北师版数学高二北师大版必修5练习一元二次不等式的解法

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北师大版数学高二必修五作业 3.一元二次不等式及其解法

1．不等式x 2－1＞0的解集是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：由原不等式得(x －1)(x ＋1)＞0，∴x ＜－1或x ＞1.答案：D2．(2011·福建高考)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式Δ＞0即m 2－4＞0，解得m ＜－2或m ＞2.答案：C3．不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是(－12，13)，则a －b 的值等于( ) A ．－14B ．14C ．－10D ．10 解析：由条件可知⎩⎨⎧ －b a ＝－12＋13，2a ＝(－12)×13.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2. ∴a －b ＝－12－(－2)＝－10.答案：C 4．不等式(1＋x )(1－|x |)＞0的解集是( )A ．{x |0≤x ＜1}B ．{x |x ＜0且x ≠－1}C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |x ＜1且x ≠－1} 解析：(1)x ≥0时，原不等式化为(1＋x )(1－x )＞0，∴(x ＋1)(x －1)＜0.∴⎩⎨⎧－1＜x ＜1x ≥0⇒0≤x ＜1. (2)x ＜0时，原不等式化为(1＋x ) (1＋x )＞0⇒(1＋x )2＞0，∴x ≠－1.∴x ＜0且x ≠－1.综上，不等式的解集为{x |x ＜1，且x ≠－1}．答案：D5．(2012·凯里高二检测)x －x 2＋2＞0的解集是________．解析：原不等式可化为x 2－x －2＜0，即(x －2)(x ＋1)＜0.∴原不等式的解集为(－1,2)．答案：(－1,2)6．若0＜t ＜1，则不等式(x －t )(x －1t)＜0的解集是________．解析：∵0＜t ＜1，∴1t ＞t .∴不等式(x －t )(x －1t )＜0的解集为{x |t ＜x ＜1t}．答案：(t ，1t) 7．解不等式－2≤3x 2－5x ≤2.解：原不等式等价于3x 2－5x ＋2≥0，且3x 2－5x －2≤0，方程3x 2－5x ＋2＝0的解为x 1＝23，x 2＝1， ∴3x 2－5x ＋2≥0的解集为{x |x ≤23，或x ≥1}．方程3x 2－5x －2＝0的解为x 1＝－13，x 2＝2. ∴3x 2－5x －2≤0的解集为{x |－13≤x ≤2}， ∴原不等式解集为{x |－13≤x ≤23，或1≤x ≤2}． 8．解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0.解：若a ＝0，则原不等式等价于－x ＋1＜0⇒x ＞1.若a ＜0，则原不等式等价于(x －1a )(x －1)＞0⇒x ＜1a或x ＞1. 若a ＞0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)＜0.( *)①当a ＝1时，1a＝1，得x ∈∅； ②当a ＞1时，1a ＜1，得1a＜x ＜1； ③当0＜a ＜1时，1a ＞1，得1＜x ＜1a .综上所述：当a ＜0时，解集为{x |x ＜1a ，或x ＞1}；当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为{x |1＜x ＜1a}；当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为 {x |1a ＜x ＜1}．。

北师大数学必修五课时分层作业一元二次不等式的解法含解析

课时分层作业(十六)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．(x －2)(3x ＋5)<0的解集为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，＋∞B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－53∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，2D [由(x －2)(3x ＋5)<0，得－53＜x ＜2，故选D.] 2．若不等式ax 2＋5x ＋c ＞0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜12，则a ，c 的值为( )A ．a ＝6，c ＝1B ．a ＝－6，c ＝－1C ．a ＝1，c ＝6D ．a ＝－1，c ＝－6B[易知a ＜0，且⎩⎪⎨⎪⎧－5a ＝12＋13，c a ＝13×12，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，c ＝－1.] 3．若不等式a 2x －2a －3＜0的解集是M ，且1∈M ，则a 的取值范围是( ) A ．(－3,1) B ．(－1,3)C ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B [由题意得a 2－2a －3＜0，即(a －3)(a ＋1)＜0，解得－1＜a ＜3，故选B .] 4．若0＜t ＜1，则不等式(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t ＜0的解集为( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1t ＜x ＜1B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞1t 或x ＜1C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1t 或x ＞1D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1＜x ＜1tD [因为0＜t ＜1，所以1t ＞1，故不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜x ＜1t .]5．已知2a ＋1<0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解集是( ) A ．{x |x >5a 或x <－a } B ．{x |x <5a 或x >－a } C ．{x |－a <x <5a } D ．{x |5a <x <－a }B [因为x 2－4ax －5a 2>0，所以(x －5a )(x ＋a )>0.因为a <－12，所以5a <－a ．所以不等式的解为x >－a 或x <5a ．故选B.]二、填空题6．不等式2x 2＜2－3x －2的解集是________．(－2，－1) [原不等式可化为x 2＜－3x －2，即x 2＋3x ＋2＜0，故(x ＋1)(x ＋2)＜0，故解集为(－2，－1)．]7．若不等式4x 2＋9x ＋2<0的解集与不等式ax 2＋bx －2>0的解集相同，则a －b ＝________.5 [由4x 2＋9x ＋2<0，得－2＜x ＜－14，由题意得方程ax 2＋bx －2＝0有两根－2，－14，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2－14＝－ba ，－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－2a ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－9，∴a －b ＝5.] 8．已知关于x 的不等式ax －b >0的解集是(－∞，1)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是________．(－1,3) [由不等式ax －b >0的解集是(－∞，1)，可知a <0，且a ＝b ，则不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集等价于不等式(x ＋1)(x －3)<0的解集，即不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集为(－1,3)．]三、解答题 9．解下列不等式： (1)2＋3x －2x 2>0； (2)x 2－2x ＋3>0.[解] (1)原不等式可化为2x 2－3x －2<0，所以(2x ＋1)(x －2)<0.故原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <2. (2)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，故原不等式的解集是R .10．设ƒ(x )＝(m ＋1)x 2－mx ＋m －1. (1)当m ＝1时，求不等式ƒ(x )>0的解集；(2)若不等式ƒ(x )＋1>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，求m 的值．[解] (1)当m ＝1时，不等式ƒ(x )>0为2x 2－x >0，因此所求解集为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.(2)不等式ƒ(x )＋1>0，即(m ＋1)x 2－mx ＋m >0，由题意知32，3是方程(m ＋1)x 2－mx ＋m ＝0的两根，因此⎩⎨⎧32＋3＝m m ＋132×3＝mm ＋1⇒m ＝－97.[能力提升练]1．设A ＝{x |x 2－2x －3＞0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则a ＋b 等于( )A ．7B ．－1C ．1D ．－7D [A ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)， ∵A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，∴B ＝[－1,4]，∴a ＝－(－1＋4)＝－3，b ＝－1×4＝－4，∴a ＋b ＝－7.] 2．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)B [由题意知x ⊙(x －2)＝x 2＋x －2， ∴x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.]3．若不等式x 2＋ax ＋b >0的解集为(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，则不等式bx 2＋ax ＋1<0的解集为_____________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12 [由题意得x 2＋ax ＋b ＝0有两根－2，－12，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ －2－12＝－a ，－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝b ，得⎩⎨⎧a ＝52，b ＝1.∴bx 2＋ax ＋1<0可化为x 2＋52x ＋1<0. 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(x ＋2)<0.得－2<x <－12.] 4．不等式x 2－3|x |＋2≤0的解集是________．[－2，－1]∪[1,2] [原不等式可化为|x |2－3|x |＋2＝(|x |－1)(|x |－2)≤0，故1≤|x |≤2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2x ≥1或x ≤－1，则－2≤x ≤－1或1≤x ≤2.]5．关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0的解集中的整数恰有3个，求a 的取值范围．[解] 原不等式等价于(ax －1)(x －1)＜0，分类讨论： (1)当a ＝0时，不等式的解集为(1，＋∞)，整数不止3个； (2)当a ≠0时，方程(ax －1)(x －1)＝0的两根为1a 和1.①当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a ，当4＜1a ≤5时满足条件，得15≤a＜14；②当a ＝1时，不等式的解集为∅；③当a ＞1时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1，显然不满足题意；④当a ＜0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪(1，＋∞)整数不止3个．综上所述，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，14.。

北师大版高中数学必修五学案一元二次不等式的解法

对含字母的一元二次不等式讨论分为四类①二次项系数是否为零进行分类②若不为零，按其符号进行分类③按判别式符号进行分类④按两根大小进行分类
作业布置
① 是什么实数时关于的方程无实根
②解关于的不等式
课后反思
数学导学案设计
第三章第节
课题名称
一元二次不等式的解法（2）
学习目标
掌握一元二次不等式含参数的解法
重点难点
参数的讨论
学习过程
与方法
1.自主学习：
不等式的解集是
探究问题：解关于的不等式
此方程是否有解？若有，分别为，其大小关系为
能否根据其图像写出其解集
2.精讲互动：
例1.取值范围
例3若关于的不等式的解集是空集，求的取值范围
①若解集是非空
②若解集是一切实数
的取值范围又是什麽？
3达标训练：
①若方程的两根为2，3，那么的解集为
②不等式的解集为，则 =
③关于的不等式的解集是空集，那么的取值范围是
④ 的解集为则与的值分别为
课堂小结

高中数学北师大版高二必修5_第三章2.1_一元二次不等式的解法_作业2_word版含解析

,[学生用书单独成册])[A.基础达标]1．不等式－x 2－x ＋2≥0的解集是( )A ．{x |x ≤－2或x ≥1}B ．{x |－2＜x ＜1}C ．{x |－2≤x ≤1}D ．∅解析：选C.－x 2－x ＋2≥0⇔x 2＋x －2≤0⇔(x ＋2)(x －1)≤0⇔－2≤x ≤1.2．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－13B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤13 C ．∅ D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝－13 解析：选D.不等式可化为(3x ＋1)2≤0，因此只有x ＝－13，即解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝－13，故选D. 3．设集合S ＝{x ||x |＜5}，T ＝{x |x 2＋4x －21＜0}，则S ∩T ＝( )A ．{x |－7＜x ＜－5}B ．{x |3＜x ＜5}C ．{x |－5＜x ＜3}D ．{x |－7＜x ＜5}解析：选C.因为S ＝{x |－5＜x ＜5}，T ＝{x |－7＜x ＜3}，所以S ∩T ＝{x |－5＜x ＜3}．4．关于x 的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是全体实数的条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＞0B.⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＜0 C.⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0Δ＞0 D.⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0Δ＜0 解析：选D.由于不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为全体实数，所以，与之相对应的二次函数y ＝ax 2＋bx＋c 的图像恒在x 轴下方，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.5．已知0＜a ＜1，关于x 的不等式(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a ＞0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 或x ＞1a B ．{x |x ＞a } C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1a 或x ＞a D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1a 解析：选A.因为0＜a ＜1，所以1a ＞1，即a ＜1a，所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞1a 或x ＜a . 6．不等式x (3－x )≥x (x ＋2)＋1的解集是________．解析：原不等式即为3x －x 2≥x 2＋2x ＋1，可化为2x 2－x ＋1≤0，由于判别式Δ＝－7＜0，所以方程2x 2－x ＋1＝0无实数根，因此原不等式的解集是∅.答案：∅7．若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |x ＜－2或x ＞4}，对于函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则比较f (－1)，f (2)，f (5)的大小为________．解析：因为ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |x ＜－2或x ＞4}，所以a ＞0，且对应方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1＝－2，x 2＝4.所以x 1＋x 2＝－b a ＝2，所以对称轴方程x ＝－b 2a＝1，所以f (－1)＝f (3)且f (2)＜f (3)＜f (5)，所以f (2)＜f (－1)＜f (5)．答案：f (2)＜f (－1)＜f (5)8．下列不等式中：①4x 2＋4x ＋1≥0；②x 2－5x ＋6＞0；③(a 2＋1)x 2＋ax －1＞0.其中解集是R 的是________(把正确的序号全填上)．解析：①⇔(2x ＋1)2≥0⇔x ∈R ；②Δ＝25－4×6＝1＞0.所以②的解集不是R .③Δ＝a 2－4(a 2＋1)×(－1)＝5a 2＋4＞0，所以③的解集不是R ，故填①.答案：①9．解下列不等式：(1)2＋3x －2x 2＞0；(2)x 2－2x ＋3＞0.解：(1)原不等式可化为2x 2－3x －2＜0，所以(2x ＋1)(x －2)＜0.故原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12＜x ＜2. (2)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0，故原不等式的解集是R .10．已知不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x |x ＜1或x ＞b }．(1)求a ，b 的值；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0.解：(1)因为不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x |x ＜1或x ＞b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，b ＞1且a ＞0.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. (2)由(1)知不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0可化为x 2－(2＋c )x ＋2c ＜0，即(x －2)(x －c )＜0.当c ＞2时，不等式(x －2)(x －c )＜0的解集为{x |2＜x ＜c }；当c ＜2时，不等式(x －2)(x －c )＜0的解集为{x |c ＜x ＜2}；当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )＜0的解集为∅.[B.能力提升]1．不等式x 2－|x |－2＜0的解集是( )A ．{x |－2＜x ＜2}B ．{x |x ＜－2或x ＞2}C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |x ＜－1或x ＞1}解析：选A.令t ＝|x |，则原不等式可化为t 2－t －2＜0，即(t －2)(t ＋1)＜0.因为t ＝|x |≥0，所以t －2＜0，所以t ＜2.所以|x |＜2，得－2＜x ＜2.2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a ＜0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A ．{x |x ＜－1或x ＞2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1＜x ＜2}D ．{x |－1≤x ≤2}解析：选D.由题意知，－b a ＝1，c a＝－2，所以b ＝－a ，c ＝－2a ，又因为a ＜0，所以x 2－x －2≤0，所以－1≤x ≤2.3．已知2a ＋1＜0，关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2＜0的解集是________．解析：因为方程x 2－4ax －5a 2＝0的两个根为x 1＝－a ，x 2＝5a ，又因为2a ＋1＜0，即a ＜－12，所以x 1＞x 2.故原不等式的解集为{x |5a ＜x ＜－a }．答案：{x |5a ＜x ＜－a }4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是________．解析：由题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，2x ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞2x ，2x ≥0，解得－1＜x ＜0或0≤x ＜2－1，所以所求x 的取值范围为(－1，2－1)．答案：(－1，2－1)5．解关于x 的不等式：x 2－2ax ＋2≤0.解：因为Δ＝4a 2－8，所以当Δ＜0，即－2＜a ＜2时，原不等式对应的方程无实根，原不等式的解集为∅；当Δ＝0，即a ＝±2时，原不等式对应的方程有两个相等实根．当a ＝2时，原不等式的解集为{x |x ＝2}，当a ＝－2时，原不等式的解集为{x |x ＝－2}；当Δ＞0，即a ＞2或a ＜－2时，原不等式对应的方程有两个不等实根，分别为x 1＝a －a 2－2，x 2＝a ＋a 2－2，且x 1＜x 2，所以原不等式的解集为{x |a －a 2－2≤x ≤a ＋a 2－2}．6．已知不等式x 2－3x ＋t ＜0的解集为{x |1＜x ＜m }．(1)求t ，m 的值；(2)若函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4在区间(－∞，1]上是增加的，求关于x 的不等式log a (－mx 2＋3x ＋2－t )＜0的解集．解：(1)因为不等式x 2－3x ＋t ＜0的解集为{x |1＜x ＜m }，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝3，m ＝t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，t ＝2. (2)因为f (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －a 22＋4＋a 24在(－∞，1]上是增加的，所以a 2≥1，即a ≥2. 又log a (－mx 2＋3x ＋2－t )＝log a (－2x 2＋3x )＜0.由a ≥2，可知0＜－2x 2＋3x ＜1.由2x 2－3x ＜0，得0＜x ＜32，由2x 2－3x ＋1＞0，得x ＜12或x ＞1. 所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜12或1＜x ＜32.。

