三边关系以及解一元二次方程．解题的关键是注意分类讨论思想的应用32．（23-24九年级上·山西长治·期中）已知等腰ABC V 的两边长是关于x 的一元二次方程()()21210x k x k -++-=的两个实数根．(1)当5k =时，求ABC V 的周长．(2)若ABC V 为等边三角形，求k 的值．【答案】(1)10(2)3k =【分析】（1）将5k =代入方程，求出方程的两个根，根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论求解；（2）根据题意，得到方程有两个相等的实数根，进而得到240b ac D =-=，求解即可．【详解】（1）解：当5k =时，一元二次方程为2680x x -+=，解得2x =或4x =．∴ABC V 是等腰三角形，∴三边长为4，4，2或2，2，4（舍去），∴ABC V 的周长44210=++=．（2）∵ABC V 为等边三角形，∴方程有两个相等的实数根，∴()()()22222418121886930b ac k k k k k k k k -=-+--=++-+=-+=-=éùëû，解得3k =．【点睛】本题考查解一元二次方程，根的判别式．熟练掌握解一元二次方程的方法，以及根的判别式与根的个数的关系，是解题的关键．33．（23-24九年级上·山东济宁·期中）已知关于x 的一元二次方程()()220b c x ax b c +-+-=，其中a ，b ，c分别为ABC V 三边的长．(1)已知1x =是方程的根，求证：ABC V 是等腰三角形；(2)如果ABC V 是直角三角形，其中90B Ð=°，请你判断方程的根的情况，并说明理由．十二．储蓄问题（共2小题）34.（21-22九年级上·广西河池·期中）王洪存银行5000元，定期两年后取出共6050元，如果每年的年利率不变，则年利率为（ ）A ．5%B ．20%C ．15%D ．10%【答案】D【分析】设年利率为x ，根据“两年后的定期本息=本金´（1+年利率）2”建立方程，解方程即可得．【详解】解：设年利率为x ，由题意得：()2500016050x +=，解得120.110%, 2.10x x ===-<（不符题意，舍去），即年利率为10%，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确建立方程是解题关键．35.（22-23九年级上·广东佛山·期中）某人在银行存了400元钱，两年后连本带息一共取款484元，设年利率为x ，则列方程为 ．【答案】24001484x +=（）【分析】本题为复利问题，一般形式为21a x b +（）＝，如果设年利率为x ，那么根据题意可得出方程．【详解】解：设年利率为x ，则根据公式可得：24001484x +=（）；故答案为：24001484x +=（）．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式21a x b +（）＝，其中a 是变化前的原始量，b 是两次变化后的量，x 表示平均每次的增长率十三．行程问题（共3小题）36.（23-24九年级上·山西临汾·期中）飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为212s at =，如 果飞机起飞前滑行距离750m ，其中215m/s a =，则飞机起飞的时间t = s ．故答案为：10．37．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了 秒．的算术平均数）与路程s ，时间t 的关系为s v t =×．现有一个小球以5m/s 的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s 后小球停止运动．(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？(2)小球滚动5m 1.41»）【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少1.25m/s (2)小球滚动5m 约用了1.2秒【分析】（1）根据以5m/s 的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s 后小球停止运动列式计算即可；（2）设小球滚动5m 约用了x 秒，由时间´速度=路程，列出一元二次方程，解方程即可．【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少()54 1.25m/s ¸=，十四．工程问题（共1小题）39.（22-23九年级上·四川成都·期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了A 、B 两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知A 点平均每人采样720份，B 点平均每人采样700份．(1)求A 、B 两点各有多少名医护人员？(2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从B 点抽调部分医护人员到A 点经调查发现，B 点每减少1名医护人员，人均采样量增加份，A 点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从B 点抽调了多少名医护人员到A 点？【答案】(1)A 检测队有6人，B 检测队有7人(2)从B 检测队中抽调了2人到A 检测队【分析】（1）设A 点有x 名医护人员，B 点有y 名医护人员，根据“A 、B 两个采样点共13名医护人员，且当天共采样9220份”，即可得出关于x ，y 的且当天共采样9220份，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设从B 点抽调了m 名医护人员到A 点，则B 点平均每人采样()70010m +份,根据重新规划后当天共采样9360份，即可得出关于m 的一元_二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】（1）解：设A 检测队有x 人，B 检测队有y 人，依题意得：137207009200x y x y +=ìí+=î，分解得：67x y =ìí=î答：A 检测队有6人，B 检测队有7人；（2）解：设从B 检测队中抽调了m 人到A 检测队，则B 检测队人均采样()70010m +人，依题意得：()()()72067001079360m m m +++-=，解得：29140m m -+=，解得：12m =，27m =，由于从B 对抽调部分人到A 检测队，则7m <故2m =，答：从B 检测队中抽调了2人到A 检测队．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程十五．进制问题（共1小题）40（22-23九年级上·河北保定·期中）第十四届国际数学教育大会（-14ICME ）会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3210387848582021´+´+´+´=，表示-14ICME 的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是 ；（2）小华设计了一个n 进制数120，则n 的值为．【答案】 2022 9【分析】（1）根据已知，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以08，18，28，38，再把所得结果相加即可得解；（2）根据n 进制数和十进制数的计算方法得到关于n 的方程，解方程即可求解．【详解】解：（1）3210374638784868=´+´+´+´1536448326=+++2022=．故八进制数字3746换算成十进制是2022．故答案为：2022；（2）依题意有：21043120n n n +´+´=，解得19n =，213n =-（舍去）．故n的值是9．【点睛】本题主要考查因式分解的应用，有理数的混合运算，解题的关键是弄清各个进制数转化为十进制数的计算方法．。
第6章一元一次方程 期中复习知识点分类练习题 2021-2022学年华东师大版七年级数学下册 含答案
