龚晖 扭转刚度与设计
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π
单位：/m
对于精密机器的轴 [j] 0.15 ~ 0.30 / m
对于一般的传动轴 [j] 2 / m
例 由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之
比 = 0.5。已知材料的许用切应力[ ] = 40MPa ，切
变模量G=80GPa 。轴的横截面上最大扭矩为Tmax=
9.56 kN•m ，轴的许可单位长度扭转角[j' ]=0.3 /m 。
横向线变 横截面发生翘曲
成曲线
不再保持为平面
平面假设不再 成立，可能产 生附加正应力
非圆杆两种类型的扭转
1、等直杆两端受外力偶作用，端面可自由翘曲时 ——自由扭转(纯扭转) 此时相邻两横截面的翘曲程度完全相同，无附加 正应力产生
2、非等直杆扭转、扭矩沿杆长变化、或端面有约束 不能自由翘曲时
——约束扭转
例 图示钢制实心圆截面轴，已知： M1=1592N•m, M2=955 N•m，M3=637 N•m， d =70mm， lAB=300mm， lAC=500mm，钢的切变模量G=80GPa。求横截面C相对
于B的扭转角jCB。
M2 Ⅰ
M1
Ⅱ
M3
d
B
lAB
A
lAC
C
解： 1）求扭矩 BA段 AC段
T1 955N m T2 637N m
M2 Ⅰ
M1
Ⅱ
M3
d
B
lAB
A
lAC
C
2）求扭转角
j AB
T1l AB GIp
955103 300 80103 π 704
1.52103 rad
32
jCA
T2l AC GIP
637103 500 80103 π 704
1.69103 rad
32
jCB j AB jCA [1.52 (1.69)]103 0.17 103 rad
16M e
πD13 (1
4
)
1,m in
T1 d1 I p1
/
2
M e d1 / 2
πD14 (1 4 ) / 32
16 M ed1
πD14 (1 4 )
空心圆轴
1,max
16M e
πD13 (1
4)
1,min
16M e πD13 (1 4 )
1,max
1,min
T1
实心圆轴
ห้องสมุดไป่ตู้
2,max
I
l1
l2
I-I 刚性板 B
解：1）求扭矩 I
A M
eC
I
l1
l2
M C T1
e
MC
T2
e
I-I 刚性板 B
T1 M e T2 M e
B
d2 d1 D1
2）求切应力 I
A M
eC
I-I 刚性板 B
d2 d1 D1
I
l1
l2
空心圆轴
1,m ax
T1 Wp1
Me
πD13 (1 4 ) /16
§3-5 等直圆轴扭转时的变形•刚度条件
Ⅰ、扭转时的变形 ——两个横截面的相对扭转角j
Me
Me j
a
b
T
T
O1
O2
A g D dj
D'
a dx b
扭转角沿杆长的变化率 dj T
d x GI p
dj T d x
GIp
Me
Me j
相距l 的两横截面间相对扭转角为
lT
j dj
dx
l
0 GI p
此时相邻两横截面的翘曲程度不同，横截面上有 附加正应力产生
Ⅱ、矩形截面杆自由扭转时的应力和变形
≤p时
1. max发生在横截面的长边中点
处；
2. 四个角点处 =0 。
3. 横截面周边各点的切应力与周 边相切； 4. 沿周边上的一点与中心的连线， 切应力呈曲线分布 。
最大切应力：
max
T Wt
扭转截面系数
试选择轴的直径。
解：1、按强度条件确定外直径D
max
Tmax Wp
Tmax
πD3 1 4
[ ]
16
D 3
π
16Tmax
1 4 [
]
3
16 9.56 106 π 1 0.54 40
109mm
2、由刚度条件确定所需外直径D
jm ax
Tmax GIp
180 π
G
Tmax πD4 (1
等直圆杆仅两端截面受外力偶矩 Me 作用时
j Tl Mel
GIp GIp
(单位：rad)
称为扭转胡克定律
GIp称为等直圆杆的扭转刚度
Me
Me j
gl d
2
g l
T
g max Wp
GG
T
g
G
Ip G
M el
GI p
1. 适用于线弹性范围 2. 计算长度l范围内其它三个量为常量
16M e πd 2 3
2,max
T2
3）求扭转角 I
A M
eC
I
l1
l2
刚性板 jC jAB jBC
B
T1l1 T2l2
GIp1 GIp2
32M GπD14 (1
el1
4
)
32M el2
Gπd
4 2
Ⅱ、刚度条件
等直圆杆在扭转时的刚度条件：
jm ax
j
l
Tm a x GIp
180 [j]
4
)
180 π
[j]
32
D
4
32Tmax
Gπ(1 -
4
)
180 π
1
[j ]
4
32 9.56 106 80103 π 1 0.54
180 π
0.3
1 103
125.5mm
d D 0.5125.5 63.75mm
§3-7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形
Ⅰ、等直非圆形截面杆扭转时的变形特点
单位长度扭转角：
j T
GIt 相当极惯性矩
短边中点的切应力： max
其中 Wt b3 It b4
、、 ——与 m h相关的因数 b
感谢下 载
例 图示空心圆杆 AB，A端固定，底板 B为刚性杆， 在其中心处焊一直径为d2的实心圆杆CB。空心杆的 内、外径分别为 D1和 d1，外力偶矩 Me、两杆的长 度l1、l2 及材料的切变模量G 均为已知。试求： 1、两杆横截面上的切应力分布图；