2019高中数学北师大版高二必修5_第三章2.1_一元二次不等式的解法_作业_word版含解析.doc

[学业水平训练]1．下列不等式中，解集是R 的是( ) A ．x 2＋2x ＋1>0B.x 2>0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＋1>0 D.1x －2<1x解析：选C.因为x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2≥0，所以选项A 不正确；又x 2＝|x |≥0，所以选项B 也不正确；选项D 中x ≠0；而⎝ ⎛⎭⎪⎫13x>0，所以(13)x ＋1>1>0，x ∈R ，故选C. 2．不等式(x ＋1)(2－x )≤0的解集为( ) A ．[－2，1]B ．[－1，2]C ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：选C.由(x ＋1)(2－x )≤0，得(x ＋1)(x －2)≥0，解得x ≥2或x ≤－1，故选C.3．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集为( ) A ．{x |－23≤x ≤12}B ．{x |x ≤－23或x ≥12}C ．{x |x ≥12}D ．{x |x ≤－23}解析：选B.－6x 2－x ＋2≤0⇔6x 2＋x －2≥0⇔(2x －1)·(3x ＋2)≥0⇔x ≤－23或x ≥12.4．若不等式ax 2＋bx －2>0的解集为{x |－2<x <－14}，则a ，b 的值分别是( )A ．a ＝－8，b ＝－10B ．a ＝－1，b ＝9C ．a ＝－4，b ＝－9D ．a ＝－1，b ＝2解析：选C.由题意知关于x 的方程ax 2＋bx －2＝0的两根分别为x 1＝－2，x 2＝－14，由根与系数的关系知，－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－2a ，－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－b a ，所以a ＝－4，b ＝－9.故选C. 5．若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－2或x >4}，则对于函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 有( ) A ．f (5)<f (2)<f (－1) B ．f (2)<f (5)<f (－1) C ．f (－1)<f (2)<f (5)D ．f (2)<f (－1)<f (5)解析：选D.∵ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－2或x >4}，∴a >0，且对应方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1＝－2，x 2＝4.∴x 1＋x 2＝－b a ＝2，∴对称轴方程x ＝－b2a＝1，∴f (－1)＝f (3)且f (2)<f (3)<f (5)，∴f (2)<f (－1)<f (5)．6．不等式x 2－x －2<0的解集是________．解析：原不等式可以变化为(x ＋1)(x －2)<0，可知方程x 2－x －2＝0的解为x 1＝－1，x 2＝2，所以原不等式的解集为{x |－1<x <2}．答案：{x |－1<x <2}7．不等式lg(x 2＋2x ＋2)>1的解集是________．解析：原不等式可化为lg(x 2＋2x ＋2)>lg 10.∵x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1>0，∴x 2＋2x ＋2>10，即x 2＋2x －8>0，∴x <－4或x >2.答案：(－∞，－4)∪(2，＋∞)8．已知不等式x 2＋ax ＋4<0的解集为∅，则a 的取值范围是________．解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集为∅，∴Δ＝a 2－16≤0，解得－4≤a ≤4. 答案：[－4，4] 9．解下列不等式：(1)－x 2＋8x －3>0；(2)x (3＋x )>4. 解：(1)原不等式可化为x 2－8x ＋3<0，∴方程x 2－8x ＋3＝0的解为x 1＝4－13，x 2＝4＋13，由二次函数y ＝x 2－8x ＋3的图像(图略)，得原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}．(2)原不等式可化为x 2＋3x －4>0，∴方程x 2＋3x －4＝0的解为x 1＝－4，x 2＝1.由y ＝x 2＋3x －4的图像(图略)，得原不等式的解集为{x |x >1，或x <－4}．10．解关于x 的不等式：(x －2)(ax －2)>0(a ∈R )．解：当a ＝0时，原不等式化为x －2<0，解集为{x |x <2}；当a <0时，原不等式化为(x －2)⎝⎛⎭⎪⎫x －2a <0，∵2>2a ，∴原不等式的解集为{x |2a<x <2}；当a >0时，原不等式化为(x －2)⎝⎛⎭⎪⎫x －2a >0.①当0<a <1时，2<2a，∴原不等式的解集为{x |x >2a或x <2}；②当a ＝1时，2＝2a，∴原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠2}；③当a >1时，2>2a，∴原不等式的解集为{x |x >2或x <2a}．综上所述：当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}；当a <0时，原不等式的解集为{x |2a<x <2}；当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x >2a或x <2}；当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠2}；当a >1时，原不等式的解集为{x |x >2或x <2a}．[高考水平训练]1．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <a 或x >1a B ．{x |x >a }C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >a 或x <1a D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1a 解析：选 A.∵a <－1，∴a (x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0⇔(x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0.又∵a <－1，∴1a >a ，∴x >1a或x <a .2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x <0则不等式f (x )>f (1)的解集为________．解析：由题意知f (1)＝3，故原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x 2－4x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0x ＋6>3. 所以原不等式解集为(－3，1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，1)∪(3，＋∞)3．已知ax 2＋2x ＋c >0的解集为{x |－13<x <12}，试求a ，c 的值，并解不等式－cx 2＋2x －a >0.解：由ax 2＋2x ＋c >0的解集为{x |－13<x <12}，知a <0，且方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两个根为x 1＝－13，x 2＝12，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－13＋12＝－2a ，－13×12＝c a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，c ＝2.此时－cx 2＋2x －a >0可化为x 2－x －6<0，解集为{x |－2<x <3}．4．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解：法一：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图像的对称轴为x ＝a .(1)当a ∈(－∞，－1)时，结合图像知，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )m in ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )m in ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得a ≥－3. 又a <－1，∴－3≤a <－1.(2)当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )m in ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－2≤a ≤1. 又a ≥－1，∴－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围为－3≤a ≤1.法二：由已知得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞]上恒成立，令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a . 即Δ＝(－2a )2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a ≤－1，g （－1）≥0，解得－3≤a ≤1.。

北师大版高中数学必修5：一元二次不等式的解法(2)

x12 4 0 x12x12 0
x1 2或x1 2 x 1或x 3
即不等式的解集为 x x1或x3
返回
2、如何求一元二次不等式 x 2 2x 30 的解集
求方程的根
函数图像与x轴的交点的横坐标（零点）
画函数图像
(4) (5 x)(x 4) 18
1、若 0 t 1,则不等式
（
）
A .{x
|1
x
t}
(x B .{x
(x 1) t
| x 1 或x
0
t
的解集为
}
t
t
C .{x | x t或x 1} D .{x | t x 1}
t
t
2、解关于x的不等式：x 2 a +1x + a 0
（2）x 2 5x + 6 0
(3)2x 2 3x 2 0
启发引导形成结论
△=b2- 4ac
对应二次方程的根
0 x1, x2( x1 x2 )
0
0
二次函数
y ax2 bx c
（ a0）的图像
ax2 bx c 0 (a 0)的解集
2、如何求一元二次不等式 x 2 2x 30 的解集
配方法解：x2 2x3 0 x2 2x1130
x12 4 0 x12 4
x1 2或x1 2 x 1或x 3
即不等式的解集为 x x1或x3
返回
2、如何求一元二次不等式 x 2 2x 30 的解集
无实根
R

小结
1.一元二次不等式的定义与一般形式. 2.三个“二次”的关系. 3.一元二次不等式的解法及其步骤. 4.数学思想：数形结合的思想. 5.认识方法：特殊到一般的辩证法．