2021-2022学年华师大版七年级数学下册《第6章一元一次方程》期中复习知识点分类练习题（附答案）一．方程的定义1．下列各式中：①x＝0；②2x＞3；③x2+x﹣2＝0；④+2＝0；⑤3x﹣2；⑥x＝x﹣1；⑦x ﹣y＝0；⑧xy＝4，是方程的有（）A．3个B．4个C．5个D．6个二．方程的解2．已知x＝﹣3是方程ax﹣6＝a+10的解，则a＝．三．等式的性质3．下列说法正确的是（）A．若a＝b，则B．若|a|＝|b|，则a＝bC．若a＝b，则2a+3＝2b﹣3D．若a＝，则a＝±14．设a，b，c均为实数，且满足（a﹣1）b＝（a﹣1）c，下列说法正确的是（）A．若a≠1，则b﹣c＝0B．若a≠1，则＝1C．若b≠c，则a+b≠c D．若a＝1，则ab＝c5．若x＝y，则下列式子：①y﹣3＝x﹣2；②2x＝﹣2y；③1﹣x＝1﹣y；④3x+2＝2y+3，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．46．已知a＝b，下列变形不正确的是（）A．a+5＝b+5B．a﹣5＝b﹣5C．5a＝5b D．四．一元一次方程的定义7．已知（a﹣1）x|a|+3＝10是一元一次方程，则a的值为（）A．1B．0C．﹣1D．±18．关于x的方程（k﹣4）x|k|﹣3+1＝0是一元一次方程，则k的值是．五．一元一次方程的解9．王涵同学在解关于x的方程7a+x＝18时，误将+x看作﹣x，得方程的解为x＝﹣4，那么原方程的解为（）A．x＝4B．x＝2C．x＝0D．x＝﹣210．若关于x的方程的解是正整数，则正整数m的值为．11．我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程为“奇异方程”，例如：2x＝4的解为x＝2＝4﹣2，则该方程2x＝4是“奇异方程”，请根据上述规定解答下列问题：（1）判断方程5x＝﹣8（回答“是”或“不是”）“奇异方程”；（2）若关于x的一元一次方程4x＝m+3是奇异方程，则m的值为；（3）若a＝3，请直接写出符合要求的奇异方程．12．【定义】若关于x的一元一次方程ax＝b的解满足x＝b+a，则称该方程为“友好方程”，例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“友好方程”．【运用】（1）①﹣2x＝4，②3x＝﹣4.5，③x＝﹣1三个方程中，为“友好方程”的是（填写序号）；（2）若关于x的一元一次方程3x＝b是“友好方程”，求b的值；（3）若关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n（n≠0）是“友好方程”，且它的解为x＝n，求m与n的值．13．小红在解方程+1＝时，方程左边的“1”忘记乘以10，因此求得方程的解为x＝4，试求a的值及原方程的正确解．14．若关于x的方程mx﹣＝（x﹣）有负整数解，求整数m的值．六．解一元一次方程15．解方程：．16．解方程：．七．含绝对值符号的一元一次方程17．方程|2x+1|＝5的解为x＝．八．同解方程18．若关于x的方程5x﹣1＝2x+a的解与方程4x+3＝7的解相同，则a＝．19．已知关于x的方程3[x﹣2（x﹣）]＝4x和﹣＝1有相同的解，求这个解．九．一元一次方程的应用20．现有一工程打算让甲、乙两个工程队完成，甲队单独完成这项工程需要60天，乙队单独完成这项工程需90天；若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙两队合作完成．（1）甲、乙两队合作多少天？（2）甲队施工一天需付工程款4万元，乙队施工一天需付工程款2.5万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？21．某丝巾厂家70名工人义务承接了志愿者手上，脖子上的丝巾的制作任务．已知每人每天平均生产手上的丝巾180条或者脖子上的丝巾120条，一条脖子上的丝巾要配2条手上的丝巾．（1）为了使每天生产的丝巾刚好配套，应分配多少名工人生产手上的丝巾，多少名工人生产脖子上的丝巾？（2）在（1）的方案中，能配成套．22．某车间36名工人生产螺母和螺钉，每人每天平均生产螺钉200个或螺母500个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉？23．如图，A，B是数轴上两点，点B表示的数为3，AB＝6．（1）在数轴上，点A表示的数为；（2）现有动点P、Q都在A点处，先是点P以每秒1个单位长度的速度向右匀速移动；此时点Q停留在点A处不动，当点P移动到原点O时，点Q才从A点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右匀速移动，设点P的运动时间为t（t＞0）．①在数轴上，点P表示的数为，当点Q出发后，点Q表示的数为；（用含t的代数式表示）②请求出当t为多少时，点P与点Q重合；③请直接写出当t为多少时，OQ＝2OP．24．列方程解应用题：小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000m的学校上学，一天，小明从家出发以60m/min的速度出发，6min后，小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即以180m/min的速度去追小明，并且在中途追上了他，爸爸追上小明用了多长时间？25．如图是去年2021年3月份的月历，用带阴影的十字方框覆盖其中5个数字，例如：1，7，8，9，15．现在移动十字方框使其履盖的5个数之和等于9a+6b，则此时十字方框正中心的数是．26．列方程解应用题：《九章算术》中有一道闸述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价值是多少？27．学校从七年级（1）班选出若干名同学参加秋季植树活动．如果每人种15棵，则缺7棵树苗未种；如果每人种12棵，则剩下8棵树苗．问：学校从七年级（1）班共选出多少名同学参与植树．28．甲乙两车分别从A、B两城同时相对开出，经过4小时，甲车行了全程的80%，乙车超过中点13千米，已知甲车比乙车每小时多行3千米，A、B两城相距多少千米？29．由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的原售价为多少元？参考答案一．方程的定义1．解：（1）根据方程的定义可得①③④⑦⑧是方程；（2）②2x＞3是不等式，不是方程；（3）⑤3x﹣2不是等式，就不是方程．（4）⑥x＝x﹣1，不是方程，故有5个式子是方程．故选：C．二．方程的解2．解：把x＝﹣3代入方程ax﹣6＝a+10，得：﹣3a﹣6＝a+10，解方程得：a＝﹣4．故填：﹣4．三．等式的性质3．解：∵a＝b，当c＝0时，不能推出a＝b，，故A不符合题意；若|a|＝|b|，则a＝±b故B不符合题意；若a＝b，则2a+3＝2b+3，故C不符合题意；若a＝，则a2＝1，a＝±1故D符合题意；故选：D．4．解：A．∵a≠1，∴a﹣1≠0，∵（a﹣1）b＝（a﹣1）c，∴除以（a﹣1）得：b＝c，∴b﹣c＝0，故本选项符合题意；B．∵a≠1，∴a﹣1≠0，∵（a﹣1）b＝（a﹣1）c，∴除以（a﹣1）得：b＝c，如果c＝0，则不成立，题目中没有对c的取值进行限定，因此B选项不符合题意；C．若b≠c，∵（a﹣1）b＝（a﹣1）c，∴a﹣1＝0，b、c的大小关系不能确定，故本选项不符合题意；D．若a＝1，∵（a﹣1）b＝（a﹣1）c，∴a﹣1＝0，b、c的大小关系不能确定，故本选项不符合题意；故选：A．5．解：①y﹣3＝x﹣2一边减3，一边减2，故①不正确；②2x＝﹣2y左边乘以2，右边乘以﹣2，故②错误；③1﹣x＝1﹣y两边都乘以﹣1，两边都加1，故③正确；④3x+2＝2y+3左边乘3加2，右边乘2加3，故④错误；故选：A．6．解：由a＝b得：（c≠0）故选：D．四．一元一次方程的定义7．解：∵方程（a﹣1）x|a|+3＝10是关于x的一元一次方程，∴|a|＝1且a﹣1≠0．解得a＝﹣1．故选：C．8．解：由题意，得|k|﹣3＝1，且k﹣4≠0，解得k＝﹣4，故答案为：﹣4．五．一元一次方程的解9．解：把x＝﹣4代入方程7a﹣x＝18得：7a+4＝18，解得：a＝2，即原方程为14+x＝18，解得：x＝4．故选：A．10．解：，去分母得：3x﹣2x+m＝6﹣x，移项，合并同类项得：2x＝6﹣m，系数化为1得：x＝，∵x，m都是正整数，∴6﹣m是2的倍数，∴当6﹣m＝2时，m＝4，当6﹣m＝4时，m＝2，∴正整数m的值有2个，是2或4．故答案为：2或4．11．解：（1）∵5x＝﹣8，∴x＝﹣，∵﹣8﹣5＝﹣13，﹣≠﹣13，∴5x＝﹣8不是奇异方程；故答案为：不是；（2）∵方程4x＝m+3的解是x＝，又∵方程4x＝m+3是奇异方程，∴＝m+3﹣4，∴m＝；故答案为：；（3）∵a＝3，∴x＝b﹣3，∴b﹣3＝，∴b＝，即b＝时有符合要求的“奇异方程”．故符合条件的方程是3x＝．12．