2、实心杆C端的绝对扭转角jC。
d2 d1 D1
I A M eC
单位：/m
对于精密机器的轴 [j] 0.15 ~ 0.30 / m
对于一般的传动轴 [j] 2 / m
例 由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之
比 = 0.5。已知材料的许用切应力[ ] = 40MPa ，切
变模量G=80GPa 。轴的横截面上最大扭矩为Tmax=
9.56 kN•m ，轴的许可单位长度扭转角[j' ]=0.3 /m 。
横向线变 横截面发生翘曲
成曲线
不再保持为平面
平面假设不再 成立，可能产 生附加正应力
非圆杆两种类型的扭转
1、等直杆两端受外力偶作用，端面可自由翘曲时 ——自由扭转(纯扭转) 此时相邻两横截面的翘曲程度完全相同，无附加 正应力产生
2、非等直杆扭转、扭矩沿杆长变化、或端面有约束 不能自由翘曲时
——约束扭转
例 图示钢制实心圆截面轴，已知： M1=1592N•m, M2=955 N•m，M3=637 N•m， d =70mm， lAB=300mm， lAC=500mm，钢的切变模量G=80GPa。求横截面C相对
于B的扭转角jCB。
M2 Ⅰ
M1
Ⅱ
M3
d
B
lAB
A
lAC
C
解： 1）求扭矩 BA段 AC段
T1 955N m T2 637N m
M2 Ⅰ
M1
Ⅱ
M3
d
B
lAB
A
lAC
C
2）求扭转角
j AB
T1l AB GIp
955103 300 80103 π 704
1.52103 rad
32
jCA
T2l AC GIP
637103 500 80103 π 704
1.69103 rad
32
jCB j AB jCA [1.52 (1.69)]103 0.17 103 rad
16M e
πD13 (1
4
)
1,m in
T1 d1 I p1
/
2
M e d1 / 2
πD14 (1 4 ) / 32
16 M ed1
πD14 (1 4 )
空心圆轴
1,max
16M e
πD13 (1
4)
1,min
16M e πD13 (1 4 )
1,max
1,min
T1
实心圆轴
ห้องสมุดไป่ตู้
2,max
I
l1
l2
I-I 刚性板 B
解：1）求扭矩 I
A M
eC
I
l1
l2
M C T1
e
MC
T2
e
I-I 刚性板 B
T1 M e T2 M e
B
d2 d1 D1
2）求切应力 I
A M
eC
I-I 刚性板 B
d2 d1 D1
I
l1
l2
空心圆轴
1,m ax
T1 Wp1
Me
πD13 (1 4 ) /16
§3-5 等直圆轴扭转时的变形•刚度条件
Ⅰ、扭转时的变形 ——两个横截面的相对扭转角j
Me
Me j
a
b
T
T
O1
O2
A g D dj
D'
a dx b
扭转角沿杆长的变化率 dj T
d x GI p
dj T d x
GIp
Me
Me j
相距l 的两横截面间相对扭转角为
lT
j dj
dx
l
0 GI p
此时相邻两横截面的翘曲程度不同，横截面上有 附加正应力产生
Ⅱ、矩形截面杆自由扭转时的应力和变形
≤p时
1. max发生在横截面的长边中点
处；
2. 四个角点处 =0 。
3. 横截面周边各点的切应力与周 边相切； 4. 沿周边上的一点与中心的连线， 切应力呈曲线分布 。
最大切应力：
max
T Wt
扭转截面系数
试选择轴的直径。
解：1、按强度条件确定外直径D
max
Tmax Wp
Tmax
πD3 1 4
[ ]
16
D 3
π
16Tmax
1 4 [
]
3
16 9.56 106 π 1 0.54 40
109mm
2、由刚度条件确定所需外直径D
jm ax
Tmax GIp
180 π
G
Tmax πD4 (1
等直圆杆仅两端截面受外力偶矩 Me 作用时
j Tl Mel
GIp GIp
(单位：rad)
称为扭转胡克定律
GIp称为等直圆杆的扭转刚度
Me
Me j
gl d
2
g l
T
g max Wp
GG
T
g
G
Ip G
M el
GI p
1. 适用于线弹性范围 2. 计算长度l范围内其它三个量为常量
16M e πd 2 3
2,max
T2
3）求扭转角 I
A M
eC
I
l1
l2
刚性板 jC jAB jBC
B
T1l1 T2l2
GIp1 GIp2
32M GπD14 (1
el1
4
)
32M el2
Gπd
4 2
Ⅱ、刚度条件
等直圆杆在扭转时的刚度条件：
jm ax
j
l
Tm a x GIp
180 [j]
4
)
180 π
[j]
32
D
4
32Tmax
Gπ(1 -
4
)
180 π
1
[j ]
4
32 9.56 106 80103 π 1 0.54
180 π
0.3
1 103
125.5mm
d D 0.5125.5 63.75mm
§3-7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形
Ⅰ、等直非圆形截面杆扭转时的变形特点
单位长度扭转角：
j T
GIt 相当极惯性矩
短边中点的切应力： max
其中 Wt b3 It b4
、、 ——与 m h相关的因数 b
感谢下 载
例 图示空心圆杆 AB，A端固定，底板 B为刚性杆， 在其中心处焊一直径为d2的实心圆杆CB。空心杆的 内、外径分别为 D1和 d1，外力偶矩 Me、两杆的长 度l1、l2 及材料的切变模量G 均为已知。试求： 1、两杆横截面上的切应力分布图；
2、实心杆C端的绝对扭转角jC。
d2 d1 D1
I A M eC