北师版数学高二北师大版必修5学案一元二次不等式的解法

2．1一元二次不等式的解法明目标、知重点 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图像法解一元二次不等式的方法.3.培养应用数形结合、分类讨论思想方法的能力．1．一元二次不等式的有关概念(1)一元二次不等式：形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫作一元二次不等式．(2)一元二次不等式的解：一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫作这个一元二次不等式的解．(3)一元二次不等式的解集：一元二次不等式的所有解组成的集合，叫做一元二次不等式的解集．2．一元二次不等式的解集设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根x1、x2，且x1<x2，则ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为{x|x<x1或x>x2}；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}．3．不等式的恒成立问题(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是R的等价条件是a>0且Δ<0；(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集是R的等价条件是a<0且Δ<0.(3)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立k≤f(x)min.[情境导学]对于一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若令y＝0，就得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，若令y>0或y<0，就得到不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0.如何解不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0？这就是本节所要学习的主要内容．探究点一一元二次不等式的概念问题1甲、乙两辆汽车相向而行，在一个弯道上相遇，弯道限制车速在40 km/h以内，由于突发情况，两车相撞了，交警在现场测得甲车的刹车距离接近但未超过12 m，乙车的刹车距离刚刚超过10 m，又知这两辆汽车的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有以下函数关系：s甲＝0.01x2＋0.1x；s乙＝0.005x2＋0.05x，谁的车速超过了40 km/h，谁就违章了．试问：哪一辆车违章行驶了？思考1你能想出一种办法找出哪一辆车违章行驶吗？答只需分别解出不等式0.01x2＋0.1x≤12和不等式0.005x2＋0.05x>10，确认甲、乙两车的行驶速度，就可以判断哪一辆车违章超速行驶．思考2在思考1中得到的不等式有什么特点？答(1)含有一个未知数x；(2)未知数的最高次数为2.小结形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．探究点二一元二次不等式的解法问题2如何解一元二次不等式x2－2x－3<0?思考1一元二次方程x2－2x－3＝0的根与一元二次函数y＝x2－2x－3的零点有怎样的关系？答二次方程有两个实数根x1＝－1，x2＝3，二次函数有两个零点：x1＝－1，x2＝3.于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点．思考2画出二次函数y＝x2－2x－3的图像，你能通过观察图像，确定满足不等式x2－2x －3<0的x的取值范围吗？答画出二次函数y＝x2－2x－3的图像，如图，观察函数图像可知：当－1<x<3时，函数图像位于x轴下方，此时，y<0，即x2－2x－3<0，所以满足不等式x2－2x－3<0的x的取值范围是－1<x<3.思考3根据思考2确定满足不等式x2－2x－3<0的x的取值范围的思路，怎样确定满足一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0(a>0)的x的取值范围？答先求出一元二次方程的根，再根据函数图像与x轴的相关位置，确定满足一元二次不等式的x 的取值范围．小结 (1)一般地，使某个一元二次不等式成立的x 的值叫这个一元二次不等式的解． (2)一元二次不等式的所有解组成的集合，叫做一元二次不等式的解集．思考4 设相应的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2且x 1≤x 2，Δ＝b 2－4ac ，根据以上讨论，请将下表填充完整.Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图像ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根有两相异实根 x 1，x 2(x 1<x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 {x |x <x 1或 x >x 2} ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集{x |x 1<x <x 2}∅∅小结 (1)一元二次不等式ax 22边，小于取中间．(2)当一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0与ax 2＋bx ＋c <0的二次项系数a <0时，可以转化为a >0. 思考5 一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间存在怎样的联系？答二次函数的图像与x 轴交点的横坐标为相应一元二次方程的根，也就是一元二次方程的根为相应二次函数的零点；二次函数的图像在x 轴上方或下方的部分所对应x 的范围是不等式ax 2＋bx ＋c >0与ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集．例1 解不等式：3x 2＋5x －2>0.解方程3x 2＋5x －2＝0的两解是x 1＝－2，x 2＝13.函数y ＝3x 2＋5x －2的图像是开口向上的抛物线，与x 轴有两个交点(－2,0)和⎝⎛⎭⎫13，0(如图所示)．观察图像可得，不等式的解集为{x |x <－2或x >13}．思考6 根据不等式3x 2＋5x －2>0的解集，你能得出不等式3x 2＋5x －2≤0的解集吗？答集合{x |x <－2或x >13}在实数集中的补集{x |－2≤x ≤13}，即为不等式3x 2＋5x －2≤0的解集．反思与感悟在具体求解一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图像来确定不等式的解集．跟踪训练1 解不等式9x 2－6x ＋1>0.解方程9x 2－6x ＋1＝0有两个相同实数解：x 1＝x 2＝13.函数y ＝9x 2－6x ＋1的图像是开囗向上的抛物线，与x 轴仅有一个交点(13，0)．所以不等式的解集是{x |x ≠13}．例2 解不等式：－2x 2＋x ＋1<0.解方法一方程－2x 2＋x ＋1＝0的解为x 1＝－12，x 2＝1.函数y ＝－2x 2＋x ＋1的图像是开口向下的抛物线，与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫－12，0和(1,0)，如图所示．观察图像可得，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－12或x >1.方法二在不等式两边同乘－1，可得2x 2－x －1>0. 方程2x 2－x －1＝0的解为x 1＝－12，x 2＝1.画出函数y ＝2x 2－x －1的图像简图(如图所示)．观察图像，可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－12或x >1.反思与感悟当所给一元二次不等式为非一般形式时，应先化为一般形式，对于二次项系数a <0的一元二次不等式，一般有两种解法，通常采用方法二，即通过对不等式两边同乘－1将二次项系数变为正数再解．跟踪训练2 解不等式－x 2＋4x －4>0. 解不等式可化为x 2－4x ＋4<0. 方程x 2－4x ＋4＝0的解为x 1＝x 2＝2.而y ＝x 2－4x ＋4的图像开口向上，函数的值域为y ≥0，所以原不等式的解集是∅. 探究点三含参数的一元二次不等式的解法例3 解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a <0. 解方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a . 函数y ＝x 2＋(1＋a )x －a 的图像开口向上，所以 (1)当a <－1时，原不等式的解集为(a ，－1)； (2)当a ＝－1时，原不等式的解集为∅； (3)当a >－1时，原不等式的解集为(－1，a )．反思与感悟含参数的一元二次不等式的求解步骤：(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图像的开口方向； (2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图像与x 轴交点的个数； (3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．跟踪训练3 设m ∈R ，解关于x 的不等式m 2x 2＋2mx －3<0. 解 (1)m ＝0时，－3<0恒成立，所以x ∈R . (2)m >0时，不等式变为(mx ＋3)(mx －1)<0，即⎝⎛⎭⎫x ＋3m ⎝⎛⎭⎫x －1m <0，解得－3m <x <1m.(3)m <0时，原不等式变为⎝⎛⎭⎫x ＋3m ⎝⎛⎭⎫x －1m <0，解得1m <x <－3m.综上，m ＝0时，解集为R ；m >0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3m <x <1m； m <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1m<x <－3m . 探究点四不等式的恒成立问题例4 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0.若m ≠0，⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0.∴－4<m ≤0.(2)方法一要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立．就要使m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， ∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0， ∴0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， ∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6， ∴m <0. 综上所述：m <67.方法二当x ∈[1,3]时，f (x )<－m ＋5恒成立，即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立． ∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1.∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，∴只需m <67即可．反思与感悟有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有二：①考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式；②若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图像建立参变量的不等式求解．跟踪训练4 当x ∈[1,2]时，不等式x 2＋mx ＋4≤0恒成立．则m 的取值范围是________．答案 (－∞，－5]解析由于当x ∈[1,2]时，不等式x 2＋mx ＋4≤0恒成立．则有⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0f (2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋4≤04＋2m ＋4≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5m ≤－4⇔m ≤－5.1．不等式2x 2－x －1>0的解集是( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，1 B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 答案 D解析 ∵2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)， ∴由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)(x －1)>0，解得x >1或x <－12，∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞)． 2．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23或x ≥12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32答案 B解析 ∵－6x 2－x ＋2≤0，∴6x 2＋x －2≥0， ∴(2x －1)(3x ＋2)≥0，∴x ≥12或x ≤－23.3．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析由题意可知－7和－1为ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根． ∴－7×(－1)＝21a，故a ＝3.4．不等式x 2＋x －2<0的解集为________．答案 {x |－2<x <1}解析由x 2＋x －2<0得－2<x <1，故其解集为{x |－2<x <1}．5．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0的解集为R ，求实数a 的取值范围．解当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式为－4<0，所以a ＝2时解集为R .当a －2≠0时，由题意得⎩⎨⎧a －2<0，Δ<0.即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，4(a －2)2－4(a －2)(－4)<0.解得－2<a <2.综上所述，a 的取值范围为－2<a ≤2. [呈重点、现规律]1．解一元二次不等式的常见方法(1)图像法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)；②求方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根，并画出对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图像的简图； ③由图像得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当m <n 时，若(x －m )(x －n )>0，则可得x >n 或x <m ；若(x －m )(x －n )<0，则可得m <x <n . 有口诀如下：大于取两边，小于取中间． 2．含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a >0，a <0，a ＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x 1>x 2，x 1＝x 2，x 1<x 2.一、基础过关1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |－1≤x ≤2}答案 D解析由题意知，－b a ＝1，ca ＝－2，∴b ＝－a ，c ＝－2a ，又∵a <0，∴x 2－x －2≤0，∴－1≤x ≤2.2．若0<t <1，则关于x 的不等式(t －x )(x －1t)>0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1t <x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >1t 或x <tC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1t 或x >tD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |t <x <1t答案 D解析 ∵0<t <1，∴1t >1，∴1t>t .∴(t －x )(x －1t )>0⇔(x －t )(x －1t )<0⇔t <x <1t .3．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2}答案 A解析原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2. ∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．4．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2} 答案 D解析由已知条件0<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2.5．不等式－1<x 2＋2x －1≤2的解集是________．答案 {x |－3≤x <－2或0<x ≤1}解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3≤0，x 2＋2x >0，∴－3≤x <－2或0<x ≤1.6．若不等式x 2＋mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是__________．答案－2<m <2解析由题意知，不等式x 2＋mx ＋1>0对应的函数的图像在x 轴的上方，所以Δ＝(m )2－4×1×1<0，所以－2<m <2.7．解不等式：x 2－3|x |＋2≤0.解 x 2－3|x |＋2≤0⇔|x |2－3|x |＋2≤0⇔(|x |－1)(|x |－2)≤0⇔1≤|x |≤2.当x ≥0时，1≤x ≤2；当x <0时，－2≤x ≤－1.∴原不等式的解集为{x |－2≤x ≤－1或1≤x ≤2}．二、能力提升8．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是()A ．(－2,2)B ．(－2,2]C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D ．(－∞，2)答案 B解析 ∵mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x ，∴(2－m )x 2＋(4－2m )x ＋4>0.当m ＝2时，4>0，x ∈R ；当m <2时，Δ＝(4－2m )2－16(2－m )<0，解得－2<m <2.此时，x ∈R .综上所述，－2<m ≤2.9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)答案 A解析 f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1；当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0.所以f (x )>f (1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．10．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是______________．答案 k ≤2或k ≥4解析 x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2.11．若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集．解由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，知a <0，且关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－13，2，∴⎩⎨⎧－13＋2＝－b a－13×2＝c a ，∴b ＝－53a ，c ＝－23a .所以不等式cx 2－bx ＋a <0可变形为⎝⎛⎭⎫－23a x 2－⎝⎛⎭⎫－53a x ＋a <0，即2ax 2－5ax －3a >0.又因为a <0，所以2x 2－5x －3<0，解得－12＜x ＜3，所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <3.12．解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0.解将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0变形为(x －a )(x －a 2)>0.∵a 2－a ＝a (a －1)．∴当a <0或a >1时，a <a 2，解集为{x |x <a 或x >a 2}．当0<a <1时，a 2<a ，解集为{x |x <a 2或x >a }．当a ＝0或1时，解集为{x |x ∈R 且x ≠a }．综上知，当a <0或a >1时，不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}；当0<a <1时，不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }；当a ＝0或1时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠a }．三、探究与拓展13．解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0.解 (1)当a ＝0时，原不等式可化为－2x ＋4>0，解得x <2，所以原不等式的解集为{x |x <2}．(2)当a >0时，原不等式可化为(ax －2)(x －2)>0，对应方程的两个根为x 1＝2a，x 2＝2. ①当0<a <1时，2a>2，所以原不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a 或x <2； ②当a ＝1时，2a＝2，所以原不等式的解集为{x |x ≠2}； ③当a >1时，2a<2，所以原不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2或x <2a . (3)当a <0时，原不等式可化为(－ax ＋2)(x －2)<0，对应方程的两个根为x 1＝2a ，x 2＝2，则2a<2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a <x <2.。