解：（1）①﹣2x＝4，解得：x＝﹣2，而﹣2≠﹣2+4，不是“友好方程”；②3x＝﹣4.5，解得：x＝﹣，而﹣＝﹣4.5+3，是“友好方程”；③x＝﹣1，解得：x＝﹣2，﹣2≠﹣1+，不是“友好方程”；故答案是：②；（2）方程3x＝b的解为x＝．所以＝3+b．解得b＝﹣；（3）∵关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“友好方程”，并且它的解是x＝n，∴﹣2n＝mn+n，且mn+n﹣2＝n，解得m＝﹣3，n＝﹣．13．解：∵去分母时，只有方程左边的1没有乘以10，∴2（2x﹣1）+1＝5（x+a），把x＝4代入上式，解得a＝﹣1．原方程可化为：+1＝，去分母，得2（2x﹣1）+10＝5（x﹣1）去括号，得4x﹣2+10＝5x﹣5移项、合并同类项，得﹣x＝﹣13系数化为1，得x＝13故a＝﹣1，x＝13．14．解：因为关于x的方程mx﹣＝（x﹣）有负整数解，所以解方程，得x＝，所以m﹣1＜0，所以m＜1，所以整数m的值为：0，﹣1．六．解一元一次方程15．解：去分母得：3（3x﹣1）﹣12＝2（5x﹣7）去括号得：9x﹣3﹣12＝10x﹣14移项得：9x﹣10x＝﹣14+15合并得：﹣x＝1系数化为1得：x＝﹣1．16．解：5（x﹣3）﹣10＝2（4x+1）5x﹣15﹣10＝8x+25x﹣8x＝2+10+15﹣3x＝27x＝﹣9．七．含绝对值符号的一元一次方程17．解：根据题意，原方程可化为：①2x+1＝5；②2x+1＝﹣5，解得x＝2；x＝﹣3．八．同解方程18．解：∵4x+3＝7，∴x＝1．∵关于x的方程5x﹣1＝2x+a的解与方程4x+3＝7的解相同，∴方程5x﹣1＝2x+a的解为x＝1．∴5﹣1＝2+a，解得：a＝2．故答案为：2．19．解：因为关于x的方程3[x﹣2（x﹣）]＝4x和﹣＝1有相同的解，所以3[x﹣2（x﹣）]＝4x的解为：x＝，﹣＝1的解为：x＝，所以＝，解得a＝，将a＝代入第二个方程，2（3x+a）﹣（1﹣5x）＝8，11x＝9﹣2a，11x＝9﹣2×，解得x＝．九．一元一次方程的应用20．解：（1）设甲乙合作x天，依题意得：解方程，得：x＝30（天），答：两队合作30天；（2）单独甲：60×4＝240（万元），单独乙：超过计划天数．甲、乙合作：（天），36×6.5＝234（万元），240＞234．答：全程合作完成省钱．21．解：（1）设应分配x名工人生产手上的丝巾，则（70﹣x）名工人生产脖子上的丝巾，根据题意可得，180x＝2×120（70﹣x），解得：x＝40，70﹣x＝70﹣40＝30．答：应分配40名工人生产手上的丝巾，30名工人生产脖子上的丝巾；（2）120×30＝3600（套）．答：能配成3600套．故答案为：3600．22．解：设为了使每天的产品刚好配套，应该分配x名工人生产螺钉，则（36﹣x）名工人生产螺母，根据题意得：200x×2＝500（36﹣x），解得：x＝20，故36﹣20＝16（人），答：为了使每天的产品刚好配套，应该分配20名工人生产螺钉，16人生产螺母．23．解：（1）由题意得，点P表示的数为3﹣6＝﹣3，故答案为：﹣3．（2）①由题意得，点P的运动路程为t，点Q的运动路程为3（t﹣3），∴点P表示的数为t﹣3，点Q表示的数为﹣3+3（t﹣3）＝3t﹣12，故答案为：t﹣3，3t﹣12．②由题意得：t﹣3＝3t﹣12，解得：t＝4.5，∴当t为4.5秒时，点P与点Q重合．③由（2）①得，点P表示的数为t﹣3，点Q表示的数为3t﹣12，（i）当t≤3时，OQ＝3，OP＝3﹣t，∵OQ＝2OP，∴3＝2（3﹣t），解得：t＝1.5；（ii）当t＞3时，OP＝t﹣3，OQ＝|3t﹣12|，∵OQ＝2OP，∴|3t﹣12|＝2（t﹣3），解得：t＝3.6或t＝6，综上所述：t＝1.5秒或t＝3.6秒或t＝6秒时，OQ＝2OP．24．解：设爸爸追上小明用了xmin，依题意有（180﹣60）x＝60×6，解得x＝3．答：爸爸追上小明用了3min长时间．25．解：设最小的数为x，根据题意得：x+x+6+x+7+x+8+x+14＝9a+6b，5x+35＝9a+6b，5x＝9a+6b﹣35，x＝，∴十字方框正中心的数是：+7＝，故答案为：．26．解：设有x人，根据题意得，8x﹣3＝7x+4，解得x＝7，物价：7×7+4＝53（元），答：有7人，物品的价值是53元．27．解：设学校从七年级（1）班共选出x名同学参与植树，依题意得：15x﹣7＝12x+8，解得：x＝5．答：学校从七年级（1）班共选出7名同学参与植树．28．解：设A、B两城相距x千米，由题意得：80%x÷4＝（0.5x+13）÷4+3，解得：x＝．答：两城相距千米．29．解：设该商品的原售价为x元，根据题意得75%x+25＝90%x﹣20，解得x＝300，则该商品的原售价为300元．。
数理方程试卷及答案2
长沙理工大学考试试卷…………………………………………………………………………………………………………………试卷编号 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名…………………………………………………………………………………………………………………课程名称（含档次） 数学物理方程与特殊函数 课程代号专 业 层次（本、专） 本 科 考试方式（开、闭卷） 闭卷一．判断题：（本题总分25分，每小题5分）1．二阶线性偏微分方程062242=+++-y x yy xy xx u u u u u 属于椭圆型； （ ）2．定解问题的适定性包括解的稳定性、解的唯一性和解的存在性； （ ）3．如果格林函数),(0M M G 已知，且它在Γ+Ω上具有一阶连续偏导数，又若狄利克雷问题⎩⎨⎧=Ω∈=∆Γ ).,,(|,),,(0z y x f u z y x u 在Γ+Ω上具有一阶连续偏导数的解存在，那么其解可表示为=)(0M u dS nG z y x f ⎰⎰Γ∂∂-),,(； （ ） 4．设)(x P n 为n 次Legendre 多项式，则0)()(111050358⎰-=dx x P x P ； （ ）5．设)(x J n 为n 阶Bessel 函数，则[])()(021ax xJ a ax xJ dxd =． （ ） 二．解答题：（本题总分65分） 1．（本小题15分）设有一根长为l 的均匀细杆，它的表面是绝热的，如果它的端点温度为1),0(u t u =，2),(u t l u =，而初始温度为0T ，写出此定解问题．2．（本小题20分）利用固有函数法求解下面的定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====><<+=.0),(,0),0(,0)0,(,0)0,(),0,0(cos sin 2t l u t u x u x u t l x l x t A u a u x x t xx tt πω 其中ω,A 是常数．3．（本小题15分）求出方程xy u u yy xx =+的一个特解．第 1 页（共 2 页）4．（本小题15分）用试探法求解拉普拉斯方程狄氏问题：⎩⎨⎧+=≤≤<=∆ .sin cos ),()20,(,0),(22θθθπθθB A R u R r r u 三．证明题：（本题总分10分） 证明：函数⎰+-+++-=atx at x ds s a at x at x t x u )(212)()(),(ψϕϕ是下面的齐次方程的初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<-∞=).()0,(),()0,(),0,(2x x u x x u t x u a u txx tt ψϕ 的解．第 2 页（共 2 页）长沙理工大学试卷标准答案课程名称： 数学物理方程与特殊函数(B) 试卷编号：03一．判断题：（本题总分25分，每小题5分）1．×； 2．√； 3．√； 4．√； 5．×．二．解答题：（本题总分65分）1．（本小题15分）泛定方程：xx t u a u 2=，)0,0(><<t l x ； …………………5分 边界条件：1),0(u t u =，2),(u t l u =； …………………10分 初始条件：0)0,(T x u =． …………………15分2．（本小题20分） 泛定方程相应的齐次方程满足齐次边界条件的固有函数系为⎭⎬⎫⎩⎨⎧l x n πcos ，故可设方程的解为∑∞==0cos)(),(n n lx n t u t x u π， ……………5分 将它代入泛定方程，得l x t A l x n t u l a n t u n n n πωππcos sin cos )()(02=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+''∑∞=， ……………10分 于是),1(0)()(2≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛+''n t u l a n t u n n π .s i n )()(121t A t u l a t u ωπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+'' ……………12分 由初始条件，得 ),2,1(0)0()0( =='=n u u n n …………14分显然，当1≠n 时，0)(=t u n ；当1=n 时，解上面的微分方程得ττπωτπd t l a A a l t u t)(sin sin )(01-=⎰第1页（共3页）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=t l a l at l a a Al ωππωπωπsin sin 122， ……………18分 故所求的解为 l x t l a l at l a a Al t x u πωππωπωπcos sin sin 1),(22⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=。