高中数学第三章不等式 3.2.2 一元二次不等式的应用学案(含解析)北师大版必修5-北师大版高二

2．2 一元二次不等式的应用知识点一简单的分式不等式的解法[填一填][答一答]1．请写出分式不等式ax ＋b cx ＋d ≥0，ax ＋bcx ＋d≤0的同解不等式．提示：⎩⎪⎨⎪⎧(ax ＋b )(cx ＋d )≥0，cx ＋d ≠0，⎩⎪⎨⎪⎧(ax ＋b )(cx ＋d )≤0，cx ＋d ≠0.知识点二用穿针引线法解简单的一元高次不等式f(x)>0的步骤[填一填](1)将f(x)最高次项的系数化为正数；(2)将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；(3)将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集．[答一答]2．“穿针引线法”解不等式所用的数学思想是什么？提示：数形结合的思想方法．解一般分式不等式的方法解分式不等式的关键是先把不等式的右边化为零，再通分把它化成f(x)g(x)>0(或≥0或<0或≤0)的形式，最后通过符号的运算法则，把它转化成整式不等式求解，其中：f(x) g(x)>0⇔f(x)·g(x)>0，f(x)g(x)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)>0g(x)>0或⎩⎪⎨⎪⎧f(x)<0g(x)<0，f(x) g(x)≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)·g(x)≥0g(x)≠0⇔f(x)g(x)>0或f(x)＝0，f(x) g(x)≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)≥0g(x)>0或⎩⎪⎨⎪⎧f(x)≤0g(x)<0.一般地，解分式不等式的过程，体现了分式不等式与整式不等式之间的转化，这种转化必须保证不等式前后的等价性．类型一根的分布问题【例1】已知关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0有两实根． (1)如果两实根都大于1，求实数m 的取值范围； (2)如果两实根都在区间(1,3)内，求实数m 的取值范围； (3)如果一个根大于2，另一个根小于2，求实数m 的取值范围．【思路探究】本题属于一元二次方程根的分布问题，一元二次方程的根就是相应的二次函数的零点，即二次函数与x 轴交点的横坐标．根据方程根的分布情况可知二次函数图像的大致情况，从而转化成不等式(组)的形式，求解即可．【解】 (1)方法一：设函数f (x )＝8x 2－(m －1)x ＋m －7，作其草图，如右图．若两实根均大于1，则⎩⎨⎧Δ＝[－(m －1)]2－32(m －7)≥0，f (1)＝2>0，m －116>1，即⎩⎨⎧m ≥25或m ≤9，m ∈R ，m >17.所以m ≥25.方法二：设方程的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝m －18，x 1x 2＝m －78，因为两根均大于1，所以x 1－1>0，x 2－1>0，故有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝[－(m －1)]2－32(m －7)≥0，(x 1－1)＋(x 2－1)>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧[－(m －1)]2－32(m －7)≥0，m －18－2>0，m －78－m －18＋1>0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥25或m ≤9，m >17，m ∈R .所以m ≥25.(2)设函数f (x )＝8x 2－(m －1)x ＋m －7.若方程的两根x 1，x 2∈(1,3)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f (1)>0，f (3)>0，1<m －116<3，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥25或m ≤9，m ∈R ，m <34，17<m <49.所以25≤m <34.(3)若一根大于2，另一根小于2，则f (2)<0，即27－m <0，解得m >27.规律方法一元二次方程根的分布问题的处理方法1．若可转化为根的不等关系，则可直接运用根与系数的关系求解． 2．借助相应的二次函数图像，运用数形结合的思想求解，步骤如下： (1)根据题意画出符合条件的二次函数图像，标清交点所在区间； (2)运用判别式、对称轴及区间端点处的函数值的符号来确定图像的位置；(3)解不等式组，即得变量的取值范围．已知关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0.(1)若方程的一个根大于2、一个根小于2，求实数m 的取值范围； (2)若方程的两个根都在(0,2)内，求实数m 的取值范围．解：(1)令f (x )＝x 2＋(m －3)x ＋m ，因为关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的一个根大于2、一个根小于2，所以f (2)＝4＋(m －3)·2＋m <0，解得m <23.(2)若关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的两个根都在(0,2)内，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －3)2－4m ≥0，0<3－m2<2，f (0)＝m >0，f (2)＝3m －2>0，解得23<m ≤1.类型二高次不等式的解法【例2】解下列不等式． (1)x 3－2x 2＋3<0； (2)(x ＋1)(1－x )(x －2)>0； (3)x (x －1)2(x ＋1)3(x ＋2)≥0.【思路探究】通过因式分解，把高次不等式化为一元一次不等式或一元二次不等式的积问题，然后再依据相关性质解答．【解】 (1)原不等式可化为(x ＋1)(x 2－3x ＋3)<0，而对任意实数x ，恒有x 2－3x ＋3>0(∵Δ＝(－3)2－12<0)．∴原不等式等价于x ＋1<0， ∴原不等式的解集为{x |x <－1}．(2)原不等式等价于(x －1)(x －2)(x ＋1)<0，令y ＝(x －1)(x －2)(x ＋1)，当y ＝0时，各因式的根分别为1,2，－1，如图所示．可得不等式的解集为{x|x<－1或1<x<2}．(3)∵方程x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)＝0的根依次为0,1，－1，－2，其中1为双重根，－1为三重根(即1为偶次根，－1为奇次根)，如图所示，由“穿针引线法”可得不等式的解集为{x|－2≤x≤－1或x≥0}．规律方法解高次不等式用穿针引线法简捷明了，使用此法时一定要注意：①所标出的区间是否是所求解的范围，可取特值检验，以防不慎造成失误；②是否有多余的点，多余的点应去掉；③总结规律，“遇奇次方根一穿而过，遇偶次方根只穿，但不过”．解不等式(x＋4)(x＋5)2(2－x)3<0.解：原不等式等价于(x＋4)(x＋5)2(x－2)3>0.在数轴上标出－5，－4,2表示的点，如图所示，由图可知原不等式的解集为{x|x<－5或－5<x<－4或x>2}．类型三分式不等式的解法【例3】解不等式x2－4x＋13x2－7x＋2<1.【思路探究】解分式不等式一般首先要化为f(x)g(x)>0(或<0)的标准形式，再等价转化为整式不等式或化为一次因式积的形式来用“穿针引线法”，借助于数轴得解．【解】解法一：原不等式可化为2x 2－3x ＋13x 2－7x ＋2>0⇔(2x 2－3x ＋1)(3x 2－7x ＋2)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－3x ＋1>0，3x 2－7x ＋2>0或⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3x ＋1<0，3x 2－7x ＋2<0.解得原不等式的解集为{x |x <13或12<x <1或x >2}．解法二：原不等式移项，并因式分解得(2x －1)(x －1)(3x －1)(x －2)>0⇔(2x －1)(x －1)(3x －1)(x －2)>0，在数轴上标出(2x －1)(x －1)(3x －1)(x －2)＝0的根，并画出示意图，如图所示．可得原不等式的解集为{x |x <13或12<x <1或x >2}．规律方法解分式不等式的思路方法是等价转化为整式不等式，本题的两种解法在等价变形中主要运用了符号法则，故在求解分式不等式时，首先应将一边化为零，再行解决．解不等式x 2－6x ＋512＋4x －x 2<0.解：原不等式化为(x －1)(x －5)(x ＋2)(x －6)>0.画数轴，找因式根，分区间，定符号．在各个区间内，(x －1)(x －5)(x ＋2)(x －6)的符号如下：∴原不等式解集是{x |x <－2或1<x <5或x >6}．类型四一元二次不等式的应用【例4】当a 为何值时，不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解是全体实数．【思路探究】利用函数与不等式之间的关系，问题可转化为函数y ＝(a 2－1)x 2－(a －1)x －1的图像恒在x 轴下方．【解】 ①当a 2－1≠0，即a ≠±1时，原不等式的解集为R 的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，Δ＝[－(a －1)]2＋4(a 2－1)<0，解得－35<a <1.②当a 2－1＝0，即a ＝±1时，若a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立．若a ＝－1，则原不等式为2x －1<0，即x <12，不符合题目要求，舍去．综上所述，当－35<a ≤1时，原不等式的解为全体实数．规律方法此类问题主要考查二次函数与二次不等式之间关系的应用，可以借助二次函数图像的开口方向以及与x 轴的交点情况解决，一般地有如下结论：(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c >0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a >0Δ<0；不等式ax 2＋bx ＋c <0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b＝0，c <0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a <0Δ<0.类似地，还有f (x )≤a 恒成立⇔[f (x )]max ≤a .f (x )≥a 恒成立⇔[f (x )]min ≥a .(2)讨论形如ax 2＋bx ＋c >0的不等式恒成立问题必须对a ＝0或a ≠0分类讨论，否则会造成漏解，切记！已知关于x 的一元二次不等式ax 2＋ax ＋a －1<0的解集为R ，求a 的取值范围．解：关于x 的一元二次不等式ax 2＋ax ＋a －1<0的解集为R ，所以有⎩⎨⎧a <0a 2－4a (a －1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <0a >43或a <0，所以a <0.【例5】有纯农药液一桶，倒出8 L 后用水补满，然后又倒出4 L 后再用水补满，此时桶中农药液的浓度不超过28%，则桶的容积最大为多少？【思路探究】如果桶的容积为x L ，那么第一次倒出8 L 纯农药液，桶内还有(x －8) L 纯农药液，用水补满后，桶中农药液的浓度为x －8x ×100%.第二次又倒出4 L 农药液，则倒出的纯农药液为4(x －8)x L ，此时桶内有纯农药液⎣⎡⎦⎤(x －8)－4(x －8)x L.【解】设桶的容积为x L. 依题意，得(x －8)－4(x －8)x≤28%·x .∵x >0，∴原不等式可化简为9x 2－150x ＋400≤0，即(3x －10)(3x －40)≤0，∴103≤x ≤403，又x >8，∴8<x ≤403，∴桶的最大容积为403L.规律方法对于一元二次不等式的实际应用问题，先要读懂题意，找出与实际问题对应的数学模型，转化为数学问题解决．同时，必须注意其定义域要有实际意义．某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，如图，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．解：设花卉带宽度为x m，则草坪的长为(800－2x) m，宽为(600－2x) m，根据题意，得(800－2x)(600－2x)≥12×800×600，整理，得x2－700x＋60 000≥0，解得x≥600(舍去)或x≤100，由题意知x>0，所以0<x≤100.即当花卉带的宽度在(0,100]内取值时，草坪的面积不小于总面积的一半.——易错警示系列——解不等式时同解变形出错解不等式的关键是利用不等式的性质进行同解变形，需要注意两个方面：一是注意不等式中所含式子有意义的条件，如解分式不等式、无理不等式、对数不等式时应该注意分母不为零、开偶次方根时被开方数非负、对数的真数大于零，这是转化为整式不等式的过程中进行同解变形容易忽视的问题；二是在解一次不等式的过程中要准确利用不等式的性质进行同解变形，主要是系数化为1的过程中，不等式两边要同时乘以或同时除以同一个数，要注意该数的符号对不等式符号的影响，如果是正数，不等号的方向不变，如果是负数，不等号的方向要改变．【例6】解不等式3x－5x2＋2x－3≥2.【错解】原不等式化为3x －5≥2(x 2＋2x －3)，∴2x 2＋x －1≤0，∴－1≤x ≤12. 【错解分析】错用不等式性质，直接将不等式化为3x －5≥2(x 2＋2x －3)，没有等价转化导致错误．【正解】原不等式化为3x －5x 2＋2x －3－2≥0，即－2x 2－x ＋1x 2＋2x －3≥0. 整理得(2x －1)(x ＋1)(x －1)(x ＋3)≤0，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(x ＋1)(x －1)(x ＋3)≤0，(x －1)(x ＋3)≠0，解得－3<x ≤－1或12≤x <1. 所以原不等式的解集为{x |－3<x ≤－1或12≤x <1}．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是{x |－12≤x ≤3，且x ≠1}．一、选择题1．不等式x x －1<2的解集是( D ) A ．{x |x >1}B ．{x |x <2}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x <1或x >2}解析：原不等式可化为x x －1－2<0，即x －2x －1>0，等价于(x －1)(x －2)>0，∴x >2或x <1. 2．不等式1x ＋1(x －1)(x －2)2(x －3)<0的解集是( B ) A ．(－1,1)∪(2,3)B ．(－∞，－1)∪(1,2)∪(2,3)C ．(－∞，－1)∪(1,3)D ．R解析：利用“穿针引线法”，如图所示．∴不等式的解集是(－∞，－1)∪(1,2)∪(2,3)．二、填空题3．方程(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)＝0有一正根和一负根，则实数m 的取值范围是－12<m <1. 解析：因为方程(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)＝0有一正根和一负根，所以判别式大于零，同时两根之积小于零，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋1≠0，4m 2－4(2m ＋1)(m －1)>0，m －12m ＋1<0，解得－12<m <1. 4．不等式2－x x ＋4>0的解集是(－4,2)．解析：不等式2－x x ＋4>0等价于(x －2)(x ＋4)<0， ∴－4<x <2.5．不等式(x －1)(x ＋2)(x ＋3)<0的解集是{x |x <－3或－2<x <1}．解析：画出数轴，如图，其解集为{x |x <－3或－2<x <1}．。

高中数学北师版必修5 一元二次不等式的解法1

一元二次不等式的解法一．课题：一元二次不等式的解法二．教学目标：1.理解“三个一次”关系.2.掌握由图象找解集方法.3.理解“三个二次”关系.4.渗透由具体到抽象思想。

三．教学重、难点：1．一元二次不等式解法；2．“三个二次”关系、数形结合思想渗透。

四．教学过程：（一）复习：复习回顾：|ax+b|<c及|ax+b|>c(c>0)解的结果。

（二）新课讲解：1.“三个一次”关系.初中我们学习了一元一次方程，一元一次不等式与一次函数，它们之间具有什么关系呢？举例.y=2x-7其对应值表x 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5y -3 -2 -1 0 1 2 3图象：填表：（学生完成）当x=3.5时，y=0，即2x-7=0当x<3.5时，y<0，即2x-7<0当x>3.5时，y>0，即2x-7>0从上述例子可以得出以下结论：一般地，设直线y=ax+b与x轴的交点是(x0,0)就有如下结果.一元一次方程ax+b=0的解集是{x|x=x0}一元一次不等式ax+b>0(<0)解集图1—16(1)当a>0时, 一元一次不等式ax+b>0的解集是：{x|x>x0},一元一次不等式ax+b<0解集是{x|x<x0}；(2)当a<0时，一元一次不等式ax+b>0解集是：{x|x<x0}；一元一次不等式ax+b<0解集是：{x|x>x0}. 2.“三个二次”的关系（投影c ）举例：y=x2-x-6，对应值表x –3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 图象：（请学生填空）方程或不等式解或解集当x2-x-6=0时 {x|x=-2或x=3} x2-x-6>0时 {x|x<-2或x>3} x2-x-6<0时 {x|x<-2或x<3}仿“三个一次”关系y=ax2+bx+c (a>0)与x 轴的相关位置，分三种情况.（投影d ）由此有下面结论例1：解不等式2x2-3x-2>0.[由“三个二次”关系，相应得到所求解集]解：∵Δ>0，2x2-3x-2= 0的解集：{x|x1=12-或x2=2}.∴不等式2x2-3x-2>0的解集：{x|x<12-或x>2}.例2：解不等式-3x2+6x>2.分析：二次项系数小于零，首先将其变形为二次项系数大于零情形，转化为熟知类型，然后求解。

高中数学北师大版必修5 第三章2.1 一元二次不等式的解法作业2 Word版含解析

, [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．不等式－x 2－x ＋2≥0的解集是( )A ．{x |x ≤－2或x ≥1}B ．{x |－2＜x ＜1}C ．{x |－2≤x ≤1}D ．∅解析：选C.－x 2－x ＋2≥0⇔x 2＋x －2≤0⇔(x ＋2)(x －1)≤0⇔－2≤x ≤1.2．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－13B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤13 C ．∅ D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝－13 解析：选D.不等式可化为(3x ＋1)2≤0，因此只有x ＝－13，即解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝－13，故选D. 3．设集合S ＝{x ||x |＜5}，T ＝{x |x 2＋4x －21＜0}，则S ∩T ＝( )A ．{x |－7＜x ＜－5}B ．{x |3＜x ＜5}C ．{x |－5＜x ＜3}D ．{x |－7＜x ＜5}解析：选C.因为S ＝{x |－5＜x ＜5}，T ＝{x |－7＜x ＜3}，所以S ∩T ＝{x |－5＜x ＜3}．4．关于x 的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是全体实数的条件是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＞0 B.⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＜0 C.⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0Δ＞0 D.⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0Δ＜0 解析：选D.由于不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为全体实数，所以，与之相对应的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像恒在x 轴下方，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.5．已知0＜a ＜1，关于x 的不等式(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a ＞0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 或x ＞1a B ．{x |x ＞a } C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1a 或x ＞a D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1a 解析：选A.因为0＜a ＜1，所以1a ＞1，即a ＜1a，所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞1a 或x ＜a . 6．不等式x (3－x )≥x (x ＋2)＋1的解集是________．解析：原不等式即为3x －x 2≥x 2＋2x ＋1，可化为2x 2－x ＋1≤0，由于判别式Δ＝－7＜0，所以方程2x 2－x ＋1＝0无实数根，因此原不等式的解集是∅.答案：∅7．若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |x ＜－2或x ＞4}，对于函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则比较f (－1)，f (2)，f (5)的大小为________．解析：因为ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |x ＜－2或x ＞4}，所以a ＞0，且对应方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1＝－2，x 2＝4.所以x 1＋x 2＝－b a ＝2，所以对称轴方程x ＝－b 2a＝1，所以f (－1)＝f (3)且f (2)＜f (3)＜f (5)，所以f (2)＜f (－1)＜f (5)．答案：f (2)＜f (－1)＜f (5)8．下列不等式中：①4x 2＋4x ＋1≥0；②x 2－5x ＋6＞0；③(a 2＋1)x 2＋ax －1＞0.其中解集是R 的是________(把正确的序号全填上)．解析：①⇔(2x ＋1)2≥0⇔x ∈R ；②Δ＝25－4×6＝1＞0.所以②的解集不是R .③Δ＝a 2－4(a 2＋1)×(－1)＝5a 2＋4＞0，所以③的解集不是R ，故填①.答案：①9．解下列不等式：(1)2＋3x －2x 2＞0；(2)x 2－2x ＋3＞0.解：(1)原不等式可化为2x 2－3x －2＜0，所以(2x ＋1)(x －2)＜0.故原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12＜x ＜2. (2)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0，故原不等式的解集是R .10．已知不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x |x ＜1或x ＞b }．(1)求a ，b 的值；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0.解：(1)因为不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x |x ＜1或x ＞b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，b ＞1且a ＞0.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. (2)由(1)知不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0可化为x 2－(2＋c )x ＋2c ＜0，即(x －2)(x －c )＜0. 当c ＞2时，不等式(x －2)(x －c )＜0的解集为{x |2＜x ＜c }；当c ＜2时，不等式(x －2)(x －c )＜0的解集为{x |c ＜x ＜2}；当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )＜0的解集为∅.[B.能力提升]1．不等式x 2－|x |－2＜0的解集是( )A ．{x |－2＜x ＜2}B ．{x |x ＜－2或x ＞2}C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |x ＜－1或x ＞1}解析：选A.令t ＝|x |，则原不等式可化为t 2－t －2＜0，即(t －2)(t ＋1)＜0.因为t ＝|x |≥0，所以t －2＜0，所以t ＜2.所以|x |＜2，得－2＜x ＜2.2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a ＜0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A ．{x |x ＜－1或x ＞2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1＜x ＜2}D ．{x |－1≤x ≤2}解析：选D.由题意知，－b a ＝1，c a＝－2，所以b ＝－a ，c ＝－2a ，又因为a ＜0，所以x 2－x －2≤0，所以－1≤x ≤2.3．已知2a ＋1＜0，关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2＜0的解集是________．解析：因为方程x 2－4ax －5a 2＝0的两个根为x 1＝－a ，x 2＝5a ，又因为2a ＋1＜0，即a ＜－12，所以x 1＞x 2.故原不等式的解集为{x |5a ＜x ＜－a }．答案：{x |5a ＜x ＜－a }4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是________．解析：由题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，2x ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞2x ，2x ≥0，解得－1＜x ＜0或0≤x ＜2－1，所以所求x 的取值范围为(－1，2－1)．答案：(－1，2－1)5．解关于x 的不等式：x 2－2ax ＋2≤0.解：因为Δ＝4a 2－8，所以当Δ＜0，即－2＜a ＜2时，原不等式对应的方程无实根，原不等式的解集为∅；当Δ＝0，即a ＝±2时，原不等式对应的方程有两个相等实根．当a ＝2时，原不等式的解集为{x |x ＝2}，当a ＝－2时，原不等式的解集为{x |x ＝－2}；当Δ＞0，即a ＞2或a ＜－2时，原不等式对应的方程有两个不等实根，分别为x 1＝a －a 2－2，x 2＝a ＋a 2－2，且x 1＜x 2，所以原不等式的解集为{x |a －a 2－2≤x ≤a ＋a 2－2}．6．已知不等式x 2－3x ＋t ＜0的解集为{x |1＜x ＜m }．(1)求t ，m 的值；(2)若函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4在区间(－∞，1]上是增加的，求关于x 的不等式log a (－mx 2＋3x ＋2－t )＜0的解集．解：(1)因为不等式x 2－3x ＋t ＜0的解集为{x |1＜x ＜m }，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝3，m ＝t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，t ＝2. (2)因为f (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －a 22＋4＋a 24在(－∞，1]上是增加的，所以a 2≥1，即a ≥2. 又log a (－mx 2＋3x ＋2－t )＝log a (－2x 2＋3x )＜0.由a ≥2，可知0＜－2x 2＋3x ＜1.由2x 2－3x ＜0，得0＜x ＜32，由2x 2－3x ＋1＞0，得x ＜12或x ＞1. 所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜12或1＜x ＜32.。

北师大版高中数学必修五练习一元二次不等式的解法

第1课时一元二次不等式及其解集课时过关·能力提升1.一元二次不等式2x 2+7x+3>0的解集为( ) A .{x |-3<x <-12} B .{x |x <-3或x >-12} C.R D.空集2x 2+7x+3=(2x+1)(x+3)>0,∴x<-3或x>−12,故选B.2.已知不等式x 2+ax+4<0的解集为空集,则a 的取值范围为( ) A.[-4,4]B.(-4,4)C.(-∞,-4]∪[4,+∞)D.(-∞,-4)∪(4,+∞)不等式x 2+ax+4<0的解集为空集,∴Δ=a 2-16≤0,解得-4≤a ≤4.3.已知函数f (x )={x +2,x ≤0,-x +2,x >0,则不等式f(x)≥x 2的解集为( )A.[-1,2]B.[-2,2]C.[-2,1]D.[-1,1]x ≤0时,x+2≥x 2, 解得-1≤x ≤2,故-1≤x ≤0. 当x>0时,-x+2≥x 2, 解得-2≤x ≤1,故0<x ≤1.综上可知,不等式f (x )≥x 2的解集为[-1,1].4.已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <-1或x >12},则f(10x)>0的解集为( ) A.{x|x<-1或x>-lg 2} B.{x|-1<x<-lg 2} C.{x|x>-lg 2} D.{x|x<-lg 2},一元二次不等式f (x )>0的解集为{x |-1<x <12}.∵f (10x )>0,∴-1<10x <12,解得x<l g 12,即x<-lg 2.5.在R 上定义运算☉:a ☉b=ab+2a+b ,则满足x ☉(x-2)<0的实数x 的取值范围为( ) A.(0,2)B.(-2,1)C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-1,2),x ☉(x-2)=x (x-2)+2x+x-2<0, 化简得x 2+x-2<0,即(x-1)(x+2)<0, 解得-2<x<1.6.设函数f (x )={x 2-4x +6,x ≥0,x +6,x <0,则不等式f(x)>f(1)的解是( )A.(-3,1)∪(3,+∞)B.(-3,1)∪(2,+∞)C.(-1,1)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(1,3)7.若a 不是不等式x 2≥1的解,则a 的取值范围是( ) A.{a|a>1}B.{a|-1<a<1}C.{a|a>1或a<-1}D.{a|a<-1}a 不是不等式x 2≥1的解,∴a 2<1,即a 2-1<0,解得-1<a<1.8.若不等式ax 2+bx+2>0的解集为(-12,13),则a +b 的值为( )A.10B.-10C.14D.-14a ≠0,且关于x 的方程ax 2+bx+2=0的两根为−12,13, 故{-ba =(-12)+13,2a =(-12)×13,解得{a =-12,b =-2, 所以a+b=-14.9.不等式lg(x 2-2x-3)>lg(x+7)的解集为 .x 2-2x-3>x+7>0,∴{x 2-3x -10>0,x >-7,∴{(x -5)(x +2)>0,x >-7. ∴{x >5或x <-2,x >-7,∴x ∈(-7,-2)∪(5,+∞).-7,-2)∪(5,+∞)10.不等式-3<4x-4x 2≤0的解集为 .{x 2-x ≥0,4x 2-4x -3<0,∴{x (x -1)≥0,(2x -3)(2x +1)<0.∴{x ≤0或x ≥1,-12<x <32,∴x ∈(-12,0]∪[1,32).-12,0]∪[1,32) 11.解关于x 的不等式:(1)2+3x-2x 2>0;(2)x (3-x )≤x (x+2)-1.∵2+3x-2x 2>0,∴2x 2-3x-2<0.∴(2x+1)(x-2)<0,∴−12<x <2. ∴2+3x-2x 2>0的解集为(-12,2).(2)∵x (3-x )≤x (x+2)-1,∴3x-x 2≤x 2+2x-1.∴2x 2-x-1≥0.∴(2x+1)(x-1)≥0,∴x ≥1或x ≤−12.∴x(3−x)≤x (x+2)-1的解集为(-∞,-12]∪[1,+∞).★12.已知函数f(x)={-x+1,x<0,x-1,x≥0,解不等式x+(x+1)·f(x+1)≤1.x+1<0时,x+(x+1)[-(x+1)+1]≤1,即-x2≤1,恒成立,∴x<-1;当x+1≥0时,x+(x+1)[(x+1)-1]≤1,∴x2+2x≤1,解得-1≤x≤√2−1.综上可知,不等式的解集是{x|x≤√2−1}.。

北师大版高中数学必修五2.1一元二次不等式的解法

A. B.
C. D.
解析：方程(x－t) ＝0的两个根为t和，
∵0＜t＜1，∴t－＝＜0，
∴t＜，∴不等式的解集为 .
答案：D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x＞0，y＞0都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，则不等式f(x＋6)＋f(x)＜2f(4)的解集为________．
解析：(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，
所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－ .
又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图像开口向上，
所以原不等式的解集为 .
(2)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52＞0，
所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不等实根
x1＝4－，x2＝4＋ .
若x＜0，则1－x2＞0
∴－1＜x＜0
综上－1＜x＜－1
答案：(－1，－1)
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求下列不等式的解集：
(1)2x2＋7x＋3＞0；(2)－x2＋8x－3＞0；
(3)x2－4x－5≤0；(4)－4x2＋18x－ ≥0；
(5)－ x2＋3x－5＞0；(6)－2x2＋3x－2＜0.
(1)因为对任意实数a都有a－1＜a＋2，
所以A＝(－∞，a－1]∪[a＋2，＋∞)．
当a2≥a，即a≥1或a≤0时，B＝(a，a2)；
当a2＜a，即0＜a＜1时，B＝(a2，a)．
(2)要使A∪B＝R，则
当a≥1或a≤0时，需，该不等式组无解；
当0＜a＜1时，需，该不等式组无解．
所以不存在实数a，使得A∪B＝R.
第3章2.1
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)