高数期中考试题目及答案
高数期中考试题目及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1的导数f'(x)为：A. 3x^2 - 3B. 3x^2 + 3C. x^3 - 3D. x^3 + 3答案：A2. 极限lim(x→0) (sin x) / x的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 定积分∫(0 to 1) (2x + 1) dx的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C4. 微分方程dy/dx = 2x的通解为：A. y = x^2 + CB. y = 2x + CC. y = x + CD. y = 2x^2 + C答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的极值点为______。
答案：22. 函数f(x)=e^x的n阶导数为______。
答案：e^x3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的拐点为______。
答案：24. 函数f(x)=ln(x)的定义域为______。
答案：(0, +∞)三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1的一阶导数和二阶导数。
答案：一阶导数f'(x)=3x^2-6x+2；二阶导数f''(x)=6x-6。
2. 计算定积分∫(0 to π) sin(x) dx。
答案：23. 解微分方程dy/dx - 2y = e^(2x)。
答案：y = (1/3)e^(2x) + C4. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值。
答案：极小值点x=2，极小值f(2)=3；极大值点x=3，极大值f(3)=4。
5. 证明函数f(x)=x^3+3x^2-3x-1在区间(-1,1)内单调递增。
答案：略6. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的凹凸性。
答案：二阶导数f''(x)=6x-6，令f''(x)>0得x>1，令f''(x)<0得x<1，故函数在(-∞, 1)上凹，在(1, +∞)上凸。
八年级数学下册期中期末专题05 二元二次方程组与列方程(组)解应用题(考点串讲)(解析版)
专题05 二元二次方程组与列方程（组）解应用题【考点剖析】 1.二元二次方程22(1)(2)(3)0(,,,,,(,42)2,ax bxy cy dx ey f a b c d f b c e a ⎧⎪⎪⎪+++++=⎨⎪⎪⎪⎩定义：仅含有未知数，并且含的最高次数是的方程；理解：；含有两个未知数；含有最高次数是.一般形式：是常数，且至少有一个不为零)解：能使二元二次方程左右两边两个未知数的项整式整式方程未知数的项一的值相等的的值.对未知数①②③ 2.二元二次方程组2(1)(2)⎧⎪⎨⎪⎩定义：仅含有，各方程是，并且含有的 最高次数是的；二元二次方程组的解:方程组中所含各方两个未知数整式方程未知数的项程的解.方程组公共 3.二元二次方程组的解法⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩基本思想二元二次方程组的解法题型一基本题型题型二(1)解二元二次方程组的基本思想：是消元和降次. (2)题型一：解方程组⎧⎨⎩；二元二次方二方程程.元一次即方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组.方法：代入消元法；一般步骤：①将方程组中二元一次方程的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②将这个未知数所表示的代数式代入二元二次方程中，得到关于另一个未知数的一元二次方程；③解这个一元二次方程；④将求得的两个解分别代入二元一次方程，求相应的另一个未知数的值；⑤把相应的两组解写出来，即是原方程组的解.(3)题型二：解方程组⎧⎨⎩二元二次方程；二元二次方程.（其中一个方程可以分解为两个一次因式积等于零的形式）方法：因式分解法；解法：把原方程组化为两个分别由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，然后分别求解. 4.列方程（组）解应用题()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩审题；；；一般：解方程；；作答列解决问题设元列方程步骤检验一元二次方程高次方程分式方程；列方程组解应用题列简单的解决问题；列解决问题列解决问题列解决问题无理方程方程组①②③④⑤⑥.【典例分析】例题1（金山2018期中3）下列方程中，有实数解的是（ ） A.111x x x =--； B.220x +=；10=； D.220x y +=.【答案】D ；【解析】A 、解得1x =是增根，因此A 无实数根；B 、无实数根；C 、无实数根；D 、方程的解为00x y =⎧⎨=⎩；因此答案选D.例题2 （杨浦2019期中9）将方程组：22225601x xy y x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 转化成两个二元一次方程组分别是和 . 【答案】22222030,11x y x y x y x y -=-=⎧⎧⎨⎨-=-=⎩⎩； 【解析】22225601x xy y x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩①②，由①得(2)(3)0x y x y --=，所以2030x y x y -=-=或，故原方程组可化为22222030,11x y x y x y x y -=-=⎧⎧⎨⎨-=-=⎩⎩. 例题3（青浦2018期末20）解方程组：22860x y x xy y +=-⎧⎨+-=⎩. 【答案】16123483x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或；【解析】解：22860x y x xy y +=-⎧⎨+-=⎩①②，由②，得（x+3y ）（x ﹣2y ）＝0，即x+3y ＝0或x ﹣2y ＝0，所以原方程组可转化为：883020x y x y x y x y +=-+=-⎧⎧⎨⎨+=-=⎩⎩或，解方程组，得16123483x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或.所以原方程组的解为：16123483x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或. 例题4 (奉贤2018期末19)解方程组：2242x y x y xy-=⎧⎨-=⎩. 【答案】121282,42x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩； 【解析】解：2242x y x y xy -=⎧⎨-=⎩①②由①得：x =4+y ③，把③代入②得：22(4)2(4)y y y y +-=+，解得：y 1=4，y 2=-2，代入③得：当y 1=4时，x 1=8，当y 2=-2时，x 2=2，所以原方程组的解为：121282,42x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩． 