2020-2021学年高二数学北师大版必修5学案：3.2.1 一元二次不等式的解法 Word版含解析

§2一元二次不等式2．1一元二次不等式的解法知识点一一元二次不等式的概念[填一填](1)形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的不等式(其中a≠0)，叫作一元二次不等式．(2)一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫作这个一元二次不等式的解．一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集．[答一答]1．从函数观点看，ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集是什么？ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集是什么？提示：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)在x轴上方部分的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)在x轴下方部分的点的横坐标x的集合．知识点二一元二次不等式的解法[填一填]一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标准形式：①ax2＋bx＋c>0(a>0)；②ax2＋bx＋c<0(a>0)．上述两种形式的一元二次不等式的解集，可通过方程ax2＋bx＋c＝0的根确定，设Δ＝b2－4ac，则当Δ>0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数解x1，x2，设x1<x2，则不等式①的解集为{x|x<x1或x>x2}，不等式②的解集为{x|x1<x<x2}；当Δ＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数解，即x1＝x2，则不等式①的解集为{x|x≠x1}，不等式②的解集为∅；当Δ<0时，方程ax2＋bx＋c＝0无解，则不等式①的解集为R，不等式②的解集为∅.当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一般分为三步：①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解．②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图像简图．③由图像得出不等式的解集．[答一答]2．解一元二次不等式的一般步骤是什么？提示：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0.(2)计算相应的判别式．(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．(4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集．1．一元二次不等式与相应的二次函数、二次方程三者的联系列表如下：2.解一元二次不等式时注意的问题(1)利用数形结合法解一元二次不等式．在熟悉图像的前提下，关键是迅速求解对应的一元二次方程．求解时优先考虑因式分解法，其次才是公式法．(2)特别地，若a<0时，应先运用不等式的性质将其化成正数，再解不等式．(3)当判别式Δ＝0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)与ax2＋bx＋c≥0(a>0)的解集不同．类型一解一元二次不等式【例1】解下列一元二次不等式．(1)－x 2＋2<3x －2；(2)14x 2＋2x ＋4≥0；(3)(2x ＋1)(x －3)>3(x 2＋2)．【思路探究】对于不含变量的一元二次不等式，主要注重基本解法的考查，其解题思路一般有两种：①分解因式，借助积的符号法则转化为不等式组；②借助二次函数图像求解．【解】 (1)方法一：原不等式可以化为x 2＋3x －4>0.相应的方程x 2＋3x －4＝0的两根分别为x 1＝－4，x 2＝1，对应的函数y ＝x 2＋3x －4的大致图像如图．从图中可知，在x 轴上方的图像所对应的x 的范围是x <－4或x >1，所以原不等式的解集为{x |x <－4或x >1}．方法二：x 2＋3x －4＝(x ＋4)(x －1)>0，从而⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4>0，x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4<0，x －1<0，解得x >1或x <－4，故原不等式的解集为{x |x <－4或x >1}． (2)原不等式可化为x 2＋8x ＋16≥0，即(x ＋4)2≥0.对应函数y ＝x 2＋8x ＋16的大致图像如下图(1)所示，除顶点外均在x 轴上方，所以原不等式的解集为R .(3)原不等式可化为x 2＋5x ＋9<0，对应二次方程的Δ＝52－4×1×9＝－11<0，无实数根，相应函数y ＝x 2＋5x ＋9的大致图像如图(2)所示，开口向上且与x 轴无交点，所以原不等式的解集为∅.规律方法解不含变量的一元二次不等式的两种方法1．利用符号法则，将一元二次不等式转化为与之等价的不等式组，解之即得．2．借助二次函数图像求解，其步骤为：(1)判定对应一元二次方程解的情况，若有解，则求出方程的根；(2)作出对应的函数图像，注意：①开口方向，②根的大小的标注；(3)结合图像写出不等式的解集．解下列不等式．(1)－x 2＋2x －23＞0；(2)9x 2－6x ＋1≥0；(3)2x 2－2x ＋1<0.解：(1)两边都乘以－3，得3x 2－6x ＋2＜0，∵3＞0，且方程3x 2－6x ＋2＝0的解是x 1＝1－33，x 2＝1＋33，∴原不等式的解集是{x |1－33＜x ＜1＋33}．(2)解法一：∵不等式9x 2－6x ＋1≥0，其相应方程9x 2－6x ＋1＝0，Δ＝(－6)2－4×9＝0，∴上述方程有两相等实根x ＝13.结合二次函数y ＝9x 2－6x ＋1的图像知，原不等式的解集为R .解法二：9x 2－6x ＋1≥0⇔(3x －1)2≥0，∴x ∈R .∴不等式解集为R .(3)因为Δ<0，所以方程2x 2－2x ＋1＝0无实数解，根据y ＝2x 2－2x ＋1的图像，可得原不等式2x 2－2x ＋1<0的解集为∅.类型二含参数的一元二次不等式的解法【例2】解关于x 的不等式：x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a x ＋1<0(a ≠0)．【思路探究】此题中含变量a ，但不等式左边可以分解因式，因此可由根的大小关系进行分类讨论求解．【解】原不等式对应方程的两根为x 1＝a ，x 2＝1a .①当a >1a ，即a ∈(－1,0)∪(1，＋∞)时，不等式的解集为{x |1a <x <a }．②当a <1a ，即a ∈(－∞，－1)∪(0,1)时，不等式的解集为{x |a <x <1a }．③当a ＝1a ，即a ＝±1时，原不等式可化为(x ±1)2<0，故解集为∅.综上，当a ∈(－1,0)∪(1，＋∞)时，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，a ；当a ∈(－∞，－1)∪(0,1)时，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，1a ；当a ＝±1时，原不等式的解集为∅.规律方法当一个不等式中除未知数外还含有其他变量，且变量的取值会对：①是否为一元二次不等式；②一元二次不等式对应方程根的存在性；③根存在时，图像的开口方向以及根的大小关系等几个方面产生一定的影响，使得解答过程中的某些环节不能确定解题方向，则需对变量进行分类讨论，逐类解答．一般有三种情况：(1)二次项系数不含变量，二次三项式可分解因式时，主要根据两根大小进行分类，分x 1<x 2，x 1＝x 2，x 1>x 2三种情况求解．(2)二次项系数不含变量且二次三项式不能分解因式时，对Δ的取值进行讨论求解．(3)二次项系数含变量时，首先应讨论二次项系数a 与0的关系，①当a ＝0时，不等式不是一元二次不等式，可直接解答；②当a ≠0时，不等式是一元二次不等式，可分为a >0和a <0两类，再借助(1)(2)两种情况进行解答．解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0(a ∈R )．解：原不等式可化为(x －a )(x －a 2)>0.故当a <0时，a <a 2，解集为{x |x <a 或x >a 2}；当a ＝0时，a 2＝a ，解集为{x |x ≠0}；当0<a <1时，a 2<a ，解集为{x |x <a 2或x >a }；当a ＝1时，a 2＝a ，解集为{x |x ≠1}；当a >1时，a <a 2，解集为{x |x <a 或x >a 2}．综上所述，当a <0或a >1时，解集为{x |x <a 或x >a 2}；当0<a <1时，解集为{x |x <a 2或x >a }；当a ＝0时，解集为{x |x ≠0}；当a ＝1时，解集为{x |x ≠1}．类型三三个二次之间的关系【例3】若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－4,1)，则不等式b (x 2－1)＋a (x ＋3)＋c >0的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，1 B ．(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ C ．(－1,4) D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)【思路探究】要解的不等式中含有3个变量，根据已知条件求出a ，b ，c 之间的关系即可求解．【解析】由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－4，1)，知a <0且－4,1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，则－4＋1＝－b a ，且－4×1＝c a ，即b ＝3a ，c ＝－4a .故所求不等式可转化为3a (x 2－1)＋a (x ＋3)－4a >0，即3x 2＋x －4<0，解得－43<x <1. 【答案】 A规律方法已知不等式的解集求变量问题的实质是考查“三个二次”间的关系，解题的一般思路为：(1)根据所给解集确定对应方程的根和二次项系数的符号；(2)由根与系数的关系求出变量值或把根代入对应的方程中求解变量值．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a >0的解集为( A )A ．{x |x <－1或x >12}B ．{x |－1<x <12}C ．{x |－2<x <1}D ．{x |x <－2或x >1} 解析：因为不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，所以－1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2＝－b a ，－1×2＝2a ，所以a ＝－1，b ＝1，则2x 2＋x －1>0的解集为{x |x <－1或x >12}．类型四不等式的恒成立问题【例4】若对于任意实数x >0，不等式x 2＋(2＋k )x ＋3＋k >0恒成立，求k 的取值范围．【解】原不等式变形为x 2＋2x ＋3＋kx ＋k >0，对x >0恒成立，即k (x ＋1)>－x 2－2x －3＝－(x 2＋2x ＋3)恒成立，亦即k >－x 2＋2x ＋3x ＋1，当x >0时恒成立．令y ＝－x 2＋2x ＋3x ＋1＝－(x ＋1)2＋2x ＋1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋1)＋2x ＋1. ∵x >0，∴x ＋1>1.∵y ＝t ＋2t 在[1，2]上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，∴当x ＋1＝2时，y 有最大值－22，∴k >－2 2.规律方法对于给出的不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)，要使其解集为R 或∅，需先考虑二次项的系数是否为零，再求解．(1)ax 2＋bx ＋c >0对一切x ∈R 恒成立⇔a ＝b ＝0且c >0或⎩⎨⎧ a >0Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0对一切x ∈R 恒成立⇔a ＝b ＝0且c <0或⎩⎨⎧a <0Δ<0.(3)ax 2＋bx ＋c >0的解集为∅⇔ax 2＋bx ＋c ≤0对一切x ∈R 恒成立．(4)ax 2＋bx ＋c <0的解集为∅⇔ax 2＋bx ＋c ≥0对一切x ∈R 恒成立．若关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集为空集，求a 的取值范围．解：若a 2－4＝0，则a ＝2或a ＝－2.①当a ＝2时，原不等式化为4x －1≥0，其解集非空，不合题意．②当a ＝－2时，原不等式化为－1≥0，解集为∅，符合题意．若a 2－4≠0，则原不等式的解集为∅的条件是⎩⎨⎧ a 2－4<0Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4<0(a ＋2)(5a －6)<0，解得－2<a <65. 故a 的取值范围是－2≤a <65.类型五一元二次不等式中的宾主换位问题【例5】对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，求使不等式x 2＋px >4x ＋p －3都成立的x 的取值范围．【思路探究】这是在参数p 存在的范围内求不等式解的问题，比较难下手，不妨转换思想，巧妙地借助函数单调性来解决．【解】已知不等式可化为x 2＋(x －1)p －4x ＋3>0.设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3，则⎩⎨⎧ f (0)>0f (4)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0x 2－1>0，解得x <－1或x >3.故所求的x 的取值范围是x <－1或x >3.规律方法此类问题如果直接考虑关于x 的一元二次不等式，则问题难以处理．通过宾主换位，把问题转化成以参变量为元的一次函数讨论，最终变成关于两个端点值的不等式问题．(1)设函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1，若对于m ∈[－2,2]，f (x )<0恒成立，求x 的取值范围；(2)设函数f (x )＝mx 2－mx －1，对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围．解：(1)原不等式可化为(x 2－1)m －(2x －1)<0. 令g (m )＝(x 2－1)m －(2x －1)，其中m ∈[－2,2]，则原命题等价于关于m 的一次函数(x 2－1≠0时)或常数函数(x 2－1＝0时)在m ∈[－2,2]上的函数值恒小于零．当x 2－1＝0时，由g (m )＝－(2x －1)<0，得x ＝1；当x 2－1>0时，g (m )在[－2,2]上是增函数，要使g (m )<0在[－2,2]上恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1>0，g (2)＝2(x 2－1)－(2x －1)<0，解得1<x <1＋32；当x 2－1<0时，g (m )在[－2,2]上是减函数，要使g (m )<0在[－2,2]上恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1<0，g (－2)＝－2(x 2－1)－(2x －1)<0，解得－1＋72<x <1. 综上，－1＋72<x <1＋32. (2)对于mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0，恒成立，若m ≠0，则⎩⎨⎧m <0Δ＝(－m )2＋4m <0， ∴－4<m <0. 综上，－4<m ≤0.——数学思想系列—— 转化与化归思想在一元二次不等式恒成立问题中的应用转化与化归思想、函数思想，体现了主元与次元的转化，从而变为关于参数的函数，利用函数的性质来求解．解决此类问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．利用转化与化归思想的原则是：熟悉化原则、简单化原则、直观化原则、正难则反原则．【例6】已知a ∈[－1,1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围为( )A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)【思路分析】把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，则f (a )>0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6>0，且f (1)＝x 2－3x ＋2>0即可，联立方程解得x <1或x >3.【规范解答】 C若不等式2x 2＋ax ＋a ≥0对一切x ∈[－2,1]成立，则a 的取值范围为[－1,8]．解析：把不等式2x 2＋ax ＋a ≥0看成是关于a 的一元一次不等式a (x ＋1)＋2x 2≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧a (－2＋1)＋2×(－2)2≥0a (1＋1)＋2×12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－82a ≥－2，∴－1≤a ≤8.一、选择题1．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( D ) A ．{x |x ≠－13} B ．{x |－13≤x ≤13} C ．∅D ．{x |x ＝－13}解析：原不等式化为(3x ＋1)2≤0， ∴x ＝－13.∴不等式的解集是{x }x ＝－13}．2．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是( B ) A ．{x |－23≤x ≤12} B ．{x |x ≤－23，或x ≥12} C ．{x |x ≥12} D ．{x |x ≤－23}解析：原不等式等价于6x 2＋x －2≥0，方程6x 2＋x －2＝0的两根为－23，12.可得x ≤－23或x ≥12.3．不等式－x 2－x ＋2≥0的解集是( C ) A ．{x |x ≤－2或x ≥1} B ．{x |－2<x <1} C ．{x |－2≤x ≤1}D ．∅解析：原不等式可化为x 2＋x －2≤0，即(x ＋2)·(x －1)≤0，∴－2≤x ≤1. 二、填空题4．2x 2－3x ＋1>0的解集是{x |x >1，或x <12}．解析：方程2x2－3x＋1＝0的两根是x1＝1，x2＝12，且二次项的系数为正，结合对应的二次函数图像，可得原不等式的解集为{x|x>1，或x<12}．5．函数y＝lg(x2－4x－21)的定义域是(－∞，－3)∪(7，＋∞)．解析：解不等式x2－4x－21>0，得x<－3或x>7.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