例题5（金山2018期中24）为改善生态环境，某村计划在荒坡上种1000棵树. 由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前5天完成任务，原计划每天种多少棵树？ 【答案】40棵；【解析】解：设有的计划每天种x 棵，根据题意得：10001000510x x -=+，去分母整理，得： 21020000x x +-=， 解得1240,50x x ==-，经检验：1240,50x x ==-都是原方程的根，但50x =-不合题意，舍去. 答：原计划每天种树40棵. 【真题训练】 一、选择题1.（松江2018期中16）下列方程组中，是二元二次方程组的是（ ）A.12x y x y +=⎧⎨-=⎩；B.22231310xy x y⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩； C.21x y xy -=⎧⎨=⎩； D.313x y xy y x ⎧+=⎨=-⎩.【答案】C ；【解析】根据“二元二次方程组”定义满足三个条件：含两个未知数，最高次数是2次，整式方程；故A 、B 、D 不是，C 是二元二次方程组；因此答案选C.2. （黄浦2018期中5）方程组222x y x y k⎧-=⎨-=⎩有实数解，则k 的取值范围是（ ）A.3k ≥；B.3k =；C.3k <；D.3k ≤. 【答案】D ；【解析】解：222x y x y k ⎧-=⎨-=⎩①②，由②得，y=2x-k ③，把③代入①，得x 2-（2x-k ）=2，∴△=4-4（k-2）≥0，解得k≤3，故选：D ．3. （浦东2018期中5）在单元考试中，某班同学解答“由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解为121222,44x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩，试写出这样的一个方程组题目，出现了下面四种答案，其中正确的答案是（ ）A.68x y xy +=⎧⎨=⎩； B. 26x y y x +=-⎧⎨=⎩； C.22220y x x y =⎧⎨+=⎩； D. 22820xy x y =⎧⎨+=⎩【答案】C【解析】解：A 、第二个解不符合方程组中的第一个方程，所以方程组不符合，故本选项不符合题意； B 、第一个解不符合方程组中的第一个方程，所以方程组不符合，故本选项不符合题意； C 、两个解都是方程组的解，方程组也满足由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的，故本选项符合题意； D 、方程组不是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的，故本选项不符合题意； 故选：C ．4．（静安2018期末4）某校计划修建一条500米长的跑道，开工后每天比原计划多修15米，结果提前2天完成任务．如果设原计划每天修x 米，那么根据题意可列出方程（ ） A.500500215x x -=+； B. 500500215x x -=+； C. 500500215x x -=-； D. 500500215x x-=-. 【答案】A ；【解答】解：设原计划每天修x 米，则实际每天修（x+15）米．由题意，知原计划用的时间为500x天，实际用的时间为：50015x +天，故所列方程为：500500215x x -=+．故选：A ．二、填空题5.（崇明2018期中17）已知22(4)0x y -+=，则2x y += .【答案】16；【解析】由已知22(4)0x y -+=可得：x=4，y=0，因此224016x y +=+=.6．（浦东四署2018期中11）将二元二次方程2221x xy y -+=化为二个二元一次方程为 ． 【答案】1,x y -=1x y -=-；【解析】由2221x xy y -+=得2()10x y --=即(1)(1)0x y x y ---+=，所以1,x y -=1x y -=-. 7. （松江2019期中11）已知12x y =⎧⎨=⎩是二元二次方程2221ax y -=的一个解，那么的值是_____________．【答案】9【解析】解：将12x y =⎧⎨=⎩代入方程2221ax y -=得，a ﹣8=1，解得a=9.故答案为：9.8.（松江2018期中11）某商品原价为180元，连续两次提价x%后售价为300元，依题决可列方程： . 【答案】2180(1%)300x +=；【解析】180元的商品连续两次提价x%后为2180(1%)x +，故得方程2180(1%)300x +=.9.（松江2018期中12）某花木园，计划在园中载96棵桂花树，开工后每天比计划多种2棵，结果提前4天完成任务. 设实际每天载x 棵桂花树，则可列出方程为 . 【答案】969642x x-=-； 【解析】原计划时间为：962x -，实际上所用时间为96x，因为实际提前4天完成，故得方程为：969642x x -=-.10．（浦东四署2018期中14）李强同学借了一本书共280页，要在两周的借期内读完，当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完.求他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x 页，则可列方程为________________ 【答案】140140+=1421x x +； 【解析】依题李强读前一半时间为140x ，读后一半的时间为14021x +，故140140+=1421x x +. 11．（青浦2018期末16）某学校准备用2400元购买一批学习用品，已知甲种学习用品的单价比乙种学习用品的单价少2元，若用这些钱全部购买甲种学习用品比全部购买乙种学习用品可多买200件，问：这两种学习用品的单价分别是多少元？若设乙种学习用品的单价为x 元，那么根据题意可列方程 ．【答案】240024002002x x-=-; 【解析】解：设乙种学习用品的单价为x 元，则甲种学习用品单价为（x ﹣2）元，根据题意，得240024002002x x -=-．故答案为240024002002x x-=-． 12．（静安2018期末13）某厂去年1月份的产值为144万元，3月份下降到100万元，求这两个月平均每月产值降低的百分率．如果设平均每月产值降低的百分率是x ，那么列出的方程是 ． 【答案】2144(1)100x -=；【解答】．解：设平均每月产值降低的百分率是x ，则2月份的产值为144(1)x -万元，3月份的产值为2144(1)x -万元，根据题意，得2144(1)100x -=．故答案为2144(1)100x -=．三、解答题13.（崇明2018期中23）2223230x y x xy y -=⎧⎨--=⎩①②【答案】111191,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩； 【解析】解：由②得：(3)()0x y x y -+=即300x y x y -=+=或，原方程组可变为：2323300x y x y x y x y -=-=⎧⎧⎨⎨-=+=⎩⎩或，解之得111191,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩.故原方程组的解为111191,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩； 14.（松江2018期中23）解方程组：222302x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩①②.【答案】121231,11x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩；【解析】解：由②得：2x y =+③，将③代入①得：22(2)2(2)30y y y +-+-=，整理得：21y =，解得11y y ==-或，将1y =代入②得3x =，将1y =-代入②得1x =. 所以原方程组的解为121231,11x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩. （此题也可以将①分解成两个二元一次方程，然后与②联立得两个二元一次方程组去求解，过程略）15.（浦东一署2018期中23）解方程组22()()08x y x y x y +-=⎧⎨+=⎩.【答案】312412342222,,,2222x x x x y y y y ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-===-⎩⎩⎩⎩； 【解析】解：由原方程组变形得：222200,88x y x y x y x y +=-=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩，解得121222,22x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩，343422,22x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩．故原方程组的解为：312412342222,,,2222x x x x y y y y ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-===-⎩⎩⎩⎩.16.（浦东四署2019期中22）解方程组：221444y x x xy y =+⎧⎨-+=⎩. 【答案】121240,31x x y y =-=⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩；【解析】解：221444y x x xy y =+⎧⎨-+=⎩①②，把①代入②得：224(1)4(1)4x x x x -+++=， 整理得240x x +=，解得40x x =-=或，当4x =-时，3y =-；当0x =时，1y =，所以原方程组的解为121240,31x x y y =-=⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩.17. （松江2019期中22）解方程组：2256012x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩①②.【答案】121289,43x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩； 【解析】解：由①得2030x y x y -=-=或，所以原方程组可化为：20301212x y x y x y x y -=-=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩或，解这两个方程组得：121289,43x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ . 所以原方程组的解为121289,43x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩. 18．（普陀2018期末21）解方程组：223020x y x y -=⎧⎨+=⎩.【答案】1212x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩【解析】解：223020x y x y -=⎧⎨+=⎩①②由方程①，得3x y =，将3x y =代入②，得22(3)20y y +=，整理，得22y =，解这个方程，得12y y ==，将1y 代入3x y =，得1x =，将2y =代入3x y =，得2x =-1212x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩．19．（静安2018期末20）解方程组：2222320344x xy y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩①②.【答案】34121234x x x x y y y y ⎧⎧==⎪⎪⎧⎧=⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨=⎪⎪⎪⎪⎩⎩==⎪⎪⎩⎩【解答】解：2222320344x xy y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩①②由①，得（x ﹣y ）（x ﹣2y ）＝0，∴x ﹣y ＝0，x ﹣2y ＝0故原方程组可以变为2222020344344x y x y x y x y -=-=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩或，解这两个方程组得1212x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩3434x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩所以原方程组的解为：34121234x x x x y y y y ⎧⎧==⎪⎪⎧⎧=⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨=⎪⎪⎪⎪⎩⎩==⎪⎪⎩⎩20.（嘉定2019期末20）解方程组222,20x y x xy y -=⎧⎨--=⎩①②【答案】121214,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩；【解析】解：由②得：(2)()0x y x y -+=，得200x y x y -=+=或，所以原方程可以化为：22020x y x y x y x y -=-=⎧⎧⎨⎨+=-=⎩⎩或，解之得121214,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩.所以原方程组的解为121214,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩.21．（长宁2019期末20）解方程组：22220x y x xy y -=-⎧⎨--=⎩． 【答案】121241,21x x y y =-=-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩；【解析】解：22220x y x xy y -=-⎧⎨--=⎩①②，由②得：（x +y ）（x ﹣2y ）＝0，x +y ＝0或x ﹣2y ＝0，原方程组可变形为：22200x y x y x y x y -=--=-⎧⎧⎨⎨-=+=⎩⎩或，解得原方程的解：121241,21x x y y =-=-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩．22.（松江2018期中25）迎新晚会需要气球3000个，八一班同学自愿承担吹气球的工作. 后来，有10名同学因排练节目没有参加吹气球，这样，其他同学平均每人吹的气球比原计划多15个，问这个班有多少名同学？【答案】50名；【解析】解：设这个班有x 名同学，根据题意，得300030001510x x =--，整理得：21020000x x --=，解得1250,40x x ==-，经检验：1250,40x x ==-都是原方程的根，但240x =-不符合题意，舍去. 答：这个班有50名同学.23. （黄浦2018期中23）某厂接到一份订单，某运动会开幕式需要720面彩旗，后来由于情况紧急，要求生产总量比原计划增加20%，且必须提前2天完成生产任务，该厂迅速增加人员，实际每天比原计划多生产36面彩旗．请问该厂实际每天生产多少面彩旗？ 提示：本题可以设该厂实际每天生产x 面彩旗，（直接设元），也可设实际完成生产任务需要x 天（间接设元），也可以同时设两个未知数列方程组，其中有些方法的运算量较小，请同学们在比较中体会． 【答案】108顶；【解析】解：设该厂实际需要x 天完成生产任务，由题意列方程得：-=36，解得：x 1=8，x 2=-6（不合题意，舍去），经检验，x =8是原方程的根，则720×（1+20%）÷8=108（顶）．答：该厂实际每天生产帐篷108顶．24.（浦东四署2018期中24）甲、乙两家便利店到批发站采购一批饮料，共25箱，由于两店所处的地理位置不同，因此甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元．当两店将所进的饮料全部售完后，甲店的营业额为1000元，比乙店少350元，求甲乙两店各进货多少箱饮料？ 【答案】甲、乙两店分别进了10箱和15箱饮料；【解析】解：设甲店进了x 箱饮料，则乙店进了（25 - x ）箱饮料． 根据题意，得100010003501025x x+-=-．两边同乘以x （25 - x ），并整理，得226025000x x -+=，解得10250x x ==或，经检验，10250x x ==或是原方程的解．但当x = 250时，25 –x = -225 < 0，不合题意，所以，取x = 10． 于是，25 –x = 15． 答：甲、乙两店分别进了10箱和15箱饮料．25. （松江2019期中24）小王开车从甲地到乙地，去时走A 线路，全程约100千米，返回时走B 路线，全程约60千米.