高中数学第三章不等式2、1一元二次不等式的解法2、2一元二次不等式的应用基础训练北师大版必修5

一元二次不等式的解法一元二次不等式的应用基础过关练题组一一元二次不等式的解法1.(2019山东菏泽高二期末)不等式-x2-5x+6≥0的解集为()A.{x|-6≤x≤1}B.{x|2≤x≤3}C.{x|x≥3或x≤2}D.{x|x≥1或x≤-6}2.函数y=√x2+x-12的定义域是()A.{x|x<-4或x>3}B.{x|-4<x<3}C.{x|x≤-4或x≥3}D.{x|-4≤x≤3}3.(2020山东菏泽二十三校高一上期末联考)已知集合M={x|-3≤x<4},N={x|x2-2x-8≤0},则()A.M∪N=RB.M∪N={x|-3≤x<4}C.M∩N={x|-2≤x≤4}D.M∩N={x|-2≤x<4}4.设集合A={x|(x-1)2<3x+7,x∈R},则集合A∩Z中元素的个数是()A.4B.5C.6D.75.已知A={x|x2-x-6≤0},B={x|x-a>0},A∩B=⌀,则a的取值范围是()A.a=3B.a≥3C.a<3D.a≤36.解下列不等式:(1)x2-2x+3>0;(2)2+3x-2x2>0;(3)x(3-x)≤x(x+2)-1;(4)-1<x2+2x-1≤2.题组二含有参数的一元二次不等式7.若0<t<1,则不等式(x-t)(x-1x)<0的解集是()A.{x|1x <x<x} B.{x|x>1x或x<x}C.{x|x<1x 或x>x} D.{x|x<x<1x}8.若函数f(x)=√2xx的定义域为R,则常数k的取值范围是()A.(0,4)B.[0,4]C.[0,4)D.(0,4]9.不等式x2-ax-12a2<0(其中a<0)的解集为()A.(3a,-4a)B.(4a,-3a)C.(-3a,a)D.(6a,2a)10.解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a<0.题组三三个“二次”之间的关系11.若不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|1<x<2},则a+b的值为()A.3B.1C.-3D.-112.如果ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4},那么对于函数f(x)=ax2+bx+c,应有()A.f(5)<f(2)<f(-1)B.f(2)<f(5)<f(-1)C.f(-1)<f(2)<f(5)D.f(2)<f(-1)<f(5)13.若关于x的不等式x2-4x-m≥0对任意x∈(0,1]恒成立,则m的最大值为()A.1B.-1C.-3D.314.已知不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a,b的值;(2)解不等式ax2-(a+b)x+b<0.题组四简单的分式不等式或高次不等式 15.(2020山东潍坊诸城高二上期中)不等式x -2x +3<0的解集为 ( )A.{x |-2<x <3}B.{x |x <-3}C.{x |-3<x <2}D.{x |x >2} 16.不等式x +24x +1≥13的解集为 ( )A.{x |-14≤x ≤5} B.{x |x ≤-14或x >5}C.{x |x <-14或x >5}D.{x |-14<x ≤5}17.若集合A ={x |xx -1≤0},B ={x |x 2<2x },则A ∩B =( )A.{x |0<x <1}B.{x |0≤x <1}C.{x |0<x ≤1}D.{x |0≤x ≤1} 18.不等式-1<1x <1的解集为 ( )A.{x |x <-1或x >1}B.{x |-1<x <0或0<x <1}C.{x |x <0或x >1}D.{x |x >1}19.不等式x -1x 2-4>0的解集是 ( )A.(-2,1)B.(2,+∞)C.(-2,1)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)20.不等式x2-2x-2x2+x+1<2的解集为()A.{x|x≠-2}B.RC.⌀D.{x|x<-2或x>2}题组五一元二次不等式的实际应用21.某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份增长x%,八月份销售额比七月份增长x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7000万元,求x的最小值.22.一个小服装厂生产某种风衣,月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160-2x,生产x件的成本R=(500+30x)元.(1)当该厂的月产量为多少时,月获得的利润不少于1300元?(2)当该厂的月产量为多少时,可获得最大利润?最大利润是多少元?能力提升练一、选择题1.(2021山西运城高一上联考,)设集合A={x|x-1x-3<0},B={x|2x-3>0},则A∪B=()A.{x|-3<x<32} B.{x|x<-3或x>32}C.{x|1<x<32} D.{x|x>1}2.()在R 上定义运算☉:a ☉b =ab +2a +b ,则满足x ☉(x -2)<0的实数x 的取值范围为 ( )A.(0,2)B.(-2,1)C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-1,2) 3.()二次函数f (x )的图像如图所示,则f (x -1)>0的解集为 ( )A.(-2,1)B.(0,3)C.(1,2]D.(-∞,0)∪(3,+∞) 4.()若不等式(a -2)x 2+2(a -2)x -4<0对任意实数x 均成立,则实数a 的取值范围是 ( )A.(-2,2]B.[-2,2]C.(2,+∞)D.(-∞,2] 5.(2019山东菏泽高二期末,)已知关于x 的不等式ax +b >0的解集是(-∞,-1),则关于x 的不等式(ax -b )(x -2)>0的解集是 ( )A.(1,2)B.(-1,2)C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.(2,+∞) 6.()设函数g (x )=x 2-2(x ∈R),f (x )={x (x )+x +4,x <x (x ),x (x )-x ,x ≥x (x ),则f (x )的值域是( )A.[-94,0]∪(1,+∞) B.[0,+∞) C.[-94,+∞)D.[-94,0]∪(2,+∞) 二、填空题 7.()若关于x 的不等式x -xx +1>0的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),则实数a = . 8.()已知集合A ={x |3x -2-x 2<0},B ={x |x -a <0},且B ⊆A ,则a 的取值范围为 . 9.()若不等式a ·4x -2x+1>0对一切x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是 .10.()若函数y =√xx 2-6xx +(x +8)(k 为常数)的定义域为R,则k 的取值范围是 . 11.()已知0<b <1+a ,若关于x 的不等式(x -b )2>(ax )2的解集中的整数解恰有3个,则a 的取值范围为 . 三、解答题12.(2021湖南长沙一中高一上段考,)已知不等式mx 2+3x -2>0的解集为{x |n <x <2}.(1)求m ,n 的值,并求不等式nx 2+mx +2>0的解集; (2)解关于x 的不等式ax 2-(n +a )x -m >0(a ∈R,且a <1).13.(2019北京西城高二期末,)已知函数f(x)=x2-2ax,a∈R.(1)当a=1时,求满足f(x)<0的x的取值范围;(2)解关于x的不等式f(x)<3a2;(3)若对于任意的x∈(2,+∞),f(x)>0均成立,求a的取值范围.答案全解全析§2一元二次不等式2.1一元二次不等式的解法2.2一元二次不等式的应用基础过关练1.A 不等式-x 2-5x +6≥0可化为x 2+5x -6≤0,即(x +6)(x -1)≤0, 解得-6≤x ≤1,∴不等式的解集为{x |-6≤x ≤1}. 故选A.2.C 由x 2+x -12≥0得(x +4)(x -3)≥0,解不等式得x ≤-4或x ≥3,所以函数的定义域是{x |x ≤-4或x ≥3},故选C .3.D ∵集合M ={x |-3≤x <4},N ={x |x 2-2x -8≤0}={x |-2≤x ≤4},∴M ∪N ={x |-3≤x ≤4},M ∩N ={x |-2≤x <4}. 4.C 由(x -1)2<3x +7,得x 2-5x -6<0,解不等式得-1<x <6,∴集合A ={x |-1<x <6}, ∴A ∩Z 中的元素有0,1,2,3,4,5,共6个.5.B 由x 2-x -6≤0得(x -3)(x +2)≤0,解不等式得-2≤x ≤3, 所以A ={x |-2≤x ≤3}. 由已知可得B ={x |x >a }, 因为A ∩B =⌀,所以a ≥3,故选B .6.解析 (1)因为Δ=(-2)2-4×3=-8<0,所以原不等式的解集是R .(2)原不等式可化为2x 2-3x -2<0,即(2x +1)(x -2)<0,故原不等式的解集是{x |-12<x <2}.(3)原不等式可化为2x 2-x -1≥0,即(2x +1)(x -1)≥0,故原不等式的解集是{x |x ≤-12或x ≥1}.(4)原不等式等价于{x 2+2x -1>-1,x 2+2x -1≤2,即{x 2+2x >0①,x 2+2x -3≤0②.由①得x (x +2)>0,所以x <-2或x >0; 由②得(x +3)(x -1)≤0,所以-3≤x ≤1.所以原不等式的解集是{x |-3≤x <-2或0<x ≤1}. 7.D 方程(x -t )(x -1x )=0的两根为x 1=t ,x 2=1x .因为0<t <1,所以1x >1>t ,所以(x -t )(x -1x )<0的解集是{x |x <x <1x }. 8.C ∵函数f (x )=√2xx 的定义域为R,∴kx 2+kx +1>0对x ∈R 恒成立.当k >0时,Δ=k 2-4k <0,解得0<k <4;当k =0时,kx 2+kx +1=1>0恒成立;当k <0时,不符合条件.故0≤k <4.故选C .9.B ∵x 2-ax -12a 2=(x -4a )(x +3a ),其中a <0,∴-3a >4a ,∴不等式的解集为(4a ,-3a ).10.解析方程x 2+(1-a )x -a =0的两根为x 1=-1,x 2=a. ∵函数y =x 2+(1-a )x -a 的图像是开口向上的抛物线, ∴当a <-1时,原不等式的解集为{x |a <x <-1}; 当a =-1时,原不等式的解集为⌀; 当a >-1时,原不等式的解集为{x |-1<x <a }.11.A 不等式(x -a )(x -b )<0可化为x 2-(a +b )x +ab <0,由其解集为{x |1<x <2},可得x 1=1,x 2=2是方程x 2-(a +b )x +ab =0的两根,所以x 1+x 2=3=a +b ,即a +b =3,故选A .12.D 由不等式的解集为{x |x <-2或x >4},得x 1=-2,x 2=4是函数f (x )=ax 2+bx +c 的图像与x 轴交点的横坐标,故f (x )的图像的对称轴为直线x =-2+42=1,且其图像开口向上.结合图像(图略)可得f (2)<f (-1)<f (5).13.C 令f (x )=x 2-4x -m ,则f (x )在(0,1]上是减函数,所以f (x )min =f (1)=-3-m ,所以-3-m ≥0,即m ≤-3. 故m 的最大值为-3.14.解析 (1)由题意得x 1=1,x 2=b 是方程ax 2-3x +2=0的两根,且a >0,则{1+x =3x ,1·x =2x ,解得{x =1,x =2.(2)由a =1,b =2得所求不等式为x 2-3x +2<0,即(x -1)(x -2)<0,解得1<x <2. 故所求不等式的解集为(1,2). 15.Cx -2x +3<0等价于(x -2)(x +3)<0,解得-3<x <2,故不等式的解集为{x |-3<x <2}.16.D 由x +24x +1≥13得x +24x +1-13≥0, 则-x +53(4x +1)≥0,即x -53(4x +1)≤0,可转化为{3(x -5)(4x +1)≤0,4x +1≠0,解得-14<x ≤5.所以原不等式的解集为{x |-14<x ≤5}.17.A 由集合A 可得{x (x -1)≤0,x -1≠0,解得0≤x <1,所以A ={x |0≤x <1}.由集合B 可得x 2-2x <0,解得0<x <2,所以B ={x |0<x <2}.所以A ∩B ={x |0<x <1}.18.A -1<1x <1⇔{1x >-1,1x <1⇔{x +1x>0,1-x x <0⇔{x (x +1)>0,x (x -1)>0,解得{x <-1或x >0,x <0或x >1,∴x <-1或x >1. 19.Cx -1x 2-4>0⇔(x -1)(x 2-4)>0⇔(x -1)(x -2)(x +2)>0,设f (x )=(x -1)(x -2)(x +2),则f (x )的三个零点是-2,1,2.结合图形(如图),可得原不等式的解集为{x |-2<x <1或x >2}.故选C . 20.A 易知x 2+x +1>0恒成立,∴原不等式⇔x 2-2x -2<2x 2+2x +2⇔x 2+4x +4>0⇔(x +2)2>0,解得x ≠-2,∴原不等式的解集为{x |x ≠-2}. 21.解析由题意,得3860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7000,化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0,解得x%≥0.2或x%≤-3.2(舍去),所以x ≥20,故x 的最小值是20.22.解析 (1)设该厂月获利为y 元,依题意得y =(160-2x )x -(500+30x )=-2x 2+130x -500, 由y ≥1300知-2x 2+130x -500≥1300, ∴x 2-65x +900≤0,解得20≤x ≤45.∴当月产量在20件至45件之间(含20件和45件)时,月获利不少于1300元. (2)由(1)知y =-2x 2+130x -500=-2·(x -652)2+1612.5. ∵x 为正整数,∴当x 的值为32或33时,y 取得最大值,最大值为1612,∴当月产量为32件或33件时,可获得最大利润,最大利润是1612元.能力提升练一、选择题1.D A ={x |x -1x -3<0}={x |1<x <3},B ={x |2x -3>0}={x |x >32},故A ∪B ={x |x >1}.2.B 由a ☉b =ab +2a +b ,得x ☉(x -2)=x (x -2)+2x +x -2=x 2+x -2=(x +2)(x -1)<0,所以-2<x <1.3.B 由题图知f (x )>0的解集为(-1,2).把f (x )的图像向右平移1个单位长度即得f (x -1)的图像,所以f (x -1)>0的解集为(0,3).4.A 当a -2=0,即a =2时,符合题意;当a -2≠0,即a ≠2时,需满足a -2<0且Δ=4(a -2)2+4·(a -2)·4<0,解得-2<a <2.综上可得,-2<a ≤2.故选A .5.A ∵关于x 的不等式ax +b >0的解集是(-∞,-1),∴{x <0,-x x=-1,∴b =a <0,∴关于x 的不等式(ax -b )(x -2)>0可化为(x -1)(x -2)<0,解得1<x <2, ∴不等式的解集是(1,2).故选A .6.D 由x <g (x ),得x <x 2-2,解不等式得x <-1或x >2;同理,由x ≥g (x ),得-1≤x ≤2. 所以f (x )={x 2+x +2,x <-1或x >2,x 2-x -2,-1≤x ≤2,即f (x )={(x +12)2+74,x <-1或x >2,(x -12)2-94,-1≤x ≤2.因为当x <-1时,f (x )>2;当x >2时,f (x )>8,所以当x ∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,函数f (x )的值域为(2,+∞).又因为当-1≤x ≤2时,-94≤f (x )≤0,所以当x ∈[-1,2]时,函数f (x )的值域为[-94,0]. 综上可知,函数f (x )的值域是-94,0∪(2,+∞). 二、填空题 7.答案 4 解析不等式x -xx +1>0等价于{x +1≠0,(x -x )(x +1)>0,又不等式的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),所以当x =4时,(x -a )(x +1)=0,解得a =4. 8.答案 (-∞,1]解析 A ={x |3x -2-x 2<0}={x |x 2-3x +2>0}={x |x <1或x >2},B ={x |x -a <0}={x |x <a }.若B ⊆A ,则a ≤1. 9.答案 (14,+∞)解析原不等式可变形为a >2x -14x=(12)x -(14)x ,设y =(12)x -(14)x ,令(12)x =t ,则t >0,所以y =(12)x -(14)x=t -t 2=-(x -12)2+14,因此当t =12时,y 取得最大值14,故实数a 的取值范围是(14,+∞). 10.答案 [0,1]解析函数y =√xx 2-6xx +(x +8)的定义域为R,即kx 2-6kx +(k +8)≥0对一切x ∈R 恒成立.当k =0时,显然8>0恒成立;当k ≠0时,k 需满足{x >0,x =36x 2-4x (x +8)≤0,解得0<k ≤1.综上可得,k 的取值范围是[0,1]. 11.答案 (1,3)解析原不等式可转化为[(1-a )x -b ]·[(1+a )x -b ]>0.①当a ≤1时,结合不等式解集形式知,不符合题意;②当a >1时,x 1-x <x <x x +1,由题意知0<x x +1<1,所以要使原不等式解集中的整数解恰有3个,则需-3≤x1-x <-2,整理得2a -2<b ≤3a -3.结合已知b <1+a ,可得2a -2<1+a ,所以a <3,从而有1<a <3.综上可得,a ∈(1,3). 三、解答题12.解析 (1)由题意知m <0,x 1=n ,x 2=2是方程mx 2+3x -2=0的实数根,11 故由根与系数的关系得{x +2=-3x ,2x =-2x ,解得{x =-1,x =1.则nx 2+mx +2=x 2-x +2=(x -12)2+74>0,即nx 2+mx +2>0的解集为R .(2)由(1)得ax 2-(1+a )x +1=(ax -1)(x -1)>0.当a <0时,原不等式等价于(-ax +1)(x -1)<0,解得1x <x <1;当a =0时,原不等式等价于-(x -1)>0,解得x <1;当0<a <1时,1x >1,解得x <1或x >1x .综上所述,当a <0时,不等式的解集为{x |1x <x <1};当a =0时,不等式的解集为{x |x <1};当0<a <1时,不等式的解集为{x |x <1或x >1x }.13.解析 (1)根据题意,当a =1时,f (x )=x 2-2x.由f (x )<0,得x 2-2x <0,解得0<x <2,所以f (x )<0的解集为(0,2).(2)由f (x )<3a 2,得x 2-2ax -3a 2<0,所以(x -3a )(x +a )<0.当a >0时,解集为(-a ,3a );当a =0时,解集为⌀;当a <0时,解集为(3a ,-a ).(3)由f (x )=x 2-2ax >0,可得2ax <x 2,又x ∈(2,+∞),∴a <x 2在x ∈(2,+∞)上恒成立.令g (x )=x 2(x >2),∵g (x )在(2,+∞)上单调递增,∴g (x )>1,∴a ≤1,即a 的取值范围是(-∞,1].。