小王开车去时的平均速度比返回时的平均速度快20千米/小时，所用时间却比返回时多15分钟.若小王返回时的平均车速不低于70千米/小时，求小王开车返回时的平均速度. 【答案】80千米/小时；【解析】解：设小王开车返回时的平均速度为x 千米/小时，10060152060x x -=+，去分母整理得：214048000x x -+=，解得6080x x ==或，经检验：6080x x ==或都是原方程的根，但是60x =，不符合题意，应舍去.答： 小王开车返回时的平均速度是80千米/小时.26．（普陀2018期末23）某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次又用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？ 【答案】10；【解析】解：设第一次买了x 本资料，根据题意，得：120240420x x -=+，整理得：x 2+50x ﹣600＝0． 解得：x 1＝﹣60，x 2＝10，经检验：它们都是方程的根，但x 1＝﹣60不符合题意，舍去，答：第一次买了10本资料．27. (奉贤2018期末22)中国的高铁技术已经然走在了世界前列，2018年的“复兴号”高铁列车较“和谐号”速度增加每小时70公里．上海火车站到北京站铁路距离约为1400公里，如果选择“复兴号”高铁，全程可以少用1小时，求上海火车站到北京火车站的“复兴号”运行时间． 【答案】4；【解析】 解：设复兴号用时x 小时，则和谐号用时（x +1）小时，根据题意得：=70+，解得：x =4或x =-5（舍去）答：上海火车站到北京火车站的“复兴号”运行时间为4小时．28.（嘉定2019期末22）甲、乙两位同学同时从学校出发，骑自行车前往距离学校20千米的效野公园. 已知甲同学比乙同学平均每小时多骑行2千米，甲同学在路上因事耽搁了30分钟，结果两人同时到达公园. 问：甲、乙两位同学平均每小时各骑行多少千米？ 【答案】10千米/小时，8千米/小时； 【解析】设甲平均每小时行驶x 千米，则20200.52x x-=-，化简为：22800x x --= 解得：128,10x x =-=，经12-8,10x x ==检验：不符合题意，舍去是原方程的解.答：甲平均每小时行驶10千米，乙平均每小时行驶8千米.29．（长宁2019期末23）小王开车从甲地到乙地，去时走A 线路，全程约100千米，返回时走B 线路，全程约60千米．小王开车去时的平均速度比返回时的平均速度快20千米/小时，所用时间却比返回时多15分钟．若小王返回时的平均车速不低于70千米/小时，求小王开车返回时的平均速度．【答案】80千米/小时；【解析】解：设小王开车返回时的平均速度为x 千米/小时（x ≥70），则小王开车去时的平均速度为（x +20）千米/小时，根据题意得：10060152060x x -=+，解得：x ＝80或x ＝60（舍去），经检验：x ＝80是原方程的解．答：小王开车返回时的平均速度为80千米/小时．。
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第一章定义和方程类型1、34233(,,)v v v xyv g x y z x x y z∂∂∂+++=∂∂∂∂ 是( D )偏微分方程 A 、 一阶 B 、二阶 C 、 三阶 D 、 四阶 1、22(,,)vxy v g x y z z∂+=∂ 是( A )偏微分方程 A 、 一阶 B 、二阶 C 、 三阶 D 、 四阶1、33232(,,)v v vv xyv g x y z x x y z ∂∂∂+++=∂∂∂∂ 是( C )偏微分方程A 、 一阶B 、二阶C 、 三阶D 、 四阶 2、2(,)txx u a u f x t -= (其中0>a ) 属于( A )型偏微分方程A 、 抛物B 、双曲C 、 椭圆D 、 混合 2、2(,)ttxx u a u x t ϕ-= (其中0>a ) 属于( B )型偏微分方程A 、 抛物B 、双曲C 、 椭圆D 、 混合2、22(,,)tt xx u a u x y t ϕ+= (其中0>a ) 属于( C )型偏微分方程 A 、 抛物 B 、双曲 C 、 椭圆 D 、 混合 2、(,)xx yy u u f x y += (其中(,)u u x y =) 属于( C )型偏微分方程A 、 抛物B 、双曲C 、 椭圆D 、 混合 4、下列方程是非线性偏微分方程的是（ A ）A 22()()sin u u x x y 抖+=抖 B (,)u uf x y x y抖+=抖 C 22(,)(,)cos u ua x tb x t x x t抖+=抖 D 3433(,,)v v v g x y z x x y z ∂∂∂++=∂∂∂∂ 7、下列方程是非齐次方程的是（ A ）A(,)(,)0u uxy f x y f x y x y 抖+=?抖， B 2,0t xx u a u a =?C 22(,)(,)0u u a x t b x t x t 抖+=抖 D 34330v v v x x y z ∂∂∂++=∂∂∂∂3、在用分离变量法求解定解问题200,0,0|0,|0|()t xx x x x l t u a u x l t u u u x ϕ===⎧=<<>⎪==⎨⎪=⎩时，得到的固有函数系为( D ) A 、,...2,1,sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x ln π B 、,...2,1,0,cos=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π C 、{},...2,1,sin =n x n π D 、 ,...2,1,2)12(sin =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n x ln π 3、在用分离变量法求解定解问题⎪⎩⎪⎨⎧====><<=====)(|),(|0|,0|0,0,0002x u x u u u t l x u a u t t t l x x x x xx tt ψϕ时，得到的固有函数系为( B )A 、,...2,1,sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n πB 、,...2,1,0,cos=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n πC 、(21)cos ,1,2,...2n x n l π-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ D 、 ,...2,1,2)12(sin =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n x l n π3、在用分离变量法求解定解问题⎪⎩⎪⎨⎧===><<====)(|0|,0|0,0,002x u u u t l x u a u t l x x xx t ϕ时，得到的固有函数系为( A )A 、,...2,1,sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π B 、,...2,1,0,cos=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n πC 、(21)cos,1,2,...2n x n l π-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ D 、,...2,1,2)12(sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n x l n π7、给出未知函数 u 在区域Ω的边界Γ上的值0,),,(|≥Γ∈=Γt M t M u μ 的边界条件，称为第( A )类边界条件。
数理方程课件
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
数学物理方程期中答案
2.求解热传导方程的初值问题 { ut = a2 uxx , −∞ < x < ∞, t > 0 u|t=0 = cosx 解：对各项以x为变量施行Fourier变换，得 ∫ ∞ F [u(x, t)] = u(x, t)eiλx dx = u ˆ(λ, t) ∫ F [cosx] =
∂Ω
∂v ∂v ∂v ( )2 + ( )2 ( )2 − 2f v dΩ − ∂y ∂z Ω ∂x
考察变分问题: 求 u ∈ V ,使 J (u) = min J (v ).