高中数学第三章一元二次不等式解法典型例题素材北师大版必修5

一元二次不等式解法·典型例题例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01a[ ]A a xB x a ．＜＜．＜＜11aa C x aD x x a ．＞或＜．＜或＞x aa11例有意义，则的取值范围是．2 x x 2--x 6例3 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．例4 解下列不等式 (1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x＋1)2(3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)(4)3x 2-+--+-31325113122x x x x x x ＞＞()()例不等式＋＞的解集为5 1x 11-x [ ]A ．{x|x ＞0}B ．{x|x≥1}C ．{x|x ＞1}D ．{x|x ＞1或x ＝0}例与不等式≥同解的不等式是6 0x x --32[ ]A ．(x －3)(2－x)≥0 B．0＜x －2≤1C ．≥230--x x D ．(x －3)(2－x)≤0例不等式＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a axx -1[ ]A aB aC aD a ．＜．＞．＝．＝－12121212例解不等式≥．8 237232x x x -+-例9 已知集合A ＝{x|x 2－5x ＋4≤0}与B ＝{x|x 2－2ax ＋a ＋2≤，若，求的范围．0}B A a ⊆例10 解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)＞0．例11 若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x|α＜x ＜β}(0＜α＜β)，求cx 2＋bx ＋a ＜0的解集．例解关于的不等式：＜－∈．12 x 1a(a R)xx -1例13 不等式|x 2－3x|＞4的解集是________．例14 设全集U ＝R ，A ＝{x|x2－5x －6＞0}，B ＝{x||x －5|＜a}(a 是常数)，且11∈B，则[ ]A ．(UA)∩B＝RB ．A∪(UB)＝RC ．(UA)∪(UB)＝RD ．A∪B＝R参考答案例1：分析比较与的大小后写出答案．a 1a解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜．选． 0a 1a a x A 11a a例2分析求算术根，被开方数必须是非负数．解据题意有，x 2－x －6≥0，即(x －3)(x ＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x≥3或x≤－2．例3：分析根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根，考虑韦达定理．解根据题意，－1，2应为方程ax2＋bx －1＝0的两根，则由韦达定理知-=-+=-=-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪baa ()()1211122×得ab ==-1212，．例4：分析将不等式适当化简变为ax2＋bx ＋c ＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)．答:(1){x|x ＜2或x ＞4}(2){x|1x }≤≤32 (3)∅(4)R (5)R说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式．例5：分析直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．解不等式化为＋－＞，通分得＞，即＞，1x 000111122----xx x x x∵x2＞0，∴x－1＞0，即x ＞1．选C ．说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解．例6：解法一原不等式的同解不等式组为≥，≠． ()()x x x ---⎧⎨⎩32020故排除A 、C 、D ，选B ．解法二≥化为＝或－－＞即＜≤x 320x 3(x 3)(2x)02x 3--x两边同减去2得0＜x －2≤1．选B ．说明：注意“零”．例7：分析可以先将不等式整理为＜，转化为0()a x x -+-111[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，根据其解集为{x|x ＜1或x ＞2}可知－＜，即＜，且－＝，∴＝．a 10a 12a 1112a -答选C ．说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧．例8：解先将原不等式转化为3723202x x x -+--≥即≥，所以≤．由于＋＋＝＋＋＞，---+-+++-2123212314782222x x x x x x x x 002x x 12(x )022∴不等式进一步转化为同解不等式x2＋2x －3＜0，即(x ＋3)(x －1)＜0，解之得－3＜x ＜1．解集为{x|－3＜x ＜1｝．说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题．例9：分析先确定A 集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关系，结合，利用数形结合，建立关于的不等式．B A a ⊆解易得A ＝{x|1≤x≤4} 设y ＝x 2－2ax ＋a ＋2(*)(1)B B A 0若＝，则显然，由Δ＜得∅⊆4a 2－4(a ＋2)＜0，解得－1＜a ＜2．(2)B (*)116若≠，则抛物线的图像必须具有图－特征：∅ 应有≤≤≤≤从而{x|x x x }{x|1x 4}12⊆12a 12042a 4a 201412a 22－·＋＋≥－·＋＋≥≤≤解得≤≤a a--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪22187 综上所述得的范围为－＜≤．a 1a 187说明：二次函数问题可以借助它的图像求解．例10：分析不等式的解及其结构与a 相关，所以必须分类讨论．解 1° 当a ＝0时，原不等式化为 x －2＜0其解集为{x|x ＜2}；2 a 02(x 2)(x )0°当＜时，由于＞，原不等式化为－－＜，其解集为22a a{x|2a x 2}＜＜；3 0a 12(x 2)(x )0°当＜＜时，因＜，原不等式化为－－＞，其解集为22a a{x|x 2x }＜或＞；2a4° 当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2＞0，其解集是{x|x≠2}；5 a 12(x 2)(x )0°当＞时，由于＞，原不等式化为－－＞，其解集是22a a{x|x x 2}＜或＞．2a从而可以写出不等式的解集为： a ＝0时，{x|x ＜2｝；a 0{x|2a x 2＜时，＜＜｝；0a 1{x|x 2x }＜＜时，＜或＞；2aa ＝1时，{x|x≠2}；a 1{x|x x 2}＞时，＜或＞．2a说明：讨论时分类要合理，不添不漏．例11：分析由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系．考虑使用韦达定理：解法一由解集的特点可知a ＜0，根据韦达定理知：－＝α＋β，＝α·β．ba c a ⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 即＝－α＋β＜，＝α·β＞．ba c a ()00⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪∵a＜0，∴b＞0，c ＜0．又×，b a a c b c =∴＝－α＋β①由＝α·β，∴＝α·β②b c c a a c (1)111对＋＋＜化为＋＋＞，cx bx a 0x x 022b c ac由①②得α，β是＋＋＝两个根且α＞β＞，1111x x 002b c a c∴＋＋＞即＋＋＜的解集为＞α或＜β．x x 0cx bx a 0{x|x x }22b c a c 11解法二 ∵cx2＋bx ＋a ＝0是ax2＋bx ＋a ＝0的倒数方程．且ax2＋bx ＋c ＞0解为α＜x ＜β，∴＋＋＜的解集为＞α或＜β．cx bx a 0{x|x x } 211说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维。

高中数学必修5北师大版一元二次不等式的解法课件(36张)

(2)一元二次不等式的解：一般地，使某个一元二次不等式成
立的x的值叫这个一元二次不等式的解．所有解组 (3)一元二次不等式的解集：一元二次不等式的__________ 成的集合，叫作一元二次不等式的解集．
2．一元二次不等式与相应函数、方程的关系设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 判别式有两个不相等有两个相等的实方程f(x)＝0 数根x1＝x2且x1 无实数根的实数根x1， b 的解＝ x ＝－ 2 x2(x1＜x2) 2a
1 由图可得原不等式的解集为 xx≠2，x∈R.
(4)原不等式可化为 x2－6x＋10＜0，因为 Δ＝－4＜0，所以方程 x2－6x＋10＝0 无实根，所以原不等式的解集为∅.
[方法归纳] 当 a ＞ 0时，解形如 ax2 ＋ bx ＋ c ＞ (≥)0 或 ax2 ＋ bx＋ c ＜ (≤)0 的一元二次不等式，一般可分为三步：①确定对应方程ax2＋bx
(2)三个“二次”关系的实质是数形结合思想的应用：ax2＋bx＋
c＝0的根⇔y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴的交点(x,0)的横坐标； ax2＋bx＋c＞0的解集⇔y＝ax2＋bx＋c的图像上的点(x，y)在x 轴上方的横坐标的取值范围； ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 的根 ⇔ ax2 ＋ bx ＋c＞0解集的端点值．
一元二次不等式
解下列不等式： (1)2x2＋5x－3＜0；(2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2－4x＋1＞0；(4)－x2＋6x－10＞0.
1 [解](1)Δ＝49＞0，方程 2x ＋5x－3＝0 的两根为 x1＝－3， x2＝， 2
2
作出函数 y＝2x2＋5x－3 的图像，如图所示，用阴影部分描出原 1 不等式的解，由图可得原不等式的解集为x－3＜x＜2.

北师大版高中数学必修5同步测试：3.2.1一元二次不等式的解法

§2一元二次不等式2.1一元二次不等式的解法课后篇巩固探究1.当0<t<1时,不等式(x-t)->0的解集为()A. B.或C.或D.解析:因为t∈(0,1),所以>t.所以由(x-t)->0,得x>或x<t.答案:B2.已知一元二次不等式f(x)<0的解集为-或,则f(10x)>0的解集为()A.{x|x<-1或x>-lg 2}B.{x|-1<x<-lg 2}C.{x|x>-lg 2}D.{x|x<-lg 2}解析:由题意可知f(x)>0的解集为-,因为f(10x)>0,所以0<10x<,所以x<lg=-lg 2.答案:D3.设集合A={x|6+5x-x2>0},B={x|a2-x2<0},若A∩B=?,则a的取值范围是()A.{a|a≥6}B.{a|a>6}C.{a|a≤-6或a≥6}D.{a|a≤-6}解析:由6+5x-x2>0,得x2-5x-6<0,解得-1<x<6.由a2-x2<0,得x>|a|或x<-|a|.由A∩B=?,得|a|≥6,所以a≥６或a≤-6.答案:C4.若对一切实数x,不等式x2+a|x|+1≥０恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-2]B.[-2,2]C.[-2,+∞)D.[0,+∞)解析:令t=|x|,则t≥0,所以t2+at+1≥０对t≥０恒成立,当a≥０时,显然不等式恒成立.当a<0时,y=t2+at+1在[0,+∞)上的最小值为1-,由题意得1-≥0,解得-2≤a≤2,所以-2≤a<0.综上,a≥-2,故选C.答案:C5.已知不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,-1)∪(3,+∞),则对函数f(x)=ax2+bx+c,下列不等式成立的是()A.f(4)>f(0)>f(1)B.f(4)>f(1)>f(0)C.f(0)>f(1)>f(4)D.f(0)>f(4)>f(1)解析:由题意知-1,3是方程ax 2+bx+c=0的两根,且a>0,所以--,-,所以-,-对二次函数f(x)=ax 2+bx+c 来说,其图像的对称轴为x=-=1,且开口向上.由于|4-1|>|1-0|,所以f(4)>f (0)>f (1).答案:A6.函数y=log 3(9-x 2)的定义域为A,值域为B,则A ∩B=.答案:(-3,2]7.二次函数y=ax 2+bx+c (x ∈R )的部分对应值如下表:x -3 -2 -1 0 1 2 3 4y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6则不等式ax 2+bx+c>0的解集是.解析:由表格知,一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根为x 1=-2,x 2=3,且抛物线开口向上,所以ax 2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>3}.答案:{x|x<-2或x>3}8.若关于x 的不等式-x 2+2x>mx 的解集是{x|0<x<2},则实数m 的值是. 解析:由已知得,0和2是方程-x 2+2x-mx=0的两根,代入得m=1.答案:19.若不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0的解集为R,则实数a的取值范围是. 解析:当a-2=0,即a=2时,不等式化为-4<0,显然恒成立;当a-2≠０时,由题意得-,解得-2<a<2.--,综上所述,a∈(-2,2].答案:(-2,2]10.已知f(x)=x2-x+1.(1)当a=时,解不等式f(x ≤０.(2)若a>0,解关于x的不等式f(x ≤０.解(1)当a=时,有不等式f(x)=x2-x+1≤0,所以-(x-2 ≤0,所以≤x≤２.所以不等式的解集为.(2)不等式f(x)=-(x-a ≤0,当0<a<1时,>a,所以不等式的解集为;当a>1时,<a,所以不等式的解集为;当a=1时,不等式的解集为{x|x=1}.11.已知关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥０的解集是空集,求实数a的取值范围.解当a2-4=0时,a=±2,当a=-2时,解集为?;当a=2时,解集为,不符合题意,舍去.当a2-4≠０时,要使解集为?,则有-,,解得-2<a<.综上,a的取值范围是-,.12.若不等式组--,的整数解只有-2,求k的取值范围.解因为x2-x-2>0,所以x>2或x<-1.又2x2+(2k+5)x+5k<0,所以(2x+5)(x+k)<0.①当k>时,-k<-,由①得-k<x<-<-2,此时-2?-,-;当k=时,①的解集为空集;当k<时,-<-k,由①得-<x<-k,所以-,--或,--因为原不等式组只有整数解-2,所以,--,-所以-3≤k<2.综上,k的取值范围是[-3,2).。

北师大版高中数学必修5一元二次不等式解法1ppt

(1)的解集：{x|x<-1或x>4}； (2)的解集：{x|-3<x<1}； (3)的解集：{x|x<-2或x>4}；
例1:求不等式(x+4)(x-1)<0的解.
（4）的解集：{x|x<-5或x>0}.
4.(x+1)2+3(x+1)-4>0
xa 0 的解法分式不等式 xb x3 0 例1：解不等式 x7
思考：设不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|α <x<β}
(α <0<a<β),求不等式cx2+bx+a<0的解集
c 0 0 1 1 b b 分析:依题意有 a c c 1 1 a a c
3 为{x|x< 或x>3}. 3 x 3 2 0 ,并且其解集为 (4) >1可变形为 x x
{x|0<x<3}
例3：解关于x的不等式：x2+(m-m2)x-m3>0. 解：将原不等式化成（x-m2）(x+m)>0 则（1）当m2>-m即m>0或m<-1时，解集{x|x>m2 或x<-m}; (2)当m2<-m即-1<m<0时,解集{x|x>-m或x<m2}; (3)当m2=-m即m=0或m=-1时,解集{x|x≠0或x≠1}. 综上所述：当m>0或<-1时，解集{x|x>m2 或x<-m}; 当-1<m<0时,解集{x|x>-m或x<m2}; 当m=0或m=-1时,解集{x|x≠0或x≠1}。