v ∈V
¯ 。试导出与其等价的边值问题，并证明他们的等价 其中V = C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) 性。 解: 等价的边值问题为: { −△u = f, ∂u | = g ∂n ∂ Ω 一方面,若u 是变分问题的解,则对于任意的v ∈ V ,令 v = u + λw, 有 ∫ ∫ ∫ ∂u ∂u ∂u λ2 J (v ) = J (u) + λ( ∇u∇w − f w + ( )2 + ( )2 + ( )2 gw) + 2 Ω ∂x ∂y ∂z Ω ∂Ω 因 J (u + λw)在0处取极小值, 从而有 J ′ (u + λw)|λ=0 = 0 3
BR BR
证明 (1): 利用 Green 第二公式, ∫ ∂v ∂u u△v − △u = int∂ Ω u −v ∂n ∂n Omega
(0.1)
取 v = rn1 −2 , Ω = BR (M0 )\Bϵ (M0 ),代入到 (0.1)则得到(1)的第一式, 因为第一 式对任意的半径R均成立,在第一式的基础上,同时关于半径r 在区间 [0, R] 上 积分即可得(1)的第二式. (2): 对球上的任意两点M1 , M2 ,有 BR (M1 ) ⊂ B2R (M0 ) ⊂ B3R (M2 ) 由(1)的第二式知: ∫ ∫ 1 1 cccu(M1 ) = u≤ u wn Rn BR (M1 ) wn Rn B2R (M0 ) ∫ 1 ≤ u = 3n u(M2 ). n wn R B3R (M2 ) 证毕. 6. 对Rn 中的有界连通区域Ω 中的方程 { ∑ ∂u 3 Lu = △u + n i=1 bi ∂xi + c(x)u = 0, in Ω ∂u + σu|∂ Ω = φ. ∂n 其中,bi (x) 和c(x) < 0 都是Ω 中的连续函数 且σ ≥ σ0 > 0. 试证明下列极致原 理: (1) 方程的解u(x) 不能在Ω 内部取到正的极大值或负的极小值. 1 (2)成立极大摸估计: supx∈Ω |u(x)| ≤ σ |φ(x)|. 0 4
数理方程-总结复习及练习要点(1)
数理方程-总结复习及练习要点(1)数理方程-总结复习及练习要点数理方程是数学中的一个重要分支，它研究的是各种用数学符号表示的方程簇，并探究其解法及相关性质。
在数学竞赛和高考中，数理方程是一个高频考查的内容，因此我们需要认真学习和掌握。
下面是数理方程的总结复习及练习要点。
一、知识点总结1. 一元一次方程：形如ax+b=0的方程，可以用解方程法、代入法、图像法等方法解决；2. 一元二次方程：形如ax²+bx+c=0的方程，可以用公式法、配方法、因式分解法、图像法等方法解决；3. 一元n次方程：形如a₁xⁿ+a₂xⁿ⁻¹+…+aₙ=0的方程，可以用因式分解法、求根公式、数形结合法等方法解决；4. 二元一次方程组：形如{ax+by=c,dx+ey=f}的方程组，可以用代数法、图像法、消元法等方法解决；5. 二元二次方程组：形如{ax²+by²+cx+dy+e=0,fx²+gy²+hx+iy+j=0}的方程组，可以用消元法、配方法等方法解决；6. 不等式：大于、小于、大于等于、小于等于等不同种类的不等式，可以分别用解不等式、求解集合、证明等方法解决。
二、练习要点1. 要经常进行例题训练，熟练记忆每种方程的解法以及相关性质；2. 要学会用复杂的方程题目中的一些特殊性质，如配方法中平方项差为完全平方、二次项系数一样等等；3. 要结合实际问题练习，尤其是二元一次方程组和不等式中，实际问题更容易引入数学领域；4. 要多用图像法、数形结合法等思维方式，能够脑补形状易于掌握方程性质；5. 在大型比赛中，要将时间合理分配，不要轻易卡在一些细节上，要有策略性地解决问题。
三、总结数理方程是数学考试的重要考点之一，掌握好方程的基本思想和方法，能够在比赛中占据更好的优势，同时也有助于我们更好地解决实际问题。
因此，我们要时常进行练习，加强对数理方程的理解和应用，才能在数学竞赛中获得更好的成绩。
湖南省数学九年级上学期期中复习专题1 一元二次方程认识
湖南省数学九年级上学期期中复习专题1 一元二次方程认识姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2020九上·蔡甸月考) 将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是3，一次项系数是﹣6，常数项是1的方程是（）A . 3x2+1＝6xB . 3x2﹣1＝6xC . 3x2+6x＝1D . 3x2﹣6x＝12. （2分） (2020九上·重庆月考) 下列方程中，是一元二次方程的是（）A . 2x﹣3＝0B . x2﹣2y＝0C . 3D . x2＝03. （2分） (2020九上·孝南月考) 若方程（m﹣2）x2﹣3x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）A . m＞2B . m≠2C . m＞0D . m≠04. （2分）若两个不相等的实数m、n满足m2﹣6m=4，n2﹣4=6n，则mn的值为（）A . 6B . -6C . 4D . -45. （2分）把方程x（x+2）=3（x-1）化成一般式ax2+bx+c=0，则a、b、c的值分别是（）A . 1，-1，3B . 1，1，3C . 1，5，-3D . 1，-1，-36. （2分） (2020九上·马山月考) 下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A . ax2+bx+c=0B . x2-x（x+7）=0C . 2x2-y-1=0D . x2-2x-3=07. （2分）已知x=1是关于x的一元二次方程2x2﹣x+a=0的一个根，则a的值是（）A . 2B . -2C . 1D . -18. （2分） (2019九上·西安月考) 已知是方程的一个根，则的值是（）A . 1B . 2C . -2D . -19. （2分） (2016九上·北京期中) 某汽车销售公司2013年盈利1500万元，2015年盈利2160万元，且从2013年到2015年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（）A . 1500（1+x）+1500（1+x）2=2160B . 1500x+1500x2=2160C . 1500x2=2160D . 1500（1+x）2=216010. （2分）等腰梯形的面积为160cm2 ，上底比高多4cm，下底比高多20cm，这个梯形的高为（）A . 8cmB . 20cmC . 8cm或20cmD . 非上述答案二、填空题 (共8题；共8分)11. （1分）(2016·眉山) 受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高．据调查，2016年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为1．12. （1分）根据题意列出方程：有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？设正方形的边长为xm，请列出你求解的方程1 ．13. （1分） (2019八上·嘉定月考) 下列方程中，①．；②. ；③. ；④.；⑤. 中是一元二次方程的有1．14. （1分） (2019九上·龙华期末) 若x=2是方程x2-x-c=0的一个根，则c=1．15. （1分） (2021八下·丽水期末) 若一元二次方程的二次项系数为1，常数项为0，它的一个根为2，则该方程为1。
数理方程课后习题答案
数理方程课后习题答案数理方程课后习题答案数理方程是数学中的一个重要分支，它研究的是各种数学模型中的方程。
在学习数理方程的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径之一。
本文将为大家提供一些数理方程课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 解方程：2x + 5 = 13解答：将方程中的常数项5移到等号右边，得到2x = 13 - 5，即2x = 8。
然后将2移到等号右边，得到x = 8/2，即x = 4。
所以方程的解为x = 4。
2. 解方程组：{2x + y = 7，x - y = 1}解答：可以使用消元法来解决这个方程组。
首先将第二个方程的系数取负，得到{-x + y = -1}。
然后将第二个方程乘以2，得到{-2x + 2y = -2}。
将这两个方程相加，得到{0x + 3y = -3}，即3y = -3。
解得y = -1。
将y的值代入第一个方程，得到2x - 1 = 7，即2x = 8。
解得x = 4。
所以方程组的解为x = 4，y = -1。
3. 解二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0解答：可以使用因式分解法来解决这个二次方程。
将方程因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0。
根据乘积为零的性质，得到x - 2 = 0或x - 3 = 0。
解得x = 2或x = 3。
所以方程的解为x = 2或x = 3。
4. 解三次方程：x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0解答：可以使用因式分解法来解决这个三次方程。
观察方程，可以发现x = 1是一个解。
通过除以x - 1，得到(x - 1)(x^2 - 5x + 6) = 0。
将x^2 - 5x + 6进行因式分解，得到(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0。
根据乘积为零的性质，得到x - 1 = 0或x - 2 = 0或x - 3 = 0。
解得x = 1或x = 2或x = 3。
所以方程的解为x = 1或x = 2或x = 3。